《同步导学案》人教六年级数学（下册）第四单元 第三课时 成正比例的量

《同步导学案》人教六年级数学（下册）第四单元 第三课时 成正比例的量

‎2.正比例和反比例的意义 第三课时 成正比例的量 1、 通过具体问题认识成正比例的量，理解正比例的意义，能找出生活中成正比例的量。‎ 2、 认识正比例关系的图像，会根据其中一个量在图像中找出或估计出另一个量的值，并能在方格纸上画图像。‎ 3、 重难点:理解正比例的意义，掌握判断两种相关联的量成不成正比例关系的方法。‎ ‎ ‎ 知识导入 数学课上，老师拿出一个量杯，一个玻璃杯，一把尺子，对同学们说：“今天我们来做一个实验。”一听做实验，大家立刻来了精神，都想到讲台上跃跃欲试。‎ 老师让红红用量筒量出50毫升的水倒入玻璃杯中，让明明量出杯中水的高度，明明量得水高为2厘米。‎ 老师说：“再加入50毫升水，看水面会有什么变化？”在红红往玻璃杯中加水的过程中，大家看到水面缓缓地上升，明明量了量水面上升到4厘米。‎ 老师又说：“如果再加入50毫升的水，大家猜猜水面的高度为多少呢？”‎ 大家异口同声：“6厘米。”果然如大家所料，红红又加了50毫升水后，明明测得水高为6厘米。‎ 老师说：“继续猜想，如果我把加到200毫升、250毫升、300毫升，你们知道水的高度是多少厘米吗？”‎ ‎“知道，太容易了……‎ 老师说：“是呀，通过刚才的实验，大家发现了什么？”‎ ‎“我发现水的高度随着水的体积的增加而升高。”‎ ‎“我发现水的体积与水的高度的比值相等。”‎ ‎“我发现…..”‎ 老师微笑着说：“数学需要同学们有一双善于发现的眼睛。不错，水的高度和体积正是因为具有同学们发现的这些特点，所以这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就是正比例关系。这节课我们就来探讨成正比例的量的变化规律和特征。”‎ 知识讲解 知识点一：正比例的意义 高度/㎝ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ 体积/㎝2‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎200‎ ‎250‎ ‎300‎ 底面积/㎝3‎ 体积和高度的变化有什么规律？‎ 分析：首先计算相应的底面积，完成表格。根据“底面积=圆柱的体积÷高”来计算，将计算出的数据填入表格。‎ 高度/㎝ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ 体积/㎝3‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎200‎ ‎250‎ ‎300‎ 底面积/㎝2‎ ‎25‎ ‎25‎ ‎25‎ ‎25‎ ‎25‎ ‎25‎ 然后观察比较表格中的数据，探究水的体积和高度的变化规律。‎ 解析：因为杯子的底面积一定，所以水的体积随着高度的变化而变化。水的高度增加，体积也相应增加，水的高度降低，体积也相应减少，而且水的体积和高度的比值一定。‎ 点拨：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。‎ 在例1中，体积和高度成正比例关系，体积和高度是成正比例的量。‎ 如果用字母χ和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的式子表示：=k（一定）。‎ 知识点二：正比例关系的判断方法 想一想，生活中还有哪些成正比例的量？‎ 分析：根据正比例关系的意义，我们要找的两种量必须是相关联的量，一种量随着另一种量的变化而变化。然后看一下这两种相关联的量中相对应的两个数的比值（商）是否一定，若一定，这两种量就是成正比例的量；否则就不是成正比例的量。‎ 解析：如果长方形的宽一定，长方形的面积和长成正比例；铅笔的单价一定，铅笔的数量和总价成正比例；水的质量和体积成正比例……‎ 点拨：判断两种量成正比例的方法：先找变量（找相关联的量）；再看定量（两种量的比值是否一定）；最后作出判断。‎ 知识点三：正比例图像的特点 分析（2）：图像中横轴上的数据表示水的高度，纵轴上的数据表示水的体积，例1表格中的每一对数据都可以用一个点来表示。在横轴上找出高度是7cm的点，再找出与这个点相对应的纵轴上的数（在150和200中间）；同理，在纵轴上找出225的点（在200和250中间），再找出与这个点相对应的横轴上的数（在8和10中间）。 ‎ 解析：（1）①正比例关系的图像是一条经过原点的直线。 ‎ ‎②图像中横轴上的数据表示水的高度，纵轴上的数据表示水的体积，例1表格中的每一对数据都可以用一个点来表示。‎ ‎③从图像上可以直观地看到水的高度与体积之间的变化情况，即高度增加，体积也随着增加。‎ ‎（2）如果杯中水的高度是7cm，水的体积是175㎝3；体积是225㎝3时，水的高度是9cm。‎ 点拨：正比例关系的图像是一条经过原点的直线。从图像中，可以直观看到两种量的变化情况，不用计算，由一个量的值可以直接找到对应的另一个量的值。‎ 知识探究 ‎1、正比例的意义 ‎(1) 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。‎ ‎(2) 如果用字母χ和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的式子表示：=k（一定）。‎ 例 根据下表中火车行驶的路程和时间的比值，判断这两种量是不是成正比例，并说明理由。‎ 时间/时 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 路程/千米 ‎90‎ ‎180‎ ‎270‎ ‎360‎ ‎450‎ ‎540‎ ‎630‎ 解析：因为90÷1=180÷2=270÷3=360÷4=450÷5=540÷6=630÷7=90，每组相对应的两个量的比值都相等，所以火车行驶的路程和时间成正比例。‎ ‎2、正比例关系的判断方法 ‎（1）先判断这两种量是不是相关联的量，一种量是不是随着另一种量的变化而变化。‎ ‎（2）再判断这两种相关联的量中相对应的两个数的比值（商）是否一定，若一定，这两种量就成正比例关系；否则就不成正比例关系。‎ 例 判断下列各题中的两个量是不是成正比例。‎ ‎（1）苹果的单价一定，购买苹果的数量和总价。‎ ‎（2）已行的路程和剩下的路程。‎ 解析：因为“单价=总价÷数量” 购买苹果的数量和总价成正比例。‎ ‎ “已行的路程+剩下的路程=全程” 已行的路程和剩下的路程不成正比例。‎ 易错辨析 题1 判断：圆的面积与半径成正比例。（√）‎ 辨析：由圆的面积公式S=πr2可得=πr,显然πr不是一定的，所以圆的面积与半径不成正比例，与r2成正比例。‎ 正解：（×）‎ 题2 判断：正方形的面积与边长成正比例。（√）‎ 辨析：正方形的面积与边长是两种相关联的量，但是=边长，边长不是一个定量，所以正方形的面积与边长不成正比例，与边长的平方成正比例。‎ 正解：（×）‎ ‎1、填空 一房间铺地面积和用砖数如下表，根据要求填空． ‎ ‎ 铺地面积（平方米）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 用砖块数 ‎25‎ ‎50‎ ‎75‎ ‎100‎ ‎125‎ ‎（1）表中（　 ）和（　 ）是相关联的量，‎ ‎（ ）随着（ ）的变化而变化． 　　‎ ‎（2）表中第三组这两种量相对应的两个数的比是（ ），比值是（ ）；第五组这两种量相对应的两个数的比是（ ），比值是（ ）． 　‎ ‎(3）上面所求出的比值所表示的的意义是（ 　），铺地面积和砖的块数的（ ）是一定的，所以铺地面积和砖的块数（ ）． 　　‎ ‎2、判断． 　　‎ ‎（1）长方形的长一定，宽和面积成正比例．（　） 　　‎ ‎（2）大米的总量一定，吃掉的和剩下的成正比例．（ 　） 　　‎ ‎（3）圆的半径和周长成正比例．（　） 　　‎ ‎（4）分数的分子一定，分数值和分母成正比例．（　） 　　‎ ‎（5）除数一定，被除数和商成正比例．（　） 　　‎ ‎3、判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并说明理由． 　　‎ ‎（1）平行四边形的高一定，它的底和面积． ‎ ‎（2）被除数一定，商和除数． ‎ ‎（3）小明的年龄和他的体重． ‎ ‎（4） 拖拉机每天耕地的公顷数一定，耕地的总公顷数与天数。　‎ 根据a . b=c，请分析哪个量一定时，另两个量成正比例。‎ 分析：根据正比例的意义，如果两种量的比值一定，那么这两种量成正比例。由a . b=c，可得=b或=a。‎ 解析：当a一定时，c和b成正比例；当b一定时，c和a成正比例。‎ 点拨：解此类题型的关键要把关系式变形为其中两个量求比值（商）的形式，再判断。‎ 练习：根据“速度×时间=路程”，请分析哪个量一定时，另两个量成正比例。‎ 参考答案 课时练习 ‎1、（1）铺地面积 用砖块数 用砖块数 铺地面积 （2）75:3 25 125:5 25‎ ‎ （3）每平方米用砖的块数 比值 成正比例 ‎2、（1）√ （2）× （3）√ （4）× （5）√‎ ‎3、（1）成正比例。 =高（一定）‎ ‎ （2）不成正比例。 因为商和除数的乘积一定，但比值不一定。‎ ‎ （3）不成正比例。 小明的年龄和他的体重不是两种相关联的量。‎ ‎ （4）成正比例。 =每天耕地的公顷数（一定）。‎ 拓展提升 当速度一定时，路程和时间成正比例；当时间一定时，路程和速度成正比例。‎