五年级上册数学北师版知识要点

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总复习 一 小 数 除 法 一、除数是整数的小数除法 1.小数除以整数,除到被除数的末尾没有余数的计算方法: (1)按照整数除法的计算方法计算。 (2)商的小数点要与被除数的小数点对齐。 2.小数除以整数,除到被除数的末尾仍有余数的计算方法: (1)按整数除法,从被除数的最高位除起。 (2)除到被除数的末尾仍有余数,就在余数的后面添“0”继续除, 一直除到没有余数为止。．．．．．．．．．．． (3)商的小数点要与被除数小数点对齐。 3.小数除以整数,如果商的中间哪一位不够商 1,就在那一位 上商 0。 (1)如果整数部分不够商 1,要在商的个位上用．．．．．．．．“．0．”．占位．．,．并在．．“．0．”． 的右下角点上小数点．．．．．．．．．; (2)如果中间哪一位不够商．．．．．．．．．．1．,．就在那一位上商．．．．．．．0．。． 二、除数是小数的小数除法 1.除数是小数的除法的计算方法: (1)先移动除数的小数点,使它变成整数,除数的小数点向右移．．．．．．．．． 动几位．．．,．被除数的小数点也向右移动几位．．．．．．．．．．．．．．,．位数不够的,在被除数的 末尾用“0”补足,然后按照除数是整数的小数除法进行计算。商的 小数点应该与被除数移动后的小数点对齐。 (2)移动小数点时。如果被除数的小数部分位数不够．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．,．就在后．．． 面补．．“．0．”．占位。．．． 2.小数除法的验算方法: (1)小数除法的验算方法与整数除法的验算方法相同。 (2)利用“商×除数=被除数”和“被除数÷商=除数”来验算。 三、积、商的近似值 1.“四舍五入”法。 在取小数的近似值的时候．．．．．．．．．．．,．如果尾数的最高位上的数字是．．．．．．．．．．．．．4． 或者．．比．4．小．,．就把尾数直接舍去．．．．．．．．;．如果尾数的最高位上的数字．．．．．．．．．．．．是．5． 或者比．．．5．大．,．就把尾数舍去并且向它的前一位进．．．．．．．．．．．．．．．“．1．”．。这种取近似．．．．．． 值的方法叫作．．．．．．“．四舍五入．．．．”．法。．． 2.求积的近似值。 (1)先算出准确的积,再根据题目的要求或生活习惯用“四舍五 入”法取其近似值。在生活中运用“进一法”的实际问题有用油桶装 油,剩下的不够装一桶,也要用一个桶,所以“进一”;货车运货的次数, 最后剩下的不够一车,也要运一次,所以也要“进一”。“去尾法”:如用 钢材做机器,剩下一部分钢材不够做一个,所以“去尾”;用布做衣服, 剩下的布不够做一件衣服,所以也要“去尾” 。 (2)求积的近似值时．．．．．．．,．末尾的．．．0．不能去掉。．．．．． 3.求商的近似值。 (1)先看要求保留到哪一位,直接根据要求多除一位,然后用 “四舍五入”法取其近似值。 (2)求商的近似值时．．．．．．．,．末尾的．．．0．不能去掉。．．．．． 重点提示:商的小数 点要和被除数的小数点 对齐。 易错题: 错因分析:此题错在 商没有点上小数点。 答案: 重点提示: 解决一个数除以小．．．．．．．． 数的问题．．．．,．要先转化为学．．．．．． 过的除数是整数的除法．．．．．．．．．．,． 方法是被除数和除数同．．．．．．．．．． 时扩大相同的倍数。．．．．．．．．． 易错题: 错因分析:除数的小 数点向右移动了一位,变 成整数,被除数的小数点 也应该向右移动一位。而 题中被除数的小数点向 右移动了三位。 答案: 第1页 4.商与被除数的大小关系。 (1)当被除数不等于．．．．．．．0．时。．． ①．若除数大于．．．．．1．,．则商小于被除数．．．．．．．;． ②．若除数小于．．．．．1．(．0．除外．．),．则商大于被除数．．．．．．．;． ③．若除数等于．．．．．1．,．则商等于被除数。．．．．．．．． (2)当被除数等于．．．．．．0．时．,．不管除数是几．．．．．．(．0．除外．．),．结果都是．．．．0．。． 四、循环小数 1. 基本概念。 (1)一个小数,从小数部分的某位起,一个或者几个数字依次不 断地重复出现,这样的小数叫作循环小数。 (2)一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字,叫作 这个循环小数的循环节。 2. 用．“．四舍五入．．．．”．法求循环小数的近似值。．．．．．．．．．．． 取近似值时．．．．．,．要看保留的小数位数的下一位．．．．．．．．．．．．．,．如果下一位上的．．．．．．． 数字是．．．4．或者比．．．4．小就．．“．四舍．．”．;如果是．．．5．或者比．．．5．大．,．就．“．五入．．”．。． 3. 技巧。．．． 求商的近似值时．．．．．．．,．也可以除到要保留的小数数位后．．．．．．．．．．．．．．,．不再继续．．．． 除了．．,．只要把余数同除数作比较即可．．．．．．．．．．．．．,．方法如下．．．．:． (1)若余数比除数的一半小．．．．．．．．．．,．就说明求出下一位的商要直接舍．．．．．．．．．．．．．． 去．;． (2)若余数大于或等于除数的一半．．．．．．．．．．．．．,．就说明要在已除得的商的．．．．．．．．．．． 末位加上．．．．1．。． 五、小数四则混合运算 1. 小数混合运算的顺序和整数混合运算的顺序相同。 2. 在一个没有括号的算式里．．．．．．．．．．．,．如果只有加减法或只有乘除．．．．．．．．．．．． 法．,．要从左往右依次计算．．．．．．．．．;．如果既有加减法、又有乘除法．．．．．．．．．．．．．,．要先算乘．．．． 除法．．,．再算加减法。．．．．．． 3. 在一个有括号的算式里．．．．．．．．．．,．要先算括号里面的．．．．．．．．,．再算括号外．．．．． 面的。．．． 在四则混合运算中,括号起改变运算顺序的作用。 注意:在取积或商的 近似值时,不能根据小数 的性质把小数末尾的 0 去掉,两数虽然相等,但精 确度不一样。 巧记:被除数不变,除 数越小,商越大; 除数不变,被除数越 大,商越大。 解决一个数除以小 数的问题,要先转化为学 过的除数是整数的除法, 方法是被除数和除数同 时扩大相同的倍数。 知识拓展:1. 纯循 环小数。 循环节是从小数部 分第一位开始的,叫作纯 循环小数。 例 2.888… 2. 混循环小数。 循环节不是从小数 部分第一位开始的叫作 混 循 环 小 数 。 如 3.3454545… “四舍五入”法是常用 的求近似值的方法。 二 轴对称和平移 一、轴对称再认识 1. 轴对称图形的意义: 把一个图形沿着一条直线对折后．．．．．．．．．．．．．．,．折痕两侧的部分能够完．．．．．．．．．． 全重合．．．,．这个图形就叫作轴对称图形．．．．．．．．．．．．,．折痕所在的直线叫作对称．．．．．．．．．．． 轴。．． 2. 轴对称图形的特点: 轴对称图形沿着对称轴对折后,折痕两侧的部分能够完全 重合,折痕两侧的对称点(或线段)能够完全重合。对称点到对称 轴的距离相等。 重点提示: 有的轴对称图形的对 称轴不止一条。 易错题: 判断:小猴子是轴对称 图形。 (√) 错因分析:小猴子是一 个动物,不是平面图形,只 能说是对称。 第2页 3. 画轴对称图形的方法: (1)确定已知图形每条线段的端点。 (2)数出或量出各端点到对称轴的距离。 (3)在对称轴的另一侧描出各端点的对称点。 (4)最后按照已知图形的形状顺次连接各端点的对称点,画 出已知图形的轴对称图形。 二、平移 1. 平移的意义: 物体或图形沿着某一方向做直线运动的现象叫作平移。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2. 判断图形平移的方向和距离的方法: 可以根据该图形上某个点或某条线段平移的方向和距离来 判断。 3. 在方格纸上画平移图形的方法: (1)找出所给图形的关键点(或关键线段)。 (2)按要求平移相应的格数并描出各对应点(或对应线段)。 (3)把对应点(或对应线段)按所给图形的形状连接起来。 4. 画出平移后的图形只是位置发生了变化,大小和形状不 变。 三、欣赏与设计 1. 复杂、美丽的图案可以用一个简单的图案通过平移或轴 对称得到。 2. 利用平移或轴对称在方格纸上设计简单图案的方法: (1)画出或选择一个基本图案。 (2)确定图案变化的方式;平移要确定好方向和平移的格数; 轴对称要确定好对称轴,选好关键点(或关键线段)。 (3)画出要设计的图案。 答案:✕ 知识巧记: 关键点,选关键, 点轴距离数格算。 细心找准对称点, 有序连点图形现。 重点提示: 在解决图形平移的问．．．．．．．．． 题中．．,．平移几格并不是指原．．．．．．．．． 图形与平移后的图形之间．．．．．．．．．．． 相距几格．．．．,．而是指图形的关．．．．．．． 键点平移了几格。．．．．．．．． 重点提示: 利用平移或轴对称设 计图案时,要选准基本图 案。平移要确定好平移的 格数和方向;轴对称要确定 好对称轴,选好关键点(或 关键线段)。 三 倍数与因数 一、倍数与因数 1. 倍数与因数的意义: 如果 a×b=c(a、b、c都是不为 0 的自然数),那么 a 和 b 就是 c的因 数,c就是 a 和 b 的倍数。 2. 求一个数的倍数的方法: 用这个数分别乘 1,2,3,4,…所得的积都是这个数的倍数。 3. 判断两个数成倍数关系的方法: (1)列乘法算式,用积判断。 (2)列除法算式,如果商是整数且没有余数就是倍数关系,反之不 是。 知识巧记: 倍数与因数, 从不单独存在。 互相来依存, 永远不分开。 列举找倍数, 从 1开始乘。 除法也能找, 整除来分辨。 易错题: 下面各题中,被 第3页 4. 倍数与因数的关系。 倍数与因数是乘法算式中积和乘数的关系,是相互依存的,没有倍 数就不存在因数,没有因数也不存在倍数,不能单独说一个数是倍数或 因数。 5. 明确“0”的特殊性。 在自然数中,0是一个特殊的数,0 乘任何数都得 0,0 是任何一个非 0 自然数的倍数,任何非 0 自然数都是 0 的因数,如果不排除 0,很多问 题无从讨论,因此在研究倍数和因数时,所说的自然数指的是不包括 0 的自然数。 6. 倍和倍数的区别:“倍”的概念比“倍数”要广,“倍”可以适 用于小数、整数、分数,而倍数是相对于因数而言的,只适用于非 0 的 自然数。 二、2,5 的倍数的特征 1. 2的倍数的特征: 个位上是．．．．0．,．2．,．4．,．6．,．8．的数都是．．．．2．的倍数。．．．． 2. 5的倍数的特征: 个位上是．．．．0．或．5．的数．．,．都是．．5．的倍数。．．．． 3. 偶数: 像 2,4,6,8,…这样的数,是 2的倍数,叫作偶数。 4. 奇数: 像 1,3,5,7,…这样的数,不是 2 的倍数,叫作奇数。 5. 同时是 2,5的倍数的特征:个位上是 0 的数。 三、3的倍数的特征 1. 一个数各个数位上的数字之和是 3 的倍数,这个数就是 3 的倍 数。 2. 同时是 2,3的倍数的特征: 个位上的数必须是 0,2,4,6,8且各个数位上数字之和是 3的倍数。 3. 同时是 3和 5的倍数的特征: 个位上必须是 0或 5,且各个数位上数字之和是 3 的倍数。 4. 同时是．．．2．、．3．、．5．的倍数的特征．．．．．．:． 各个数位上数字之和是．．．．．．．．．．3．的倍数．．．,．且个位上是．．．．．0．。． 5.9的倍数的特征: 一个数各个数位上数字之和是 9的倍数,这个数就是 9的倍数。 四、找因数 1. 找因数的方法: 列乘法算式,从 1 开始一对一地找,看哪两个自然数的积等于这个 数,这两个自然数就是这个数的因数;列除法算式,想这个数可以写成哪 些除法算式,算式中的商和除数就是这个数的因数。 2. 表示一个数的因数的方法: 列举法: 如 12 的因数:1,2,3,4,6,12。 集合法: 12的因数 除数是除数倍数的 是(AD)。 A. 3.5÷0.7=5 B. 0.8÷4=0.2 C. 43÷5=8.6 D. 65÷5=13 错因分析:小数 之间不存在倍数和 因数的关系,所以选 项 A不是。 答案:D 重点提示: 只在自然数(0 除外)范围内研究倍 数与因数。 重点提示:1. 0是2的 倍数,0 也是偶数,自 然数中最小的偶数 是 0,没有最大的偶 数。2.自然数中最小 的奇数是 1,没有最 大的奇数。3. 一个 数的倍数的个数是 无限的,最小的倍数 是它本身,没有最大 的倍数。 易错题: 判断:3 是奇数, 所以 3 的倍数也是 奇数。 (√) 错因分析:如果 一个数是 3 的偶数 倍,这个数就是偶数; 如果一个数是 3 的 奇数倍,这个数就是 奇数。 答案:✕ 知识拓展:如果 一个数各个数位上 数字之和是 9 的倍 数,那么这个数同时 是 3和 9的倍数。 重点提示: 第4页 五、找质数 1. 质数:一个数只有 1和它本身两个因数,这个数叫作质数。最小 的质数是 2。 2. 一个数除了 1 和它本身以外还有别的因数,这个数叫作合数。 最小的合数是 4。 3. 判断一个数是质数还是合数的方法:看这个数的因数的个数,只 有 2个因数的数是质数,有 3个或 3个以上因数的数是合数。 4. 100．．． 以 内 的 质． ． ． ． 数． :．2．,．3．,．5．,．7．,．11．．,．13．．,．17．．,．19．．,．23．．,．29．．,．31．．,．37．．,．41．．,．43．．,．47．．,．53．．,．59．．,．61．．,．67．．,．71．．,．73．．,．79．．,．83．．,．8． 9．,．97．．,．共．25．．个。．． 一个数的因数．．．．．． 的个数是有限的．．．．．．．,．最． 大的因数是它本身．．．．．．．．,． 最小的因数是．．．．．．1．。． 易错题: 判断:一个数的 因数一定比这个数 小。 (√) 错因分析:一个 数最大的因数是它 本身。 答案:✕ 重点提示: 1. 1．既不是质．．．． 数．,．也不是合数。．．．．．． 2. 2是偶数中唯 一的质数,除 2 外,其 他的质数都是奇数。 易错题: 判断:所有的质 数都是奇数,所有的 奇数都是质数。 (√) 错因分析:2 是 质数,但不是奇数。 9、15是奇数,但不是 质数。 答案:✕ 四 多边形的面积 一、比较图形的面积 在方格纸上比较图形的面积大小的方法: (1)数方格法:观察方格纸中的各图形,数出各图形各占几个 格,根据图形所占方格的数量来比较它们的面积。 (2)重叠法:借助图形变换使两个图形重叠,观察两个图形能 否完全重合,来比较它们的面积。(图形的形状相同适用于此方 法) (3)拼组法:将两个图形组在一起,看是否与其他图形相同。 (4)分割移补法:两个图形的形状不同,不能完全重合,但可以 把图形分割平移,变成一种比较相似的图形,再比较它们的面积。 二、认识底和高 易错点:移补后图形的 面积没有改变,周长可能有 变化。 易错题: 判断:割补后图形的面 积不变,则周长也不变。 (√) 错因分析:图形割补后 形状发生了变化,所以周长 也可能发生变化。 第5页 1. 限高:教材中的限高指的是通过的车辆的高度应低于 4.5 米。 2. 梯形的高:上底与下底间的垂直线段为梯形的高。 3. 平行四边形的底和高:从平行四边形的顶点(或一条边上 任意一点)向它的对边画垂直线段,这条垂直线段就是平行四边 形的高,这条对边就是高所对应的底。 4. 认识三角形的底和高:三角形有三条边,三条边都可以作 底边,每条边与其所对应的顶点到这条边的垂直线段就是三角 形的底和高。 5. 画指定底和高的长度的平面图形的方法:先画指定长度 的底,然后根据底确定指定长度的高,最后画出其他的边。 6. 梯形、平行四边形和三角形的高的画法。 (1)梯形的高的画法:把三角尺的一条直角边与梯形的一条 底边重合,与另一条底边相交于一点,从这一点向对应边或底边 的延长线画垂线,这条垂线就是梯形的高。 (2)平行四边形的高的画法:把三角尺的一条直角边与平行 四边形的一条边重合,另一条直角边与平行四边形这条底边所 对应的边相交于一点,从这一点向对应底边或底边延长线画垂 线,这条垂线就是平行四边形的高。 (3)三角形的高的画法:从三角形的一个顶点向对边或对边 的延长线画垂线,这条垂线就是三角形的高。 5. 只确定了底和高,并不能却定一个图形的具体形状,等底 等高可以画出无数个不同形状的图形。 6. 对应的底和高互相垂直。．．．．．．．．．．． 三、平行四边形的面积 1. 通过割补法把平行四边形转化为长方形,长方形的长等 于原平行四边形的底,长方形的宽等于原平行四边形的高。 平行四边形的面积=底×高;用字母表示为 S=ah。 2. 长方形的长=平行四边形的底 长方形的宽=平行四边形的高 长方形的面积=长×宽 平行四边形的面积=底×高 3. 等底等高的平行四边形的面积相等。 4. 平行四边形的面积公式的应用: 已知平行四边形的面积和高,求平行四边形的底,可以用“底 =平行四边形的面积÷高”来解答。 四、三角形的面积 1. 两个完全相同的三角形能拼成一个平行四边形。平行四 边形的底和高分别是三角形的底和高。 如割补后的图形周长 变小了。 答案:✕ 重点提示: 1. 梯形有无数条高。 2. 在平行四边形中底 和高是相对应的。 3. 平行四边形有无数 条高。 4. 三角形有三组对应．．．．．．．． 的底和高。．．．．． 易错题: 判断:直角三角形只有 一条高。 (√) 错因分析:直角三角形 的两条直角边分别是直角 三角形的两条高,斜边上也 有一条高。即直角三角形 也有三条高。 答案:✕ 易错点:计算平行四边形的 面积要用一组对应的底和 高相乘。 易错题: 求平行四边形的面 积。 错解:6×7=42(cm2) 错因分析:计算平行四 边形的面积要用一组对应 的底和高相乘。 答案:7×4=28(cm2) 易错题: 判断:两个面积相等的 三角形一定能拼成一个平 行四边形。 (√) 错因分析:两个面积相 等的三角形的形状不一定 第6页 2. 三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一 半。 3. 三角形的面积=底×高÷2,用字母表示为 S=ah÷2。 4. 三角形的面积公式的应用: 已知三角形的面积和底,要求三角形的高,可以应用“高=三 角形的面积×2÷底”来解答。 5. 等底等高的三角形的面积相等。 五、梯形的面积 1. 两个完全相同的梯形,可以拼成一个平行四边形。 2. 平行四边形的底等于梯形上底与下底的和,平行四边形 的高等于梯形的高。 3. 梯形的面积=(上底+下底 )×高÷2,用字母可以表示为 S=(a+b)×h÷2。 4. 梯形的面积计算公式的应用: 已知梯形的面积和上、下底,求高。 用“梯形的面积×2÷(上底+下底)”来解答。 相同,两个完全相同的三角 形才能拼成一个平行四边 形。 答案:✕ 知识巧记: 梯形面积并不难, 找准数量是关键。 上下底和来乘高, 除以 2来轻松算。 易错题: 判断:梯形的面积等于 平行四边形面积的一半。 (√) 错因分析:只有在特定 情况下梯形才和平行四边 形的面积成 2倍关系。 答案:✕ 五 分数的意义 一、分数的再认识(一) 1. 整体“1”的含义:一个物体或一些物体都可以看作一个整 体,这个整体可以用自然数“1”来表示,通常叫作单位“1”。 2. 分数的意义:把一个整体平均分成若干份,其中的一份或几 份,可以用分数表示。 3. 根据分数所表示的数量可以求出所对应的整体数量,分母 是几,整体就被分成了几份。 4. 同一个分数对应的整体大,表示的具体数量就大;对应的整 体小,表示的具体数量就小。 二、分数的再认识(二) 1. 分数单位的意义:像12,13,14…这样的分数叫作分数单位。 2. 分数单位的大小:分母越大,分数单位越小;分母越小,分数 重点提示: 分数中要强调把一 个整体“平均分”。 易错题: 判断:有甲、乙两个 正方形,乙正方形面积的 12一定大于甲正方形面积 的14。 (√) 错因分析:虽然12>14, 第7页 单位越大。 12>13 3. 把一个整体平均分成几份,这个整体里面就有几个几分之 一。把一个整体平均分成 4份,这个整体里面就有 4个 14。 4. 一个分数的分子是几,这个分数里面就有几个这样的分数 单位。例 78的分子是 7,78里面就有 7 个 18。 5. 分母不同的分数,它们的分数单位不同。 三、真分数、假分数和带分数 1. 真分数的意义:像12,14,56,78,…这样的分数是真分数。真分数的．．．． 分子小于分母．．．．．．,．真分数小于．．．．．1．。． 2. 假分数的意义:像32,44,98,…这样的分数是假分数。假分数的．．．． 分子等于或大于分母。假分数大于或等于．．．．．．．．．．．．．．．．．．1．。． 3. 带分数的意义:像 156,278,…这样的分数都是带分数。带分数 由整数(不包括 0)和真分数合成。读带分数时,先读整数部分,再读 分数部分,中间加一个“又”字。写带分数时,先写整数部分,再写 分数部分。 四、分数与除法的关系 1. 分数与除法的关系:分数的分子相当于除法中的被除数．．．．．．．．．．．．．．．,．分． 母相当于除法中的除数．．．．．．．．．．,．分数线相当于除法中的除号．．．．．．．．．．．．,．分数值相当．．．．． 于除法中的商。用字母表示上面的关系是．．．．．．．．．．．．．．．．．．a．÷．b=．．(．b．≠．0．)．。． 2. 带分数化成假分数时,用整数与分母的积再加上原来的分 子作分子,分母不变。 3. 假分数化成整数或带分数的方法:分子除以分母,如果没有 余数,化成整数;如果有余数化成带分数,所得的商是整数部分,余 数作分子,分母不变。 4. 求一个数是另一个数的几分之几的问题的解题方法:一个．． 数．÷．另一个数．．．．=． 一个数 另一个数 ,．得到的商表示两个数的关系．．．．．．．．．．．．,．没有单位名．．．．． 但是两个正方形的大小 不确定,也就是单位“1”不 确定,所以无法比较。 答案:✕ 易错题: 判断:56的分数单位 是15。 (√) 错因分析:把一个整 体平均分成几份,其中的 1份就是这个分数的分数 单位,所以56的分数单位 是16。 答案:✕ 易错点:假分数的分子 等于或大于分母,做题时 易忽略分子与分母相等 的情况。 易错题:判断:假分数 都大于 1。 (√) 错因分析:分子与分 母相同的分数也是假分 数,所以假分数大于或等 于 1。 答案:✕ 重点提示:分数与除 法的区别,除法是一种运 算,分数是一种数。 易错点:带分数化成 假分数时,整数与分母相 乘后,不要忘记加上分数 中原来的分子。 重点提示:运用分数 第8页 称。．． 五、分数的基本性质 1. 分数的基本性质．．．．．．．:．分数的分子和分母同时乘或除以一个不．．．．．．．．．．．．．．．．． 为零的数．．．．,．分数的大小不变。．．．．．．．．25=2×45×4= 820 1232=12÷432÷4=38 2. 分母和分子同时扩大到原来的．．．．．．．．．．．．．n．(．n．>1．．)．倍．,．分子和分母同时．．．．．．． 增加原来的．．．．．(．n．‐1．．)．倍．,．分数值不变。．．．．．． 3. 运用分数的基本性质．．．．．．．．．,．要想保持分数的大小不变．．．．．．．．．．．,．必须使分．．．． 数的分子和分母都乘或除以相同的数．．．．．．．．．．．．．．．．(．0．除外．．)．。．如果是分子．．．．．(．分母．．)． 加上或减去一个数．．．．．．．．,．看是把原分子．．．．．．(．分母．．)．乘或除以几得到新的分．．．．．．．．．． 子．(．分母．．),．然后分母．．．．(．分子．．)．也随着乘或除以几得到新分母．．．．．．．．．．．．．(．分子．．)．。．观． 察由原分数到新分数的分母．．．．．．．．．．．．(．分子．．)．增加或减少了几。．．．．．．．． 六、找最大公因数 1. 几个数相同的因数,叫作这几个数的公因数;其中最大的一 个叫作它们的最大公因数。 2. 求两个数的公因数和最大公因数的方法:先分别找出两个 数各自所有的因数,再从中找出两个数的公因数,其中最大的一个 就是这两个数的最大公因数。 3. 短除法。 用 18和 27的最小质因数 3去除这两个数,看这两个数的商是 不是只有公因数1,若不是再接着往下除,一直除到商只有公因数1 为止,然后把除数相乘,所得的积就是这两个数的最大公因数。 七、约分 1. 把一个分数的分子、分母同时除以它们的公因数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．,．分数的．．． 值不变．．．,．这个过程叫作约分。．．．．．．．．． 2. 分子、分母只含有公因数 1的分数,叫作最简分数。 3. 约分的方法:(1)逐次约分法,用分子和分母的公因数逐次 去除分子和分母,直到得出一个最简分数。(2)一次约分法,用分子 和分母的最大公因数去除分子和分母。 4. 书写格式:3248=322483 =23 八、找最小公倍数 1. 几个数公有的倍数,叫作这几个数的公倍数。其中最小的 的基本性质时,一定要注 意分子、分母必须同时乘 或除以一个不为零的数。 易错题:34的分子加 上 3,分母加上(3),分数的 大小不变。 错因分析:分子和分 母同时乘或除以一个不 为零的数,分数的大小才 不变。分子和分母同时加 上一个数,分数的大小发 生了变化。分子 3加上 3 等于扩大到原来的 2 倍, 所以分母也要扩大到原 来的 2倍,即加上 4。 答案:4 拓展提高:1. 用短除 法求两个数的最大公因 数,先用这两个数的最小 质因数去除这两个数,然 后看两个数的商是不是 只有公因数 1,若不是就 继续除,一直除到商只有 公因数 1为止。除数的积 就是这两个数的最大公 因数。2. 两个数只有公 因数 1,那么这两个数的 最大公因数是 1。3. 相邻 两个自然数的最大公因 数是 1。4. 如果较大数是 较小数的倍数,那么较小 的数是这两个数的最大 公因数。 易错点:注意分母不 能为 0。 易错题:判断:分子和 分母是两个相邻的自然 数的分数一定是最简分 数。 (√) 错因分析:没有注意 0也是自然数。 第9页 一个,叫作它们的最小公倍数。 2. 求两个数的最小公倍数的方法:先分别写出两个数各自的 倍数,再从中找出它们的公倍数和最小公倍数。 3. 当较大数是较小数的倍数时,这两个数的最小公倍数就是 较大数。 4. 当两个数只有公因数 1时,最小公倍数是这两个数的积。 5. 用短除法求两个数的最小公倍数:除数和商相乘的积就是 这两个数的最小公倍数。 九、分数的大小 1. 异分母分数比较大小的方法:把异分母的分数化成同分母 的分数,再比较大小。 2. 通分的含义:把分母不相同的分数化成和原来分数相等,并 且分母相同的分数,这个过程叫作通分。 3. 通分的方法:通分时用原来几个分数的分母的最小公倍数 作分母,再把每个分数都化成用这个最小公倍数作分母的分数。 4. 比较分数的大小,可以画图比较,也可以通分比较。 答案:✕ 重点提示:计算结果 一般都要化成最简分数。 重点提示: 1. 求两个数的公倍 数,只要先求出这两个数 的最小公倍数,再用最小 公倍数分别乘 2,3,4,5,… 就能得到其他的公倍数。 2. 两个数的公倍数有无 数个,没有最大的公倍数, 只有一个最小公倍数。 重点提示:1. 约分和通分 都是根据分数的基本性 质来运算的。2. 把三个 分数通分,先找出其中两 个分母的最小公倍数,再 找出这个最小公倍数与 另一个分母的最小公倍 数,得到的最小公倍数为 三个分母的最小公倍数, 最后用三个分母的最小 公倍数作分母进行通分。 六 组合图形的面积 一、组合图形的面积 1. 组合图形的意义:几个简单的图形,通过不同的方式组合而 成的图形。 2. 求组合图形的面积的方法:分割法,添补法、割补法。 (1)分割法:将组合图形分割成已经学过的基本图形,分别计算 出所分割的图形的面积,再相加。 (2)添补法:通过添补将组合图形化成所学过的基本图形,然后 减去所添图形的面积,即得组合图形的面积。 (3)割补法:将组合图形的某一部分割下来,补在具有相同边长 的部分重新组合成所学过的基本图形(面积不变),再计算。 二、估算与计算不规则图形的面积 1. 数方格:数方格时,把大于半格的按 1 格来算,小于半格的 不算。 重点提示: 通过分割、添补、割 补,把组合图形转化为简 单的已经学过的基本图 形,再进行计算。 易错题: 求图中的空白处的 面积。 第10页 2. 把原图形近似看作某个基本图形,用方格纸量出计算基本 图形面积的条件,算出面积。 三、公顷、平方千米 1. 公顷是测量和计算土地面积常用的单位,边长是 100 米的 正方形土地,它的面积是 1公顷,即 1公顷=10000 平方米。 2. 平方米和公顷之间的换算方法:平方米换算成公顷时,把小 数点向左移动四位。公顷换算成平方米时,把小数点向右移动四 位。 3. 平方千米是比公顷还大的面积单位。边长是 1000 米的正 方形,它的面积是 1 平方千米。 1 km2=100 公顷 1 km2=1000000 m2 18×18‐2×18×2=252 错因分析:做题时容 易忽略中间的重叠部分 的面积。 案:18×18‐2×18×2+2× 2=256 易混点: 高级单位转化成低 级单位,要乘进率;低级单 位转化成高级单位,要除 以进率。 数 学 好 玩 一、设计秋游方案 1. 设计秋游方案前应做哪些准备工作。 (1)秋游的时间、地点和人员。 (2)乘坐的交通工具,及路上所用的时间。 (3)景点门票的价格。 (4)景点开放的时间,预计每个景点的参观时间。 (5)设计参观路线。 (6)明确参观中的注意事项。 2. 动手设计。 (1)展示收集的资料。 ①景点的相关信息:门票的价格,开放的时间。 ②交通费用:乘坐的车型及价格。 ③景点内的参观路线。 (2)根据收集整理的数据和信息,设计秋游方案。 3. 展示各种设计方案并交流反思。 (1)比较各小组展示的方案,评价优劣。 (2)根据评价结果,选出合理的设计方案,并综合其他方案的优 点,补充完善。 4. 交流设计方案的体会。 (1)学到了哪些知识。 (2)提高了哪些方面的能力。 重点提示: 通过讨论交流找出设计 方案的优点和缺点,提高 了应用计算、统计等数 学知识及举例、排除等 数学方法解决问题的能 力 重点提示: 用小棒摆三角形的 规 律 是 小 棒 数 量 第11页 (3)在活动中怎样把学过的知识运用到实践中去。 (4)在今后的学习中,应该注意什么。 5. 自我评价。 结合自己在活动中所做的各项工作,评价自己在各项工作中 的表现。 二、图形中的规律 活动一: 1. 活动准备:以小组为单位,准备所需摆三角形用的小棒。 2. 实际操作:用小棒按教材中的样子摆出三角形。组长记录所 用小棒的数量。 3. 观察记录数据,发现规律。 (1)规律一:发现摆一个三角形需要 3 根小棒,以后每多摆一个 三角形就需要增加 2 根小棒,即所需小棒的数量:3+(三角形个数 ‐1)×2。如果摆．．．n．个三角形就需要．．．．．．．3+2．．．(．n．‐1．．)．=2．．n．+1．．根小棒．．．。． 三角形个数 小棒根数 1 3 2 5=3+2 3 7=3+2×2 4 9=3+2×3 … … (2)规律二:从记录的数据还会发现,摆 2 个三角形需要小 棒的数量比单独摆 2 个三角形需要的小棒数量少 1根,摆 3个少 2 根,摆 4个少 3根……摆 n个三角形比单独摆 n个三角形需要小棒的 数 量 少 (n‐1) 根 , 所 以 摆 n 个 三 角 形 需 要 的 小 棒 数 量 是 3n‐(n‐1)=2n+1。 三角形个数 小棒根数 1 3 2 5=3×2‐1 3 7=3×3‐2 4 9=4×3‐3 … … (3)规律三:从数据中还发现,把三角形的一条边看作基准 边,摆 1个三角形可以看作在基准边上再添 2根小棒,所以摆 1个三 角形用(1+2)根,摆 2 个三角形用(1+2+2)根,可以写成 1+2×2,摆 3 个 三角形用(1+2+2+2)根,可以写成 1+2×3……摆 n 个三角形用(1+2n) 根,也可以写成(2n+1)根。 活动二:点阵中的规律。 1. 观察每个点阵中点的个数,发现规律。 (1)通过观察可以发现,随着点阵的变化,点阵中的点数也发生 变化。第一个点阵中有 1 个点,第二个点阵中有 2×2=4(个)点;第三 个点阵中有 3×3=9(个)点,由此推出第 n 个点阵中有 n×n=n2(个)点。 (2)第一个点阵中有 1 个点;第二个点阵有 2 行,每行 2 个点;第 三个点阵有 3行,每行 3个点;由此可知第 n个点阵有 n行,每行有 n 个点(n 为非 0 自然数)。 2. 从不同角度观察,发现点阵的规律。 (1)对照观察前后点阵中点数的变化,第一个点阵中有 1 个点, =2n+1(n 表示三角形的 个数)。 重点提示: 第 n 个点阵中有 n×n=n2(个)点。 重点提示: 估计数量可能的范 围,在列举中调整鸡和兔 的数量,以减少列举的次 数。 还可以用假设的方 法解决鸡兔同笼的问 题。 第12页 第二个点阵比第一个点阵多 3个点,第三个点阵比第二个点阵多 5 个点,第四个点阵比第三个点阵多7个点……由此得出第n个点阵中 含有的点数是从 1开始的 n 个连续奇数的和(n 为非零自然数)。 (2)对照观察前后点阵中点数的变化,第一个点阵有 1 个点,第 二个点阵有 1+2+1=4(个)点,第三个点阵有 1+2+3+2+1=9(个)点,第四 个点阵有 1+2+3+4+3+2+1=16(个)点。由此得知第 n 个点阵中含有 的点数是从 1开始到 n 及从 n‐1 开始到 1的连续自然数的和。 三、尝试与猜测 1.解决鸡兔同笼问题的方法: (1)逐一列举法:按一定的顺序,从假设 1只鸡开始,逐一列举,直 到找出答案。 (2)取中列举,从各取一半开始列表,根据实际情况确定列举的 方向,尽量缩小列举范围。 七 可 能 性 一、谁先走 1. 等可能性和游戏规则的公平性。 (1)等可能性的意义: 像抛硬币那样,正面朝上和反面朝上的可能性相等,即事件发 生的可能性相等,就是等可能性。 (2)游戏规则的公平性: 在设计游戏规则时,事件发生的可能性相等,游戏规则就公平, 否则就不公平。 2. 体验游戏规则的公平性,可能性大小不相等,游戏规则就不 公平;只有每种情况出现的可能性相等,游戏规则才公平。 3. 当遇到不能确定游戏规则的公平性时,可以通过实验,收集 数据,用数据来说明游戏规则是否公平。 二、摸球游戏 1. 根据可能性的大小推测物体数量的多少。 通过摸出红球或黄球的可能性的大小,即摸出红球或黄球次 数的多少,判断哪种颜色的球多,哪种颜色的球少。 2. 事件发生的可能性的大小能反映出物体数量的多少,可能 性越大,对应的物体数量就越多,可能性越小,对应的物体数量就越 少。 重点提示: 游戏规则的公平性 是建立在事件发生的可 能性相等的基础上的,事 件发生的可能性相等,则 游戏规则公平;可能性不 相等,则游戏规则不公 平。 可以用列举的方法, 列举出现每种情况的可 能性,再比较可能性的大 小,来判断游戏规则的公 平性。 难点点拨: 随机现象虽然对于 个别实验来说无法预知 其结果,但在相同条件下 进行大量重复试验,又会 呈现出一种规律,我们称 为随机现象的统计规律。 如果试验的次数太少,事 件存在随机性,即预测的 准确性就差;增加试验次 数,预测的准确性就会提 高。 第13页