2018年山东省德州市中考数学试卷

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文档介绍

2018年山东省德州市中考数学试卷

‎2018年山东省德州市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得4分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。‎ ‎1.(4.00分)3的相反数是(  )‎ A.3 B. C.﹣3 D.﹣‎ ‎2.(4.00分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.(4.00分)一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化,1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离,即1.496亿km,用科学记数法表示1.496亿是(  )‎ A.1.496×107 B.14.96×108 C.0.1496×108 D.1.496×108‎ ‎4.(4.00分)下列运算正确的是(  )‎ A.a3•a2=a6 B.(﹣a2)3=a6 C.a7÷a5=a2 D.﹣2mn﹣mn=﹣mn ‎5.(4.00分)已知一组数据:6,2,8,x,7,它们的平均数是6,则这组数据的中位数是(  )‎ A.7 B.6 C.5 D.4‎ ‎6.(4.00分)如图,将一副三角尺按不同的位置摆放,下列方式中∠α与∠β互余的是(  )‎ A.图① B.图② C.图③ D.图④‎ ‎7.(4.00分)如图,函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.(4.00分)分式方程﹣1=的解为(  )‎ A.x=1 B.x=2 C.x=﹣1 D.无解 ‎9.(4.00分)如图,从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为(  )‎ A.2 B. C.πm2 D.2πm2‎ ‎10.(4.00分)给出下列函数:①y=﹣3x+2;②y=;③y=2x2;④y=3x,上述函数中符合条作“当x>1时,函数值y随自变量x增大而增大“的是(  )‎ A.①③ B.③④ C.②④ D.②③‎ ‎11.(4.00分)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用如图的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角”‎ 根据”杨辉三角”请计算(a+b)8的展开式中从左起第四项的系数为(  )‎ A.84 B.56 C.35 D.28‎ ‎12.(4.00分)如图,等边三角形ABC的边长为4,点O是△ABC的中心,∠FOG=120°,绕点O旋转∠FOG,分别交线段AB、BC于D、E两点,连接DE,给出下列四个结论:①OD=OE;②S△ODE=S△BDE;③四边形ODBE的面积始终等于;④△BDE周长的最小值为6.上述结论中正确的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共6小题,共24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分。‎ ‎13.(4.00分)计算:|﹣2+3|=   .‎ ‎14.(4.00分)若x1,x2是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根,则x1+x2+x1x2=   .‎ ‎15.(4.00分)如图,OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的距离为   .‎ ‎16.(4.00分)如图,在4×4的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上,则∠BAC的正弦值是   .‎ ‎17.(4.00分)对于实数a,b,定义运算“◆”:a◆b=,例如4◆3,因为4>3.所以4◆3==5.若x,y满足方程组,则x◆y=   .‎ ‎18.(4.00分)如图,反比例函数y=与一次函数y=x﹣2在第三象限交于点A,点B的坐标为(﹣3,0),点P是y轴左侧的一点,若以A,O,B,P为顶点的四边形为平行四边形,则点P的坐标为   .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共7小题,共78分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎19.(8.00分)先化简,再求值÷﹣(+1),其中x是不等式组的整数解.‎ ‎20.(10.00分)某学校为了解全校学生对电视节目的喜爱情况(新闻,体育,动画,娱乐,戏曲),从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图.‎ 请根据以上信息,解答下列问题:‎ ‎(1)这次被调查的学生共有多少人?‎ ‎(2)请将条形统计图补充完整;‎ ‎(3)若该校约有1500名学生,估计全校学生中喜欢娱乐节目的有多少人?‎ ‎(4)该校广播站需要广播员,现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答).‎ ‎21.(10.00分)如图,两座建筑物的水平距离BC为60m,从C点测得A点的仰角α为53°,从A点测得D点的俯角β为37°,求两座建筑物的高度(参考数据:sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈,sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈).‎ ‎22.(12.00分)如图,AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,且与AB的延长线交于点E,点C是的中点.‎ ‎(1)求证:AD⊥CD;‎ ‎(2)若∠CAD=30°,⊙O的半径为3,一只蚂蚁从点B出发,沿着BE﹣EC﹣爬回至点B,求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14,≈1.73,结果保留一位小数).‎ ‎23.(12.00分)为积极响应新旧动能转换,提高公司经济效益,某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价x(单位:万元)成一次函数关系.‎ ‎(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式;‎ ‎(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润,则该设备的销售单价应是多少万元?‎ ‎24.(12.00分)再读教材:‎ 宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑,为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计,下面,我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示:MN=2)‎ 第一步,在矩形纸片一端,利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.‎ 第二步,如图②,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.‎ 第三步,折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图①中所示的AD处.‎ 第四步,展平纸片,按照所得的点D折出DE,使DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形.‎ 问题解决:‎ ‎(1)图③中AB=   (保留根号);‎ ‎(2)如图③,判断四边形BADQ的形状,并说明理由;‎ ‎(3)请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.‎ 实际操作 ‎(4)结合图④,请在矩形BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.‎ ‎25.(14.00分)如图1,在平面直角坐标系中,直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点,其中A(m,0)、B(4,n),该抛物线与y轴交于点C,与x轴交于另一点D.‎ ‎(1)求m、n的值及该抛物线的解析式;‎ ‎(2)如图2,若点P为线段AD上的一动点(不与A、D重合),分别以AP、DP为斜边,在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN,连接MN,试确定△MPN面积最大时P点的坐标;‎ ‎(3)如图3,连接BD、CD,在线段CD上是否存在点Q,使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2018年山东省德州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得4分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。‎ ‎1.(4.00分)3的相反数是(  )‎ A.3 B. C.﹣3 D.﹣‎ ‎【分析】根据相反数的定义,即可解答.‎ ‎【解答】解:3的相反数是﹣3,故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.(4.00分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】观察四个选项中的图形,找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论.‎ ‎【解答】解:A是中心对称图形;B既是轴对称图形又是中心对称图形;C是轴对称图形;D既不是轴对称图形又不是中心对称图形.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.(4.00分)一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化,1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离,即1.496亿km,用科学记数法表示1.496亿是(  )‎ A.1.496×107 B.14.96×108 C.0.1496×108 D.1.496×108‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<‎ ‎1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:数据1.496亿用科学记数法表示为1.496×108,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎4.(4.00分)下列运算正确的是(  )‎ A.a3•a2=a6 B.(﹣a2)3=a6 C.a7÷a5=a2 D.﹣2mn﹣mn=﹣mn ‎【分析】根据同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加;幂的乘方法则:底数不变,指数相乘;同底数幂的除法法则:底数不变,指数相减;合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变分别进行计算即可.‎ ‎【解答】解:A、a3•a2=a5,故原题计算错误;‎ B、(﹣a2)3=﹣a6,故原题计算错误;‎ C、a7÷a5=a2,故原题计算正确;‎ D、﹣2mn﹣mn=﹣3mn,故原题计算错误;‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎5.(4.00分)已知一组数据:6,2,8,x,7,它们的平均数是6,则这组数据的中位数是(  )‎ A.7 B.6 C.5 D.4‎ ‎【分析】首先根据平均数为6求出x的值,然后根据中位数的概念求解.‎ ‎【解答】解:由题意得6+2+8+x+7=6×5,‎ 解得:x=7,‎ 这组数据按照从小到大的顺序排列为:2,6,7,7,8,‎ 则中位数为7.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.(4.00分)如图,将一副三角尺按不同的位置摆放,下列方式中∠α与∠β互余的是(  )‎ A.图① B.图② C.图③ D.图④‎ ‎【分析】根据平角的定义,同角的余角相等,等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解.‎ ‎【解答】解:图①,∠α+∠β=180°﹣90°,互余;‎ 图②,根据同角的余角相等,∠α=∠β;‎ 图③,根据等角的补角相等∠α=∠β;‎ 图④,∠α+∠β=180°,互补.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.(4.00分)如图,函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号,再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误即可.‎ ‎【解答】解:A、由一次函数y=ax﹣a的图象可得:a<0,此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下,故选项错误;‎ B、由一次函数y=ax﹣a的图象可得:a>0,此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=﹣>0,故选项正确;‎ C、由一次函数y=ax﹣a的图象可得:a>0,此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=﹣>0,和x轴的正半轴相交,故选项错误;‎ D、由一次函数y=ax﹣a的图象可得:a>0,此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上,故选项错误.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.(4.00分)分式方程﹣1=的解为(  )‎ A.x=1 B.x=2 C.x=﹣1 D.无解 ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.‎ ‎【解答】解:去分母得:x2+2x﹣x2﹣x+2=3,‎ 解得:x=1,‎ 经检验x=1是增根,分式方程无解.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.(4.00分)如图,从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为(  )‎ A.2 B. C.πm2 D.2πm2‎ ‎【分析】连接AC,根据圆周角定理得出AC为圆的直径,解直角三角形求出AB,根据扇形面积公式求出即可.‎ ‎【解答】解:‎ 连接AC,‎ ‎∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,即∠ABC=90°,‎ ‎∴AC为直径,即AC=2m,AB=BC,‎ ‎∵AB2+BC2=22,‎ ‎∴AB=BC=m,‎ ‎∴阴影部分的面积是=(m2),‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎10.(4.00分)给出下列函数:①y=﹣3x+2;②y=;③y=2x2;④y=3x,上述函数中符合条作“当x>1时,函数值y随自变量x增大而增大“的是(  )‎ A.①③ B.③④ C.②④ D.②③‎ ‎【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案.‎ ‎【解答】解:①y=﹣3x+2,当x>1时,函数值y随自变量x增大而减小,故此选项错误;‎ ‎②y=,当x>1时,函数值y随自变量x增大而减小,故此选项错误;‎ ‎③y=2x2,当x>1时,函数值y随自变量x增大而减小,故此选项正确;‎ ‎④y=3x,当x>1时,函数值y随自变量x增大而减小,故此选项正确;‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎11.(4.00分)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用如图的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角”‎ 根据”杨辉三角”请计算(a+b)8的展开式中从左起第四项的系数为(  )‎ A.84 B.56 C.35 D.28‎ ‎【分析】根据图形中的规律即可求出(a+b)8的展开式中从左起第四项的系数.‎ ‎【解答】解:找规律发现(a+b)4的第四项系数为4=3+1;‎ ‎(a+b)5的第四项系数为10=6+4;‎ ‎(a+b)6的第四项系数为20=10+10;‎ ‎(a+b)7的第四项系数为35=15+20;‎ ‎∴(a+b)8第四项系数为21+35=56.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎12.(4.00分)如图,等边三角形ABC的边长为4,点O是△ABC的中心,∠FOG=120°,绕点O旋转∠FOG,分别交线段AB、BC于D、E两点,连接DE,给出下列四个结论:①OD=OE;②S△ODE=S△BDE;③四边形ODBE的面积始终等于;④△BDE周长的最小值为6.上述结论中正确的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【分析】连接OB、OC,如图,利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠‎ OCB=30°,再证明∠BOD=∠COE,于是可判断△BOD≌△COE,所以BD=CE,OD=OE,则可对①进行判断;利用S△BOD=S△COE得到四边形ODBE的面积=S△ABC=,则可对③进行判断;作OH⊥DE,如图,则DH=EH,计算出S△ODE=OE2,利用S△ODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断;由于△BDE的周长=BC+DE=4+DE=4+OE,根据垂线段最短,当OE⊥BC时,OE最小,△BDE的周长最小,计算出此时OE的长则可对④进行判断.‎ ‎【解答】解:连接OB、OC,如图,‎ ‎∵△ABC为等边三角形,‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=60°,‎ ‎∵点O是△ABC的中心,‎ ‎∴OB=OC,OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,‎ ‎∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°‎ ‎∴∠BOC=120°,即∠BOE+∠COE=120°,‎ 而∠DOE=120°,即∠BOE+∠BOD=120°,‎ ‎∴∠BOD=∠COE,‎ 在△BOD和△COE中 ‎,‎ ‎∴△BOD≌△COE,‎ ‎∴BD=CE,OD=OE,所以①正确;‎ ‎∴S△BOD=S△COE,‎ ‎∴四边形ODBE的面积=S△OBC=S△ABC=××42=,所以③正确;‎ 作OH⊥DE,如图,则DH=EH,‎ ‎∵∠DOE=120°,‎ ‎∴∠ODE=∠OEH=30°,‎ ‎∴OH=OE,HE=OH=OE,‎ ‎∴DE=OE,‎ ‎∴S△ODE=•OE•OE=OE2,‎ 即S△ODE随OE的变化而变化,‎ 而四边形ODBE的面积为定值,‎ ‎∴S△ODE≠S△BDE;所以②错误;‎ ‎∵BD=CE,‎ ‎∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+OE,‎ 当OE⊥BC时,OE最小,△BDE的周长最小,此时OE=,‎ ‎∴△BDE周长的最小值=4+2=6,所以④正确.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共6小题,共24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分。‎ ‎13.(4.00分)计算:|﹣2+3|= 1 .‎ ‎【分析】根据有理数的加法解答即可.‎ ‎【解答】解:|﹣2+3|=1,‎ 故答案为:1‎ ‎ ‎ ‎14.(4.00分)若x1,x2是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根,则x1+x2+x1x2= ﹣3 .‎ ‎【分析】根据根与系数的关系即可求出答案.‎ ‎【解答】解:由根与系数的关系可知:x1+x2=﹣1,x1x2=﹣2‎ ‎∴x1+x2+x1x2=﹣3‎ 故答案为:﹣3‎ ‎ ‎ ‎15.(4.00分)如图,OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的距离为 3 .‎ ‎【分析】过C作CF⊥AO,根据勾股定理可得CM的长,再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM,进而可得答案.‎ ‎【解答】解:过C作CF⊥AO,‎ ‎∵OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,‎ ‎∴CM=CF,‎ ‎∵OC=5,OM=4,‎ ‎∴CM=3,‎ ‎∴CF=3,‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎16.(4.00分)如图,在4×4的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上,则∠BAC的正弦值是  .‎ ‎【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状,再由锐角三角函数的定义即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵AB2=32+42=25、AC2=22+42=20、BC2=12+22=5,‎ ‎∴AC2+BC2=AB2,‎ ‎∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°,‎ 则sin∠BAC==,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎17.(4.00分)对于实数a,b,定义运算“◆”:a◆b=,例如4◆3,因为4>3.所以4◆3==5.若x,y满足方程组,则x◆y= 60 .‎ ‎【分析】根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案.‎ ‎【解答】解:由题意可知:,‎ 解得:‎ ‎∵x<y,‎ ‎∴原式=5×12=60‎ 故答案为:60‎ ‎ ‎ ‎18.(4.00分)如图,反比例函数y=与一次函数y=x﹣2在第三象限交于点A,点B的坐标为(﹣3,0),点P是y轴左侧的一点,若以A,O,B,P为顶点的四边形为平行四边形,则点P的坐标为 (﹣4,﹣3),(﹣2,3) .‎ ‎【分析】联立直线和反比例函数解析式可求出A点的坐标,再分以AB为对角线、以OA为对角线和以OB为对角线三种情况,利用平行四边形的性质可分别求得满足条件的P点的坐标.‎ ‎【解答】解:由题意得,解得或,‎ ‎∵反比例函数y=与一次函数y=x﹣2在第三象限交于点A,‎ ‎∴A(﹣1,﹣3).‎ 当以AB为对角线时,AB的中点坐标M为(﹣2,﹣1.5),‎ ‎∵平行四边形的对角线互相平分,‎ ‎∴M为OP中点,‎ 设P点坐标为(x,y),‎ 则=﹣2,=﹣1.5,‎ 解得x=﹣4,y=﹣3,‎ ‎∴P(﹣4,﹣3).‎ 当OB为对角线时,‎ 由O、B坐标可求得OB的中点坐标M(﹣,0),设P点坐标为(x,y),‎ 由平行四边形的性质可知M为AP的中点,‎ 结合中点坐标公式可得=﹣,=0,解得x=﹣2,y=3,‎ ‎∴P(﹣2,3);‎ 当以OA为对角线时,‎ 由O、A坐标可求得OA的中点坐标M(﹣,﹣),设P点坐标为(x,y),‎ 由平行四边形的性质可知M为BP中点,‎ 结合中点坐标公式可得=﹣,=﹣,解得x=2,y=﹣3,‎ ‎∴P(2,﹣3)(舍去).‎ 综上所述,P点的坐标为(﹣4,﹣3),(﹣2,3).‎ 故答案为:(﹣4,﹣3),(﹣2,3).‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共7小题,共78分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎19.(8.00分)先化简,再求值÷﹣(+1),其中x是不等式组的整数解.‎ ‎【分析】原式利用除法法则变形,约分后计算得到最简结果,求出x的值,代入计算即可求出值.‎ ‎【解答】解:原式=•﹣=﹣=,‎ 不等式组解得:3<x<5,即整数解x=4,‎ 则原式=.‎ ‎ ‎ ‎20.(10.00分)某学校为了解全校学生对电视节目的喜爱情况(新闻,体育,动画,娱乐,戏曲),从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图.‎ 请根据以上信息,解答下列问题:‎ ‎(1)这次被调查的学生共有多少人?‎ ‎(2)请将条形统计图补充完整;‎ ‎(3)若该校约有1500名学生,估计全校学生中喜欢娱乐节目的有多少人?‎ ‎(4)该校广播站需要广播员,现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答).‎ ‎【分析】(1)根据动画类人数及其百分比求得总人数;‎ ‎(2)总人数减去其他类型人数可得体育类人数,据此补全图形即可;‎ ‎(3)用样本估计总体的思想解决问题;‎ ‎(4)根据题意先画出列表,得出所有情况数,再根据概率公式即可得出答案.‎ ‎【解答】解:(1)这次被调查的学生人数为15÷30%=50人;‎ ‎(2)喜爱“体育”的人数为50﹣(4+15+18+3)=10人,‎ 补全图形如下:‎ ‎(3)估计全校学生中喜欢娱乐节目的有1500×=540人;‎ ‎(4)列表如下:‎ 甲 乙 丙 丁 甲 ‎﹣﹣﹣‎ ‎(乙,甲)‎ ‎(丙,甲)‎ ‎(丁,甲)‎ 乙 ‎(甲,乙)‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎(丙,乙)‎ ‎(丁,乙)‎ 丙 ‎(甲,丙)‎ ‎(乙,丙)‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎(丁,丙)‎ 丁 ‎(甲,丁)‎ ‎(乙,丁)‎ ‎(丙,丁)‎ ‎﹣﹣﹣‎ 所有等可能的结果为12种,恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果,‎ 所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为=.‎ ‎ ‎ ‎21.(10.00分)如图,两座建筑物的水平距离BC为60m,从C点测得A点的仰角α为53°,从A点测得D点的俯角β为37°,求两座建筑物的高度(参考数据:sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈,sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈).‎ ‎【分析】过点D作DE⊥AB于于E,则DE=BC=60m,在Rt△ABC中,求出AB,在Rt△ADE中求出AE即可解决问题;‎ ‎【解答】解:过点D作DE⊥AB于于E,则DE=BC=60m,‎ 在Rt△ABC中,tan53°=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AB=80(m),‎ 在Rt△ADE中,tan37°=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AE=45(m),‎ ‎∴BE=CD=AB﹣AE=35(m),‎ 答:两座建筑物的高度分别为80m和35m.‎ ‎ ‎ ‎22.(12.00分)如图,AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,且与AB的延长线交于点E,点C是的中点.‎ ‎(1)求证:AD⊥CD;‎ ‎(2)若∠CAD=30°,⊙O的半径为3,一只蚂蚁从点B出发,沿着BE﹣EC﹣爬回至点B,求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14,≈1.73,结果保留一位小数).‎ ‎【分析】(1)连接OC,根据切线的性质得到OC⊥CD,证明OC∥AD,根据平行线的性质证明;‎ ‎(2)根据圆周角定理得到∠COE=60°,根据勾股定理、弧长公式计算即可.‎ ‎【解答】(1)证明:连接OC,‎ ‎∵直线CD与⊙O相切,‎ ‎∴OC⊥CD,‎ ‎∵点C是的中点,‎ ‎∴∠DAC=∠EAC,‎ ‎∵OA=OC,‎ ‎∴∠OCA=∠EAC,‎ ‎∴∠DAC=∠OCA,‎ ‎∴OC∥AD,‎ ‎∴AD⊥CD;‎ ‎(2)解:∵∠CAD=30°,‎ ‎∴∠CAE=∠CAD=30°,‎ 由圆周角定理得,∠COE=60°,‎ ‎∴OE=2OC=6,EC=OC=3,==π,‎ ‎∴蚂蚁爬过的路程=3+3+π≈11.3.‎ ‎ ‎ ‎23.(12.00分)为积极响应新旧动能转换,提高公司经济效益,某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价x(单位:万元)成一次函数关系.‎ ‎(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式;‎ ‎(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润,则该设备的销售单价应是多少万元?‎ ‎【分析】(1)根据点的坐标,利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式;‎ ‎(2)设此设备的销售单价为x万元/台,则每台设备的利润为(x﹣30)万元,销售数量为(﹣10x+1000)台,根据总利润=单台利润×销售数量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其小于70的值即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),‎ 将(40,600)、(45,550)代入y=kx+b,得:‎ ‎,解得:,‎ ‎∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000.‎ ‎(2)设此设备的销售单价为x万元/台,则每台设备的利润为(x﹣30)万元,销售数量为(﹣10x+1000)台,‎ 根据题意得:(x﹣30)(﹣10x+1000)=10000,‎ 整理,得:x2﹣130x+4000=0,‎ 解得:x1=50,x2=80.‎ ‎∵此设备的销售单价不得高于70万元,‎ ‎∴x=50.‎ 答:该设备的销售单价应是50万元/台.‎ ‎ ‎ ‎24.(12.00分)再读教材:‎ 宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑,为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计,下面,我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示:MN=2)‎ 第一步,在矩形纸片一端,利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.‎ 第二步,如图②,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.‎ 第三步,折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图①中所示的AD处.‎ 第四步,展平纸片,按照所得的点D折出DE,使DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形.‎ 问题解决:‎ ‎(1)图③中AB=  (保留根号);‎ ‎(2)如图③,判断四边形BADQ的形状,并说明理由;‎ ‎(3)请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.‎ 实际操作 ‎(4)结合图④,请在矩形BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.‎ ‎【分析】(1)理由勾股定理计算即可;‎ ‎(2)根据菱形的判定方法即可判断;‎ ‎(3)根据黄金矩形的定义即可判断;‎ ‎(4)如图④﹣1中,在矩形BCDE上添加线段GH,使得四边形GCDH为正方形,此时四边形BGHE为所求是黄金矩形;‎ ‎【解答】解:(1)如图3中,在Rt△ABC中,AB===,‎ 故答案为.‎ ‎(2)结论:四边形BADQ是菱形.‎ 理由:如图③中,‎ ‎∵四边形ACBF是矩形,‎ ‎∴BQ∥AD,‎ ‎∵AB∥DQ,‎ ‎∴四边形ABQD是平行四边形,‎ 由翻折可知:AB=AD,‎ ‎∴四边形ABQD是菱形.‎ ‎(3)如图④中,黄金矩形有矩形BCDE,矩形MNDE.‎ ‎∵AD=.AN=AC=1,‎ CD=AD﹣AC=﹣1,‎ ‎∵BC=2,‎ ‎∴=,‎ ‎∴矩形BCDE是黄金矩形.‎ ‎∵==,‎ ‎∴矩形MNDE是黄金矩形.‎ ‎(4)如图④﹣1中,在矩形BCDE上添加线段GH,使得四边形GCDH为正方形,此时四边形BGHE为所求是黄金矩形.‎ 长GH=﹣1,宽HE=3﹣.‎ ‎ ‎ ‎25.(14.00分)如图1,在平面直角坐标系中,直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点,其中A(m,0)、B(4,n),该抛物线与y轴交于点C,与x轴交于另一点D.‎ ‎(1)求m、n的值及该抛物线的解析式;‎ ‎(2)如图2,若点P为线段AD上的一动点(不与A、D重合),分别以AP、DP为斜边,在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN,连接MN,试确定△MPN面积最大时P点的坐标;‎ ‎(3)如图3,连接BD、CD,在线段CD上是否存在点Q,使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【分析】(1)把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值,确定出A与B坐标,代入二次函数解析式求出b与c的值即可;‎ ‎(2)由等腰直角△APM和等腰直角△DPN,得到∠MPN为直角,由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN面积,利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可;‎ ‎(3)存在,分两种情况,根据相似得比例,求出AQ的长,利用两点间的距离公式求出Q坐标即可.‎ ‎【解答】解:(1)把A(m,0),B(4,n)代入y=x﹣1得:m=1,n=3,‎ ‎∴A(1,0),B(4,3),‎ ‎∵y=﹣x2+bx+c经过点A与点B,‎ ‎∴,‎ 解得:,‎ 则二次函数解析式为y=﹣x2+6x﹣5;‎ ‎(2)如图2,△APM与△DPN都为等腰直角三角形,‎ ‎∴∠APM=∠DPN=45°,‎ ‎∴∠MPN=90°,‎ ‎∴△MPN为直角三角形,‎ 令﹣x2+6x﹣5=0,得到x=1或x=5,‎ ‎∴D(5,0),即DP=5﹣1=4,‎ 设AP=m,则有DP=4﹣m,‎ ‎∴PM=m,PN=(4﹣m),‎ ‎∴S△MPN=PM•PN=×m×(4﹣m)=﹣m2﹣m=﹣(m﹣2)2+1,‎ ‎∴当m=2,即AP=2时,S△MPN最大,此时OP=3,即P(3,0);‎ ‎(3)存在,‎ 易得直线CD解析式为y=x﹣5,设Q(x,x﹣5),‎ 由题意得:∠BAD=∠ADC=45°,‎ 当△ABD∽△DAQ时,=,即=,‎ 解得:AQ=,‎ 由两点间的距离公式得:(x﹣1)2+(x﹣5)2=,‎ 解得:x=,此时Q(,﹣);‎ 当△ABD∽△DQA时,=1,即AQ=,‎ ‎∴(x﹣1)2+(x﹣5)2=10,‎ 解得:x=2,此时Q(2,﹣3),‎ 综上,点Q的坐标为(2,﹣3)或(,﹣).‎ ‎ ‎
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