九年级数学下册第24章圆小专题三与切线有关的证明和计算课时作业新版沪科版

九年级数学下册第24章圆小专题三与切线有关的证明和计算课时作业新版沪科版

1 小专题(三)　与切线有关的证明和计算 1.在证明圆的切线问题时,常见的辅助线作法:(1)若所给直线与圆有一个公共点,则连 接圆心与该公共点得半径,证半径与直线垂直,简记为“连半径,证垂直”;(2)若题目未明确 指出直线与圆有公共点,则过圆心作已知直线的垂线段,证明垂线段的长等于半径,简记为 “作垂直,证半径”. 2.遇到有切线的条件,常见辅助线作法:连接过切点的半径,运用切线的性质构造直角三 角形,再应用三角形的知识求解,解题中常用圆周角定理、垂径定理、勾股定理等进行角度或 线段转化,从而化未知为已知,求出未知的角和线段. 类型 1　与切线有关的计算角度问题 1.(常州中考)如图,AB 是☉O 的直径,MN 是☉O 的切线,切点为 N,如果∠MNB=52°,则∠NOA 的 度数为 (A) A.76° B.56° C.54° D.52° 2.(宜昌中考)如图,直线 AB 是☉O 的切线,C 为切点,OD∥AB 交☉O 于点 D,点 E 在☉O 上,连接 OC,EC,ED,则∠CED 的度数为 (D) A.30° B.35° C.40° D.45° 3.直线 AB 与☉O 相切于点 B,C 是☉O 与 OA 的交点,D 是☉O 上的动点(点 D 不与点 B,C 重合), 若∠A=40°,则∠BDC 的度数是 (A) A.25°或 155° B.50°或 155° 2 C.25°或 130° D.50°或 130° 提示:当点 D 在优弧 BC 上时,∠BDC=1 2∠BOC=25°;当点 D 在劣弧 BC 上时,∠ BDC=180°-25°=155°. 4.如图,已知 PA,PB 是☉O 的切线,A,B 为切点,AC 是☉O 的直径,∠P=40°,则∠BAC 的大小是 (D) A.70° B.40° C.50° D.20° 5.已知 A,B,C 是☉O 上的三个点,四边形 OABC 是平行四边形,过点 C 作☉O 的切线,交 AB 的延 长线于点 D. (1)如图 1,求∠ADC 的大小; (2)如图 2,过点 O 作 CD 的平行线,与 AB 交于点 E,与AB交于点 F,连接 AF,求∠FAB 的大小. 解:(1)∵CD 是☉O 的切线,∴∠OCD=90°. ∵四边形 OABC 是平行四边形,∴OC∥AD, ∴∠ADC=180°-∠OCD=180°-90°=90°. (2)连接 OB,由圆的性质知 OA=OB=OC. ∵四边形 OABC 是平行四边形, ∴OC=AB,∴OA=OB=AB,∴△OAB 是等边三角形, ∴∠AOB=60°. ∵OF∥CD,∴OF⊥AD, 由垂径定理,得AF = BF, 3 ∴∠FAB=1 2∠BOF=1 4∠AOB=15°. 类型 2　与切线有关的计算长度问题 6.如图,BC 为半圆 O 的直径,D 为半圆上一点,过点 D 作半圆 O 的切线 AD,作 BA⊥DA 于点 A,BA 交半圆于点 E,已知 BC=10,AD=4,若直线 CE 与以 O 为圆心,r 为半径的圆相切,则 r 等于 (C) A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 7. 如图,☉O 的半径为 2,点 O 到直线 l 的距离为 3,点 P 是直线 l 上的一个动点,PQ 切☉O 于点 Q,则 PQ 的最小值为 (B) A. 3 B. 5 C.3 D.2 8.如图,直线 AB 与☉O 相切于点 A,AC,CD 是☉O 的两条弦,且 CD∥AB,若☉O 的半径为 5,CD=8, 则弦 AC 的长为 (D) A.10 B.8 C.4 3 D.4 5 9. 4 如图,AB=AC=8,∠BAC=90°,直线 l 与以 AB 为直径的☉O 相切于点 B,D 是直线 l 上任意一动 点,连接 DA 交☉O 于点 E. (1)当点 D 在 AB 上方且 BD=6 时,求 AE 的长; (2)当 CE 恰好与☉O 相切时,求 BD 的长. 解:(1)连接 BE.∵AB 为直径,∴∠AEB=90°, ∵BD 为切线,∴AB⊥BD,∴∠ABD=90°, 在 Rt△ABD 中,AD= AB2 + BD2 = 82 + 62=10, ∵1 2BE·AD=1 2AB·BD,∴BE=AB·BD AD = 8 × 6 10 = 24 5 ,在 Rt△ABE 中,AE= AB2 - BE2 = 82 - (24 5 )2 = 32 5 . (2)如图,连接 OC,OE. ∵∠BAC=90°,∴CA 为☉O 的切线, ∵CE 为☉O 的切线,∴CA=CE, ∵OA=OE,∴OC 垂直平分 AE, ∴∠1+∠3=90°, ∵∠1+∠2=90°, ∴∠2=∠3, 5 ∵AB=CA,∠CAO=∠ABD, ∴△ABD≌△CAO, ∴BD=AO=4. 类型 3　与切线有关的证明问题 10.如图,C 为以 AB 为直径的☉O 上一点,AD 和过点 C 的切线互相垂直,垂足为 D. 求证:AC 平分∠BAD. 证明:连接 OC.∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAO, ∵CD 切☉O 于点 C,∴CO⊥CD.又∵AD⊥CD, ∴AD∥CO,∴∠DAC=∠ACO,∴∠DAC=∠CAO,∴AC 平分∠BAD. 11.如图,AD 是△ABC 的高,且 AD=1 2BC,E,F 分别为 AB,AC 的中点,以 EF 为直径作圆 O,试判断 圆 O 与 BC 的位置关系,并说明理由. 解:圆O 与 BC 相切.理由:过点O 作 OP⊥BC,垂足为 P.∵E,F 分别为 AB,AC 的中点,∴EF 为△ABC 的中位线,∴EF=1 2BC,EF∥BC. ∵AD=1 2BC,∴EF=AD.∵OP AD = BE AB = 1 2, ∴OP=1 2AD=1 2EF.∵EF 为圆 O 的直径, ∴OP 为圆 O 的半径,∴圆 O 与 BC 相切. 6 12. 如图,AB,BC,CD 分别与☉O 相切于点 E,F,G,且 AB∥CD,BO=6,CO=8. (1)判断△OBC 的形状,并证明你的结论; (2)求 BC 的长; (3)求☉O 的半径 OF 的长. 解:(1)△OBC 是直角三角形. 证明:∵AB,BC,CD 分别与☉O 相切于点 E,F,G,∴∠OBE=∠OBF=1 2∠EBF,∠OCG=∠OCF=1 2∠GCF, ∵AB∥CD,∴∠EBF+∠GCF=180°,∴∠OBF+∠OCF=90°, ∴∠BOC=90°,∴△OBC 是直角三角形. (2)∵在 Rt△BOC 中,BO=6,CO=8, ∴BC= BO2 + CO2=10. (3)∵BC 与☉O 相切于点 F,∴OF⊥BC, ∵S△OBC=1 2BO·CO=1 2BC·OF, ∴OF=BO·CO BC = 6 × 8 10 =4.8.