中考数学全程复习方略第十三讲二次函数的图象与性质课件

中考数学全程复习方略第十三讲二次函数的图象与性质课件

第十三讲　 二次函数的图象与性质 考点一　二次函数的图象和性质 【 主干必备 】 一、二次函数的概念及其关系式 1. 二次函数的概念 : 形如 ________________(a,b,c 是常 数 ,a≠0) 的函数 .  y=ax 2 +bx+c 2. 二次函数的解析式 : (1) 一般式 :______________________.  (2) 顶点式 :y=a(x-h) 2 +k(a≠0), 其顶点坐标是 ____________.  y=ax 2 +bx+c(a≠0) (h,k) 二、二次函数的图象与性质 函 数 二次函数 y=ax 2 +bx+c (a,b,c 为常数 ,a≠0) 图 象 a>0 a<0 函 数 二次函数 y=ax 2 +bx+c (a,b,c 为常数 ,a≠0) 性 质 抛物线开口向上 抛物线开口向下 对称轴是直线 x=____, 顶点是 ________ 当 x<- 时 ,y 随 x 的增 大而 ___________; 当 x>- 时 ,y 随 x 的增大 而 ___________   当 x<- 时 ,y 随 x 的增 大而 ___________; 当 x>- 时 ,y 随 x 的增大 而 ___________   减小 增大 增大 减小 函 数 二次函数 y=ax 2 +bx+c (a,b,c 为常数 ,a≠0) 性 质 抛物线有最低点 , 当 x=- 时 ,y 有最小 值 ,y 最小值 = 抛物线有最高点 , 当 x=- 时 ,y 有最大值 , y 最大值 = 【 核心突破 】 例 1(2018· 成都中考 ) 关于二次函数 y=2x 2 +4x-1, 下列 说法正确的是 ( 　 　 ) A. 图象与 y 轴的交点坐标为 (0,1) B. 图象的对称轴在 y 轴的右侧 C. 当 x<0 时 ,y 的值随 x 值的增大而减小 D.y 的最小值为 -3 D 【 明 · 技法 】 由二次函数解析式判断性质的方法 1. 由函数顶点式直接确定顶点坐标和对称轴 . 2. 根据开口方向和顶点坐标确定函数的增减性或函数 的最值 . 3. 根据 b 2 -4ac 的符号确定其与 x 轴的交点个数 . 【 题组过关 】 1.(2019· 自贡中考 ) 一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y= 的图象如图所示 , 则二次函数 y=ax 2 +bx+c 的大致图 象是 世纪金榜导学号 ( 　 　 ) A 2.(2019· 兰州中考 ) 已知点 A(1,y 1 ),B(2,y 2 ) 在抛物线 y=-(x+1) 2 +2 上 , 则下列结论正确的是 ( 　 　 ) 世纪金榜导学号 A.2>y 1 >y 2 　　　　 B.2>y 2 >y 1 C.y 1 >y 2 >2 D.y 2 >y 1 >2 A 3.(2019· 安庆桐城市期末 ) 二次函数 y=-x 2 +(8-m)x+12, 当 x>2 时 ,y 随着 x 的增大而减小 ; 当 x<2 时 ,y 随着 x 的增大 而增大 , 则 m 的值为 ( 　 　 ) A.-4 　　　 B.4 　　　 C.6 　　　 D.10 B 4.(2019· 上海静安区一模 ) 抛物线 y=ax 2 +(a-1)(a≠0) 经过原点 , 那么该抛物线在对称轴左侧的部分是 ______ ______ 的 .( 填“上升”或“下降” )  下 降 考点二　二次函数图象的平移 【 核心突破 】 例 2(1)(2019· 济宁中考 ) 将抛物线 y=x 2 -6x+5 向上平移 两个单位长度 , 再向右平移一个单位长度后 , 得到的抛 物线解析式是 ( 　 　 ) A.y=(x-4) 2 -6 　　　　 B.y=(x-1) 2 -3 C.y=(x-2) 2 -2 D.y=(x-4) 2 -2 D (2)(2018· 绍兴中考 ) 若抛物线 y=x 2 +ax+b 与 x 轴两个交 点间的距离为 2, 称此抛物线为定弦抛物线 , 已知某定弦 抛物线的对称轴为直线 x=1, 将此抛物线向左平移 2 个单 位 , 再向下平移 3 个单位 , 得到的抛物线过点 ( 　 　 ) A.(-3,-6) B.(-3,0) C.(-3,-5) D.(-3,-1) B 【 明 · 技法 】 二次函数图象的平移变换 (1) 具体步骤 : 先利用配方法把二次函数化成 y=a(x-h) 2 +k 的形式 , 确定其顶点 (h,k), 然后作出二次函数 y=ax 2 的图象 , 将抛物线 y=ax 2 平移 , 使其顶点平移到 (h,k). 具体平移方法如图所示 : (2) 平移规律 : 在原有函数的基础上“左加右减” . 【 题组过关 】 1.(2019· 绍兴中考 ) 在平面直角坐标系中 , 抛物线 y=(x +5)(x-3) 经变换后得到抛物线 y=(x+3)(x-5), 则这个变 换可以是 ( 　 　 ) A. 向左平移 2 个单位　 B. 向右平移 2 个单位 C. 向左平移 8 个单位 D. 向右平移 8 个单位 B 2.(2019· 台州温岭市期末 ) 把抛物线 y=ax 2 +bx+c 的图 象先向左平移 2 个单位长度 , 再向下平移 3 个单位长度 , 所得的图象的解析式是 y=x 2 +5x+5, 则 a-b+c 的值为 ( 　 　 ) A.2 　 B.4 C.8 　 D.14 A 3.(2019· 广东模拟 ) 如图 , 点 A,B 的坐标分别为 (1,4) 和 (4,4), 抛物线 y=a(x-m) 2 +n 的顶点在线段 AB 上运动 , 与 x 轴交于 C,D 两点 (C 在 D 的左侧 ), 点 C 的横坐标最小值为 -3, 则点 D 的横坐标最大值为 ________.  8 4.(2019· 安徽模拟 ) 如图 , 抛物线 y 1 =ax 2 -x+c 与 x 轴交 于点 A(-3,0) 和点 B, 并经过点 , 抛物线 y 1 的顶点 为 C. 将抛物线 y 1 平移后得到顶点为 B 且对称轴为直线 l 的抛物线 y 2 . 世纪金榜导学号 (1) 求抛物线 y 2 的表达式 . (2) 在直线 l 上是否存在点 P, 使△ PBC 为等腰三角形 ? 若存在 , 请求出所有点 P 的坐标 ; 若不存在 , 请说明理由 . 【 解析 】 (1) 由于抛物线 y 1 =ax 2 -x+c 与 x 轴交于点 A(-3,0) 和点 B, 并经过点 , ∴ 解得 ∴抛物线 y 1 = 当 y 1 =0 时 , =0, 解得 x 1 =-3,x 2 =1, ∴B 点的坐标为 (1,0), ∵ 将抛物线 y 1 平移后得到顶点为 B 且对称轴为直线 l 的 抛物线 y 2 . ∴ 抛物线 y 2 的表达式为 :y 2 =- (x-1) 2 . (2) 在直线 l 上存在点 P, 使△ PBC 是等腰三角形 , 由 y 1 =- x 2 -x+ =- (x+1) 2 +2 可知 C 点的坐标为 (-1,2), 根据勾股定理得 BC= 设 P 点的坐标为 (1,m), 分三种情况 : ① 当 PB=PC 时 ,m 2 =2 2 +(m-2) 2 , 解得 m=2, 此时点 P 坐标为 (1,2); ② 当 PB=BC 时 ,m 2 =(2 ) 2 , 解得 m=±2 , 此时点 P 坐标 为 (1,2 ) 或 (1,-2 ); ③ 当 PC=BC 时 ,2 2 +(m-2) 2 =(2 ) 2 , 解得 m=4 或 m=0( 舍去 ), 此时点 P 坐标为 (1,4); 综上 ,△PBC 是等腰三角形时 , 点 P 的坐标为 (1,2) 或 (1,2 ) 或 (1,-2 ) 或 (1,4). 考点三　二次函数图象与系数的关系 【 核心突破 】 例 3(2019· 随州中考 ) 如图所示 , 已知二次函数 y=ax 2 + bx+c 的图象与 x 轴交于 A,B 两点 , 与 y 轴交于点 C,OA=OC, 对称轴为直线 x=1, 则下列结论 :①abc<0;②a+ =0;③ac+b+1=0;④2+c 是关于 x 的一元二次方程 ax 2 + bx+c=0 的一个根 . 其中正确的有 ( 　 　 ) A.1 个　　　 B.2 个　　　 C.3 个　　　 D.4 个 B 【 明 · 技法 】 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象与字母系数的关系 字母或 代数式 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 |a| 越大 开口越小 a<0 开口向下 字母或 代数式 字母的符号 图象的特征 b b=0 对称轴为 y 轴 ab>0(b 与 a 同号 ) 对称轴在 y 轴左侧 ab<0(b 与 a 异号 ) 对称轴在 y 轴右侧 c c=0 经过原点 c>0 与 y 轴正半轴相交 c<0 与 y 轴负半轴相交 字母或 代数式 字母的符号 图象的特征 b 2 -4ac b 2 -4ac=0 与 x 轴有唯一交点 ( 顶点 ) b 2 -4ac>0 与 x 轴有两个不同交点 b 2 -4ac<0 与 x 轴没有交点 特殊 关系 当 x=1 时 ,y=a+b+c 当 x=-1 时 ,y=a-b+c 若 a+b+c>0, 即当 x=1 时 ,y>0 若 a+b+c<0, 即当 x=1 时 ,y<0 【 题组过关 】 1.(2019· 凉山州中考 ) 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的部分图 象如图所示 , 有以下结论 :①3a-b=0;②b 2 -4ac>0;③5a- 2b+c>0;④4b+3c>0, 其中错误结论的个数是 ( 　 　 ) A.1 　　　　　 B.2 　　　　　 C.3 　　　　　 D.4 A 2.(2019· 汕头潮南区期末 ) 如图 , 抛物线 y=ax 2 +bx+c (a≠0) 的对称轴为直线 x=1, 与 x 轴的一个交点坐标为 (-1,0), 其部分图象如图所示 , 下列结论 : ①4ac0;③ 当 x>0 时 ,y 随 x 的增大而减小 ; ④ 当 y>0 时 ,x 的取值范围是 -10;②2a +b=0;③4a+2b+c<0;④ 若 是抛物线上 两点 , 则 y 1 n 的解集是 _____ ____________.  x <-3 或 x>1 (2)(2018· 云南中考 ) 已知二次函数 y=- x 2 +bx+c 的 图象经过 A(0,3),B(-4,- ) 两点 . ① 求 b,c 的值 . ② 二次函数 y=- x 2 +bx+c 的图象与 x 轴是否有公共点 , 若有 , 求公共点的坐标 ; 若没有 , 请说明情况 . 【 自主解答 】 ① 把 A(0,3),B(-4,- ) 分别代入 y= - x 2 +bx+c, 得 解得 ② 由①可得 , 该抛物线解析式为 : Δ= >0, 所以二次函数 y=- x 2 + bx+c 的图象与 x 轴有公共点 .∵- x 2 + x+3=0 的解 为 :x 1 =-2,x 2 =8. ∴ 公共点的坐标是 (-2,0) 或 (8,0). 【 明 · 技法 】 二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系 (1) 二次函数与一元二次方程的关系 ①二次函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0) 的图象与 x 轴有两个交点 , 则两个交点的横坐标是相应的一元二次方程 ax 2 +bx +c=0(a≠0) 的两个解 . ② 二次函数的图象与 x 轴交点的个数由相应的一元二次方程的根的判别式的符号确定 . (2) 利用二次函数图象解不等式的方法 不等式 ax 2 +bx+c>0( 或 ax 2 +bx+c< 0 ) 的解集就是二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象在 x 轴上 ( 下 ) 方的点所对应的 x 的取值范围 , 不等式如果带有等号 , 其解集也相应带有等号 .a>0 时 , y>0 取两边 ,y<0 取中间 . 【 题组过关 】 1.(2019· 深圳罗湖区期末 ) 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的部 分图象如图所示 , 由图象可知方程 ax 2 +bx+c=0 的根是 世纪金榜导学号 ( 　 　 ) A.x 1 =-1,x 2 =5 　　 B.x 1 =-2,x 2 =4 C.x 1 =-1,x 2 =2 D.x 1 =-5,x 2 =5 A 2.(2019· 潍坊中考 ) 抛物线 y=x 2 +bx+3 的对称轴为直线 x=1. 若关于 x 的一元二次方程 x 2 +bx+3-t=0(t 为实数 ) 在 -10 时 , 自变量 x 的取值范围是 _____________.  -1

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