中考数学复习专题十二:方程观点解几何计算题

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中考数学复习专题十二:方程观点解几何计算题

中考数学复习专题12 方程观点解几何计算题 概述: 含有未知数的等式便是方程,代数方面的应用题,几何方面的计算题便是求某些未知数的值,都可用方程的观点去解决,一般一个未知数列一个方程,两个未知数列两个方程. 典型例题精析 ‎ 例1.有一块直角三角形纸片,两直角边AC=‎6cm,BC=‎8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,求CD长. ‎ 分析:Rt△ABC,∠C=90°,AC=6,BC=8 AB=10.由题意知 △ ACD≌△AED∠DEB=90°,DECD,AC=AE=6, ‎ 设CD=x,则DE=x,而EB=4, ‎ 一个未知数,需要一个方程,从何而来,图中有直角,用勾股定理,有等式,有方程. ‎ ∴在Rt△DEB中,(8-x)2=x2+42, ‎ 64-16x+x2=x2+16, ‎ 16x=48, x=3(cm). ‎ 例2.已知⊙O中,两弦AB、CD相交于E,若E为AB中点,且CE:ED=1:4,AB=4,求CD长. ‎ 解:∵CE:ED=1:4, ‎ ∴设CE=x,则ED=4x,由相交弦定理得 ‎ CE·ED=AE·EB, ‎ 即x·4x=2×2, ‎ 4x2=4, x=1. ‎ ∴CD=x+4x=5x=5. ‎ 例3.如图,AB为⊙O的直径,P点在AB延长线上,PM切⊙O于M点,若OA=a,PM=a,求△PMB的周长. ‎ 分析:条件符合切割线定理,设BP=x,则由PM2=PB·PA(方程出来了) ‎ 得(a)2=x(x+‎2a), ‎ x2+2ax‎-3a2=0, ‎ (x+‎3a)(x-a)=0, ‎ ∴x1=a,x2=‎-3a(舍去) ‎ ∴x=a,即BP=a,连结MO(常作辅助线) ‎ 则∠OMP=90°,∵OB=BP=a,则MB为Rt△OMP的斜边上的中线,∴MB=OP=a. ‎∴△MBP的周长为2a+a. ‎ 例4.如图,圆心在Rt△ABC斜边AB上的半圆切直角边AC、BC于M、N,其中AC=6,BC=8,求半圆的半径. ‎ ‎ ‎ 分析:设半径为R,(一个未知数建立一个方程即可),连OM、ON、OC, ‎ 则OM=ON=R,用面积,S△AOC+S△BOC=S△ABC, ‎ 得6R+8R=6×8(一元一次方程) ‎ 14R=48, R=. 中考样题训练: ‎1.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,BC=1,D为BC边上的一点,tan∠ADC是方程3(x2+)-5(x+)=2的一个根,求CD的长. ‎2.如图,已知直线BC切⊙O于C,PD为⊙O的直径,BP的延长线与CD的延长线交于点A,∠A=28°,∠B=26°,求∠PDC的度数. ‎3.已知,如图,C为半圆上一点,,过C作直径的垂线CP,P为垂足,弦AE分别交PC,CB于点D,F. ‎ (1)求证:AD=CD; ‎(2)若DF=,tan∠ECB=,求PB的长. ‎ 4.已知关于x的方程x2-(k+1)x+k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长. ‎ (1)k取何值时,方程有两个实数根; ‎(2)当矩形的对角线长为时,求k的值. ‎ 5.如图所示,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,⊙O的割线PDE垂直AB于点F,交BC于点G,连结PC,∠BAC=∠BCP,求解下列问题: ‎ (1)求证:CP是⊙O的切线; ‎ (2)当∠ABC=30°,BG=2,CG=4时,求以PD、PE的长为两根的一元二次方程. ‎(3)若(1)的条件不变,当点C在劣弧AD上运动时,应再具备什么条件可使结论BG2=BF·DO成立?试写出你的猜想,并说明理由.‎ ‎ 6.已知:如图所示,BC为⊙O的直径,AD⊥BC,垂足为D,弦BF和AD交于E,且AE=BE.‎ ‎ (1)试猜想:与有何大小关系?并证明你的猜想;‎ ‎ (2)若BD、CD的长是关于x的方程x2-kx+16=0的两个根,求BF的长;‎ ‎ (3)在(2)的条件下,若k为整数,且满足,求sin2∠A的值.‎ 考前热身训练 ‎1.要用圆形铁片截出边长为‎4cm的正方形铁片,求选用的圆形铁片的直径的最小值.‎ ‎2.圆内两条弦AB和CD相交于P点,AB长为7,AB把CD分成两部分的线段长为2和6,求AP的长.‎ ‎3.如图,PA切⊙O于点A,PBC交⊙O于B、C,若PB、PC的长是关于x的方程x2-(m-2)x+(m+2)=0的两个根,且BC=4,求m的值及PA的长.‎ ‎4.如图,D是△ABC的边AC上一点,CD=2AD,AE⊥BC,交BC于点E,若BD=8,sin∠CBD=,求AE的长.‎ ‎5.如图,在△ABC中,∠CAD=∠B,若AD=7,AB=8,AC=6,求DC的长.‎ ‎6.已知,如图,以△ABC的边BC为直径的半圆交AB于D,交AC于E,过E点作EF⊥BC,垂足为F,且BF:FC=5:1,AB=8,AE=2,求EC的长.‎ 答案:‎ 中考样题看台 ‎1.解:3(x+)2-5(x+)-8=0,‎ ‎ x+=或x+=-1,‎ ‎ 由x+=得x=.‎ ‎ x+=-1得x2+x+1=0无解.‎ ‎ ∴tan∠ADC=,‎ ‎ 在Rt△ABC中,AC==.‎ ‎ 在Rt△ADC中,CD==.‎ ‎ ∵CD<1,∴CD=.‎ ‎2.∠PDC=36°‎ ‎3.(1)证明:连结AC,∵,∴∠CEA=∠CAE.‎ ‎∵∠CEA=∠CBA,∴∠CBA=∠CAE,‎ ‎∵AB是直径,∴∠ACB=90°,‎ ‎∵CP⊥AB,∴∠CBA=∠ACP,‎ ‎∴∠CAE=∠ACP,∴AD=CD.‎ ‎ (2)解:∵∠ACB=90°,∠CAE=∠ACP,‎ ‎∴∠DCF=∠CFD,∴AD=CD=DF=,‎ ‎∵∠ECB=∠DAP,tan∠ECB=,∴tan∠DAP==,‎ ‎∵PD2+PA2=DA2,∴DP=,PA=1,∴CP=2,‎ ‎∵∠ACB=90°,CP⊥AB,∴△APC∽△CPB,∴,∴PB=4.‎ ‎4.(1)要使方程有两个实数根,必须△≥0,‎ ‎ 即[-(k+1)]2-4(k2+1)≥0,‎ ‎ 化简得:2k-3≥0,解之得:k≥.‎ ‎ (2) 解之得:k1=2,k2=-6‎ ‎ 由(1)可知,k=-6时,方程无实数根,所以,只能取k=2.‎ ‎5.(1)连结OC,证∠OCP=90°即可.‎ ‎ (2)∵∠B=30°,∠A=∠BCP=60°,‎ ‎ ∴∠BCP=∠CGP=60°,∴△CPG是正三角形.‎ ‎ ∴PG=CP=4,∴PC切⊙O于C.‎ ‎ ∴PC2=PD·PE=(4)2=48,‎ ‎ 又∵BC=6,∴AB=6,FD=3,EG=,‎ ‎ ∴PD=2,∴PD+PE=2+8=10.‎ ‎ ∴以PD、PE为两根的一元二次方程为x2-48x+10=0.‎ ‎ (3)当G为BC中点,OG⊥BC,OG∥AC或∠BOG=∠BAC…时,结论BG2=BF·BO成立.要让此结论成立,只证明△BFG∽△BGO即可,凡是能使△BFG∽△BGO的条件都可以.‎ ‎6.可以猜想到.‎ ‎ 证明:延工AD交⊙O于点G.‎ ‎ ∵BC是⊙O的直径,AD⊥BC,‎ ‎ ∴. ∵AE=BE,‎ ‎ ∴∠ABE=∠BAE,∴,∴.‎ ‎ (2)∵,∴,BF=AG.‎ ‎ ∵AD⊥BC,BC是⊙O直径,‎ ‎ ∴AG=2AD, ∴BF=2AD,‎ ‎ ∵BD、CD的长是方程x-kx+16=0的两个根,‎ ‎ ∴BD·CD=16.‎ ‎ 又AD2=BD·CD,∴AD2=16,AD=4,∴BF=8.‎ ‎ (3)连结CF解不等式组得:9
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