云南省2021年中考数学模拟试题及答案(四)

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云南省2021年中考数学模拟试题及答案(四)

‎2021年云南省初中学业水平考试 数学模拟卷(四)‎ ‎(考试时间:120分钟 满分:120分)‎ ‎ 一、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)‎ ‎1.如果风车顺时针旋转45°记作+45°,那么逆时针旋转60°记作__-60°__.‎ ‎2.如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=75°,则∠4=__105°__.‎ ‎3.使二次根式有意义的x的取值范围是__x≤2__.‎ ‎4.分解因式:12a2b-3b=__3b(2a+1)(2a-1)__.‎ ‎5.若关于x的一元二次方程(x+2)2=n有实数根,则n的取值范围是__n≥0__.‎ ‎6.在矩形ABCD中,AB=9 cm,E是直线CD上一点,连接AC,BE,若AC与BE交于点F且DE=3 cm,则EF∶BE的值是__4∶7或2∶5__.‎ 二、选择题(本大题共8小题,每小题只有一个正确选项,每小题4分,共32分)‎ ‎7.华为Mate30 5G系列是一款相当火爆的5G国产手机,它采用的麒麟990 5G芯片在指甲盖大小的尺寸上集成了103亿个晶体管,将103亿用科学记数法表示为 (C)‎ A.1.03×109 B.10.3×109‎ C.1.03×1010 D.1.03×1011‎ ‎8.由4个相同的小正方体组成的几何体如图所示,则它的左视图是(D)‎ ‎   ‎ ‎9.若一个多边形的每个内角均为120°,则该多边形是 (C)‎ A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 ‎10.下列按照一定规律排列一组图形,其中图形①中共有2个小三角形,图形②中共有6个小三角形,图形③中共有11个小三角形,图形④中共有17个小三角形,….按此规律,图形⑧中共有n个小三角形,这里的n= (C)‎ A.32 B.41 C.51 D.53‎ ‎11.大理古城简称榆城,位居风光亮丽的苍山脚下,是全国首批历史文化名城之一.它东临洱海,西枕苍山,城楼雄伟,风光优美,引来无数旅客前来观光.“十一”期间相关部门对到大理观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查,整理绘制了两幅统计图(尚不完整),根据图中信息,下列结论错误的是 (D)‎ A.本次抽样调查的样本容量是5 000‎ B.扇形统计图中的m为10%‎ C.样本中选择公共交通出行的约有2 500人 D.若“十一”期间到大理观光的游客有50万人,则选择自驾方式出行的有25万人 ‎12.一元二次方程4x2-4=0的根的情况是 (A)‎ A.有两个不相等的实数根 B.无实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 ‎13.已知⊙O的半径为6,弦AB与半径相等,则用扇形OAB围成的圆锥的底面半径为 (C)‎ A.1或4 B.4 C.1或5 D.5‎ ‎14.若关于x的分式方程=+5的解为正数,则m的取值范围为 (D)‎ A.m<-10 B.m≤-10‎ C.m≥-10且m≠-6 D.m>-10且m≠-6‎ 三、解答题(本大题共9小题,共70分)‎ ‎15.(本小题满分6分)计算:‎ +(π+)0-()-1·sin 45°.‎ 解:原式=-1+1-2× ‎=-1+1- ‎=0.‎ ‎16.(本小题满分6分)如图,点A,D,C,F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,AB∥DE.求证:BC=EF.‎ 证明:∵AB∥DE,∴∠A=∠EDF,‎ ‎∵AC=AD+DC,DF=DC+CF,且AD=CF,‎ ‎∴AC=DF.‎ 在△ABC和△DEF中,‎ ‎∴△ABC≌△DEF(SAS),‎ ‎∴BC=EF.‎ ‎17.(本小题满分8分)停课不停学,疫情期间,八(1)班30位同学参加运动线上打卡,张老师为了鼓励同学们积极锻炼,统计了这30人15天的打卡次数如表:‎ 打卡次数 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎14‎ ‎15‎ 人数 ‎6‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎(1)直接写出打卡次数的众数和中位数;‎ ‎(2)求所有同学打卡次数的平均数;‎ ‎(3)为了调动同学们锻炼的积极性,‎ 张老师决定制定一个打卡奖励标准,凡打卡次数达到或超过这个标准的同学将获得奖励.请你根据(1)、(2)中所求的统计量,帮助张老师制定一个较为合理的打卡奖励标准,并说明理由.‎ 解:(1)8次的人数最多,众数为8次;‎ 共30人,‎ 所有同学打卡次数从小到大排列第15个、第16个数分别为8次,9次,‎ 中位数为(8+9)÷2=8.5(次).‎ ‎(2)平均数为(7×6+8×9+9×6+14×3+15×6)÷30=10(次).‎ ‎(3)为了调动同学们锻炼的积极性,‎ 打卡奖励标准可以定为所有同学打卡次数的中位数.‎ 因为共有30人,9次以上(含9次)的有15人,等于总数的一半.‎ ‎18.(本小题满分6分)某市为进一步缓解交通拥堵现象,决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路.实际施工时,每月的工效比原计划提高了20%,结果提前3个月完成这一工程.求原计划完成这一工程的时间是多少个月?‎ 解:设原计划完成这一工程的时间为x个月,‎ 由题意,得(1+20%)·=,‎ 解得x=18.‎ 经检验,x=18是原方程的解.‎ 答:原计划完成这一工程的时间是18个月.‎ ‎19.(本小题满分7分)某公司有甲、乙、丙三辆车去南京,它们出发的先后顺序随机.张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差,但有不同的需求.‎ 请用所学概率知识解决下列问题:‎ ‎(1)写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果;‎ ‎(2)两人中,谁乘坐到甲车的可能性大?请说明理由.‎ 解:(1)甲、乙、丙;甲、丙、乙;乙、甲、丙;‎ 乙、丙、甲;丙、甲、乙;丙、乙、甲;共6种.‎ ‎(2)由(1)可知张先生坐到甲车有两种可能,乙、丙、甲,丙、乙、甲,‎ 则张先生坐到甲车的概率是=;‎ 由(1)可知李先生坐到甲车有两种可能,甲、乙、丙,甲、丙、乙,‎ 则李先生坐到甲车的概率是=;‎ 所以两人坐到甲车的可能性一样.‎ ‎20.(本小题满分8分)已知点A(1,1)在抛物线y=x2+(2m+1)x-n-1上 ‎(1)求m,n的关系式;‎ ‎(2)若该抛物线的顶点在x轴上,求出它的解析式.‎ 解:(1)将点A(1,1)代入y=x2+(2m+1)x-n-1得 ‎1=12+(2m+1)×1-n-1,整理得n=2m,‎ 故m,n的关系式为n=2m.‎ ‎(2)∵抛物线的顶点在x轴上,‎ ‎∴=0,‎ ‎∵n=2m,‎ ‎∴代入上式化简得4m2+12m+5=0,‎ 解得m=-或m=-.‎ 当m=-时,n=-5,抛物线的解析式为 y=x2-4x+4,‎ 当m=-时,n=-1,抛物线的解析式为y=x2,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2或y=x2-4x+4.‎ ‎21.(本小题满分8分)某公司为了宣传一种新产品,在某地先后举行40场产品促销会,已知该产品每台成本为10万元,设第x场产品的销售量为y(台),在销售过程中获得以下信息:‎ 信息1:已知第一场促销会销售产品49台,然后每增加一场,产品就少卖出1台;‎ 信息2:产品的每场销售单价p(万元)由基本价和浮动价两部分组成,其中基本价保持不变,第1场~第20场浮动价与销售场次x成正比,第21场~第40场浮动价与销售场次x成反比,经过统计,得到如下数据:‎ x(场)‎ ‎3‎ ‎10‎ ‎25‎ p(万元)‎ ‎10.6‎ ‎12‎ ‎14.2‎ ‎(1)求y与x之间满足的函数关系式;‎ ‎(2)当产品销售单价为13万元时,求销售场次是第几场?‎ ‎(3)在这40场产品促销会中,哪一场获得的利润最大,最大利润是多少?‎ 解:(1)由题意,可得y与x的函数关系式为y=50-x.‎ ‎(2)设基本价为b,‎ ‎①第1场~第20场,设p与x的函数关系式为p=ax+b;‎ 依题意得解得 ‎∴p=x+10,当p=13时,x+10=13,解得x=15;‎ ‎②第21场~第40场,设p与x的函数关系式为p=+b,即p=+10.‎ 依题意得14.2=+10,解得m=105,‎ ‎∴p=+10,‎ 当p=13时,+10=13,解得x=35.‎ 故当产品销售单价为13万元时,销售场次是第15场和第35场.‎ ‎(3)设每场获得的利润为w(万元).‎ ‎①当1≤x≤20时,w=(x+10-10)(50-x)=-x2+10x=-(x-25)2+125,‎ ‎∵在对称轴的左侧,w随x的增大而增大,‎ ‎∴当x=20时,w最大,最大利润为 ‎-(20-25)2+125=120(万元);‎ ‎②当21≤x≤40时,‎ w=(+10-10)(50-x)=-105,‎ ‎∵w随x的增大而减小,‎ ‎∴当x=21时,w最大,最大利润为 -105=145(万元),‎ ‎∵120<145,‎ ‎∴在这40场产品促销会中,第21场获得的利润最大,最大利润为145万元.‎ ‎22.(本小题满分9分)如图,AB为⊙O的直径,射线AD交⊙O于点F,点C为劣弧的中点,过点C作CE⊥AD,垂足为E,连接AC.‎ ‎(1)求证:CE是⊙O的切线;‎ ‎(2)若∠BAC=30°,AB=4,求阴影部分的面积.‎ ‎(1)证明:连接BF,‎ ‎∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠AFB=90°,即BF⊥AD,‎ ‎∵CE⊥AD,∴BF∥CE.‎ 连接OC,‎ ‎∵点C为劣弧的中点,‎ ‎∴OC⊥BF,‎ ‎∵BF∥CE,∴OC⊥CE,‎ ‎∵OC是⊙O的半径,‎ ‎∴CE是⊙O的切线;‎ ‎(2)解:连接OF,交AC于点G,‎ ‎∵OA=OC,∠BAC=30°,‎ ‎∴∠BOC=60°.‎ ‎∵点C为劣弧的中点,∴=,‎ ‎∴∠FOC=∠BOC=60°,‎ ‎∵AB=4,∴FO=OC=OB=2.‎ ‎∵易证△AFG≌△COG,‎ ‎∴S阴影=S扇形FOC==π,‎ 即阴影部分的面积为π.‎ ‎23.(本小题满分12分)菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,0°<∠ABO≤60°,点G是射线OD上一个动点,过点G作GE∥DC交射线OC于点E,以OE,OG为邻边作矩形EOGF.‎ ‎(1)如图①,当点F在线段DC上时,求证:DF=FC;‎ ‎(2)若延长AD与边GF交于点H,将△GDH沿直线AD翻折180°得到△MDH.‎ ‎①如图②,当点M在EG上时,求证:四边形EOGF为正方形;‎ ‎②如图③,当tan ∠ABO为定值m时,设DG=k·DO,k为大于0的常数,当且仅当k>2时,点M在矩形EOGF的外部,求m的值.‎ ‎(1)证明:∵四边形EOGF是矩形,‎ ‎∴EO∥GF,GO∥EF,‎ ‎∵GE∥DC,‎ ‎∴四边形GEFD是平行四边形,四边形GECF是平行四边形,‎ ‎∴GE=DF,GE=CF,‎ ‎∴DF=FC.‎ ‎(2)①证明:如解图①,由折叠的性质知,∠GDH=∠MDH,DH⊥GM.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴∠ADB=∠BDC,‎ ‎∠COD=90°,‎ ‎∵GE∥DC,‎ ‎∴∠BDC=∠DGM.‎ ‎∵∠ADB=∠GDH,‎ ‎∴∠DGM=∠GDH,‎ ‎∵DH⊥GM,∴∠DGM=45°,‎ ‎∴∠OEG=45°,∴OE=OG.‎ ‎∵四边形EOGF是矩形,‎ ‎∴四边形EOGF是正方形.‎ ‎②解:如解图②,‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴∠ABD=∠CBD=∠ADB,‎ ‎∵GE∥CD,‎ ‎∴∠DGE=∠CDB,‎ ‎∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠DGE=∠CDB,‎ ‎∴∠GDM=2∠ABD,‎ ‎∵tan ∠ABO=m(m为定值),‎ ‎∴点M始终在固定射线DM上并随k的增大向上运动,‎ ‎∵当且仅当k>2时,M点在矩形EOGF的外部,‎ ‎∴k=2时,M点在矩形EOGF上,即点M在EF上.‎ 设OB=OD=b,则OA=OC=mb,DG=DM=kb=2b,OG=(k+‎ ‎1)b=3b,OE=m(k+1)b=3mb,GH=HM=mkb=2mb,‎ ‎∴FH=OE-GH=3mb-2mb=mb.‎ 过点D作DN⊥EF于点N,则DN=OE=3mb.‎ ‎∵∠FHM+∠FMH=∠FMH+∠DMN=90°,‎ ‎∴∠FHM=∠DMN,‎ ‎∵∠F=∠DNM=90°,∴△MFH∽△DNM,‎ ‎∴=,∴=,‎ ‎∴MN=b,‎ ‎∵DM2=DN2+MN2,‎ ‎∴(2b)2=(3mb)2+b2,‎ 解得m1=,m2=-(舍去),‎ 故m=.‎
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