2020年浙江省绍兴市中考数学试卷【中考数学真题、含答案及详细解释、word可以编辑】

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2020年浙江省绍兴市中考数学试卷【中考数学真题、含答案及详细解释、word可以编辑】

第 1 页 共 22 页 ◎ 第 2 页 共 22 页 2020 年浙江省绍兴市中考数学试卷 一、选择题(本大题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.请选出每小题中一个最符合 题意的选项,不选、多选、错选,均不给分) 1. 实数2,0, ― 2, 2中,为负数的是( ) A.2 B.0 C. ― 2 D. 2 2. 某自动控制器的芯片,可植入2020000000粒晶体管,这个数字2020000000用科学 记数法可表示为( ) A.0.202 × 1010 B.2.02 × 109 C.20.2 × 108 D.2.02 × 108 3. 将如图的七巧板的其中几块,拼成一个多边形,为中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 4. 如图,点퐴,퐵,퐶,퐷,퐸均在 ⊙ 푂上,∠퐵퐴퐶=15∘,∠퐶퐸퐷=30∘,则∠퐵푂퐷的度数 为( ) A.45∘ B.60∘ C.75∘ D.90∘ 5. 如图,三角板在灯光照射下形成投影,三角板与其投影的相似比为2:5,且三角板 的一边长为8푐푚.则投影三角板的对应边长为( ) A.20푐푚 B.10푐푚 C.8푐푚 D.3.2푐푚 6. 如图,小球从퐴入口往下落,在每个交叉口都有向左或向右两种可能,且可能性相 等.则小球从퐸出口落出的概率是( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 7. 长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接, 但不允许折断),得到的三角形的最长边长为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 8. 如图,点푂为矩形퐴퐵퐶퐷的对称中心,点퐸从点퐴出发沿퐴퐵向点퐵运动,移动到点퐵停 止,延长퐸푂交퐶퐷于点퐹,则四边形퐴퐸퐶퐹形状的变化依次为( ) A.平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C.平行四边形→正方形→菱形→矩形 D.平行四边形→菱形→正方形→矩形 9. 如图,等腰直角三角形퐴퐵퐶中,∠퐴퐵퐶=90∘,퐵퐴=퐵퐶,将퐵퐶绕点퐵顺时针旋转휃( 0∘ < 휃 < 90∘),得到퐵푃,连结퐶푃,过点퐴作퐴퐻 ⊥ 퐶푃交퐶푃的延长线于点퐻,连结퐴푃, 则∠푃퐴퐻的度数( ) A.随着휃的增大而增大 B.随着휃的增大而减小 C.不变 D.随着휃的增大,先增大后减小 10. 同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210푘푚,它们各自单独行驶并返 回的最远距离是105푘푚.现在它们都从퐴地出发,行驶途中停下来从甲车的气体燃料 第 3 页 共 22 页 ◎ 第 4 页 共 22 页 桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶,然后甲车再行驶返回퐴地,而乙车继续行 驶,到퐵地后再行驶返回퐴地.则퐵地最远可距离퐴地( ) A.120푘푚 B.140푘푚 C.160푘푚 D.180푘푚 二、填空题(本大题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11. 分解因式:1 ― 푥2=________. 12. 若关于푥,푦的二元一次方程组{푥 + 푦 = 2, 퐴 = 0  的解为{푥 = 1, 푦 = 1, 则多项式퐴可以是 ________. 13. 如图1,直角三角形纸片的一条直角边长为2,剪四块这样的直角三角形纸片,把 它们按图2放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙),则图2中阴 影部分面积为________. 14. 如图,已知边长为2的等边三角形퐴퐵퐶中,分别以点퐴,퐶为圆心,푚为半径作弧, 两弧交于点퐷,连结퐵퐷.若퐵퐷的长为2 3,则푚的值为________. 15. 有两种消费券:퐴券,满60元减20元,퐵券,满90元减30元,即一次购物大于等 于60元、90元,付款时分别减20元、30元.小敏有一张퐴券,小聪有一张퐵券,他们 都购了一件标价相同的商品,各自付款,若能用券时用券,这样两人共付款150元, 则所购商品的标价是________元. 16. 将两条邻边长分别为 2,1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无余纸片),各 种剪法剪出的等腰三角形中,其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的________ (填序号). ① 2,②1,③ 2 ― 1,④ 3 2 ,⑤ 3. 三、解答题(本大题有 8 小题,第 17~20 小题每小题 8 分,第 21 小题 10 分,第 22, 23 小题每小题 8 分,第 24 小题 14 分,共 80 分.解答需写出必要的文字说明、演算 步骤或证明过程) 17. (1)计算: 8 ― 4cos45∘ +( ― 1)2020. 17. (2)化简:(푥 + 푦)2 ― 푥(푥 +2푦). 18. 如图,点퐸是▱퐴퐵퐶퐷的边퐶퐷的中点,连结퐴퐸并延长,交퐵퐶的延长线于点퐹. (1)若퐴퐷的长为2,求퐶퐹的长. (2)若∠퐵퐴퐹=90∘,试添加一个条件,并写出∠퐹的度数. 19. 一只羽毛球的重量合格标准是5.0克 ∼ 5.2克(含5.0克,不含5.2克),某厂对4月份 生产的羽毛球重量进行抽样检验,并将所得数据绘制成如图统计图表. 4月份生产的羽毛球重量统计表 组别 重量푥(克) 数量(只) 퐴 푥 < 5.0 푚 퐵 5.0 ≤ 푥 < 5.1 400 퐶 5.1 ≤ 푥 < 5.2 550 퐷 푥 ≥ 5.2 30 (1)求表中푚的值及图中퐵组扇形的圆心角的度数. (2)问这些抽样检验的羽毛球中,合格率是多少?如果购得4月份生产的羽毛球10筒 (每筒12只),估计所购得的羽毛球中,非合格品的羽毛球有多少只? 20. 我国传统的计重工具--秤的应用,方便了人们的生活.如图1,可以用秤砣到秤纽 的水平距离,来得出秤钩上所挂物体的重量.称重时,若秤杆上秤砣到秤纽的水平距 离为푥(厘米)时,秤钩所挂物重为푦(斤),则푦是푥的一次函数.下表中为若干次称 重时所记录的一些数据. 푥(厘米) 1 2 4 7 11 12 푦(斤) 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 第 5 页 共 22 页 ◎ 第 6 页 共 22 页 (1)在上表푥,푦的数据中,发现有一对数据记录错误.在图2中,通过描点的方法, 观察判断哪一对是错误的? (2)根据(1)的发现,问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时,秤钩所挂物重 是多少? 21. 如图1为搭建在地面上的遮阳棚,图2、图3是遮阳棚支架的示意图.遮阳棚支架由 相同的菱形和相同的等腰三角形构成,滑块퐸,퐻可分别沿等长的立柱퐴퐵,퐷퐶上下移 动,퐴퐹=퐸퐹=퐹퐺=1푚. (1)若移动滑块使퐴퐸=퐸퐹,求∠퐴퐹퐸的度数和棚宽퐵퐶的长. (2)当∠퐴퐹퐸由60∘变为74∘时,问棚宽퐵퐶是增加还是减少?增加或减少了多少? (结果精确到0.1푚,参考数据: 3 ≈ 1.73,sin37∘ ≈ 0.60,cos37∘ ≈ 0.80,tan37∘ ≈ 0.75) 22. 问题:如图,在 △ 퐴퐵퐷中,퐵퐴=퐵퐷.在퐵퐷的延长线上取点퐸,퐶,作 △ 퐴퐸퐶,使 퐸퐴=퐸퐶.若∠퐵퐴퐸=90∘,∠퐵=45∘,求∠퐷퐴퐶的度数. 答案:∠퐷퐴퐶=45∘. 思考:( (1))如果把以上“问题”中的条件“∠퐵=45∘”去掉,其余条件不变,那么∠퐷퐴퐶的度数 会改变吗?说明理由. (2)如果把以上“问题”中的条件“∠퐵=45∘”去掉,再将“∠퐵퐴퐸=90∘”改为“∠퐵퐴퐸=푛∘”, 其余条件不变,求∠퐷퐴퐶的度数. 23. 如图1,排球场长为18푚,宽为9푚,网高为2.24푚,队员站在底线푂点处发球,球 从点푂的正上方1.9푚的퐶点发出,运动路线是抛物线的一部分,当球运动到最高点퐴时, 高度为2.88푚,即퐵퐴=2.88푚,这时水平距离푂퐵=7푚,以直线푂퐵为푥轴,直线푂퐶为푦 轴,建立平面直角坐标系,如图2. (1)若球向正前方运动(即푥轴垂直于底线),求球运动的高度푦(푚)与水平距离푥(푚) 之间的函数关系式(不必写出푥取值范围).并判断这次发球能否过网?是否出界?说 明理由. (2)若球过网后的落点是对方场地①号位内的点푃(如图1,点푃距底线1푚,边线 0.5푚),问发球点푂在底线上的哪个位置?(参考数据: 2取1.4) 24. 如图1,矩形퐷퐸퐹퐺中,퐷퐺=2,퐷퐸=3,푅푡 △ 퐴퐵퐶中,∠퐴퐶퐵=90∘,퐶퐴=퐶퐵=2, 퐹퐺,퐵퐶的延长线相交于点푂,且퐹퐺 ⊥ 퐵퐶,푂퐺=2,푂퐶=4.将 △ 퐴퐵퐶绕点푂逆时针旋 转훼(0∘ ≤ 훼 < 180∘)得到 △ 퐴′퐵′퐶′. (1)当훼=30∘时,求点퐶′到直线푂퐹的距离. (2)在图1中,取퐴′퐵′的中点푃,连结퐶′푃,如图2. ①当퐶′푃与矩形퐷퐸퐹퐺的一条边平行时,求点퐶′到直线퐷퐸的距离. ②当线段퐴′푃与矩形퐷퐸퐹퐺的边有且只有一个交点时,求该交点到直线퐷퐺的距离的取 值范围. 第 7 页 共 22 页 ◎ 第 8 页 共 22 页 参考答案与试题解析 2020 年浙江省绍兴市中考数学试卷 一、选择题(本大题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.请选出每小题中一个最符合 题意的选项,不选、多选、错选,均不给分) 1.【答案】 C 【解答】 实数2,0, ― 2, 2中,为负数的是 ― 2, 2.【答案】 B 【解答】 2020000000=2.02 × 109, 3.【答案】 D 【解答】 퐴、不是中心对称图形,故本选项不符合题意; 퐵、不是中心对称图形,故本选项不符合题意; 퐶、不是中心对称图形,故本选项不符合题意; 퐷、是中心对称图形,故本选项符合题意. 4.【答案】 D 【解答】 连接퐵퐸, ∵ ∠퐵퐸퐶=∠퐵퐴퐶=15∘,∠퐶퐸퐷=30∘, ∴ ∠퐵퐸퐷=∠퐵퐸퐶 +∠퐶퐸퐷=45∘, ∴ ∠퐵푂퐷=2∠퐵퐸퐷=90∘. 5.【答案】 A 【解答】 设投影三角尺的对应边长为푥푐푚, ∵ 三角尺与投影三角尺相似, ∴ 8:푥=2:5, 解得푥=20. 6.【答案】 C 【解答】 由图可知,在每个交叉口都有向左或向右两种可能,且可能性相等, 小球最终落出的点共有퐸、퐹、퐺、퐻四个, 所以小球从퐸出口落出的概率是:1 4; 7.【答案】 B 【解答】 ①长度分别为5、3、4,能构成三角形,且最长边为5; ②长度分别为2、6、4,不能构成三角形; ③长度分别为2、7、3,不能构成三角形; 综上所述,得到三角形的最长边长为5. 8.【答案】 B 【解答】 观察图形可知,四边形퐴퐸퐶퐹形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形. 9.【答案】 C 【解答】 ∵ 将퐵퐶绕点퐵顺时针旋转휃(0∘ < 휃 < 90∘),得到퐵푃, ∴ 퐵퐶=퐵푃=퐵퐴, ∴ ∠퐵퐶푃=∠퐵푃퐶,∠퐵푃퐴=∠퐵퐴푃, ∵ ∠퐶퐵푃 +∠퐵퐶푃 +∠퐵푃퐶=180∘,∠퐴퐵푃 +∠퐵퐴푃 +∠퐵푃퐴=180∘,∠퐴퐵푃 +∠퐶퐵푃=90∘, ∴ ∠퐵푃퐶 +∠퐵푃퐴=135∘=∠퐶푃퐴, ∵ ∠퐶푃퐴=∠퐴퐻퐶 +∠푃퐴퐻=135∘, ∴ ∠푃퐴퐻=135∘ ― 90∘=45∘, ∴ ∠푃퐴퐻的度数是定值, 10.【答案】 B 【解答】 设甲行驶到퐶地时返回,到达퐴地燃料用完,乙行驶到퐵地再返回퐴地时燃料用完,如 图: 设퐴퐵=푥푘푚,퐴퐶=푦푘푚,根据题意得: {2푥 + 2푦 = 210 × 2 푥 ― 푦 + 푥 = 210  , 解得:{푥 = 140 푦 = 70  . ∴ 乙在퐶地时加注行驶70푘푚的燃料,则퐴퐵的最大长度是140푘푚. 二、填空题(本大题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11.【答案】 (1 + 푥)(1 ― 푥) 【解答】 1 ― 푥2=(1 + 푥)(1 ― 푥). 12.【答案】 答案不唯一,如푥 ― 푦 【解答】 ∵ 关于푥,푦的二元一次方程组{푥 + 푦 = 2 퐴 = 0  的解为{푥 = 1 푦 = 1 , 而1 ― 1=0, 第 9 页 共 22 页 ◎ 第 10 页 共 22 页 ∴ 多项式퐴可以是答案不唯一,如푥 ― 푦. 13.【答案】 4 5 【解答】 由题意可得, 直角三角形的斜边长为3,一条直角边长为2, 故直角三角形的另一条直角边长为: 32 ― 22 = 5, 故阴影部分的面积是:2 × 5 2 × 4 = 4 5, 14.【答案】 2或2 7 【解答】 由作图知,点퐷在퐴퐶的垂直平分线上, ∵ △ 퐴퐵퐶是等边三角形, ∴ 点퐵在퐴퐶的垂直平分线上, ∴ 퐵퐷垂直平分퐴퐶, 设垂足为퐸, ∵ 퐴퐶=퐴퐵=2, ∴ 퐵퐸 = 3, 当点퐷、퐵在퐴퐶的两侧时,如图, ∵ 퐵퐷=2 3, ∴ 퐵퐸=퐷퐸, ∴ 퐴퐷=퐴퐵=2, ∴ 푚=2; 当点퐷、퐵在퐴퐶的同侧时,如图, ∵ 퐵퐷′=2 3, ∴ 퐷′퐸=3 3, ∴ 퐴퐷′ = (3 3)2 + 12 = 2 7, ∴ 푚=2 7, 综上所述,푚的值为2或2 7, 15.【答案】 100或85 【解答】 设所购商品的标价是푥元,则 ①所购商品的标价小于90元, 푥 ― 20 + 푥=150, 解得푥=85; ②所购商品的标价大于90元, 푥 ― 20 + 푥 ― 30=150, 解得푥=100. 故所购商品的标价是100或85元. 16.【答案】 ①②③④ 【解答】 如图所示: 则其中一个等腰三角形的腰长可以是① 2,②1,③ 2 ― 1,④ 3 2 ,不可以是 3. 故答案为:①②③④. 三、解答题(本大题有 8 小题,第 17~20 小题每小题 8 分,第 21 小题 10 分,第 22, 23 小题每小题 8 分,第 24 小题 14 分,共 80 分.解答需写出必要的文字说明、演算 步骤或证明过程) 17.【答案】 原式=2 2 ― 4 × 2 2 +1 =2 2 ― 2 2 +1 =1; (푥 + 푦)2 ― 푥(푥 + 2푦)=푥2 +2푥푦 + 푦2 ― 푥2 ― 2푥푦 =푦2. 【解答】 原式=2 2 ― 4 × 2 2 +1 =2 2 ― 2 2 +1 =1; (푥 + 푦)2 ― 푥(푥 + 2푦)=푥2 +2푥푦 + 푦2 ― 푥2 ― 2푥푦 =푦2. 18.【答案】 ∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是平行四边形, ∴ 퐴퐷 // 퐶퐹, ∴ ∠퐷퐴퐸=∠퐶퐹퐸,∠퐴퐷퐸=∠퐹퐶퐸, ∵ 点퐸是퐶퐷的中点, ∴ 퐷퐸=퐶퐸, 在 △ 퐴퐷퐸和 △ 퐹퐶퐸中,{∠퐷퐴퐸 = ∠퐶퐹퐸 ∠퐴퐷퐸 = ∠퐹퐶퐸 퐷퐸 = 퐶퐸  , ∴ △ 퐴퐷퐸≅ △ 퐹퐶퐸(퐴퐴푆), ∴ 퐶퐹=퐴퐷=2; ∵ ∠퐵퐴퐹=90∘, 第 11 页 共 22 页 ◎ 第 12 页 共 22 页 添加一个条件:当∠퐵=60∘时,∠퐹=90∘ ― 60∘=30∘(答案不唯一). 【解答】 ∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是平行四边形, ∴ 퐴퐷 // 퐶퐹, ∴ ∠퐷퐴퐸=∠퐶퐹퐸,∠퐴퐷퐸=∠퐹퐶퐸, ∵ 点퐸是퐶퐷的中点, ∴ 퐷퐸=퐶퐸, 在 △ 퐴퐷퐸和 △ 퐹퐶퐸中,{∠퐷퐴퐸 = ∠퐶퐹퐸 ∠퐴퐷퐸 = ∠퐹퐶퐸 퐷퐸 = 퐶퐸  , ∴ △ 퐴퐷퐸≅ △ 퐹퐶퐸(퐴퐴푆), ∴ 퐶퐹=퐴퐷=2; ∵ ∠퐵퐴퐹=90∘, 添加一个条件:当∠퐵=60∘时,∠퐹=90∘ ― 60∘=30∘(答案不唯一). 19.【答案】 表中푚的值为20,图中퐵组扇形的圆心角的度数为144∘; 这次抽样检验的合格率是95%,所购得的羽毛球中,非合格品的羽毛球有6只 【解答】 550 ÷ 55%=1000(只),1000 ― 400 ― 550 ― 30=20(只) 即:푚=20, 360∘ × 400 1000 = 144∘, 答:表中푚的值为20,图中퐵组扇形的圆心角的度数为144∘; 400 1000 + 550 1000 = 950 1000 = 95%, 12 × 10 × (1 ― 95%)=120 × 5%=6(只), 答:这次抽样检验的合格率是95%,所购得的羽毛球中,非合格品的羽毛球有6只. 20.【答案】 观察图象可知:푥=7,푦=2.75这组数据错误. 设푦=푘푥 + 푏,把푥=1,푦=0.75,푥=2,푦=1代入可得{푘 + 푏 = 0.75 2푘 + 푏 = 1  , 解得{푘 = 1 4 푏 = 1 2  , ∴ 푦 = 1 4푥 + 1 2, 当푥=16时,푦=4.5, 答:秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时,秤钩所挂物重是4.5斤. 【解答】 观察图象可知:푥=7,푦=2.75这组数据错误. 设푦=푘푥 + 푏,把푥=1,푦=0.75,푥=2,푦=1代入可得{푘 + 푏 = 0.75 2푘 + 푏 = 1  , 解得{푘 = 1 4 푏 = 1 2  , ∴ 푦 = 1 4푥 + 1 2, 当푥=16时,푦=4.5, 答:秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时,秤钩所挂物重是4.5斤. 21.【答案】 ∵ 퐴퐸=퐸퐹=퐴퐹=1, ∴ △ 퐴퐸퐹是等边三角形, ∴ ∠퐴퐹퐸=60∘, 连接푀퐹并延长交퐴퐸于퐾,则퐹푀=2퐹퐾, ∵ △ 퐴퐸퐹是等边三角形, ∴ 퐴퐾 = 1 2, ∴ 퐹퐾 = 퐴퐹2 ― 퐴퐾2 = 3 2 , ∴ 퐹푀=2퐹퐾 = 3, ∴ 퐵퐶=4퐹푀=4 3 ≈ 6.92 ≈ 6.9(푚); ∵ ∠퐴퐹퐸=74∘, ∴ ∠퐴퐹퐾=37∘, ∴ 퐾퐹=퐴퐹 ⋅ cos37∘ ≈ 0.80, ∴ 퐹푀=2퐹퐾=1.60, ∴ 퐵퐶=4퐹푀=6.40 < 6.92, 6.92 ― 6.40=0.5, 答:当∠퐴퐹퐸由60∘变为74∘时,棚宽퐵퐶是减少了,减少了0.5푚. 【解答】 ∵ 퐴퐸=퐸퐹=퐴퐹=1, 第 13 页 共 22 页 ◎ 第 14 页 共 22 页 ∴ △ 퐴퐸퐹是等边三角形, ∴ ∠퐴퐹퐸=60∘, 连接푀퐹并延长交퐴퐸于퐾,则퐹푀=2퐹퐾, ∵ △ 퐴퐸퐹是等边三角形, ∴ 퐴퐾 = 1 2, ∴ 퐹퐾 = 퐴퐹2 ― 퐴퐾2 = 3 2 , ∴ 퐹푀=2퐹퐾 = 3, ∴ 퐵퐶=4퐹푀=4 3 ≈ 6.92 ≈ 6.9(푚); ∵ ∠퐴퐹퐸=74∘, ∴ ∠퐴퐹퐾=37∘, ∴ 퐾퐹=퐴퐹 ⋅ cos37∘ ≈ 0.80, ∴ 퐹푀=2퐹퐾=1.60, ∴ 퐵퐶=4퐹푀=6.40 < 6.92, 6.92 ― 6.40=0.5, 答:当∠퐴퐹퐸由60∘变为74∘时,棚宽퐵퐶是减少了,减少了0.5푚. 22.【答案】 ∠퐷퐴퐶的度数不会改变; ∵ 퐸퐴=퐸퐶, ∴ ∠퐴퐸퐷=2∠퐶,① ∵ ∠퐵퐴퐸=90∘, ∴ ∠퐵퐴퐷 = 1 2[180∘ ― (90∘ ― 2∠퐶)]=45∘ +∠퐶, ∴ ∠퐷퐴퐸=90∘ ―∠퐵퐴퐷=90∘ ― (45∘ +∠퐶)=45∘ ―∠퐶,② 由①,②得,∠퐷퐴퐶=∠퐷퐴퐸 +∠퐶퐴퐸=45∘; 设∠퐴퐵퐶=푚∘, 则∠퐵퐴퐷 = 1 2(180∘ ― 푚∘)=90∘ ― 1 2푚∘,∠퐴퐸퐵=180∘ ― 푛∘ ― 푚∘, ∴ ∠퐷퐴퐸=푛∘ ―∠퐵퐴퐷=푛∘ ― 90∘ + 1 2푚∘, ∵ 퐸퐴=퐸퐶, ∴ ∠퐶퐴퐸 = 1 2∠퐴퐸퐵=90∘ ― 1 2푛∘ ― 1 2푚∘, ∴ ∠퐷퐴퐶=∠퐷퐴퐸 +∠퐶퐴퐸=푛∘ ― 90∘ + 1 2푚∘ + 90∘ ― 1 2푛∘ ― 1 2푚∘ = 1 2푛∘. 【解答】 ∠퐷퐴퐶的度数不会改变; ∵ 퐸퐴=퐸퐶, ∴ ∠퐴퐸퐷=2∠퐶,① ∵ ∠퐵퐴퐸=90∘, ∴ ∠퐵퐴퐷 = 1 2[180∘ ― (90∘ ― 2∠퐶)]=45∘ +∠퐶, ∴ ∠퐷퐴퐸=90∘ ―∠퐵퐴퐷=90∘ ― (45∘ +∠퐶)=45∘ ―∠퐶,② 由①,②得,∠퐷퐴퐶=∠퐷퐴퐸 +∠퐶퐴퐸=45∘; 设∠퐴퐵퐶=푚∘, 则∠퐵퐴퐷 = 1 2(180∘ ― 푚∘)=90∘ ― 1 2푚∘,∠퐴퐸퐵=180∘ ― 푛∘ ― 푚∘, ∴ ∠퐷퐴퐸=푛∘ ―∠퐵퐴퐷=푛∘ ― 90∘ + 1 2푚∘, ∵ 퐸퐴=퐸퐶, ∴ ∠퐶퐴퐸 = 1 2∠퐴퐸퐵=90∘ ― 1 2푛∘ ― 1 2푚∘, ∴ ∠퐷퐴퐶=∠퐷퐴퐸 +∠퐶퐴퐸=푛∘ ― 90∘ + 1 2푚∘ + 90∘ ― 1 2푛∘ ― 1 2푚∘ = 1 2푛∘. 23.【答案】 设抛物线的表达式为:푦=푎(푥 ― 7)2 +2.88, 将푥=0,푦=1.9代入上式并解得:푎 = ― 1 50, 故抛物线的表达式为:푦 = ― 1 50(푥 ― 7)2 +2.88; 当푥=9时,푦 = ― 1 50(푥 ― 7)2 +2.88=2.8 > 2.24, 当푥=18时,푦 = ― 1 50(푥 ― 7)2 +2.88=0.64 > 0, 故这次发球过网,但是出界了; 如图,分别过点作底线、边线的平行线푃푄、푂푄交于点푄, 在푅푡 △ 푂푃푄中,푂푄=18 ― 1=17, 当푦=0时,푦 = ― 1 50(푥 ― 7)2 +2.88=0,解得:푥=19或 ― 5(舍去 ― 5), ∴ 푂푃=19,而푂푄=17, 故푃푄=6 2 = 8.4, ∵ 9 ― 8.4 ― 0.5=0.1, ∴ 发球点푂在底线上且距右边线0.1米处. 【解答】 设抛物线的表达式为:푦=푎(푥 ― 7)2 +2.88, 将푥=0,푦=1.9代入上式并解得:푎 = ― 1 50, 故抛物线的表达式为:푦 = ― 1 50(푥 ― 7)2 +2.88; 当푥=9时,푦 = ― 1 50(푥 ― 7)2 +2.88=2.8 > 2.24, 当푥=18时,푦 = ― 1 50(푥 ― 7)2 +2.88=0.64 > 0, 故这次发球过网,但是出界了; 如图,分别过点作底线、边线的平行线푃푄、푂푄交于点푄, 第 15 页 共 22 页 ◎ 第 16 页 共 22 页 在푅푡 △ 푂푃푄中,푂푄=18 ― 1=17, 当푦=0时,푦 = ― 1 50(푥 ― 7)2 +2.88=0,解得:푥=19或 ― 5(舍去 ― 5), ∴ 푂푃=19,而푂푄=17, 故푃푄=6 2 = 8.4, ∵ 9 ― 8.4 ― 0.5=0.1, ∴ 发球点푂在底线上且距右边线0.1米处. 24.【答案】 如图1中, 过点퐶′作퐶′퐻 ⊥ 푂퐹于퐻. ∵ ∠퐻퐶′푂=훼=30∘, ∴ 퐶′퐻=퐶′푂 ⋅ cos30∘=2 3, ∴ 点퐶′到直线푂퐹的距离为2 3. ①如图2中,当퐶′푃 // 푂퐹时,过点퐶′作퐶′푀 ⊥ 푂퐹于푀. ∵ 퐶′푃 // 푂퐹, ∴ ∠푂=180∘ ―∠푂퐶′푃=45∘, ∴ △ 푂퐶′푀是等腰直角三角形, ∵ 푂퐶′=4, ∴ 퐶′푀=2 2, ∴ 点퐶′到直线퐷퐸的距离为2 2 ― 2. 如图3中,当퐶′푃 // 퐷퐺时,过点퐶′作퐶′푁 ⊥ 퐹퐺于푁. 同法可证 △ 푂퐶′푁是等腰直角三角形, ∴ 퐶′푁=2 2, ∴ 点퐶′到直线퐷퐸的距离为2 2 +2. ②设푑为所求的距离. 第一种情形:如图4中,当点퐴′落在퐷퐸上时,连接푂퐴′,延长퐸퐷交푂퐶于푀. ∵ 푂퐴′=2 5,푂푀=2,∠푂푀퐴′=90∘, ∴ 퐴′푀 = 퐴′푂2 ― 푂푀2 = (2 5)2 ― 22 = 4, ∴ 퐴′퐷=2,即푑=2, 如图5中,当点푃落在퐷퐸上时,连接푂푃,过点푃作푃푄 ⊥ 퐶′퐵′于푄. 第 17 页 共 22 页 ◎ 第 18 页 共 22 页 ∵ 푃푄=1,푂푄=5, ∴ 푂푃 = 52 + 12 = 26, ∴ 푃푀 = 26 ― 4 = 22, ∴ 푃퐷 = 22 ― 2, ∴ 푑 = 22 ― 2, ∴ 2 ≤ 푑 ≤ 22 ― 2. 第二种情形:当퐴′푃与퐹퐺相交,不与퐸퐹相交时,当点퐴′在퐹퐺上时,퐴′퐺=2 5 ― 2,即 푑=2 5 ― 2, 如图6中,当点푃落在퐸퐹上时,设푂퐹交퐴′퐵′于푄,过点푃作푃푇 ⊥ 퐵′퐶′于푇,过点푃作푃푅  // 푂푄交푂퐵′于푅,连接푂푃. ∵ 푂푃 = 26,푂퐹=5, ∴ 퐹푃 = 푂푃2 ― 푂퐹2 = 26 ― 25 = 1, ∵ 푂퐹=푂푇,푃퐹=푃푇,∠퐹=∠푃푇푂=90∘, ∴ 푅푡 △ 푂푃퐹≅푅푡 △ 푂푃푇(퐻퐿), ∴ ∠퐹푂푃=∠푇푂푃, ∵ 푃푄 // 푂푄, ∴ ∠푂푃푅=∠푃푂퐹, ∴ ∠푂푃푅=∠푃푂푅, ∴ 푂푅=푃푅, ∵ 푃푇2 + 푇푅2=푃푅2, ∴ 12 +(5 ― 푃푅)2=푃푅2, ∴ 푃푅=2.6,푅푇=2.4, ∵ △ 퐵′푃푅 ∽△ 퐵′푄푂, ∴ 퐵′푅 퐵′푂 = 푃푅 푄푂, ∴ 3.4 6 = 2.6 푂푄, ∴ 푂푄 = 78 17, ∴ 푄퐺=푂푄 ― 푂퐺 = 44 17,即푑 = 44 17 ∴ 2 5 ― 2 ≤ 푑 < 44 17, 第三种情形:当퐴′푃经过点퐹时,如图7中,显然푑=3. 综上所述,2 ≤ 푑 ≤ 22 ― 2或푑=3. 【解答】 如图1中, 第 19 页 共 22 页 ◎ 第 20 页 共 22 页 过点퐶′作퐶′퐻 ⊥ 푂퐹于퐻. ∵ ∠퐻퐶′푂=훼=30∘, ∴ 퐶′퐻=퐶′푂 ⋅ cos30∘=2 3, ∴ 点퐶′到直线푂퐹的距离为2 3. ①如图2中,当퐶′푃 // 푂퐹时,过点퐶′作퐶′푀 ⊥ 푂퐹于푀. ∵ 퐶′푃 // 푂퐹, ∴ ∠푂=180∘ ―∠푂퐶′푃=45∘, ∴ △ 푂퐶′푀是等腰直角三角形, ∵ 푂퐶′=4, ∴ 퐶′푀=2 2, ∴ 点퐶′到直线퐷퐸的距离为2 2 ― 2. 如图3中,当퐶′푃 // 퐷퐺时,过点퐶′作퐶′푁 ⊥ 퐹퐺于푁. 同法可证 △ 푂퐶′푁是等腰直角三角形, ∴ 퐶′푁=2 2, ∴ 点퐶′到直线퐷퐸的距离为2 2 +2. ②设푑为所求的距离. 第一种情形:如图4中,当点퐴′落在퐷퐸上时,连接푂퐴′,延长퐸퐷交푂퐶于푀. ∵ 푂퐴′=2 5,푂푀=2,∠푂푀퐴′=90∘, ∴ 퐴′푀 = 퐴′푂2 ― 푂푀2 = (2 5)2 ― 22 = 4, ∴ 퐴′퐷=2,即푑=2, 如图5中,当点푃落在퐷퐸上时,连接푂푃,过点푃作푃푄 ⊥ 퐶′퐵′于푄. 第 21 页 共 22 页 ◎ 第 22 页 共 22 页 ∵ 푃푄=1,푂푄=5, ∴ 푂푃 = 52 + 12 = 26, ∴ 푃푀 = 26 ― 4 = 22, ∴ 푃퐷 = 22 ― 2, ∴ 푑 = 22 ― 2, ∴ 2 ≤ 푑 ≤ 22 ― 2. 第二种情形:当퐴′푃与퐹퐺相交,不与퐸퐹相交时,当点퐴′在퐹퐺上时,퐴′퐺=2 5 ― 2,即 푑=2 5 ― 2, 如图6中,当点푃落在퐸퐹上时,设푂퐹交퐴′퐵′于푄,过点푃作푃푇 ⊥ 퐵′퐶′于푇,过点푃作푃푅  // 푂푄交푂퐵′于푅,连接푂푃. ∵ 푂푃 = 26,푂퐹=5, ∴ 퐹푃 = 푂푃2 ― 푂퐹2 = 26 ― 25 = 1, ∵ 푂퐹=푂푇,푃퐹=푃푇,∠퐹=∠푃푇푂=90∘, ∴ 푅푡 △ 푂푃퐹≅푅푡 △ 푂푃푇(퐻퐿), ∴ ∠퐹푂푃=∠푇푂푃, ∵ 푃푄 // 푂푄, ∴ ∠푂푃푅=∠푃푂퐹, ∴ ∠푂푃푅=∠푃푂푅, ∴ 푂푅=푃푅, ∵ 푃푇2 + 푇푅2=푃푅2, ∴ 12 +(5 ― 푃푅)2=푃푅2, ∴ 푃푅=2.6,푅푇=2.4, ∵ △ 퐵′푃푅 ∽△ 퐵′푄푂, ∴ 퐵′푅 퐵′푂 = 푃푅 푄푂, ∴ 3.4 6 = 2.6 푂푄, ∴ 푂푄 = 78 17, ∴ 푄퐺=푂푄 ― 푂퐺 = 44 17,即푑 = 44 17 ∴ 2 5 ― 2 ≤ 푑 < 44 17, 第三种情形:当퐴′푃经过点퐹时,如图7中,显然푑=3. 综上所述,2 ≤ 푑 ≤ 22 ― 2或푑=3.
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