黔东南州2020年中考数学试题及答案

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黔东南州2020年中考数学试题及答案

黔东南州 2020 年中考数学试题及答案 1.﹣2020的倒数是( ) A.﹣2020 B.﹣ 1 2020 C.2020 D. 1 2020 2.下列运算正确的是( ) A.(x+y)2=x2+y2 B.x3+x4=x7 C.x3•x2=x6 D.(﹣3x)2=9x2 3.实数 2 10 介于( ) A.4和 5之间 B.5和 6之间 C.6和 7之间 D.7和 8之间 4.已知关于 x的一元二次方程 x2+5x﹣m=0的一个根是 2,则另一个根是( ) A.﹣7 B.7 C.3 D.﹣3 5.如图,将矩形 ABCD沿 AC折叠,使点 B落在点 B′处,B′C交 AD于点 E,若∠1 =25°,则∠2等于( ) A.25° B.30° C.50° D.60° 6.桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体,其主视图和左视图如图所示, 则组成这个几何体的小正方体的个数最多有( ) A.12个 B.8个 C.14个 D.13个 7.如图,⊙O的直径 CD=20,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为 M,OM:OD=3: 5,则 AB的长为( ) A.8 B.12 C.16 D.2 91 8.若菱形 ABCD的一条对角线长为 8,边 CD的长是方程 x2﹣10x+24=0的一个根,则 该菱形 ABCD的周长为( ) A.16 B.24 C.16或 24 D.48 9.如图,点 A是反比例函数 y 6 x  (x>0)上的一点,过点 A作 AC⊥y轴,垂足为点 C,AC交反比例函数 y= 2 x 的图象于点B,点P是 x轴上的动点,则△PAB的面积为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 10.如图,正方形 ABCD的边长为 2,O为对角线的交点,点 E、F分别为 BC、AD的 中点.以 C为圆心,2为半径作圆弧»BD,再分别以 E、F为圆心,1为半径作圆弧BO、 »OD,则图中阴影部分的面积为( ) A.π﹣1 B.π﹣2 C.π﹣3 D.4﹣π 11. 0cos60 = ______. 12.2020年以来,新冠肺炎橫行,全球经济遭受巨大损失,人民生命安全受到巨大威 胁.截止 6月份,全球确诊人数约 3200000人,其中 3200000用科学记数法表示为_____. 13.在实数范围内分解因式:xy2﹣4x=_____. 14.不等式组 5 1 3( 1) 1 11 4 2 3 x x x x        „ 的解集为_____. 15.把直线 y=2x﹣1向左平移 1个单位长度,再向上平移 2个单位长度,则平移后所 得直线的解析式为_____. 16.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,其与 x轴的一个交点坐标为(﹣ 3,0),对称轴为 x=﹣1,则当 y<0时,x的取值范围是_____. 17.以▱ ABCD对角线的交点 O为原点,平行于 BC边的直线为 x轴,建立如图所示的 平面直角坐标系.若 A点坐标为(﹣2,1),则 C点坐标为_____. 18.某校九(1)班准备举行一次演讲比赛,甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺 序,则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是_____. 19.如图,AB是半圆 O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点 O 到 CD 的距离 OE=______. 20.如图,矩形 ABCD中,AB=2,BC= 2 ,E为 CD的中点,连接 AE、BD交于点 P,过点 P作 PQ⊥BC于点 Q,则 PQ=_____. 21.(1)计算:( 1 2 ) ﹣2﹣| 2 ﹣3|+2tan45°﹣(2020﹣π)0; (2)先化简,再求值:( 3 1a  ﹣a+1)÷ 2 2 4 2 1 a a a    ,其中 a从﹣1,2,3中取一个你 认为合适的数代入求值. 22.某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试,成绩 x分(x为整数)评定为 优秀、良好、合格、不合格四个等级(优秀、良好、合格、不合格分别用 A、B、C、D 表示),A等级:90≤x≤100,B等级:80≤x<90,C等级:60≤x<80,D等级:0≤x <60.该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查,并绘制成如图不完整的统计图表. 等级 频数(人数) 频率 A a 20% B 16 40% C b m D 4 10% 请你根据统计图表提供的信息解答下列问题: (1)上表中的 a ,b= ,m= . (2)本次调查共抽取了多少名学生?请补全条形图. (3)若从 D等级的 4名学生中抽取两名学生进行问卷调查,请用画树状图或列表的方 法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率. 23.如图,AB是⊙O的直径,点 C是⊙O上一点(与点 A,B不重合),过点 C作直线 PQ,使得∠ACQ=∠ABC. (1)求证:直线 PQ是⊙O的切线. (2)过点 A作 AD⊥PQ于点 D,交⊙O于点 E,若⊙O的半径为 2,sin∠DAC= 1 2 , 求图中阴影部分的面积. 24.黔东南州某超市购进甲、乙两种商品,已知购进 3件甲商品和 2件乙商品,需 60 元;购进 2件甲商品和 3件乙商品,需 65元. (1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少? (2)设甲商品的销售单价为 x(单位:元/件),在销售过程中发现:当 11≤x≤19时, 甲商品的日销售量 y(单位:件)与销售单价 x之间存在一次函数关系,x、y之间的部 分数值对应关系如表: 销售单价 x(元/件) 11 19 日销售量 y(件) 18 2 请写出当 11≤x≤19时,y与 x之间的函数关系式. (3)在(2)的条件下,设甲商品的日销售利润为 w元,当甲商品的销售单价 x(元/ 件)定为多少时,日销售利润最大?最大利润是多少? 25.如图 1,△ABC和△DCE都是等边三角形. 探究发现 (1)△BCD与△ACE是否全等?若全等,加以证明;若不全等,请说明理由. 拓展运用 (2)若 B、C、E三点不在一条直线上,∠ADC=30°,AD=3,CD=2,求 BD的长. (3)若 B、C、E三点在一条直线上(如图 2),且△ABC和△DCE的边长分别为 1和 2,求△ACD的面积及 AD的长. 26.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x轴交于 A、B两点(点 A在点 B的左边),与 y轴交于点 C(0,﹣3),顶点 D的坐标为(1,﹣4). (1)求抛物线的解析式. (2)在 y轴上找一点 E,使得△EAC为等腰三角形,请直接写出点 E的坐标. (3)点 P是 x轴上的动点,点 Q是抛物线上的动点,是否存在点 P、Q,使得以点 P、 Q、B、D为顶点,BD为一边的四边形是平行四边形?若存在,请求出点 P、Q坐标; 若不存在,请说明理由. 参考答案 1.B 【解析】 【分析】 根据倒数的概念即可解答. 【详解】 解:根据倒数的概念可得,﹣2020的倒数是 1 2020  , 故选:B. 【点睛】 本题考查了倒数的概念,熟练掌握是解题的关键. 2.D 【解析】 【分析】 直接利用完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的乘法运算和积的乘方运算法则分别计算 得出答案. 【详解】 解:A、(x+y)2=x2+2xy+y2,故此选项错误; B、x3+x4,不是同类项,无法合并,故此选项错误; C、x3•x2=x5,故此选项错误; D、(﹣3x)2=9x2,正确. 故选:D. 【点睛】 此题主要考查整式的运算,熟练掌握各种整式运算法则是解题关键. 3.C 【解析】 【分析】 首先化简 2 10 = 40 ,再估算 40 ,由此即可判定选项. 【详解】 解:∵2 10 = 40 ,且 6< 40 <7, ∴6< 2 10 <7. 故选:C. 【点睛】 本题考查估算实数大小,方法就是用有理数来逼近,求该数的近似值,一般情况下要牢记 1 到 20 整数的平方,可以快速准确地进行估算. 4.A 【解析】 【分析】 根据根与系数的关系即可求出答案. 【详解】 解:设另一个根为 x,则 x+2=﹣5, 解得 x=﹣7. 故选:A. 【点睛】 此题主要考查一元二次方程根与系数的关系,正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题 关键. 5.C 【解析】 【分析】 由折叠的性质可得出∠ACB′的度数,由矩形的性质可得出 AD∥BC,再利用“两直线平行, 内错角相等”可求出∠2的度数. 【详解】 解:由折叠的性质可知:∠ACB′=∠1=25°. ∵四边形 ABCD为矩形, ∴AD∥BC, ∴∠2=∠1+∠ACB′=25°+25°=50°. 故选:C. 【点睛】 本题考查了矩形的折叠问题,解答关键是注意应用折叠前后图形的形状和大小不变,位置变 化,对应边和对应角相等的性质. 6.D 【解析】 【分析】 易得此几何体有三行,三列,判断出各行各列最多有几个正方体组成即可. 【详解】 解:底层正方体最多有 9个正方体,第二层最多有 4个正方体,所以组成这个几何体的小正 方体的个数最多有 13个. 故选:D. 【点睛】 本题考查了由三视图判断几何体的知识,解决本题的关键是利用“主视图疯狂盖,左视图拆 违章”找到所需正方体的个数. 7.C 【解析】 【分析】 连接 OA,先根据⊙O的直径 CD=20,OM:OD=3:5求出 OD及 OM的长,再根据勾股 定理可求出 AM的长,进而得出结论. 【详解】 连接 OA, ∵⊙O的直径 CD=20,OM:OD=3:5, ∴OD=10,OM=6, ∵AB⊥CD, ∴ 2 2 2 210 6 =8AM OA OM    , ∴AB=2AM=16. 故选:C. 【点睛】 本题考查了垂径定理和勾股定理的应用,解决与弦有关的问题时,往往需构造以半径、弦心 距和弦长的一半为三边的直角三角形,若设圆的半径为 r,弦长为 a,这条弦的弦心距为 d, 则有等式 2 2 2 2 ar d        成立,知道这三个量中的任意两个,就可以求出另外一个. 8.B 【解析】 【分析】 解方程得出 x=4或 x=6,分两种情况:①当 AB=AD=4时,4+4=8,不能构成三角形; ②当 AB=AD=6时,6+6>8,即可得出菱形 ABCD的周长. 【详解】 解:如图所示: ∵四边形 ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD, ∵x2﹣10x+24=0, 因式分解得:(x﹣4)(x﹣6)=0, 解得:x=4或 x=6, 分两种情况: ①当 AB=AD=4时,4+4=8,不能构成三角形; ②当 AB=AD=6时,6+6>8, ∴菱形 ABCD的周长=4AB=24. 故选:B. 【点睛】 本题考查菱形的性质、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系,熟练掌握并灵活 运用是解题的关键. 9.A 【解析】 【分析】 连接 OA、OB、PC.由于 AC⊥y轴,根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数 k的 几何意义得到 S△APC=S△AOC=3,S△BPC=S△BOC=1,然后利用 S△PAB=S△APC﹣S△APB进行计算. 【详解】 解:如图, 连接 OA、OB、PC. ∵AC⊥y轴, ∴S△APC=S△AOC= 1 2 ×|6|=3,S△BPC=S△BOC= 1 2 ×|2|=1, ∴S△PAB=S△APC﹣S△BPC=2. 故选:A. 【点睛】 本题考查了反比例函数的比例系数 k的几何意义:在反比例函数图象中任取一点,过这一个 点向 x轴和 y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|. 10.B 【解析】 【分析】 根据题意和图形,可知阴影部分的面积是以 2为半径的四分之一个圆(扇形)的面积减去以 1为半径的半圆(扇形)的面积再减去 2个以边长为 1的正方形的面积减去以 1半径的四分 之一个圆(扇形)的面积,本题得以解决. 【详解】 解:由题意可得, 阴影部分的面积是: 1 4 •π×22﹣ 21 1 2   ﹣2(1×1﹣ 1 4 •π×12)=π﹣2, 故选:B. 【点睛】 本题主要考查运用正方形的性质,圆的面积公式(或扇形的面积公式),正方形的面积公式 计算不规则几何图形的面积,解题的关键是理解题意,观察图形,合理分割,转化为规则图 形的面积和差进行计算. 11. 1 2 . 【解析】 【分析】 根据特殊角的三角函数值填空即可. 【详解】 由特殊角的三角函数值,能够确定 cos60 = 1 2 . 故答案是 1 2 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值,解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值. 12.3.2×106 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 10 na  的形式,其中1 10a  ,n为整数.确定 n的值时,要 看把原数变成 a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝 对值 10时,n是正数;当原数的绝对值 1 时,n是负数. 【详解】 由科学记数法的定义得: 63200000 3.2 10  故答案为: 63.2 10 . 【点睛】 本题考查了科学记数法的定义,熟记定义是解题键. 13. ( )(2 2)x y y  【解析】 【分析】 先提公因式 x,再运用平方差公式分解因式即可求解. 【详解】 解:xy2﹣4x =x(y2﹣4) = ( )(2 2)x y y  . 故答案为: ( )(2 2)x y y  . 【点睛】 本题考查因式分解的方法,熟练掌握提公因式法和公式法对因式进行分解是解题的关键. 14.2<x≤6 【解析】 【分析】 先根据解不等式的基本步骤求出每个不等式的解集,再根据“大小小大中间找”可确定不等式 组的解集. 【详解】 解:解不等式 5x﹣1>3(x+1),得:x>2, 解不等式 1 2 x﹣1≤4﹣ 1 3 x,得:x≤6, 则不等式组的解集为 2<x≤6, 故答案为:2<x≤6. 【点睛】 本题主要考查解一元一次不等式组,熟知同大取大;同小取小,大小小大中间找,大大小小 找不到的原则是解答此题的关键. 15.y=2x+3 【解析】 【分析】 直接利用一次函数的平移规律进而得出答案. 【详解】 解:把直线 y=2x﹣1向左平移 1个单位长度,得到 y=2(x+1)﹣1=2x+1, 再向上平移 2个单位长度,得到 y=2x+3. 故答案为:y=2x+3. 【点睛】 本题考查了一次函数的平移,熟练掌握是解题的关键. 16.﹣3<x<1 【解析】 【分析】 根据抛物线与 x轴的一个交点坐标和对称轴,由抛物线的对称性可求抛物线与 x轴的另一个 交点,再根据抛物线的增减性可求当 y<0时,x的取值范围. 【详解】 解:∵抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x轴的一个交点为(﹣3,0),对称轴为 x=﹣1, ∴抛物线与 x轴的另一个交点为(1,0), 由图象可知,当 y<0时,x的取值范围是﹣3<x<1. 故答案为:﹣3<x<1. 【点睛】 本题考查了二次函数的性质和数形结合能力,熟练掌握并灵活运用是解题的关键. 17.(2,﹣1) 【解析】 【分析】 根据平行四边形是中心对称图形,再根据▱ ABCD对角线的交点 O为原点和点 A的坐标, 即可得到点 C的坐标. 【详解】 解:∵▱ ABCD对角线的交点 O为原点,A点坐标为(﹣2,1), ∴点 C的坐标为(2,﹣1), 故答案为:(2,﹣1). 【点睛】 此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示. 18. 1 6 【解析】 【分析】 首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与出场顺序恰好是甲、乙、 丙的情况,再利用概率公式求解即可求得答案. 【详解】 解:画出树状图得: ∵共有 6种等可能的结果,其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的只有 1种结果, ∴出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为 1 6 , 故答案为: 1 6 . 【点睛】 本题考查了树状图法求概率问题,关键是根据题意正确画出树状图进而求解. 19. 2 【解析】 试题分析:∵∠CAB=30°,AC=AD,OA=OC,∴∠ACD=75°,∠ACO=30°,∴∠OCE=45°, ∵OE⊥CD,∴△OCE为等腰直角三角形, ∵OC=2,∴OE= 2 . 考点:(1)、圆的基本性质;(2)、勾股定理 20. 4 3 【解析】 【分析】 根据矩形的性质得到 AB∥CD,AB=CD,AD=BC,∠BAD=90°,根据线段中点的定义得 到 DE= 1 2 CD= 1 2 AB,根据相似三角形的判定证明△ABP∽△EDP,再利用相识三角形的 性质和判定即可得到结论. 【详解】 解:∵四边形 ABCD是矩形, ∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC,∠BAD=90°, ∵E为 CD的中点, ∴DE= 1 2 CD= 1 2 AB, ∴△ABP∽△EDP, ∴ AB DE = PB PD , ∴ 2 1 = PB PD , ∴ PB BD = 2 3 , ∵PQ⊥BC, ∴PQ∥CD, ∴△BPQ∽△DBC, ∴ PQ CD = BP BD = 2 3 , ∵CD=2, ∴PQ= 4 3 , 故答案为: 4 3 . 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质,相似三角形的判定和性质的应用,运用矩形的性质和相似三角 形判定和性质证明△ABP∽△EDP得到 2 1 = PB PD 是解题的关键. 21.(1)2+ 2 ;(2)﹣a﹣1,-4 【解析】 【分析】 (1)先算负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、然后再算加减法即可; (2)先运用分式的相关运算法则化简,最后确保分式有意义的前提下,选择一个 a的值代 入计算即可. 【详解】 解:(1)( 1 2 ) ﹣2﹣| 2 ﹣3|+2tan45°﹣(2020﹣π)0 =4+ 2 ﹣3+2×1﹣1 =4+ 2 ﹣3+2﹣1 =2+ 2 ; (2)( 3 1a  ﹣a+1)÷ 2 2 4 2 1 a a a    = 3 ( 1)( 1) 1 a a a     × 2( 1) ( 2)( 2) a a a    =           22 2 1 1 2 2 a a a a a a         =﹣a﹣1, 要使原式有意义,只能 a=3, 则当 a=3时,原式=﹣3﹣1=﹣4. 【点睛】 本题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值以及分式的化简求值,掌握实数的相关知 识以及分式四则运算的法则是解答本题的关键. 22.(1)8,12,30%;(2)40名,补图见解析;(3) 2 3 【解析】 【分析】 (1)根据题意列式计算即可得到结论; (2)用 D等级人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数; (3)列表将所有等可能的结果列举出来,利用概率公式求解即可. 【详解】 解:(1)a=16÷40%×20%=8,b=16÷40%×(1﹣20%﹣40%﹣10%)=12,m=1﹣20% ﹣40%﹣10%=30%; 故答案为:8,12,30%; (2)本次调查共抽取了 4÷10%=40名学生; 补全条形图如图所示; (3)将男生分别标记为 A,B,女生标记为 a,b, A B a b A (A,B) (A,a) (A,b) B (B,A) (B,a) (B,b) a (a,A) (a,B) (a,b) b (b,A) (b,B) (b,a) ∵共有 12种等可能的结果,恰为一男一女的有 8种, ∴抽得恰好为“一男一女”的概率为 8 12 = 2 3 . 【点睛】 此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图、扇形统计图的应用.用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比. 23.(1)见解析;(2) 2 3  ﹣ 3. 【解析】 【分析】 (1)连接 OC,由直径所对的圆周角为直角,可得∠ACB=90°;利用等腰三角形的性质及 已知条件∠ACQ=∠ABC,可求得∠OCQ=90°,按照切线的判定定理可得结论. (2)由 sin∠DAC= 1 2 ,可得∠DAC=30°,从而可得∠ACD的 度数,进而判定△AEO 为等边三角形,则∠AOE的度数可得;利用 S 阴影=S 扇形﹣S△AEO,可求得答案. 【详解】 解:(1)证明:如图,连接 OC, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∵OA=OC, ∴∠CAB=∠ACO. ∵∠ACQ=∠ABC, ∴∠CAB+∠ABC=∠ACO+∠ACQ=∠OCQ=90°,即 OC⊥PQ, ∴直线 PQ是⊙O的切线. (2)连接 OE, ∵sin∠DAC= 1 2 ,AD⊥PQ, ∴∠DAC=30°,∠ACD=∠ABC=60°. ∴∠BAC=30°, ∴∠BAD=∠DAC+∠BAC=60°, 又∵OA=OE, ∴△AEO为等边三角形, ∴∠AOE=60°. ∴S 阴影=S 扇形﹣S△AEO =S 扇形﹣ 1 2 OA•OE•sin60° = 260 1 32 2 2 360 2 2       = 2 3 3   . ∴图中阴影部分的面积为 2 3  ﹣ 3. 【点睛】 本题考查了切线的判定和性质,求弓形的面积和扇形的面积,等腰三角形的性质,等边三角 形的判定和性质,以及三角函数,解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题. 24.(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是 10、15元/件;(2)y=﹣2x+40(11≤x≤19).(3) 当甲商品的销售单价定为 15元/件时,日销售利润最大,最大利润是 50元. 【解析】 【分析】 (1)设甲、乙两种商品的进货单价分别是 a、b元/件,然后列出二元一次方程组并求解即 可; (2)设 y与 x之间的函数关系式为 y=k1x+b1,用待定系数法求解即可; (3)先列出利润和销售量的函数关系式,然后运用二次函数的性质求最值即可. 【详解】 解:(1)设甲、乙两种商品的进货单价分别是 a、b元/件,由题意得: 3 2 60 2 3 65 a b a b      , 解得: 10 15 a b    . ∴甲、乙两种商品的进货单价分别是 10、15元/件. (2)设 y与 x之间的函数关系式为 y=k1x+b1,将(11,18),(19,2)代入得: 1 1 1 1 11k b 18 19k b 2      ,解得: 1 1 2 40 k b     . ∴y与 x之间的函数关系式为 y=﹣2x+40(11≤x≤19). (3)由题意得: w=(﹣2x+40)(x﹣10) =﹣2x2+60x﹣400 =﹣2(x﹣15)2+50(11≤x≤19). ∴当 x=15时,w取得最大值 50. ∴当甲商品的销售单价定为 15元/件时,日销售利润最大,最大利润是 50元. 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求 最值等知识点,弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键. 25.(1)全等,理由见解析;(2)BD= 13;(3)△ACD的面积为 3 2 ,AD= 3. 【解析】 【分析】 (1)依据等式的性质可证明∠BCD=∠ACE,然后依据 SAS可证明△ACE≌△BCD; (2)由(1)知:BD=AE,利用勾股定理计算 AE的长,可得 BD的长; (3)过点 A作 AF⊥CD于 F,先根据平角的定义得∠ACD=60°,利用特殊角的三角函数 可得 AF的长,由三角形面积公式可得△ACD的面积,最后根据勾股定理可得 AD的长. 【详解】 解:(1)全等,理由是: ∵△ABC和△DCE都是等边三角形, ∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°, ∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD, 即∠BCD=∠ACE, 在△BCD和△ACE中, CD CE BCD ACE BC AC       , ∴△ACE≌△BCD(SAS); (2)如图 3,由(1)得:△BCD≌△ACE, ∴BD=AE, ∵△DCE都是等边三角形, ∴∠CDE=60°,CD=DE=2, ∵∠ADC=30°, ∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=30°+60°=90°, 在 Rt△ADE中,AD=3,DE=2, ∴ 2 2 9 4 13AE AD DE     , ∴BD= 13; (3)如图 2,过点 A作 AF⊥CD于 F, ∵B、C、E三点在一条直线上, ∴∠BCA+∠ACD+∠DCE=180°, ∵△ABC和△DCE都是等边三角形, ∴∠BCA=∠DCE=60°, ∴∠ACD=60°, 在 Rt△ACF中,sin∠ACF= AF AC , ∴AF=AC×sin∠ACF= 3 31 2 2   , ∴S△ACD= 1 1 3 32 2 2 2 2 CD AF      , ∴CF=AC×cos∠ACF=1× 1 1 2 2  ,FD=CD﹣CF= 1 32 2 2   , 在 Rt△AFD中,AD2=AF2+FD2= 2 23 3 3 2 2             , ∴AD= 3. 【点睛】 本题考查等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,解直角三角形,勾股定理等,第(3) 小题巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键. 26.(1)yx2﹣2x﹣3;(2)满足条件的点 E的坐标为(0,3)、(0,﹣3+ 10 )、(0,﹣3﹣ 10 )、(0,﹣ 4 3 );(3)存在,P(﹣1+2 2 ,0)、Q(1+2 2 ,4)或 P(﹣1﹣2 2 , 0)、Q(1﹣2 2 ,4). 【解析】 【分析】 (1)根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式,再将点 C坐标代入求解,即可得出结论; (2)先求出点 A,C坐标,设出点 E坐标,表示出 AE,CE,AC,再分三种情况建立方程 求解即可; (3)利用平移先确定出点 Q的纵坐标,代入抛物线解析式求出点 Q的横坐标,即可得出结 论. 【详解】 解:(1)∵抛物线的顶点为(1,﹣4), ∴设抛物线的解析式为 y=a(x﹣1)2﹣4, 将点 C(0,﹣3)代入抛物线 y=a(x﹣1)2﹣4中,得 a﹣4=﹣3, ∴a=1, ∴抛物线的解析式为 y=a(x﹣1)2﹣4=x2﹣2x﹣3; (2)由(1)知,抛物线的解析式为 y=x2﹣2x﹣3, 令 y=0,则 x2﹣2x﹣3=0, ∴x=﹣1或 x=3, ∴B(3,0),A(﹣1,0), 令 x=0,则 y=﹣3, ∴C(0,﹣3), ∴AC= 10 , 设点 E(0,m),则 AE= 2 1m  ,CE=|m+3|, ∵△ACE是等腰三角形, ∴①当 AC=AE时, 10 = 2 1m  , ∴m=3或 m=﹣3(点 C的纵坐标,舍去), ∴E(3,0), ②当 AC=CE时, 10 =|m+3|, ∴m=﹣3± 10 , ∴E(0,﹣3+ 10 )或(0,﹣3﹣ 10 ), ③当 AE=CE时, 2 1m  =|m+3|, ∴m=﹣ 4 3 , ∴E(0,﹣ 4 3 ), 即满足条件的点 E的坐标为(0,3)、(0,﹣3+ 10 )、(0,﹣3﹣ 10 )、(0,﹣ 4 3 ); (3)如图,存在,∵D(1,﹣4), ∴将线段 BD向上平移 4个单位,再向右(或向左)平移适当的距离,使点 B的对应点落在 抛物线上,这样便存在点 Q,此时点 D的对应点就是点 P, ∴点 Q的纵坐标为 4, 设 Q(t,4), 将点 Q的坐标代入抛物线 y=x2﹣2x﹣3中得,t2﹣2t﹣3=4, ∴t=1+2 2或 t=1﹣2 2, ∴Q(1+2 2,4)或(1﹣2 2,4), 分别过点 D,Q作 x轴的垂线,垂足分别为 F,G, ∵抛物线 y=x2﹣2x﹣3与 x轴的右边的交点 B的坐标为(3,0),且 D(1,﹣4), ∴FB=PG=3﹣1=2, ∴点 P的横坐标为(1+2 2)﹣2=﹣1+2 2或(1﹣2 2)﹣2=﹣1﹣2 2, 即 P(﹣1+2 2 ,0)、Q(1+2 2 ,4)或 P(﹣1﹣2 2 ,0)、Q(1﹣2 2 ,4). 【点睛】 此题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何综合,熟练掌握二次函数的图 象和性质是解题关键.
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