2020-2021学年初三数学上册同步练习:一元二次方程的根与系数的关系

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2020-2021学年初三数学上册同步练习:一元二次方程的根与系数的关系

2020-2021 学年初三数学上册同步练习:一元二次方程的根与系数的关系 1.关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k+1=0 的两个实根 x1,x2,满足 x1+x2﹣x1x2<﹣1,则 k 的取值范围在数 轴上表示为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析:根据根的判别式和根与系数的关系列出不等式,求出解集. 解:∵关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k+1=0 有两个实根, ∴△≥0, ∴4﹣4(k+1)≥0, 解得 k≤0, ∵x1+x2=﹣2,x1•x2=k+1, ∴﹣2﹣(k+1)<﹣1, 解得 k>﹣2, 不等式组的解集为﹣2<k≤0, 在数轴上表示为: , 故选 D. 点评:本题考查了根的判别式、根与系数的关系,在数轴上找到公共部分是解题的关键. 2.若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m=0 有一个解为 x=﹣1,则另一个解为( ) A.1 B.﹣3 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 【分析】设方程的另一个解为 x1,根据两根之和等于﹣ b a ,即可得出关于 x1 的一元一次方程,解之即可得 出结论. 【详解】 设方程的另一个解为 x1, 根据题意得:﹣1+x1=2, 解得:x1=3, 故选 C. 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解,牢记两根之和等于﹣ 、两根之积等于 c a 是 解题的关键. 3.设 a,b 是方程 x2+x-2009=0 的两个实数根,则 a2+2a+b 的值为( ) A.2006 B.2007 C.2008 D.2009 【答案】C 【解析】 分析:由于 a2+2a+b=(a2+a)+(a+b),故根据方程的解的意义,求得(a2+a)的值,由根与系数的关系得 到(a+b)的值,即可求解. 解答:解:∵a 是方程 x2+x-2009=0 的根, ∴a2+a=2009; 由根与系数的关系得:a+b=-1, ∴a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)=2009-1=2008. 故选 C. 4.已知一元二次方程 x2-3x-2=0 的两个实数根为 x1,x2,则(x1-1)(x2-1)的值是______________. 【答案】-4 【解析】 【分析】【详解】 ∵一元二次方程 x2﹣3x﹣2=0 的两个实数根为 x1,x2, ∴x1+x2=3,x1x2=-2, ∴(x1-1)( x2-1)=x1x2-x2-x1+1=x1x2-(x1+x2)+1=-2-3+1=-4, 故答案为-4. 5.已知 x1 , x2 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣5x+a=0 的两个实数根,且 x12﹣x22=10,则 a=____. 【答案】 21 4 【解析】 ∵ 12xx、 是关于 x 的一元二次方程 2 50xxa 的两个实数根, ∴ 1212 5xxxxa , , 又∵ 22 1 2 1 2 1 2( )( ) 10x x x x x x     , ∴ 122xx  , 又∵ 22 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4x x x x x x x x       , ∴ 25 4 2 a,解得: 21 4a  . 【点评】(1)若关于 x 的一元二次方程 2 ( 0)0 axbxca 的两根分别是 12xx、 ,则: 1212 cxxaxx a , ;( 2)当 120xx  时, 2 121212 ()4xxxxxx . 6.如果 m,n 是两个不相等的实数,且满足 m2﹣m=3,n2﹣n=3,那么代数式 2n2﹣mn+2m+2015= . 【答案】2026 【解析】 【分析】【详解】 由题意可知:m,n 是两个不相等的实数,且满足 m2-m=3,n2-n=3, 所以 m,n 是 x2-x-3=0 的两个不相等的实数根, 则根据根与系数的关系可知:m+n=1,mn=-3, 又 n2=n+3, 则 2n2-mn+2m+2015 =2(n+3)-mn+2m+2015 =2n+6-mn+2m+2015 =2(m+n)-mn+2021 =2×1-(-3)+2021 =2+3+2021 =2026. 7.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x2-8x+7=0 的两个根,则这个直角三角形的斜边长是 ______. 【答案】3 【解析】 试题分析:设直角三角形的斜边为 c,两直角边分别为 a 与 b. ∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x2-8x+7=0 的两个根, ∴a+b=4,ab=3.5; 根据勾股定理可得:c2=a2+b2=(a+b)2-2ab=16-7=9, ∴c=3, 即直角三角形的斜边长为 3. 故答案为 3. 【点评】此题主要考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的 解题方法. 8.已知关于 x 的方程 x2-(2k-1)x+k2-2k+3=0 有两个不相等的实数根. (1)求实数 k 的取值范围. (2)设方程的两个实数根分别为 x1,x2,是否存在这样的实数 k,使得|x1|-|x2|= 5 成立?若存在,求出这 样的 k 值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1) k> 11 4 ;( 2)4. 【解析】 【分析】(1)由方程有两个不相等的实数根知△ >0,列出关于 k 的不等式求解可得; (2)由韦达定理知 x1+x2=2k﹣1,x1x2=k2﹣2k+2=(k﹣1)2+1>0,可以判断出 x1>0,x2>0.将原式两边 平方后把 x1+x2、x1x2 代入得到关于 k 的方程,求解可得. 【详解】 解:(1)由题意知△ >0,∴[﹣(2k﹣1)]2﹣4×1×(k2﹣2k+2)>0,整理得:4k﹣7>0,解得:k 7 4 > ; (2)由题意知 x1+x2=2k﹣1,x1x2=k2﹣2k+2=(k+1)2+1>0,∴x1,x2 同号. ∵x1+x2=2k﹣1> 7214= 5 2 ,∴x1>0,x2>0. ∵|x1|﹣|x2| 5 ,∴x1﹣x2 ,∴x12﹣2x1x2+x22=5,即(x1+x2)2﹣4x1x2=5,代入得:(2k﹣1)2﹣4(k2 ﹣2k+2)=5,整理,得:4k﹣12=0,解得:k=3. 【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式,熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定 理是解题的关键. 9.已知关于 x 的一元二次方程 x2-6x+m+4=0 有两个实数根 x1,x2. (1)求 m 的取值范围; (2)若 x1,x2 满足 3x1=|x2|+2,求 m 的值. 【答案】(1)m≤5.( 2)4. 【解析】 【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△ =20-4m≥0,解之即可得出结论; (2)由根与系数的关系可得 x1+x2=6①、x1•x2=m+4②,分 x2≥0 和 x2<0 可找出 3x1=x2+2③或 3x1=-x2+2④, 联立①③或①④求出 x1、x2 的值,进而可求出 m 的值. 【详解】 解:(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2-6x+m+4=0 有两个实数根 x1,x2, ∴△=(-6)2-4(m+4)=20-4m≥0, 解得:m≤5, ∴m 的取值范围为 m≤5. (2)∵关于 x 的一元二次方程 x2-6x+m+4=0 有两个实数根 x1,x2, ∴x1+x2=6①,x1•x2=m+4②. ∵3x1=|x2|+2, 当 x2≥0 时,有 3x1=x2+2③, 联立①③解得:x1=2,x2=4, ∴8=m+4,m=4; 当 x2<0 时,有 3x1=-x2+2④, 联立①④解得:x1=-2,x2=8(不合题意,舍去). ∴符合条件的 m 的值为 4. 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式,一元二次方程根与系数关系.(1)根据方程的系数结合根的 判别式,找出△ =20-4m≥0;( 2)分 x2≥0 和 x2<0 两种情况求出 x1、x2 的值. 10.已知关于 x 的方程 x2+(2k﹣1)x+k2﹣1=0 有两个实数根 x1,x2. (1)求实数 k 的取值范围; (2)若 x1,x2 满足 x12+x22=16+x1x2,求实数 k 的值. 【答案】(1) k≤ 5 4 ;(2)-2. 【解析】 试题分析:(1)根据方程的系数结合根的判别式,即可得出△ =﹣4k+5≥0,解之即可得出实数 k 的取值范围; (2)由根与系数的关系可得 x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1,将其代入 x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=16+x1x2 中, 解之即可得出 k 的值. 试题解析:(1)∵关于 x 的方程 x2+(2k﹣1)x+k2﹣1=0 有两个实数根 x1,x2, ∴△=(2k﹣1)2﹣4(k2﹣1)=﹣4k+5≥0,解得:k≤ , ∴实数 k 的取值范围为 k≤ . (2)∵关于 x 的方程 x2+(2k﹣1)x+k2﹣1=0 有两个实数根 x1,x2, ∴x1+x2=1﹣2k,x1x2=k2﹣1.∵x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=16+x1x2, ∴(1﹣2k)2﹣2×(k2﹣1)=16+(k2﹣1),即 k2﹣4k﹣12=0, 解得:k=﹣2 或 k=6(不符合题意,舍去).∴实数 k 的值为﹣2. 考点:一元二次方程根与系数的关系,根的判别式.
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