华师版九年级数学上册第24章 解直角三角形 精品教学课件

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华师版九年级数学上册第24章 解直角三角形 精品教学课件

华师版九年级数学上册教学课件 第24章 解直角三角形 24.1 测 量 华师版九年级数学上册教学课件 1.能够借助刻度尺等工具进行测量;(重点) 2.能用测得的数据计算出物体的高度和宽度; (重点) 3.会采用类比、归纳的学习方法测量物高和河宽.(难点) 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 当你走进学校,仰头望着操场旗杆上高高飘扬的 五星红旗时,你也许很想知道,操场旗杆有多高? 你可能会想到利用相 似三角形的知识来解 决这个问题. 你能设计出一种测 量的方案吗? 导入新课 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 要求 :(1)画出测量图形;             (2)写出需要测量的数据(可以用字母表示需要测量                      的数据);            (3)根据测量数据写出计算旗杆的高度的比例式. 用不同的方案进行测量 华师版九年级数学上册教学课件 旗杆影长 A B C D E F 标杆影长 影长法 比例式: 华师版九年级数学上册教学课件 人 平面镜 平面镜法 比例式: 华师版九年级数学上册教学课件 A B C D E F G H 标杆法 人 标杆 比例式: ∴AB=AE+EB 华师版九年级数学上册教学课件 D A B E 1.在测点D安置测倾器,测得点B的仰角∠BAC=34°; C 2.量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米; 3.量出测倾器的高度AD=1.5米. 34° 你能利用 这些数据 算出旗杆 的高度吗 ? 测倾器法 华师版九年级数学上册教学课件 D A B E 1.在测点D安置测倾器,测得点B的仰角∠BAC=34°; C 2.量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米; 3.量出测倾器的高度AD=1.5米. 34° B′ C′A′ (精确到0.1米) 你知道计 算的方法 吗? 华师版九年级数学上册教学课件 D A B E     实际上,我们利用图中已知的数据就可以直接计算旗杆的 高度,而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系. C        我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系(即勾 股定理),那么它的边与角又有什么关系? 34° 本章主要 探究的内 容就是直 角三角形 中的边角 关系 华师版九年级数学上册教学课件 (朝阳中考)某段河流的两岸是平行的,数学兴趣小组在老 师带领下不用涉水过河就测得河的宽度,他们是这样做的: ①在河流的一条岸边B点,选对岸正对的一棵树A; ②沿河岸直走20步有一树C,继续前行20步到达D处; ③从D处沿河岸垂直的方向行走,当到达A树正好被C树遮挡 住的E处停止行走; ④测得DE的长就是河宽AB. 请你证明他们做法的正确性.                                                                   华师版九年级数学上册教学课件 【分析】将题目中的实际问题转化为数学问题,然后利用全 等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可说明其做法的 正确性. 【解答】证明:如图,由做法知: 在Rt△ABC和Rt△EDC中,                                              ∴Rt△ABC≌Rt△EDC(ASA), ∴AB=ED, 即他们的做法是正确的. 华师版九年级数学上册教学课件课堂小结 利用物体在阳光下的影子进行测量的根据是在同一时刻, 物高与影长成比例. 利用直角三角形进行测量的根据是勾股定理. 构造相似三角形进行测量的根据是对应边成比例,对应角 相等. 华师版九年级数学上册教学课件 24.2 直角三角形的性质 第24章 解直角三角形 华师版九年级数学上册教学课件 1.理解直角三角形及在实际生活中的应用;(重点) 2.经历直角三角形的性质的猜想、演绎推理、证明过程,体会 探究过程中的乐趣.(难点) 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 问题1    什么是直角三角形? 有一个内角是直角直角的三角形叫直角三角形.                                                     直角三角形可表示为:Rt△ABCA C B 斜边 直角边 直 角 边 想一想:直角三角形的两个锐角有什么关系?三边之 间有什么关系? 导入新课 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 (1)直角三角形的两个锐角_________;互余 (2)勾股定理:直角三角形两直角边的平方和______斜边的 平方. 等于 下面我们探索直角三角形的其他性质 问题2   你知道我们学过了直角三角形的哪些性质? 华师版九年级数学上册教学课件 1. 在Rt△ABC中,两锐角的和∠A+∠B=? ∠A+∠B=90° 2. 在△ABC中,如果∠A+∠B= 90º ,那么△ABC是直角 三角形吗?            是 3. 在Rt△ABC中,AB、AC、BC之间          有什么关系? AB2=AC2+BC2 A B C 讲授新课 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半一 问题引导 华师版九年级数学上册教学课件 任意画一个直角三角形,作出斜边上的中线,并利用圆规 比较中线与斜边的一半的长短,你发现了什么?再画几个 直角三角形试一试,你的发现相同吗? 我们来验证一下! A B C D 探究归纳 华师版九年级数学上册教学课件 直角三角形的性质之一 在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半. 数学语言表述为: 在Rt△ABC中 ∵CD是斜边AB上的中线, ∴CD=AD=BD= AB. (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) C B AD 华师版九年级数学上册教学课件 A B C ∟ D 【证明】 思路引导:中线辅助线作法:将中线延长一倍. 延长CD到点E,使DE=CD,连结AE、BE. E∵  CD是斜边AB的中线, ∴   AD=BD. 又∵ DE=CD, ∴  四边形ACBE是平行四边形. 又∵∠ACB=90⁰, ∴  ACBE是矩形, ∴   CE=AB. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线. 求证:CD=     AB. 华师版九年级数学上册教学课件 1.1.已知已知RtRt△△ABCABC中,斜边中,斜边ABAB=10cm=10cm,则斜边上的中线的长为,则斜边上的中线的长为 ______.______. 2.2.如图,在如图,在RtRt△△ABCABC中,中,CDCD是斜边是斜边ABAB上的中线上的中线∠∠CDACDA=80°=80°,, 则则∠∠AA=_____ =_____ ,,∠∠BB=_____.=_____. 5cm5cm 50°50° 40°40° 练一练 华师版九年级数学上册教学课件 例    Rt△ABC中,∠ACB=90 ° ,∠A=30°,求证:BC=      AB. 证明:  作斜边上的中线CD, 则CD=AD=BD= AB (在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半) ∵ ∠A=30° ∴ ∠B=60° ∴ △CDB是等边三角形, ∴ BC=BD= AB CB A D 对此,你对此,你 能得出什能得出什 么结论?么结论? 直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半二 华师版九年级数学上册教学课件 1.如图,在△ABC中,若∠BAC=120°,AB=AC,  AD⊥AC于点A,BD=3,则BC=______.9 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 2.如图, ∠C=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,垂足为点 E,交BC边于点D,BD=16cm,则AC的长为______.8cm 华师版九年级数学上册教学课件 3.如图,在△ABC中,BD、CE是高,M、N分别是BC、 ED的中点,试说明:MN⊥DE. 解:连结EM、DM.         ∵BD、CE是高,M是BC中点,         ∴在Rt△BCE和Rt△BCD中,         ∴EM=DM.         又∵N是ED的中点,         ∴MN⊥ED N M DE B C A ,, BC 2 1 DMBC 2 1 EM == 华师版九年级数学上册教学课件 我们学习了直角三角形哪些性质? 性质1 直角三角形两个锐角互余 性质2 直角三角形的勾股定理 性质3 直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半 性质4 直角三角形30⁰角所对直角边等 于斜边的一半 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 24.3 锐角三角函数 第1课时 锐角三角函数 华师版九年级数学上册教学课件 1.理解锐角三角函数的定义;(重点) 2.掌握三角函数之间的关系并会计算.(难点) 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,AC=______. 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=10cm,则BC=      ,理由是                                                        . 导入新课 回顾与思考 8 5 30°所对直角边是斜边的一半 华师版九年级数学上册教学课件 任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C',使得∠C=∠C'=90°,∠A= ∠A'=α,那么      与        有什么关系.能解释一下吗? A B C A' B' C' 讲授新课 锐角三角函数定义及三角函数之间的关系 华师版九年级数学上册教学课件    在图中,由于∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α, 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'     这就是说,在直角三角形中,当锐角∠A的度数一定时, 不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比也是一个 固定值. 华师版九年级数学上册教学课件   如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角∠A的对边 与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sinA  即 例如,当∠A=30°时,我们有 当∠A=45°时,我们有 A B C c a b 对边 斜边 在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c 引出定义: 华师版九年级数学上册教学课件 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,当锐角∠A确定时,∠A 的对边与斜边的比就随之确定,此时,其他边之间的比是 否也确定了呢?为什么? B 对边a A C邻边b 斜边c 探究归纳 华师版九年级数学上册教学课件 任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C',使得∠C=∠C'=90°,∠B= ∠B'=α,那么      与        有什么关系.能解释一下吗? A B C A' B' C'    在图中,由于∠C=∠C'=90°,∠B=∠B'=α,所 以Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 华师版九年级数学上册教学课件     这就是说,在直角三角形中,当锐角∠B的度数一定时,不 管三角形的大小如何,∠B的对边与斜边的比也是一个固定值 .     当锐角∠B的大小确定时,∠B的邻边与斜边的比也是固定的, 我们把∠B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦(cosine),记作 cosB,即 引出定义: 归纳 华师版九年级数学上册教学课件 1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形 结合,构造直角三角形). 2.sinA、 cosA是一个比值(数值). 3.sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的 边长无关. 如图:在Rt △ABC中,∠C=90°, 正弦 余弦 华师版九年级数学上册教学课件 当直角三角形的一个锐角的大小确定时,其对边与邻 边比值也是唯一确定的吗? 探究归纳 华师版九年级数学上册教学课件         在直角三角形中,当锐角∠A的度数一定时,不管三角 形的大小如何,∠A的对边与邻边的比是一个固定值.   BC  B′C′ A′C′ AC =所以 如图,Rt△ABC和Rt△A′B′C′,∠C=∠C′=90°,∠A=∠A′=α ,问:                            有什么关系? 由于∠C=∠C′=90°,∠A=∠A′=α,所以Rt△ABC ∽  Rt△A′B′C′ AC BC A′C′ B′C′ 与 即 AC BC A′C′ B′C′ = 华师版九年级数学上册教学课件 如图,在Rt △ABC中,∠C=90°,        我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A的 正切,记作 tanA. 一个角的正切 表示定值、比 值、正值. 归纳 华师版九年级数学上册教学课件 A B C ┌    思考:锐角∠A的正切值可以等于1吗?为什么?可以大 于1吗?           对于锐角∠A的每一个确定的值,tanA都有唯一的确定 的值与它对应. 解:可以等于1,此时为等腰直角三角形;可以大于1. 延伸 华师版九年级数学上册教学课件 1.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,图中sinB可 由哪两条线段比求得. D C BA 解:在Rt△ABC中, 在Rt△BCD中, 因为∠B=∠ACD,所以     求一个角的正弦值,除了用定义直接求外,还可以转化为 求和它相等角的正弦值. 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件   2. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB =10,BC=6,求 sinA、cosA、tanA的值. 解:∵ 又 A B C 6 10 华师版九年级数学上册教学课件 3. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=      ,求sinA、 tanA的值. 解:∵ A B C设AC=15k,则AB=17k 所以 华师版九年级数学上册教学课件 4.下图中∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.完成下列填空. A B C D (1) tanA =  = AC (     ) CD (     ) (2) tanB=  = BC (     ) CD (     ) BC AD BD AC 华师版九年级数学上册教学课件 5. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,tanA=      , 求:sinA、cosB的值. A B C 8 解: 华师版九年级数学上册教学课件 在Rt△ABC中 = a b tanA= 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐      角(注意数形结合,构造直角三角形). 2.sinA、 cosA、tanA是一个比值(数值). 3.sinA、 cosA 、tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角 三角形的边长无关.  华师版九年级数学上册教学课件 24.3 锐角三角函数 第2课时 特殊角的三角函数值 华师版九年级数学上册教学课件 1.掌握特殊锐角的三角函数值;(重点) 2.掌握30°,45°,60°角的三角函数值的推导过程并会计 算.(难点) 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=        , BC=8,则 AB=_______,AC=_______,sinB=_______,△ABC的周长 是______. 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,则∠A=_____,设 AB=k,则AC=_____,BC=_____,sinB= sin45°=____,  cosB =cos45°=____,tanB= tan45°= ____. 导入新课 回顾与思考 10 6 24 45° 1 华师版九年级数学上册教学课件 两块三角尺中有几个不同的锐角?分别求出这几个锐角的正 弦值、余弦值和正切值. 30° 60° 45° 45° 讲授新课 特殊角的三角函数一 华师版九年级数学上册教学课件 设30°所对的直角边长为a,那么斜边长为2a 另一条直角边长= 30° 华师版九年级数学上册教学课件 设两条直角边长为a,则斜边长= 60° 45° 华师版九年级数学上册教学课件 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表:        锐角a 三角函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 归纳: 华师版九年级数学上册教学课件 1.求下列各式的值: (1)cos260°+sin260° (2) 解: (1) cos260°+sin260° =1 (2) =0 特殊三角函数值的运用三 华师版九年级数学上册教学课件       2.操场里有一个旗杆,老师让小明去测量旗杆高度,小明 站在离旗杆底部10米远处,目测旗杆的顶部,视线与水平线 的夹角为30°,并已知目高为1.65米.然后他很快就算出旗杆 的高度了. 1.65米 10米 ? 30°        你想知道小明怎样算出的吗? 华师版九年级数学上册教学课件 1.如图,在△ABC中,∠A=30°,                    求AB. A B C D 解:过点C作CD⊥AB于点D ∠A=30°, 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 2.求下列各式的值: (1)1-2 sin30°cos30° (2)3tan30°-tan45°+2sin60° (3) 解: (1)1-2 sin30°cos30° (2)3tan30°-tan45°+2sin60° 华师版九年级数学上册教学课件 华师版九年级数学上册教学课件 3. 在Rt△ABC中,∠C=90°,                                     求∠A、∠B的度数. B A C 解: 由勾股定理 ∴ ∠A=30° ∠B = 90°- ∠ A = 90°-30°= 60° 华师版九年级数学上册教学课件 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表:        锐角a 三角函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 对于sinα与tanα,角度越大,函数值也越大;(α为锐角) 对于cosα,角度越大,函数值越小. 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 24.3 锐角三角函数 第3课时 用计算器求锐角三角函数值 华师版九年级数学上册教学课件 1.会用计算器求锐角三角函数值;(重点) 2.会用计算器根据三角函数值求锐角度数.(重点) 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 1.同学们,前面我们学习了特殊角30°45°60°的三角函数值, 一些非特殊角(如17°56°89°等)的三角函数值又怎么求呢 ? 导入新课 回顾与思考 华师版九年级数学上册教学课件 A 1.6m D BE 20m 42° C 2.升国旗时,小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗 升至顶端时,小明看国旗视线的仰角为42°(如图),若小明 双眼离地面1.60m,你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗? 这里的tan42°是多少呢? 华师版九年级数学上册教学课件 1.求sin18°. 第一步:按计算器             键,sin 第二步:输入角度值18, 屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994 (也有的计算器是先输入角度再按函数名称键) 讲授新课 用计算器求锐角三角函数值一 华师版九年级数学上册教学课件 tan第一步:按计算器           键, 2.求   tan30°36'. 第二步:输入角度值30,分值36 (可以使用              键),°'  ″ 屏幕显示答案:0.591 398 351 第一种方法: 第二种方法: tan第一步:按计算器           键, 第二步:输入角度值30.6 (因为30°36'=30.6°) 屏幕显示答案:0.591 398 351 华师版九年级数学上册教学课件    如果已知锐角三角函数值,也可以使用计算器求出相应 的锐角. 根据三角函数值求锐角度数二 华师版九年级数学上册教学课件 例:已知sinA=0.501 8;用计算器求锐角A可以按照下面方法 操作: 还可以接着按           键,进一步得到 ∠A=30°7'8.97 " 第一步:按计算器                             键,SHIFT sin 第二步:然后输入函数值0. 501 8 屏幕显示答案: 30.119 158 67° (按实际需要进行精确) °'″ 典例精析 华师版九年级数学上册教学课件 1.用计算器求下列锐角三角函数值; (1) sin20°=         , cos70°=            ; (2)tan3°8 ' =      ,tan80°25'43″=               sin35°=          ,cos55°=             ; sin15°32 ' =          ,cos74°28 ' =           分析第 1(1)题的 结果,你能 得出什么猜 想,你能说 明你的猜想 吗? 拓广探索 华师版九年级数学上册教学课件 正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) 正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 归纳: 华师版九年级数学上册教学课件 1. 已知下列锐角三角函数值,用计算器求其相应的锐角: (1)sinA=0.6275,sinB=0.0547; (2)cosA=0.6252,cosB=0.1659; (3)tanA=4.8425,tanB=0.8816. 当堂练习 ∠A=38°51′57.3 ″, ∠B=3°8′8.32 ″ ∠A=51°18′11.27 ″, ∠B=80°27′1.72 ″ ∠A=78°19′55.74 ″, ∠B=41°23′57.84 ″ 华师版九年级数学上册教学课件 A2.下列各式中一定成立的是(    ) A.tan75°>tan48°>tan15°    B. tan75°<tan48°<tan15° C. cos75°>cos48°>cos15°   D. sin75°<sin48°<sin15° 华师版九年级数学上册教学课件 1.我们可以用计算器求锐角三角函数值. 2.已知锐角三角函数值,可以用计算器求其相应的锐角. 3.正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);    余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);    正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小). 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 24.4 解直角三角形 第1课时 解直角三角形及其简单应用 华师版九年级数学上册教学课件 1.会运用勾股定理解直角三角形;(重点) 2.会运用直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三 角形;(重点) 3.能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.(难点) 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 B A C c b a (1) 三边之间的关系:a2+b2=_____; (2)锐角之间的关系:∠A+∠B=_____; (3)边角之间的关系:sinA=_____,cosA=_____, tanA=_____.      在Rt△ABC中,共有六个元素(三条边,三个角),其中 ∠C=90°,那么其余五个元素之间有怎样的关系呢? c2 90° 导入新课 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 比萨铁塔倾斜问题,设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直 中心线的夹角为∠A,过B点向垂直中心线引垂线,垂足为点 C(如图),在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2m,AB= 54.5m. 所以∠A≈5°28′  可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直 中心线的夹角.你愿意试着计算一下吗? A BC A BC 讲授新课 已知两边解直角三角形及解直角三角形的应用一 华师版九年级数学上册教学课件  要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所 成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子,问: (1)当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角a等于多 少(精确到1°)?这时人是否能够安全使用这个梯子? (2)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1m)? 华师版九年级数学上册教学课件 对于问题(1),当梯子底端距离墙面2.4m时,求梯子与地 面所成的角a的问题,可以归结为:在Rt△ABC中,已知AC =2.4,斜边AB=6,求锐角a的度数 由于 利用计算器求得 a≈66°      因此当梯子底墙距离墙面2.4m时,梯子 与地面所成的角大约是66°. 由50°<66°<75°可知,这时使用这个梯子是安全的. A B C α 华师版九年级数学上册教学课件 在图中的Rt△ABC中, (1)根据∠A=75°,斜边AB=6,你能求出这个直角三角 形的其他元素吗? A B C α 6 =75° 已知一边和一锐角解直角三角形二 华师版九年级数学上册教学课件 在图中的Rt△ABC中, (2)根据AC=2.4,斜边AB=6,你能求出这个直角三角 形的其他元素吗? A B C α 6 2.4 华师版九年级数学上册教学课件 由                        得 问题(2)可以归结为:在Rt △ABC中,已知∠A=75°,斜 边AB=6,求∠A的对边BC的长.      问题(2)当梯子与地面所成的角a为75°时,梯子顶端与 地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度. 因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m 所以 BC≈6×0.97≈5.8 由计算器求得 sin75°≈0.97 A B α C 华师版九年级数学上册教学课件 事实上,在直角三角形的六个元素中, 除直角外,如果再知道两个元素(其 中至少有一个是边),这个三角形就 可以确定下来,这样就可以由已知的 两个元素求出其余的三个元素. A Ba b c C 解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素 的过程. 华师版九年级数学上册教学课件 1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,                                 ,解 这个直角三角形. 解: A BC 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 2. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6, ∠BAC的平分 线                  ,解这个直角三角形. D A BC 6 解: 因为AD平分∠BAC 华师版九年级数学上册教学课件 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形; (1)a = 30 , b = 20 ; 解:根据勾股定理 A B Cb=20 a=30c 华师版九年级数学上册教学课件  在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形;  (2) ∠B=72°,c = 14. A B C b a c=14 解: 华师版九年级数学上册教学课件 4. 如下图,某人想沿着梯子爬上高4米的房顶,梯子的倾 斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60°,否则就有危险, 那么梯子的长至少为多少米? 解:如图所示,依题意可知,当∠B=60°时, 答:梯子的长至少3.5米 C A B 华师版九年级数学上册教学课件 (2)两锐角之间的关系∠A+∠B=90° (3)边角之间的关系 (1)三边之间的关系                               (勾股定理)A Ba b c C 在解直角三角形的过程中,一般要用到下面一些关系: 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 1.数形结合思想. 方法:把数学问题转化成解直角三角形问题,如果示 意图不是直角三角形,可添加适当的辅助线,构造出 直角三角形. 2.方程思想. 3.转化(化归)思想. 华师版九年级数学上册教学课件 24.4 解直角三角形 第2课时 仰角、俯角问题 华师版九年级数学上册教学课件 1.了解仰角、俯角的概念;(重点) 2.能够根据解直角三角形的知识解决实际问题.(难点) 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 问题1 在三角形中共有几个元素? 问题2 解直角三角形的应用问题的思路是怎样? 导入新课 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件      热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角 为30°,看这栋高楼底部的俯 角为60°,热气球与高楼的水平 距离为120m,这栋高楼有多高(结果精确到0.1m). 分析:我们知道,在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角, 视线在水平线下方的是俯角,因此, 在图中,α=30°,β=60°     Rt△ABD中,α=30°,AD=120, 所以利用解直角三角形的知识求出 BD;类似地可以求出CD,进而求出BC. A B C Dα β 仰角 水平线 俯角 讲授新课 仰角、俯角问题 华师版九年级数学上册教学课件 解:如图,a = 30°,β= 60°, AD=120. 答:这栋楼高约为277.1m A B C Dα β 华师版九年级数学上册教学课件 建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角54°,观察底部B的仰角为 45°,求旗杆的高度(精确到0.1m). A B CD 40m 54° 45° A B CD 40m 54° 45°解:在等腰三角形BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m 在Rt△ACD中 所以AB=AC-BC=55.2-40=15.2 答:旗杆的高度为15.2m. 练一练 华师版九年级数学上册教学课件 1.如图1,在高出海平面100米的悬崖顶A处,观测海平面上 一艘小船B,并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的 水平距离BC=_________米. 2.如图2,两建筑物AB和CD的水平距离为30米,从A点测得 D点的俯角为30°,测得C点的俯角为60°,则建筑物CD的高 为_____米. 100 当堂练习 图1 图2B C B C 华师版九年级数学上册教学课件 解:依题意可知,在Rt∆ADC中 所以树高为19.2+1.72≈20.9(米) 3.为测量松树AB的高度,一个人站在距松树15米的E处,测 得仰角∠ACD=52°,已知人的高度是1.72米,求树高(精确 到0.1米). A D BE C 华师版九年级数学上册教学课件 4.如图3,从地面上的C,D两点测得树顶A仰角分别是 45°和30°,已知CD=200米,点C在BD上,则树高AB等 于                        (根号保留). 5.如图4,将宽为1cm的纸条沿BC折叠,使∠CAB=45°,则 折叠后重叠部分的面积为               (根号保留).  图3 图4 华师版九年级数学上册教学课件 铅 直 线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 1.在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角; 从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角. 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 3.认真阅读题目,把实际问题去掉情境转化为数学中 的几何问题.把四边形问题转化为特殊四边形(矩形或平 行四边形)与三角形来解决. 2.梯形通常分解成矩形和直角三角形(或分解成平行 四边形与直角三角形)来处理. 华师版九年级数学上册教学课件 24.4 解直角三角形 第3课时 坡度问题 华师版九年级数学上册教学课件 1.了解坡度的概念;(重点) 2.能够根据解直角三角形的知识解决实际问题.(难点) 学习目标 华师版九年级数学上册教学课件 在直角三角形中,除直角外,由已知两元素                求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 1.解直角三角形 (1)三边之间的关系: a2+b2=c2(勾股定理); 2.解直角三角形的依据 (2)两锐角之间的关系: ∠ A+ ∠ B= 90º; (3)边角之间的关系: tanA= a bsinA= a c cosA= b c (必有一边) A C B a b c 别忽略我哦! 导入新课 回顾与思考 华师版九年级数学上册教学课件 水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的 坡度i=1∶3 ,斜坡CD的坡度i=1∶2.5 , 则斜坡CD的坡面角α ,  坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少? A D B C i=1:2.523 6 讲授新课 坡度问题 华师版九年级数学上册教学课件 α l hi= h : l1.坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α . 2.坡度(或坡比)  坡度通常写成1∶m的形式,如i=1∶6.  如图所示,坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)  的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i, 即 i=——h l 3.坡度与坡角的关系 坡度等于坡角的正切值 坡 面 水平面 华师版九年级数学上册教学课件 1.斜坡的坡度是          ,则坡角α=______度. 2.斜坡的坡角是45°,则坡比是  _______. 3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______. α l h 30 1:1 练一练 华师版九年级数学上册教学课件 例:水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB 的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求:    (1)坝底AD与斜坡AB的长度(精确到0.1m );    (2)斜坡CD的坡角α(精确到 1°). E F A D B C i=1:2.5 23 6 α 分析:由坡度i会想到产生铅垂高度,即分别过点B、C          作AD的垂线; 典例精析 华师版九年级数学上册教学课件          垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE,Rt△CFD和矩形 BEFC,则AD=AE+EF+FD, EF=BC=6m,AE、DF可结合坡度, 通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出;          斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解 Rt△ ABE和Rt△ CDF. 解:(1)分别过点B、C作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为点E、  F,由题意可知 E FA D B C i=1:2.5 23 6 α BE=CF=23m ,EF=BC=6m. 在Rt△ABE中 华师版九年级数学上册教学课件 在Rt△DCF中,同理可得 =69+6+57.5=132.5m 在Rt△ABE中,由勾股定理可得 (2) 斜坡CD的坡度i=tanα=1:2.5=0.4, 由计算器可算得     答:坝底宽AD为132.5米,斜坡AB的长约为72.7米.斜坡 CD的坡角α约为22°. 华师版九年级数学上册教学课件 如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD(图中i=1:3是指坡面 的铅直高度DE与水平宽度CE的比),根据图中数据求: (1)坡角a和β; (2)坝顶宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m). B A D F E C 6m α β i=1: 3i=1:1.5 解:(1)在Rt△AFB中,∠AFB=90°      在Rt△CDE中,∠CED=90° 探究归纳 完成第(2)题 华师版九年级数学上册教学课件 与测坝高相比,测山高的困难在于;坝坡是“直”的,而 山坡是“曲”的,怎样解决这样的问题呢? hh αα ll 华师版九年级数学上册教学课件      我们设法“化曲为直,以直代曲”. 我们可以把山坡“ 化整为零”地划分为一些小段,图表示其中一部分小段, 划分小段时,注意使每一小段上的山坡近似是“直”的, 可以量出这段坡长l1,测出相应的仰角a1,这样就可以算出 这段山坡的高度h1=l1sina1. h α l 华师版九年级数学上册教学课件     在每小段上,我们都构造出直角三角形,利用上面的方法 分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整” ,把h1,h2,…,hn相加,于是得到山高h.     以上解决问题中所用的“化整为零,积零为整”“化曲为直, 以直代曲”的做法,就是高等数学中微积分的基本思想,它在 数学中有重要地位,在今后的学习中,你会更多地了解这方面 的内容.  方法归纳 华师版九年级数学上册教学课件   解直角三角形有广泛的应用,解决问题时,要根据实际情 况灵活运用相关知识,例如,当我们要测量如图所示大坝的 高度h时,只要测出仰角a和大坝的坡面长度l,就能算出 h=lsina,但是,当我们要测量如图所示的山高h时,问题就 不那么简单了,这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长 度l. 化整为零,积零为整,化曲为直,以直代曲的解决问 题的策略 华师版九年级数学上册教学课件   1.一段路基的横断面是梯形,高为4米,上底的宽是12米, 路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°,求路基下底 的宽(精确到0.1,米,                                     ).   45° 30° 4米 12米 A B C E F D 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 解:作DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别为E、F.由题意可知     DE=CF=4(米),     CD=EF=12(米).     在Rt△ADE中,      在Rt△BCF中,同理可得     因此AB=AE+EF+BF≈4+12+6.93≈22.93(米).   答: 路基下底的宽约为22.93米. 45° 30° 4米 12米 A B C E F D 华师版九年级数学上册教学课件 2.如图,某拦河坝截面的原设计方案为:AH∥BC,坡角 ∠ABC=74°,坝顶到坝脚的距离AB=6 m.为了提高拦河坝的 安全性,现将坡角改为55°,由此,点A需向右平移至点D,请 你计算AD的长(精确到0.1 m). 华师版九年级数学上册教学课件         [解析] 将坝顶与坝脚的距离看做直角三角形的斜边,将坡 角看做直角三角形的一个锐角,分别作AE,DF垂直于BC,构 造直角三角形,求出BE,BF,进而得到AD的长. 华师版九年级数学上册教学课件 华师版九年级数学上册教学课件 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化 为解直角三角形的问题); (2)根据条件的特点,适当选用锐角三角形函数去解直 角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 复习和小结 第24章 解直角三角形 华师版九年级数学上册教学课件 锐角三角 函数 特殊角的三 角函数 解直角三 角形 简单实际 问题 c a b A BC 知识构架 华师版九年级数学上册教学课件 锐角三角 函数 (两边之比) 华师版九年级数学上册教学课件 特殊角的三 角函数 2 1 30° 1 1 45° 2 1 60° 30° + 60°= 90° 华师版九年级数学上册教学课件 解直角 三角形 ∠A+ ∠ B=90° a2+b2=c2 三角函数 关系式 计算器 由锐角求三角函数值 由三角函数值求锐角 华师版九年级数学上册教学课件 简单实 际问题 数学模型 解直角三角形 梯形 组合图形 三角形 构建 作高转 化为直 角三角 形 华师版九年级数学上册教学课件回顾思考 华师版九年级数学上册教学课件 (2)∠A的余弦:cosA=        =   ; (3)∠A的正切:tanA=        =    . 华师版九年级数学上册教学课件[易错点] 忽视用边的比表示锐角的正弦、余弦和正切的前 提是在直角三角形中. 2.30°,45°,60°角的三角函数值 sin30°=   ,sin45°=   ,sin60°=   ; cos30°=   ,cos45°=   ,cos60°=   ; tan30°=   ,tan45°=   ,tan60°=   . 3.解直角三角形的依据 (1)在 Rt△ABC中 , ∠C= 90°, a, b, c分 别 是 ∠A, ∠B,∠C的对边. 1 华师版九年级数学上册教学课件 三边关系:                              ; 三角关系:                                     ; 边角关系:sinA=cosB=   ,cosA=sinB=    , tanA=      ,tanB=      . (2)直角三角形可解的条件和解法 条件:解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是 边),就可以求出其余的3个未知元素. a2+b2=c2 ∠A=90°-∠B  华师版九年级数学上册教学课件 解法:①一边一锐角,先由锐角关系求出另一锐角;知 斜边,再用正弦(或余弦)求另两边;知直角边用正切求另一 直角边,再用正弦或勾股定理求斜边.②知两边:先用勾股 定理求另一边,再用边角关系求锐角.③斜三角形问题可通 过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题. 华师版九年级数学上册教学课件 1.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,BD=4,AD =BC,cos∠ADC=    ,求:(1)DC的长;(2)sinB的值. 分析:题中给出了两个直角三角形,DC和sinB可分别在 Rt△ACD和ABC中求得,由AD=BC,图中CD=BC-BD,由 此可列方程求出CD. A B CD 随堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 解:(1)设CD=x,在Rt△ACD中,cos∠ADC=     , 又BC-CD=BD 解得x=6 ∴CD=6 A B CD 华师版九年级数学上册教学课件 (2) BC=BD+CD=4+6=10=AD 在Rt△ACD中 在Rt△ABC中 华师版九年级数学上册教学课件 [解析] 要求△ABC的周长,先通过解Rt△ADC求出CD和 AD的长,然后根据勾股定理求出AB的长. 华师版九年级数学上册教学课件 华师版九年级数学上册教学课件 3.如图所示,电视塔高AB为610米,远处有一栋大楼, 某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°,在楼顶D处测得塔 顶B的仰角为39°. (1)求大楼与电视塔之间的距离AC; (2)求大楼的高度CD(精确到1米). 华师版九年级数学上册教学课件[解析] (1)利用△ABC是等腰直角三角形易得AC的长; (2)在Rt△BDE中,运用直角三角形的边角关系即可求出 BE的长,用AB的长减去BE的长度即可. 华师版九年级数学上册教学课件 A B Cb ac 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 解应用题时,先要将实际问题转化为数学问题,找出直角三 角形并寻找联系已知条件和未知量的桥梁,从而利用解直角 三角形的知识得到数学问题的答案,最后得到符合实际情况 的答案. 解直角三角形的一般思路是:有斜(斜边)用弦(正弦、余 弦),无斜用切(正切),宁乘勿除,取原避中.对于较复杂的 图形,要善于将其分解成简单的图形,并借助桥梁(相等的边、 公共边、相等的角等)的作用将两个图形有机地联系在一起, 从而达到解题的目的.
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