华师版九年级数学上册第21章 二次根式 精品教学课件

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华师版九年级数学上册教学课件 第21章 二次根式 21.1 二次根式 华师版九年级数学上册教学课件 学习目标 1.理解二次根式的概念; 2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围; (重点) 3.探索二次根式的性质; (难点) 4.运用二次根式的性质进行化简计算. (难点) 华师版九年级数学上册教学课件 问题2 什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 问题1 什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. 0的算术平方根是0. a的平方根是 . 用　 (a≥0)表示. 观察与思考 导入新课 华师版九年级数学上册教学课件 正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根. 问题3 平方根的性质： 问题4 所有实数都有算术平方根吗？ 正数和0都有算术平方根； 负数没有算术平方根. 华师版九年级数学上册教学课件 S 圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为__________. 华师版九年级数学上册教学课件 如图所示的值表示正方形的面积，则 正方形的边长是 . b-3 表示一些正数的算术平方根． 你认为下列各代数式有哪些共同特点？ 讲授新课 二次根式的定义及有意义的条件一 华师版九年级数学上册教学课件 二次根式的定义 理解要点：两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开数a ≥0 2.二次根式实质上是非负数的算术平方根. 3. a既可以是一个数，也可以是一个式子. 1. 既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 知识归纳 请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 的认识！ 华师版九年级数学上册教学课件 例 下列各式是二次根式吗?    (m≤0), (x,y 异号) 解析：（1）、（4）、（6）均是二次根式，其中 +1属于 “非负数+正数”的形式一定大于零.而（5）中 xy<0, （7）根指数不是2，是3.而（3）不是，是因为在实 数范围内，负数没有平方根. 典例精析 华师版九年级数学上册教学课件 4 2 0 1.根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据． 二次根式的性质1及应用二 华师版九年级数学上册教学课件 一般地，有 归纳 由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下：a2, ︱a︱, 文字叙述：任何一个非负数算术平方根的平方都等于这个数. 华师版九年级数学上册教学课件 计算 解： （2）用到了 （ab）2=a2b2这个 结论. 练一练 华师版九年级数学上册教学课件 类似地，计算： 再计算： 0.5 0 0.5 二次根式的性质2及应用三 华师版九年级数学上册教学课件 一般地，有 a -a (a≥0) (a＜0) 归纳 华师版九年级数学上册教学课件 2.从取值范围来看, a≥0 a取任何实数 1.从运算顺序来看, 先开方,后平方 先平方,后开方 3.从运算结果来看: =a a (a≥0) -a(a＜0) ==∣a∣ 知识要点 华师版九年级数学上册教学课件 化简 解： 练一练 华师版九年级数学上册教学课件 解：由x-1≥0，得 x≥1 1. 当x取何值时, 二次根式有意义? 当x≥1时， 在实数范围内有意义. 试求当x=5时，二次根式 的值. 当x=5时， 思考：当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ x为全体实数. 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 2.（1）若 , 则a-b+c=___ ； 解： （1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4. 所以a-b+c=2-3+4=3. （2）由题意知1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2015, 所以x+2y=1+2×2015=4031. 华师版九年级数学上册教学课件 （1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的值 抓住被开数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集. 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 二 次 根 式 定义 性质 （a≥0） （即 表示一个非负数） 华师版九年级数学上册教学课件 21.2 二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法与积的算术平方根 华师版九年级数学上册教学课件 华师版九年级数学上册教学课件 学习目标 1.利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算； (重点) 2.会进行简单的二次根式的乘法运算. (重点、难点) 华师版九年级数学上册教学课件 问题1 什么叫二次根式？ 问题2 两个基本性质: =a a (a≥0) -a (a＜0) ==∣a∣ (a≥ 0) 导入新课 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 　 当a 是正数或0 时，　 是实数吗？取a 值分别为1，2，3 ，4，5试一试！ 　　类比有理数的运算，你认为任何两个实数之间可以进行 哪些运算？ 　　　　　 加、减、乘、除四则运算 华师版九年级数学上册教学课件 　 两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算？怎样运算？ 让我们从研究乘法开始． 　请写出两个二次根式，猜一猜，它们的积应该是多少？ 　 特殊化，从能开得尽方的二次根式乘法运算开始思考！ ？ 华师版九年级数学上册教学课件 计算下列各式, 观察计算结果,你发现什么规律？ 1. × =____ (a≥0,b≥0) 6 6 20 20 一般地,对于二次根式的乘法法则是: 讲授新课 二次根式的乘法法则及运算一 _____2516___,25162. =×=× 华师版九年级数学上册教学课件 a、b必须都是非负数！ 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根. (a≥0,b≥0) 知识要点 华师版九年级数学上册教学课件 计算 解: 练一练 华师版九年级数学上册教学课件 反过来： （a≥0，b≥0） （a≥0，b≥0） 一般地，有 在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数． 积的算术平方根的性质及化简二 华师版九年级数学上册教学课件 化简: （1） （2） 解： 练一练 华师版九年级数学上册教学课件 1.把被开方数分解因式(或因数) ； 2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因 数)的算术平方根的积； 化简二次根式的步骤： 3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 (a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简. 华师版九年级数学上册教学课件 想一想？ 成立吗？为什么？ 非 负 数 华师版九年级数学上册教学课件 解：解： 1.1.计算：计算： 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 华师版九年级数学上册教学课件 2.2.计算：计算： 华师版九年级数学上册教学课件 1.本节课学习了算术平方根的积和积的算术平方根. (a≥0,b≥0) 2.化简二次根式的步骤： 3）将平方项应用 化简. 1）将被开方数尽可能分解成几个平方数. 2）应用 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 21.2 二次根式的乘除 第2课时 二次根式的除法 华师版九年级数学上册教学课件 学习目标 1.掌握二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质； （重点） 2.会利用除法法则进行二次根式的运算.（难点） 华师版九年级数学上册教学课件 1.二次根式的两个基本性质: =a (a ≥ 0) =∣a∣ a (a≥ 0) -a (a＜0)= 导入新课 观察与思考 华师版九年级数学上册教学课件 2.二次根式的乘法： 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根. 积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积. 华师版九年级数学上册教学课件 3.二次根式乘法运算规律公式 （a≥0,b≥0) 关键：将被开方数因式分解或因数分解，使被开方数出现 “完全平方数”或“偶次方因式偶次方因式”. 如何化简二次根式 华师版九年级数学上册教学课件 （2） 　　　　　　　　　 （3） 　　　　　　　　　 _______； _______； _______； _______； _______； _______． 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ 讲授新课 二次根式的除法法则及运算一 　　我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那么， 两个二次根式能否进行除法运算呢？ 华师版九年级数学上册教学课件 归纳 一般地，二次根式的除法法则 （a≥0，b＞0） 两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开 方数. 思考：等式中 的a和b有没有 条件的限制？ 华师版九年级数学上册教学课件 解： 典例精析 例1 计算： 华师版九年级数学上册教学课件 商的算术平方根的性质及化简二 华师版九年级数学上册教学课件 注意:(1) 这里的被开方数是一个整式（可以是多项式，也 可以是单项式）. (2) 注意被开方数的取值范围. 1.与积的算术平方根的性质比较： 共同点：一个根号变成两个根号. 区别：取值范围不同. 商的算术平方根: 2.理解和记忆商的算术平方根要注意的问题： 华师版九年级数学上册教学课件 解： 提示：（1）要进行根式化简，关键是要搞清楚分式的分子和分 母都乘什么，有时还要对分母进行化简；（2）有理化因式确定 方法.如 有理化因式是它本身， 的有理化因式是 . 这种方法有的地方称之 为分母有理化，即把分 母中的根号化去的过程. 华师版九年级数学上册教学课件 例2 化简 解： 华师版九年级数学上册教学课件 　观察上面各数并思考： （1）你觉得这些数能否再化简，它们已经是最简二次根式 了吗？ （2）这些结果有什么共同特点，你认为一个二次根式满足 什么条件就可以说它是最简二次根式了？ 最简二次根式的概念及判断三 华师版九年级数学上册教学课件 可以发现这些式子有如下两个特点：　　 （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 　　我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 简记为：分母 无根号，根号 无分母 华师版九年级数学上册教学课件 解： 解题支招：为了能迅速准确地把二次根式化成最简二次 根式，需要熟记1~100以内非二次根式的化简. 如 等. 典例精析 华师版九年级数学上册教学课件 1.化简: 2.把下列各式分母有理化： 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式. 2. 二次根式的除法有两种常用方法： （1）利用公式： （2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算. 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 3.最简二次根式的概念　　　　 　　被开方数不含分母； 　　被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 4.如何化去分母中的根号，请举例说明． 可以用二次根式的性质，乘除运算法则及分数基本性质化去 分母中的根号． 5.把一个二次根式化为最简二次根式的依据是什么？　 把一个二次根式化为最简二次根式的依据是二次根式的基本 性质，二次根式的乘除运算，分数基本性质． 华师版九年级数学上册教学课件 21.3 二次根式的加减 华师版九年级数学上册教学课件 学习目标 1.探索二次根式加减运算的步骤和方法;（重点） 2.了解二次根式的混合运算可类比整式的混合运算及数的混 合运算;（重点） 3.准确熟练地进行二次根式的混合运算.（难点） 华师版九年级数学上册教学课件 二次根式计算、化简的结果符合什么要求？ （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 导入新课 回顾思考 华师版九年级数学上册教学课件 观察下列二次根式有什么共同特征： （1） …　　　　，　　，　　　 ， （2） … 　　　　　，　　 ，　　　 ， 每组的二次根式的被开方数相同 讲授新课 同类二次根式一 探究归纳 华师版九年级数学上册教学课件 ，　　 ，　　　，　　　，　　　， （3） … 经过化简后，各 根式被开方数相 同，像这样的几 个二次根式被称 为同类二次根式. 下列根式又有什么共同特征？ 华师版九年级数学上册教学课件 (1)说出 的三个同类二次根式; (2)下列各式中哪些是同类二次根式? 巩固概念： 答案不唯一，如 先化成最 简二次根 式，再作 判断. 答： 华师版九年级数学上册教学课件 问题 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方 式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木 板？ 7.5dm 5dm 二次根式的加减法则及运用二 华师版九年级数学上册教学课件 （化成最简二次根式） （逆用分配律） ∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正 方形木板． 解：列式如下： 华师版九年级数学上册教学课件 思考:如何合并同类二次根式？ 合并同类二次根式的方法是： （1）化为最简二次根式 （2）系数相加减 （3）二次根式不变 华师版九年级数学上册教学课件 二次根式的加减法则 类比合并同类项，说说计算过程有什么规律？ 　　二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式， 再将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并. 一化 二找 三合并 知识要点 华师版九年级数学上册教学课件 例 计算 提示 按照二次根式的加减法则进行，即先化简,后判定, 再合并. 典例精析 华师版九年级数学上册教学课件 解： 比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？ 二次根式的加减实质是合并同类二次根式（被开方数相同）. 整式的加减的实质是合并同类项． 华师版九年级数学上册教学课件 （1） （2） 　　　计算： 　　思考：（1）中，先计算什么？后计算什么，最后的目 标是什么？（2）呢？ 二次根式的混合运算方法三 典例精析 华师版九年级数学上册教学课件 　　与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除， 后加减； 　　对于（1）：先算乘，再化简，若有相同的二次根 式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式； 　　对于（2）：先算除，再化简，若有相同的二次根 式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式． 华师版九年级数学上册教学课件 解：（1） 　　思考：（1）中，每一步的依据是什么？ 　　第一步的依据是：分配律或多项式乘单项式； 　　第二步的依据是：二次根式乘法法则； 　　第三步的依据是：二次根式化简． 华师版九年级数学上册教学课件 解：（2） 　　思考：（2）中，每一步的依据是什么？ 　　第一步的依据是：多项式除以单项式法则； 　　第二步的依据是：二次根式除法法则． 华师版九年级数学上册教学课件 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样， 体现在：运算律、运算顺序、乘法法则、乘法公式仍然 适用. 平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2; （a+b）2=a2+2ab+b2; （a-b）2=a2-2ab+b2; 完全平方公式 知识要点 华师版九年级数学上册教学课件 1.计算 解： 解： 解题反思：（1）有括号的先去括号再进行运算； （2）被开方数不相同的最简二次根式是不能合并的. 当堂练习 华师版九年级数学上册教学课件 2. 计算： （1） （2） （3） 提示 把二次根式看成“项”，（1）、（2）、（3）分别 可以看成整式乘法中“单项式×多项式”、“多项式÷单项式”、 “多项式×多项式”的运算. 华师版九年级数学上册教学课件 看看和你做的一样吗？ （1） 解： （2） （3） 华师版九年级数学上册教学课件 3. 计算： 用了公式（a+b） （a-b） =a2-b2. 用了公式 （a+b）2 =a2+2ab+b2. 华师版九年级数学上册教学课件 1.同类二次根式的定义. 2.二次根式加减运算的步骤: (1)把各个二次根式化成最简二次根式； (2)把各个同类二次根式合并. 3.如何合并同类二次根式 与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,作为结果 的系数,根号及根号内部都不变. 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这 几个二次根式就叫做同类二次根式. 课堂小结 华师版九年级数学上册教学课件 谈一谈本节课自己的收获和感受？ （1） 以前学过的运算法则在二次根式的混合运算中依然成立； （2）计算结果最后一定要化成最简形式； （3）二次根式的混合运算与整式的运算非常类似，即运算性质 和运算律是一致的，体现了数式通性的特点； （4）计算时要做到准确熟练. 华师版九年级数学上册教学课件 复习和小结 第21章 二次根式 华师版九年级数学上册教学课件 加 、减、乘、除 二 次 根 式 三个概念 两个性质 两个公式 四种运算 最简二次根式 同类二次根式 有理化因式 1. 2. 2. 1. 知识梳理 华师版九年级数学上册教学课件 1．二次根式的概念 一般地，形如____(a≥0)的式子叫做二次根式； 对于二次根式的理解： ①带有根号；②被开方数是非负数,即a≥0. [易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没 有意义. 华师版九年级数学上册教学课件 2．二次根式的性质 3．最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． (1)被开方数不含_______； (2)被开方数中不含能___________的因数或因式．开得尽方 分母 华师版九年级数学上册教学课件 4．二次根式的运算 ＝______(a≥0，b≥0)； ＝____(a≥0，b>0)． 二次根式加减时，可以先将二次根式化成_____________， 再将________________的二次根式进行合并．被开方数相同 最简二次根式 华师版九年级数学上册教学课件 1. 当x _____ 时， 有意义. 3.求下列二次根式中字母的取值范围. 解得 - 5≤x＜3 解： ① ② 说明：二次根式被开方数不小于 0，所以求二次根式中字母的取 值范围常转化为不等式（组）. ≤3 a=4 考点分类 确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围一 2. 有意义的条件是 . 华师版九年级数学上册教学课件 1.已知： + =0,求 x-y 的值. 2.已知x,y为实数,且 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( 　 ) A.3 B.-3 C.1 D.-1 解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8 x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 D 二次根式的非负性的应用二 华师版九年级数学上册教学课件 方法技巧 初中阶段主要涉及三种非负数： ≥0， ≥0，a2≥0.如 果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.即 由a≥0，b≥0，c≥0且a＋b＋c＝0，一定得到a＝b＝c＝0，这 是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一. 华师版九年级数学上册教学课件 二次根式性质的应用三 华师版九年级数学上册教学课件 设 ＝a， ＝b，用含a，b的式子表示 ，则下列表 示正确的是( ) A．0.03ab B．3ab C．0.1ab3 D．0.1a3b C 二次根式的化简四 华师版九年级数学上册教学课件 A 二次根式的运算五 华师版九年级数学上册教学课件 华师版九年级数学上册教学课件 1.确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围 2.二次根式的非负性的应用 3.二次根式性质的应用 4.二次根式的化简 5.二次根式的运算 复习归纳 华师版九年级数学上册教学课件 C 0 课后演练 华师版九年级数学上册教学课件 33．若１．若１＜＜xx＜＜４，则化简　　　　　４，则化简　　　　　 　　的结果是＿＿＿＿＿　　的结果是＿＿＿＿＿ 4.下列各式中，是最简二次根式的是（ ） 3 B 华师版九年级数学上册教学课件 55..下列各式中那些是二次根式？那些不是？为什么？下列各式中那些是二次根式？那些不是？为什么？ ⑧⑧⑦⑦ ⑥⑥⑤⑤④④ ①① ②② ③③a<0 -(a2+1)<0 (a-1)2≥0 华师版九年级数学上册教学课件 6.计算： 华师版九年级数学上册教学课件 若a为底,b为腰,此时底边上的高为 ∴三角形的面积为 (2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形 的面积. 设a、b为实数,且| 2 -a|+ b-2 =0√ 解:若a为腰,b为底,此时底边上的高为 ∴三角形的面积为 7. 华师版九年级数学上册教学课件 （2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C， A B PD C若点P为线段CD上动点. 已知△ABP的一边AB= ①则AD=____ BC=____12 （1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使三角形的 三边为 8. 华师版九年级数学上册教学课件 ② 设DP=a,请用含a的代数式表示AP，BP,则AP=_________， BP=__________. ③ 当a=1 时，则PA+PB=______, 当a=3,则PA+PB=______. ④ PA+PB是否存在一个最小值？