2020年绵阳市中考数学考点训练11：新定义与材料阅读（含答案）

2020年绵阳市中考数学考点训练11：新定义与材料阅读（含答案）

新定义与材料阅读 ‎1． 七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是__________．‎ ‎ ‎ ‎2． 一般地，如果x4=a（a≥0），则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个．它们互为相反数，记为±，若=10，则m=__________．‎ ‎ ‎ ‎3． 如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．‎ 示例：即4+3=7．‎ 则（1）用含x的式子表示m=__________；‎ ‎（2）当y=–2时，n的值为__________．‎ ‎ ‎ ‎4． 若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如=100a+10b+c．‎ ‎【基础训练】‎ ‎（1）解方程填空：‎ ‎①若+=45，则x=__________；‎ ‎②若–=26，则y=__________；‎ ‎③若+=，则t=__________；‎ ‎【能力提升】‎ ‎（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被__________整除，–一定能被__________整除，•–mn一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）‎ ‎【探索发现】‎ ‎（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再 相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．‎ ‎①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；‎ ‎②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．‎ ‎ ‎ ‎5． 某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：‎ 对于三个实，数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}==4，min{1，2，–3}=–3，min（3，1，1}=1．请结合上述材料，解决下列问题：‎ ‎（1）①M{（–2）2，22，–22}=__________，‎ ‎②min{sin30°，cos60°，tan45°}=__________；‎ ‎（2）若min（3–2x，1+3x，–5}=–5，则x的取值范围为__________；‎ ‎（3）若M{–2x，x2，3}=2，求x的值；‎ ‎（4）如果M{2，1+x，2x}=min{2，1+x，2x}，求x的值．‎ ‎ ‎ ‎6． 阅读下面的例题及点拨，并解决问题：‎ 例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．‎ 点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2‎ ‎；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．‎ 问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．‎ ‎ ‎ ‎7． （1）阅读理解 如图，点A，B在反比例函数y=的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y=的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1（n>1）．‎ 小红通过观察反比例函数y=的图象，并运用几何知识得出结论：‎ AE+BG=2CF，CF>DF，‎ 由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：‎ 若n>1，则__________．‎ ‎（2）证明命题 小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．‎ 小晴认为：可以通过“若a>0，b>0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．‎ 请你选择一种方法证明（1）中的命题．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答案 ‎1． 4‎ ‎2． ±10‎ ‎3． （1）3x；（2）1．‎ ‎4． （1）①∵=10m+n，‎ ‎∴若+=45，则10×2+x+10x+3=45，‎ ‎∴x=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎②若–=26，则10×7+y–（10y+8）=26，‎ 解得y=4，‎ 故答案为：4．‎ ‎③由=100a+10b+c，及四位数的类似公式得 若+=，则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1，‎ ‎∴100t=700，‎ ‎∴t=7，‎ 故答案为：7．‎ ‎（2）∵+=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n），‎ ‎∴则+一定能被11整除，‎ ‎∵–=10m+n–（10n+m）=9m–9n=9（m–n），‎ ‎∴–一定能被9整除．‎ ‎∵•–mn=（10m+n）（10n+m）–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10（10mn+m2+n2）‎ ‎∴•–mn一定能被10整除．‎ 故答案为：11；9；10．‎ ‎（3）①若选的数为325，则用532–235=297，以下按照上述规则继续计算，‎ ‎972–279=693，‎ ‎963–369=594，‎ ‎954–459=495，‎ ‎954–459=495，…‎ 故答案为：495．‎ ‎②当任选的三位数为时，第一次运算后得：100a+10b+c–（100c+10b+a）=99（a–c），‎ 结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2，‎ ‎∴a–c≥2，又9≥a＞c≥0，‎ ‎∴a–c≤9，‎ ‎∴a–c=2，3，4，5，6，7，8，9，‎ ‎∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，‎ 再让这些数字经过运算，分别可以得到：‎ ‎981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…，‎ 故都可以得到该黑洞数495．‎ ‎5． （1）①M{（–2）2，22，–22}=，‎ ‎②min{sin30°，cos60°，tan45°}=；‎ 故答案为：，．‎ ‎（2）∵min（3–2x，1+3x，–5}=–5，‎ ‎∴，解得–2≤x≤4，‎ 故答案为–2≤x≤4．‎ ‎（3）∵M{–2x，x2，3}=2，‎ ‎∴=2，‎ 解得x=–1或3．‎ ‎（4）∵M{2，1+x，2x}=min{2，1+x，2x}，‎ 又∵=x+1，∴，‎ 解得1≤x≤1，∴x=1．‎ ‎6． 延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1、EC1，‎ 如图所示：‎ 则EB1=B1C1，∠EB1M1=90°=∠A1B1M1，‎ ‎∴△EB1C1是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°，‎ ‎∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，‎ ‎∴∠M1C1N1=90°+45°=135°，‎ ‎∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°，‎ ‎∴E、C1、N1三点共线，‎ 在△A1B1M1和△EB1M1中，，‎ ‎∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS），‎ ‎∴A1M1=EM1，∠1=∠2，‎ ‎∵A1M1=M1N1，∴EM1=M1N1，∴∠3=∠4，‎ ‎∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，‎ ‎∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，‎ ‎∴∠A1M1N1=180°﹣90°=90°．‎ ‎7． （1）∵AE+BG=2CF，CF>DF，AE=，BG=，DF=，‎ ‎∴+>．故答案为：+>．‎ ‎（2）方法一：∵+﹣==，‎ ‎∵n>1，∴n（n﹣1）（n+1）>0，‎ ‎∴+﹣>0，∴+>．‎ 方法二：∵=>1，∴+>． ‎