河北省石家庄市2020年中考数学模拟试卷（4月份） 解析版

河北省石家庄市2020年中考数学模拟试卷（4月份） 解析版

‎2020年河北省石家庄市中考数学模拟试卷（4月份）‎ 一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）如图，在数轴上，若点B表示一个负数，则原点可以是（　　）‎ A．点E B．点D C．点C D．点A ‎2．（3分）要将等式﹣x＝1进行一次变形，得到x＝﹣2，下列做法正确的是（　　）‎ A．等式两边同时加 B．等式两边同时乘以2 ‎ C．等式两边同时除以﹣2 D．等式两边同时乘以﹣2‎ ‎3．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，则下列结论不一定正确的是（　　）‎ A．CD＝BD B．∠A＝∠DCA ‎ C．BD＝AC D．∠B+∠ACD＝90°‎ ‎4．（3分）下列计算，正确的是（　　）‎ A．（﹣2a2）a3＝8a6 B．7a﹣4a＝3 ‎ C．a6÷a3＝a3 D．22×2﹣1＝‎ ‎5．（3分）下列由一个正方形和两个相同的等腰直角三角形组成的图形中，为中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．（3分）世界上：最薄的纳米材料其理论厚度是0.00…a个…0.34，该数据用科学记数法表示为3.4×10﹣6m，则a的值为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎7．（3分）对于n（n＞3）个数据，平均数为50，则去掉最小数据10和最大数据90后得到一组新数据的平均数（　　）‎ A．大于50 B．小于50 C．等于50 D．无法确定 ‎8．（3分）已知实数m，n互为倒数，且|m|＝1，则m2﹣2mn+n2的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．0 D．﹣2‎ ‎9．（3分）如图是某河坝横断面示意图，AC为迎水坡，AB为背水坡，过点A作水平面的垂线AD，BD＝2CD，设斜坡AC的坡度为iAC，坡角为∠ACD，斜坡AB的坡度为iAB，坡角为∠ABD，则下列结论正确的是（　　）‎ A．iAC＝2iAB B．∠ACD＝2∠ABD C．2iAC＝iAB D．2∠ACD＝∠ABD ‎10．（3分）如图，已知点D、E分别在∠CAB的边AB、AC上，若PD＝6，由作图痕迹可得，PE的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．12‎ ‎11．（2分）已知b＝a+c（a，b，c均为常数，且c≠0），则一元二次方程cx2﹣bx+a＝0根的情况是（　　）‎ A．有两个不相等的实数根 B．有两个实数根 ‎ C．有两个相等的实数根 D．无实数根 ‎12．（2分）若+的值小于﹣6，则x的取值范围为（　　）‎ A．x＞﹣7 B．x＜﹣7 C．x＞5 D．x＞﹣5‎ ‎13．（2分）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的周长记为c，若a﹣1＜c＜a（a为正整数），则a的值为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎14．（2分）如图为由若干个大小相同的正方体组成的几何体的左视图和俯视图，则它的主视图不可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎15．（2分）如图，已知点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于点D，若∠B＝40°，∠C＝68°，则∠ADC的度数为（　　）‎ A．52° B．58° C．60° D．62°‎ ‎16．（2分）对于题目：在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于两点 A、B，过点A且平行y轴的直线与过点B且平行x轴的直线相交于点C，若抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与线段BC有唯一公共点，求a的取值范围．甲的计算结果是a≥；乙的计算结果是a＜﹣，则（　　）‎ A．甲的结果正确 ‎ B．乙的结果正确 ‎ C．甲与乙的结果合在一起正确 ‎ D．甲与乙的结果合在一起也不正确 二、填空题（本大题有3个小题，共11分.17小题3分；18～19小题各有2个空，每空2分）‎ ‎17．（3分）计算：×＝　 　．‎ ‎18．（3分）观察下列一组数据，其中绝对值依次增大2，且每两个正数之间有两个负数：1，﹣3，﹣5，7，﹣9，﹣11，13．﹣15；则第10个数是　 　；第3n个数是　 　．‎ ‎19．（4分）如图，过正六边形ABCDEF的顶点D作一条直线l⊥AD于点D，分别延长AB、AF交直线l于点M．N，则∠AMN＝　 　；若正六边形ABCDEF的面积为6，则△AMN的面积为　 　．‎ 三.解答题（本大题共7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎20．在实数范围内，对于任意实数m、n（m≠0）规定一种新运算：m⊗n＝mn+mn﹣3，例如：3⊗2＝32+3×2﹣3＝12．（1）计算：（﹣2）⊗（﹣1）；‎ ‎（2）若x⊗1＝﹣27，求x的值；‎ ‎（3）若（﹣y）⊗2的最小值为a，求a的值．‎ ‎21．在证明定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半“时，小明给出如下部分证明过程．‎ 已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点．‎ 求证：‎ 证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，‎ ‎…‎ ‎（1）补全求证；‎ ‎（2）请根据添加的辅助线，写出完整的证明过程；‎ ‎（3）若CE＝3，DF＝8，求边AB的取值范围．‎ ‎22．在抗击新型冠状病毒肺炎战役中，某市党员积极响应国家号召参加志愿者活动，为人民服务，现随机抽查部分党员一个月来参加志愿者活动的次数，并绘制成如图尚不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．‎ ‎（1）“4次”所在扇形的圆心角度数是　 　，请补全条形统计图；‎ ‎（2）若从抽在的党员中随机选择一位接受媒体的采访，求该党员一个月来参加志愿者活动次数不少于3次的概率；‎ ‎（3）设随机抽查的党员一个月来参加志愿者活动次数的中位数为a，若去掉一部分党员参加志愿者活动的次数后，得到一组新数据的众数为b，当b＞a时，求最少去掉了几名党员参加志愿者活动的次数．‎ ‎23．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC上一点（不与点B，C重合），点F是BC延长线上一点，且CF＝BE，连接AE、DF．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△DCF；‎ ‎（2）连接AC，其中AC＝4，BC＝6；‎ ‎①当四边形AEFD是菱形时，求线段AE与线段DF之间的距离；‎ ‎②若点I是△DCF的内心，连接CI、FI，直接写出∠CIF的取值范围．‎ ‎24．在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线y＝（x＞0）经过点A（2，2），记双曲线与两坐标轴之间的部分为G（不含双曲线与坐标轴）．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）求G内整点的个数；‎ ‎（3）设点B（m，n）（m＞3）在直线y＝2x﹣4上，过点B分别作平行于x轴，y轴的直线，交双曲线y＝（x＞0）于点C、D，记线段BC、BD、双曲线所围成的区域为W，若W内部（不包括边界）不超过8个整点，求m的取值范围．‎ ‎25．如图1，在正方形ABCD中，AB＝10，点O，E在边CD上，且CE＝2，DO＝3，以点O为圆心，OF为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．‎ ‎（1）AG＝　 　；‎ ‎（2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转α（0°＜α＜180°），点O的对应点为O'，点F的对应点为F'，设M为半圆O'上一点．‎ ‎①当点F'落在AD边上时，求点M与线段BC之间的最短距离；‎ ‎②当半圆O'交BC于P，R两点时，若的长为π，求此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积；‎ ‎③当半圆O'与正方形ABCD的边相切时，设切点为N，直接写出tan∠END的值．‎ ‎26．某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行40场产品促销会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），在销售过程中获得以下信息：‎ 信息1：已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；‎ 信息2：产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场一第20场浮动价与销售场次x成正比，第21场﹣﹣第40场浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如下数据：‎ x（场）‎ ‎3‎ ‎10‎ ‎25‎ p（万元）‎ ‎10.6‎ ‎12‎ ‎14.2‎ ‎（1）求y与x之间满足的函数关系式；‎ ‎（2）当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？‎ ‎（3）在这40场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？‎ ‎2020年河北省石家庄市中考数学模拟试卷（4月份）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）如图，在数轴上，若点B表示一个负数，则原点可以是（　　）‎ A．点E B．点D C．点C D．点A ‎【分析】根据点B表示一个负数，即原点在点B的右侧解答即可．‎ ‎【解答】解：∵点B表示一个负数，‎ ‎∴原点可以是点A，‎ 故选：D．‎ ‎2．（3分）要将等式﹣x＝1进行一次变形，得到x＝﹣2，下列做法正确的是（　　）‎ A．等式两边同时加 B．等式两边同时乘以2 ‎ C．等式两边同时除以﹣2 D．等式两边同时乘以﹣2‎ ‎【分析】根据等式的性质将等式﹣x＝1进行一次变形，等式两边同时乘以﹣2，即可得到x＝﹣2，进而可以判断．‎ ‎【解答】解：将等式﹣x＝1进行一次变形，‎ 等式两边同时乘以﹣2，‎ 得到x＝﹣2．‎ 故选：D．‎ ‎3．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，则下列结论不一定正确的是（　　）‎ A．CD＝BD B．∠A＝∠DCA ‎ C．BD＝AC D．∠B+∠ACD＝90°‎ ‎【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等角对等边，直角三角形两锐角互余，对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，‎ ‎∴CD＝BD，CD＝AD，‎ ‎∴∠A＝∠DCA，‎ ‎∵∠B+∠A＝90°，‎ ‎∴∠B+∠ACD＝90°，‎ ‎∴A、B、D正确；‎ 如果BD＝AC，那么△ACD是等边三角形，‎ 必须∠A＝60°，题目没有这样的条件，所以C错误；‎ 故选：C．‎ ‎4．（3分）下列计算，正确的是（　　）‎ A．（﹣2a2）a3＝8a6 B．7a﹣4a＝3 ‎ C．a6÷a3＝a3 D．22×2﹣1＝‎ ‎【分析】先根据单项式乘以单项式法则，同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，负整数指数幂，实数的运算求出每个式子的值，再判断即可．‎ ‎【解答】解：A、（﹣2a2）a3＝﹣2a5，故本选项不符合题意；‎ B、7a﹣4a＝3a，故本选项不符合题意；‎ C、a6÷a3＝a3，故本选项符合题意；‎ D、22×2﹣1＝4×＝2，故本选项不符合题意；‎ 故选：C．‎ ‎5．（3分）下列由一个正方形和两个相同的等腰直角三角形组成的图形中，为中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据中心对称图形的定义可以判断哪个图形是中心对称图形，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；‎ B、不是中心对称图形，故此选项错误；‎ C、是中心对称图形，故此选项正确；‎ D、不是中心对称图形，故此选项错误；‎ 故选：C．‎ ‎6．（3分）世界上：最薄的纳米材料其理论厚度是0.00…a个…0.34，该数据用科学记数法表示为3.4×10﹣6m，则a的值为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎【解答】解：∵0.00…a个…0.34，该数据用科学记数法表示为3.4×10﹣6m，‎ ‎∴3.4×10﹣6＝0.0000034，‎ 则a＝5．‎ 故选：B．‎ ‎7．（3分）对于n（n＞3）个数据，平均数为50，则去掉最小数据10和最大数据90后得到一组新数据的平均数（　　）‎ A．大于50 B．小于50 C．等于50 D．无法确定 ‎【分析】先求出10和90的平均数，与原来数据的平均数相等都是50，可得去掉最小数据10和最大数据90后得到一组新数据的平均数相等．‎ ‎【解答】解：（10+90）÷2＝50，‎ ‎∵n（n＞3）个数据，平均数为50，‎ ‎∴去掉最小数据10和最大数据90后得到一组新数据的平均数等于50．‎ 故选：C．‎ ‎8．（3分）已知实数m，n互为倒数，且|m|＝1，则m2﹣2mn+n2的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．0 D．﹣2‎ ‎【分析】m，n互为倒数，则mn＝1；|m|＝1，则m＝±1，求出n代入所求的代数式即可求解．‎ ‎【解答】解：∵m，n互为倒数，‎ ‎∴mn＝1，‎ ‎∵|m|＝1，‎ ‎∴m＝±1，‎ 当m＝1时，n＝1；‎ 当m＝﹣1时，n＝﹣1；‎ ‎∴m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2＝0．‎ 故选：C．‎ ‎9．（3分）如图是某河坝横断面示意图，AC为迎水坡，AB为背水坡，过点A作水平面的垂线AD，BD＝2CD，设斜坡AC的坡度为iAC，坡角为∠ACD，斜坡AB的坡度为iAB，坡角为∠ABD，则下列结论正确的是（　　）‎ A．iAC＝2iAB B．∠ACD＝2∠ABD C．2iAC＝iAB D．2∠ACD＝∠ABD ‎【分析】根据坡度的概念分别表示出iAC、iAB，根据题意判断即可．‎ ‎【解答】解：斜坡AC的坡度iAC＝，斜坡AB的坡度iAB＝，‎ ‎∵BD＝2CD，‎ ‎∴iAC＝2iAB，A正确，C错误；‎ ‎∠ACD≠2∠ABD，B错误；‎ ‎2∠ACD≠∠ABD，D错误；‎ 故选：A．‎ ‎10．（3分）如图，已知点D、E分别在∠CAB的边AB、AC上，若PD＝6，由作图痕迹可得，PE的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．12‎ ‎【分析】根据作图痕迹可得，AP是∠BAC的平分线，根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可得PE的最小值．‎ ‎【解答】解：根据作图痕迹可知：‎ AP是∠BAC的平分线，‎ ‎∵PD⊥AB，且PD＝6，‎ 当PE⊥AC时，‎ PE＝PD＝6，‎ ‎∴PE的最小值是6．‎ 故选：C．‎ ‎11．（2分）已知b＝a+c（a，b，c均为常数，且c≠0），则一元二次方程cx2﹣bx+a＝0根的情况是（　　）‎ A．有两个不相等的实数根 B．有两个实数根 ‎ C．有两个相等的实数根 D．无实数根 ‎【分析】计算判别式的值得到△＝（﹣b）2﹣4ca，把b＝a+c代入得△＝（a﹣c）2≥0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．‎ ‎【解答】解：∵b＝a+c，‎ ‎∴△＝（﹣b）2﹣4ca＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，‎ ‎∴方程有两个实数根．‎ 故选：B．‎ ‎12．（2分）若+的值小于﹣6，则x的取值范围为（　　）‎ A．x＞﹣7 B．x＜﹣7 C．x＞5 D．x＞﹣5‎ ‎【分析】首先利用分式的加法计算法则进行计算，然后约分化简，再根据题意列出不等式，再解即可．‎ ‎【解答】解：+，‎ ‎＝﹣，‎ ‎＝，‎ ‎＝﹣（x+1），‎ ‎＝﹣x﹣1，‎ ‎∵值小于﹣6，‎ ‎∴﹣x﹣1＜﹣6，‎ 解得：x＞5，‎ 故选：C．‎ ‎13．（2分）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的周长记为c，若a﹣1＜c＜a（a为正整数），则a的值为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【分析】先利用勾股定理求出四边形ABCD各边的长度，得到周长c的值，再利用夹值法即可求解．‎ ‎【解答】解：由题意，可得AB＝BC＝CD＝DA＝＝，‎ ‎∴四边形ABCD的周长c＝4＝，‎ ‎∵25＜32＜36，‎ ‎∴5＜＜6，即5＜c＜6，‎ ‎∵a﹣1＜c＜a（a为正整数），‎ ‎∴a＝6．‎ 故选：C．‎ ‎14．（2分）如图为由若干个大小相同的正方体组成的几何体的左视图和俯视图，则它的主视图不可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】由俯视图可得此几何体底面有5个小正方形分为3列2排，根据左视图可得这个几何体的主视图有2层高，依此即可求解．‎ ‎【解答】解：由俯视图可得此几何体底面有5个小正方形分为3列2排，根据左视图可得这个几何体的主视图中间1列不可能有2层高．‎ 故选：B．‎ ‎15．（2分）如图，已知点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于点D，若∠B＝40°，∠C＝68°，则∠ADC的度数为（　　）‎ A．52° B．58° C．60° D．62°‎ ‎【分析】以O为圆心，OA长为半径画圆，则B，C，A三点共圆，延长AD交圆与点E，连接CE，由圆周角定理可求出∠E的度数以及∠ECD的度数，进而可求出∠ADC的度数．‎ ‎【解答】解：以O为圆心，OA长为半径画圆，‎ ‎∵点O是△ABC的外心，‎ ‎∴B，C，A三点共圆，‎ 延长AD交圆与点E，连接CE，‎ ‎∴∠ACE＝90°，‎ ‎∵∠B＝40°，∠C＝68°，‎ ‎∴∠E＝∠B＝40°，∠ECD＝90°﹣68°＝22°，‎ ‎∴∠ADC＝40°+22°＝62°，‎ 故选：D．‎ ‎16．（2分）对于题目：在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于两点A、B，过点A且平行y轴的直线与过点B且平行x轴的直线相交于点C，若抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与线段BC有唯一公共点，求a的取值范围．甲的计算结果是a≥；乙的计算结果是a＜﹣，则（　　）‎ A．甲的结果正确 ‎ B．乙的结果正确 ‎ C．甲与乙的结果合在一起正确 ‎ D．甲与乙的结果合在一起也不正确 ‎【分析】分a＞0、a＜0根据抛物线和线段的位置关系，找到临界点，确定a的值，即可求解．‎ ‎【解答】解：y＝ax2﹣2ax﹣3a，令y＝0，则x＝﹣1或3，令x＝0，则y＝﹣3a，‎ 故抛物线与x轴的交点坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为：（0，﹣3a），‎ 函数的对称轴为：x＝1，顶点坐标为：（1，﹣4a），‎ 直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于两点A、B，则点A、B的坐标分别为：（5，0）、（0，4），则点C（5，4）．‎ ‎（1）当a＞0时，‎ 当抛物线过点C时，抛物线与线段BC有一个公共点，‎ 将点C的坐标代入抛物线表达式得：4＝25a﹣10a﹣3，解得：a＝，‎ 故抛物线与线段BC有唯一公共点时，a≥；‎ ‎（2）当a＜0时，‎ 当顶点过BC时，此时抛物线与BC有唯一公共点，‎ 即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1；‎ 当抛物线过点B时，抛物线与BC有两个交点，‎ 将点B的坐标代入抛物线表达式得：﹣3a＝4，解得：a＝﹣，‎ 故当抛物线与线段BC有一个公共点时，a＜﹣，‎ 故a＜﹣或a＝﹣1；‎ 综上，a≥或a＜﹣或a＝﹣1；‎ 故选：D．‎ 二、填空题（本大题有3个小题，共11分.17小题3分；18～19小题各有2个空，每空2分）‎ ‎17．（3分）计算：×＝　6　．‎ ‎【分析】先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算即可．‎ ‎【解答】解：原式＝2×＝6．‎ 故答案为：6．‎ ‎18．（3分）观察下列一组数据，其中绝对值依次增大2，且每两个正数之间有两个负数：1，﹣3，﹣5，7，﹣9，﹣11，13．﹣15；则第10个数是　19　；第3n个数是　﹣6n+1　．‎ ‎【分析】观察发现，这组数据的绝对值是一组从1开始的连续正奇数，符号是以+、﹣、﹣为一个循环组依次循环，从而求出第10个数与第3n个数．‎ ‎【解答】解：由题意，可知这组数据的绝对值是一组从1开始的连续正奇数，符号是以+、﹣、﹣为一个循环组依次循环．‎ ‎∵1＝2×1﹣1，‎ ‎3＝2×2﹣1，‎ ‎5＝2×3﹣1，‎ ‎…‎ ‎∴第n个数的绝对值是2n﹣1，‎ ‎∵10＝3×3+1，‎ ‎∴第10个数是2×10﹣1＝19；‎ 第3n个数是﹣（2×3n﹣1）＝﹣6n+1．‎ 故答案为19；﹣6n+1．‎ ‎19．（4分）如图，过正六边形ABCDEF的顶点D作一条直线l⊥AD于点D，分别延长AB、AF交直线l于点M．N，则∠AMN＝　30°　；若正六边形ABCDEF的面积为6，则△AMN的面积为　16　．‎ ‎【分析】连接BE，CF交于点O．根据正六边形的性质，推出∠MAD＝∠NAD＝90°，推出∠AMN＝∠ANM＝30°，根据S△ANM＝•MN•AD＝×2×2OA×2OA＝4OA2，求出OA2即可解决问题．‎ ‎【解答】解：连接BE，CF交于点O，‎ ‎∵ABCDEF是正六边形，‎ ‎∴∠MAD＝∠NAD＝60°，‎ ‎∵AD⊥MN，‎ ‎∴∠ADM＝∠ADN＝90°，‎ ‎∴∠AMN＝∠ANM＝30°‎ ‎∵ABCDEF是正六边形，面积为6，‎ ‎∴点O在AB上，OA＝OB，△AOB的面积＝1，‎ ‎∴•OA2＝1，‎ ‎∴OA2＝，‎ ‎∵AD⊥MN，DM＝DN＝AD＝2OA，‎ ‎∴S△ANM＝•MN•AD＝×2×2OA×2OA＝4OA2＝16，‎ 故答案为30°，16．‎ 三.解答题（本大题共7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎20．在实数范围内，对于任意实数m、n（m≠0）规定一种新运算：m⊗n＝mn+mn﹣‎ ‎3，例如：3⊗2＝32+3×2﹣3＝12．（1）计算：（﹣2）⊗（﹣1）；‎ ‎（2）若x⊗1＝﹣27，求x的值；‎ ‎（3）若（﹣y）⊗2的最小值为a，求a的值．‎ ‎【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；‎ ‎（2）已知等式利用题中的新定义计算即可求出x的值；‎ ‎（3）利用题中的新定义和配方法得到（﹣y）⊗2＝y2﹣2y﹣3＝（y﹣1）2﹣4，进一步可求最小值a．‎ ‎【解答】解：（1）（﹣2）⊗（﹣1）‎ ‎＝（﹣2）﹣1+（﹣2）×（﹣1）﹣3‎ ‎＝；‎ ‎（2）由题意得x⊗1＝x+x﹣3＝﹣27，‎ 解得x＝﹣12；‎ ‎（3）（﹣y）⊗2＝y2﹣2y﹣3＝（y﹣1）2﹣4，‎ ‎∵（y﹣1）2﹣4的最小值为﹣4，‎ ‎∴a的值为﹣4．‎ ‎21．在证明定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半“时，小明给出如下部分证明过程．‎ 已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点．‎ 求证：‎ 证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，‎ ‎…‎ ‎（1）补全求证；‎ ‎（2）请根据添加的辅助线，写出完整的证明过程；‎ ‎（3）若CE＝3，DF＝8，求边AB的取值范围．‎ ‎【分析】（1）根据已知条件写出求证即可；‎ ‎（2）根据线段中点的定义得到AE＝CE，根据全等三角形的性质得到AD＝CF，∠A＝∠‎ ECF，求得AD＝BD，根据平行四边形的性质得到DE∥BC，DF＝BC，于是得到结论；‎ ‎（3）根据三角形三边关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）DE∥BC，且；‎ ‎（2）∵点E是AC的中点，‎ ‎∴AE＝CE，‎ 又∵EF＝ED，∠AED＝∠CEF，‎ ‎∴△ADE≌△CFE（SAS），‎ ‎∴AD＝CF，∠A＝∠ECF，‎ ‎∴AD∥CF，‎ ‎∴AB∥CF，‎ ‎∵点D是AB的中点，‎ ‎∴AD＝BD，‎ ‎∴BD＝CF，‎ ‎∴四边形BDFC是平行四边形，‎ ‎∴DE∥BC，DF＝BC，‎ ‎∵DE＝FE，‎ ‎∴；‎ ‎（3）∵DF＝8，‎ ‎∴BC＝8，‎ ‎∵CE＝3，‎ ‎∴AC＝6，‎ ‎∴BC﹣AC＜AB＜BC+AC，‎ 即2＜AB＜14．‎ ‎22．在抗击新型冠状病毒肺炎战役中，某市党员积极响应国家号召参加志愿者活动，为人民服务，现随机抽查部分党员一个月来参加志愿者活动的次数，并绘制成如图尚不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．‎ ‎（1）“4次”所在扇形的圆心角度数是　72°　，请补全条形统计图；‎ ‎（2）若从抽在的党员中随机选择一位接受媒体的采访，求该党员一个月来参加志愿者活动次数不少于3次的概率；‎ ‎（3）设随机抽查的党员一个月来参加志愿者活动次数的中位数为a，若去掉一部分党员参加志愿者活动的次数后，得到一组新数据的众数为b，当b＞a时，求最少去掉了几名党员参加志愿者活动的次数．‎ ‎【分析】（1）用360°乘以“4次”所对应百分比即可得，先根据5次的人数及其所占百分比可得总人数，再根据各次数的人数和等于总人数求出3次的人数，从而补全条形图；‎ ‎（2）根据概率公式直接计算可得；‎ ‎（3）先根据平均数的概念求出a的值，再根据中位数的定义进一步求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）“4次”所在扇形的圆心角度数是360°×20%＝72°，‎ 被调查的总人数为8÷16%＝50（人），‎ ‎∴3次的人数为50﹣（4+14+10+8）＝14（人），‎ 补全条形图如下：‎ 补全条形统计图如解图所示：‎ ‎（2）∵‎ 随机抽查的党员人数为10+20%＝50（人），其中参加志愿者活动次数不少于3次的有14+10+8＝32（人），‎ ‎∴P（该党员一个月来参加志愿者活动次数不少于3次）＝；‎ ‎（3）将参加次数按由小到大进行排列，可得中位数为第25、26个数的平均数，‎ 由题意得，‎ ‎∵去掉一部分党员参加志愿者活动的次数后，得到一组新数据的众数为b，且b＞a，‎ ‎∴b＝4或5．当b＝4时，最少需去掉10名党员参加志愿者活动的次数，‎ 即去掉5个参加志愿者活动次数为2次的和5个参加志愿者活动次数为3次的；‎ 当b＝5时，最少需去掉17名党员参加志愿者活动的次数，‎ 即去掉7个参加活动为2次的，7个参加活动为3次的，3个参加活动为4次的，‎ ‎∵10＜17，‎ ‎∴b＝4，‎ 这时最少去掉了10名党员这一个月来参加志愿者活动的次数，‎ 即去掉5个参加志愿者活动次数为2次的和5个参加志愿者活动次数为3次的．‎ ‎23．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC上一点（不与点B，C重合），点F是BC延长线上一点，且CF＝BE，连接AE、DF．‎ ‎（1）求证：△ABE≌△DCF；‎ ‎（2）连接AC，其中AC＝4，BC＝6；‎ ‎①当四边形AEFD是菱形时，求线段AE与线段DF之间的距离；‎ ‎②若点I是△DCF的内心，连接CI、FI，直接写出∠CIF的取值范围．‎ ‎【分析】（1）根据矩形的性质得到AB＝DC，∠B＝∠BCD＝90°，求得∠B＝∠DCF＝90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；‎ ‎（2）①根据菱形的性质得到AE＝EF＝DF＝AD，设平行线AE与DF之间的距离为x，推出x＝CD，根据勾股定理即可得到结论；‎ ‎②根据直角三角形的性质得到∠ACB＝30°，推出30°＜∠AEB＜90°‎ ‎，根据角平分线的定义得到∠ICF＝45°，∠IFC＝DFC，解不等式即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB＝DC，∠B＝∠BCD＝90°，‎ ‎∴∠B＝∠DCF＝90°，‎ ‎∵BE＝CF，‎ ‎∴△ABE≌△DCF（SAS）；‎ ‎（2）解：①∵四边形AEFD是菱形，‎ ‎∴AE＝EF＝DF＝AD，‎ 设平行线AE与DF之间的距离为x，‎ 有AE•x＝EF•CD，‎ ‎∴x＝CD，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴线段AE与线段DF之间的距离为；‎ ‎②∵∠B＝90°，AB＝2，AC＝4，‎ ‎∴AB＝AC，‎ ‎∴∠ACB＝30°，‎ ‎∵30°＜∠AEB＜90°，‎ ‎∵点l是△DCF的内心，‎ ‎∴CI平分∠DCF，IF平分∠DFC，‎ ‎∴∠ICF＝45°，∠IFC＝DFC，‎ ‎∴＝135°﹣CFD＝135°﹣AEB，‎ ‎∴∠AEB＝270°﹣2∠CIF，‎ ‎∴30°＜270°﹣2∠CIF＜90°，‎ ‎∴90°＜∠CIF＜120°．‎ ‎24．在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线y＝（x＞0）经过点A（2，2），记双曲线与两坐标轴之间的部分为G（不含双曲线与坐标轴）．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）求G内整点的个数；‎ ‎（3）设点B（m，n）（m＞3）在直线y＝2x﹣4上，过点B分别作平行于x轴，y轴的直线，交双曲线y＝（x＞0）于点C、D，记线段BC、BD、双曲线所围成的区域为W，若W内部（不包括边界）不超过8个整点，求m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k；‎ ‎（2）分别写出直线x＝1上、直线x＝2上、直线x＝3上、直线x＝1上的整点，得到答案；‎ ‎（3）写出m＝4时，在区域W内和线段BD上、线段BC上的整点，再写出m＝4.5时的情况，根据题意得到答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵双曲线y＝经过点A（2，2），‎ ‎∴2＝‎ 解得，k＝4；‎ ‎（2）对于双曲线y＝，‎ 当x＝1时，y＝4，‎ ‎∴在直线x＝1上，当0＜y＜4时，有整点（1，1），（1，2），（1，3）‎ 当x＝2时，y＝2，‎ ‎∴在直线x＝2上，当0＜y＜2时，有整点（2，1）；‎ 当x＝3时，，‎ ‎∴在直线x＝3上，当0＜y＜时，有整点（3，1）；‎ 当x＝4时，y＝1，‎ ‎∴在直线x＝4上，当0＜y＜1时，没有整点．‎ ‎∴G内整点的个数为5个；‎ ‎（3）当m＝4时，点B（4，4），点C（1，4），点D（4，1），‎ 此时在区域W内（不包含边界）有（2，3）、（3，2）、（3，3）共3个整点，线段BD上有4个整点，线段BC上有4个整点，‎ ‎∵点（4，4）重合，点（4，1）、（1，4）在边界上，‎ ‎∴当m＞4时，区域W内至少有3+4+4﹣3＝8个整点．‎ 当m＝4.5时，点B（4.5，5），点C（，5），‎ 线段BC上有4个整点，此时区域W内整点个数为8个．‎ 当m＞4.5时，区域W内部整点个数增加．‎ ‎∴若W内部（不包括边界）不超过8个整点，3＜m≤4.5．‎ ‎25．如图1，在正方形ABCD中，AB＝10，点O，E在边CD上，且CE＝2，DO＝3，以点O为圆心，OF为半径在其左侧作半圆O，分别交AD于点G，交CD的延长线于点F．‎ ‎（1）AG＝　6　；‎ ‎（2）如图2，将半圆O绕点E逆时针旋转α（0°＜α＜180°），点O的对应点为O'，点F的对应点为F'，设M为半圆O'上一点．‎ ‎①当点F'落在AD边上时，求点M与线段BC之间的最短距离；‎ ‎②当半圆O'交BC于P，R两点时，若的长为π，求此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积；‎ ‎③当半圆O'与正方形ABCD的边相切时，设切点为N，直接写出tan∠END的值．‎ ‎【分析】（1）连接OG，如图1，先由正方形的边长与已知线段求得半径OE，再由勾股定理求得DG，进而得AG；‎ ‎（2）①如图2，过点O'作O'H⊥BC于点H，交半圆O'于点M，反向延长HO交AD于点Q，由三角形的中位线求得O′Q，进而由线段和差求得MH便可；‎ ‎②由弧长公式求得∠PO′Q的度数，再根据等边三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算便可；‎ ‎③分两种情况：当半圆O'与正方形ABCD的边相BC切时；当半圆O'与正方形ABCD的边相AB切时．分别求出结果便可．‎ ‎【解答】解：（1）连接OG，如图1，‎ ‎∵正方形ABCD中，AB＝10，‎ ‎∴AD＝CD＝AB＝10，∠ADC＝90°，‎ ‎∵CE＝2，DO＝3，‎ ‎∴OG＝OE＝CD﹣CE﹣OD＝10﹣2﹣3＝5，‎ ‎∴DG＝，‎ ‎∴AG＝AD﹣DG＝10﹣4＝6，‎ 故答案为：6；‎ ‎（2）①如图2，过点O'作O'H⊥BC于点H，交半圆O'于点M，反向延长HO交AD于点Q，则∠QHC＝90°，‎ 根据三点共线及垂线段最短可得此时点M到BC的距离最短，‎ ‎∵∠C＝∠D＝∠QHC＝90°°，‎ ‎∴四边形QHCD是矩形，‎ ‎∴HQ＝CD＝10，HQ∥CD．‎ ‎∵点O是EF“的中点，点Q是DF′的中点，‎ ‎∵DE＝8，‎ ‎∴，‎ ‎∴O'H＝6，‎ ‎∵CE＝2，DO＝3，‎ ‎∴OE＝10﹣2﹣3＝5，即半圆的半径为5，‎ ‎∴MH＝1，‎ 即点M到BC的最短距离为1；‎ ‎②由①可知半圆O的半径为5，如图3，设∠PO'R的度数为β，‎ 由题意得，的长为＝，‎ ‎∴∠PO'R＝60°，‎ ‎∴∠F'O'P+∠EO'R＝120°，‎ ‎∴，‎ ‎∵O'R＝PO'，‎ ‎∴△O'RP是等边三角形，‎ ‎∴，‎ ‎∴此时半圆O'与正方形ABCD重叠部分的面积为；‎ ‎③当半圆O'与正方形ABCD的边相BC切时，如图4，过点D作DH⊥NE，与NE的延长线交于点H，作EG⊥O′N于点G，则NG＝CE＝2，O′N＝O′E＝5，‎ ‎∴O′G＝5﹣2＝3，‎ ‎∴CN＝GE＝，‎ ‎∴，‎ NE＝，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴NH＝，‎ ‎∴tan∠END＝；‎ 当半圆O'与正方形ABCD的边相AB切时，如图5，此时N与F′重合，则EF′⊥AB，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴EF′⊥CD，‎ ‎∴tan∠END＝，‎ 综上，tan∠END＝．‎ ‎26．某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行40场产品促销会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），在销售过程中获得以下信息：‎ 信息1：已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；‎ 信息2：产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场一第20场浮动价与销售场次x成正比，第21场﹣﹣第40场浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如下数据：‎ x（场）‎ ‎3‎ ‎10‎ ‎25‎ p（万元）‎ ‎10.6‎ ‎12‎ ‎14.2‎ ‎（1）求y与x之间满足的函数关系式；‎ ‎（2）当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？‎ ‎（3）在这40场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？‎ ‎【分析】（1）设第x场产品的销售量为y（台），根据信息1：已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台，即可求出y与x之间满足的函数关系式；‎ ‎（2）根据信息2，可知每场销售单价p（万元）＝基本价+浮动价．设基本价为b，分两种情况：第1场一第20场，设p与x的函数关系式为p＝ax+b，把（3，10.6），（10，12）代入，利用待定系数法求出p与x的函数关系式；第21场﹣﹣第40场，设p与x的函数关系式为p＝+b，把（25，14.2）代入，利用待定系数法求出p与x的函数关系式；然后将p＝13分别代入两个函数解析式，求出x即可；‎ ‎（3）设每场获得的利润为w（万元）．根据利润＝（销售单价﹣每台成本）×销售量，分①1≤x≤20；②21≤x≤40两种情况，分别列出w与x的解析式，再根据函数的性质结合自变量的取值范围求出w的最大值，最后比较即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，可得y与x的函数关系式为y＝50﹣x；‎ ‎（2）设基本价为b，‎ ‎①第1场﹣﹣第20场，设p与x的函数关系式为p＝ax+b；‎ 依题意得，解得，‎ ‎∴p＝x+10，‎ 当p＝13时，x+10＝13，解得x＝15；‎ ‎②第21场﹣﹣第40场，设p与x的函数关系式为p＝+b，即p＝+10．‎ 依题意得14.2＝+10，解得m＝105，‎ ‎∴p＝+10，‎ 当p＝13时，+10＝13，解得x＝35．‎ 故当产品销售单价为13万元时，销售场次是第15场和第35场；‎ ‎（3）设每场获得的利润为w（万元）．‎ ‎①当1≤x≤20时，w＝（x+10﹣10）（50﹣x）＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣25）2+125，‎ ‎∵在对称轴的左侧，w随x的增大而增大，‎ ‎∴当x＝20时，w最大，最大利润为﹣（20﹣25）2+125＝120（万元）；‎ ‎②当21≤x≤40时，w＝（+10﹣10）（50﹣x）＝﹣105，‎ ‎∵w随x的增大而减小，‎ ‎∴当x＝21时，w最大，最大利润为﹣105＝145（万元），‎ ‎∵120＜145，‎ ‎∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元．‎