中考数学解题指导专题7：几何辅助线(图)作法探讨

中考数学解题指导专题7：几何辅助线(图)作法探讨

1 【2013 年中考攻略】专题 7：几何辅助线（图）作法探讨 一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分复杂，若通过适当的变换，即添加适当 的辅助线（图），将原图形转换成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的 显示，通过对新图形的分析，原问题顺利获解。网络上有许多初中几何常见辅助线作法歌诀，下面这一套 是很好的： 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦圆。 2 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。 在几何题的证明或求解时，需要构成一些基本图形来求证（解）时往往要通过添加辅助线（图）来形 成，添加辅助线（图），构成的基本图形是结果，构造的手段是方法。 笔者从作辅助线的结果和方法两方面将几何辅助线（图）作法归纳为结果―――（1）构造基本图形； （2）构造等腰（边）三角形：（3）构造直角三角形；（4）构造全等三角形；（5）构造相似三角形；（6） 构造特殊四边形；（7）构造圆的特殊图形；方法―――（8）基本辅助线；（9）截取和延长变换；（10） 对称变换；（11）平移变换；（12）旋转变换。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。 一、构造基本图形：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助 线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形。如平行线，垂直线，直角三角形斜边 上中线，三角形、四边形的中位线等。等腰（边）三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊 四边形和圆的特殊图形也都是基本图形，但我们后面把它们单独表述。 典型例题： 例 1. （2012 湖北襄阳 3 分）如图，直线 l∥m，将含有 45°角的三角板 ABC 的直角顶点 C 放在直线 m 上， 若∠1=25°，则∠2 的度数为【 】 A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】A。 【考点】平行线的性质。 【分析】如图，过点 B 作 BD∥l， 3 ∵直线 l∥m，∴BD∥l∥m。 ∵∠1=25°，∴∠4=∠1=25°。 ∵∠ABC=45°，∴∠3=∠ABC﹣∠4=45°﹣25°=20°。 ∴∠2=∠3=20°。故选 A。 例 2.（2012 四川内江 3 分）如图，  3,1402,651,// 00 则ba 【 】 A. 0100 B. 0105 C. 0110 D. 0115 【答案】B。 【考点】平行的性质，三角形外角性质。 【分析】如图，反向延长b ，形成∠4。 ∵ //ab，∴∠3=1800－∠4。 又∵∠2=∠1＋∠4，即∠4=∠2—∠1。 ∴    0 0 0 0 03 180 2 1 180 140 65 105         。故选 B。 例 3.（2012 广东梅州 3 分）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若 EC=1，则 EF= ▲ ． 【答案】2。 【考点】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含 30 度角的直角三角形的性质。 【分析】作 EG⊥OA 于 F， ∵EF∥OB，∴∠OEF=∠COE=15°， ∵∠AOE=15°，∴∠EFG=15°+15°=30°。 ∵EG=CE=1，∴EF=2×1=2。 例 4.（2012 广东佛山 3 分）依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的 性质），则这个图形一定是【 】 A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】 A。 4 【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定。 【分析】根据题意画出图形，如右图所示： 连接 AC， ∵四边形 ABCD 各边中点是 E、F、G、H， ∴HG∥AC，HG= 1 2 AC，EF∥AC，EF= AC。∴EF=GH，EF∥GH。 ∴四边形 EFGH 是平行四边形。 由于四边形 EFGH 是平行四边形，它就不可能是梯形；同时由于是任意四边形，所以 AC=BD 或 AC⊥BD 不一定成立，从而得不到矩形或菱形的判断。 故选 A。 例 5.（2012 江苏宿迁 3 分）已知点 E，F，G，H 分别是四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点， 若 AC⊥BD，且 AC≠BD，则四边形 EFGH 的形状是 ▲ .（填“梯形”“矩形”“菱形” ） 【答案】矩形。 【考点】三角形中位线定理，矩形的判定。 【分析】如图，连接 AC，BD。 ∵E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点， ∴ 根据三 角 形 中 位 线 定 理 ， HE∥AB∥GF ， HG∥AC∥EF。 又∵AC⊥BD，∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=900。 ∴四边形 EFGH 是矩形。 且∵AC≠BD，∴四边形 EFGH 邻边不相等。 ∴四边形 EFGH 不可能是菱形。 例 6.（2012 湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 3 分）如图，线段AC=n+1（其中 n 为正整数），点 B 在线 段 AC 上，在线段 AC 同侧作正方形 ABMN 及正方形 BCEF，连接 AM、ME、EA 得到△AME．当 AB=1 时，△AME 的面积记为 S1；当 AB=2 时，△AME 的面积记为 S2；当 AB=3 时，△AME 的面积记为 S3；…； 当 AB=n 时，△AME 的面积记为 Sn．当 n≥2 时，Sn﹣Sn﹣1= ▲ ． 5 【答案】 2n 1 2  。 【考点】正方形的性质，平行的判定和性质，同底等高的三角形面积，整式的混合运算。 【分析】连接 BE， ∵在线段 AC 同侧作正方形 ABMN 及正方形 BCEF， ∴BE∥AM。∴△AME 与△AMB 同底等高。 ∴△AME 的面积=△AMB 的面积。 ∴当 AB=n 时，△AME 的面积为 2 n 1Sn2 ，当 AB=n－1 时， △AME 的面积为  2 n 1S n 12。 ∴当 n≥2 时，     22 n n 1 1 1 1 2n 1S S n n 1 = n+n 1 n n+1 =2 2 2 2       。 例 7.（2012 江苏镇江 6 分）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 是 AB 的中点，连接 DE 并延长交 CB 的延长线于点 F，点 G 在 BC 边上，且∠GDF=∠ADF。 （1）求证：△ADE≌△BFE； （2）连接 EG，判断 EG 与 DF 的位置关系，并说明理由。 【答案】解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE（两直线平行，内错角相等）。 ∵E 是 AB 的中点，∴AE=BE。 又∵∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE（AAS）。 （2）EG 与 DF 的位置关系是 EG⊥DF。理由如下： ∵∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF， ∴∠GDF=∠BFE（等量代换）。∴GD=GF（等角对等边）。 又∵△ADE≌△BFE，∴DE=EF（全等三角形对应边相等）。 ∴EG⊥DF（等腰三角形三线合一）。 【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。 【分析】（1）由已知，应用 AAS 即可证明△ADE≌△BFE。 （2）由∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF 可得∠GDF=∠BFE，从而根据等角对等边得 GD=GF；由 6 （1）△ADE≌△BFE 可得 DE=EF。根据等腰三角形三线合一的性质可得 EG⊥DF。 例 8.（2012 广西南宁 10 分）如图，已知矩形纸片 ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点 A 与边 CD 上的点 E 重合，折痕 FG 分别与 AB，CD 交于点 G，F，AE 与 FG 交于点O． （1）如图 1，求证：A，G，E，F 四点围成的四边形是菱形； （2）如图 2，当△AED 的外接圆与 BC 相切于点 N 时，求证：点 N 是线段 BC的中点； （3）如图 2，在（2）的条件下，求折痕 FG 的长． 【答案】解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF， ∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF。∴∠EFG=∠EGF。∴EF=EG=AG。 ∴四边形 AGEF 是平行四边形（EF∥AG，EF=AG）。 又∵AG=GE，∴四边形 AGEF 是菱形。 （2）连接 ON， ∵△AED 是直角三角形，AE 是斜边，点 O 是 AE 的中点， △AED 的外接圆与 BC 相切于点 N， ∴ON⊥BC。 ∵点 O 是 AE 的中点，∴ON 是梯形 ABCE 的中位线。 ∴点 N 是线段 BC 的中点。 （3）∵OE、ON 均是△AED 的外接圆的半径，∴OE=OA=ON=2。∴AE=AB=4。 在 Rt△ADE 中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30°。 在 Rt△OEF 中，OE=2，∠AED=30°，∴ 23OF 3 。∴FG= 432OF 3 。 【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义， 特殊角的三角函数值。 【分析】（1）根据折叠的性质判断出 AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由 CD∥AB 得出∠EFG=∠AGF，从而 判断出 EF=AG，得出四边形 AGEF 是平行四边形，从而结合 AG=GE，可得出结论。 7 （2）连接 ON，则 ON⊥BC，从而判断出 ON 是梯形 ABCE 的中位线，从而可得出结论。 （3）根据（1）可得出 AE=AB，从而在 Rt△ADE 中，可判断出∠AED 为 30°，在 Rt△EFO 中求 出 FO，从而可得出 FG 的长度。 练习题： 1. （2012 宁夏区 3 分）如图，C 岛在 A 岛的北偏东 45°方向，在 B 岛的北偏西 25°方向，则从 C 岛看 A、 B 两岛的视角∠ACB＝ ▲ 度． 2.（2012 浙江嘉兴、舟山 5 分）在直角△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，若 CD=4， 则点 D 到斜边 AB 的距离为 ▲ ． 3.（2012 江苏南京 8 分）如图，梯形 ABCD 中，AD//BC，AB=CD，对角线 AC、BD 交于点 O，AC  BD， E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点 （1）求证：四边形 EFGH 为正方形； （2）若 AD=2，BC=4，求四边形 EFGH 的面积。 4. （2011 湖南怀化 3 分）如图，已知直线 a ∥b ，∠1=40°，∠2=60°．则∠3 等于 【 】 A、100° B、60° C、40° D、20° 8 5. （2011 湖北恩施 3 分）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β 的度数是【 】 A、43° B、47° C、30° D、60° 6. （2011 广东茂名 3 分）如图，两条笔直的公路 l1、l2 相交于点 O，村庄 C 的村民在公路的旁边建三个加 工厂 A、B、D，已知 AB=BC=CD=DA=5 公里，村庄 C 到公路 l1 的距离为 4 公里，则村庄 C 到公路 l2 的 距离是【 】 A、3 公里 B、4 公里 C、5 公里 D、6 公里 7. （2011 辽宁辽阳 3 分）如图，已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝60°，若 DE⊥AB，垂足为点 E， 则 DE 的长为 ▲ ． 8. （2011 贵州黔东南 4 分）顺次连接一矩形场地 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点 E、F、G、H， 得到四边形 EFGH，M 为边 EH 的中点，点 P 为小明在对角线 EG 上走动的位置，若 AB=10 米，BC=10 3 米，当 PM+PH 的和为最小值时，EP 的长为 ▲ 。 9 9. （2011 广西玉林、防城港 10 分）如图，点 G 是正方形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，以线段 AG 为边作一个正方形 AEFG，线段 EB 和 GD 相交于点 H． （1）求证：EB=GD； （2）判断 EB 与 GD 的位置关系，并说明理由； （3）若 AB=2，AG= 2 ，求 EB 的长． 10. （2011 湖南衡阳 10 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD=4cm，AB=m（m＞4），点 P 是 AB 边上的任意 一点（不与点 A、B 重合），连接 PD，过点 P 作 PQ⊥PD，交直线 BC 于点 Q． （1）当 m=10 时，是否存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合？若存在，求出此时 AP 的长；若不存在，说明理 由； （2）连接 AC，若 PQ∥AC，求线段 BQ 的长（用含 m 的代数式表示）； （3）若△PQD 为等腰三角形，求以 P、Q、C、D 为顶点的四边形的面积 S 与 m 之间的函数关系式，并写 出 m 的取值范围． 二、构造等腰（边）三角形：当问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰（边） 三角形；出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰（边）三角形。通过构造等腰 （边）三角形，应用等腰（边）三角形的性质得到一些边角相等关系，达到求证（解）的目的。 10 典型例题： 例 1. （2012 浙江丽水、金华 4 分）如图，在等腰△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC 的平分线 与 AB 的中垂线交于点 O，点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合，则∠CEF 的度数是 ▲ ． 【答案】50°。 【考点】翻折变换(折叠问题)，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质。 【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC＝40°，以及∠OBC＝∠OCB＝40°，再 利用翻折变换的性质得出 EO＝EC，∠CEF＝∠FEO，进而求出即可： 连接 BO， ∵AB＝AC，AO 是∠BAC 的平分线，∴AO 是 BC 的中垂线。 ∴BO＝CO。 ∵∠BAC＝50°，∠BAC 的平分线与 AB 的中垂线交于点 O， ∴∠OAB＝∠OAC＝25°。 ∵等腰△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°。 ∴∠OBC＝65°－25°＝40°。∴∠OBC＝∠OCB＝40°。 ∵点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合，∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO。 ∴∠CEF＝∠FEO＝（1800－2×400）÷2 ＝50°。 例 2.（2012 甘肃白银 10 分）如图，已知△ABC 是等边三角形，点 D、F 分别在线段 BC、AB 上，∠EFB=60°， DC=EF． （1）求证：四边形 EFCD 是平行四边形； （2）若 BF=EF，求证：AE=AD． 【答案】证明：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=60°。 ∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB。∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行）。 11 ∵DC=EF，∴四边形 EFCD 是平行四边形。 （2）连接 BE。 ∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB 是等边三角形。 ∴EB=EF，∠EBF=60°。 ∵DC=EF，∴EB=DC。 ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC。 ∴∠EBF=∠ACB。∴△AEB≌△ADC（SAS）。 ∴AE=AD。 【考点】等边三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，。 【分析】（1）由△ABC 是等边三角形得到∠B=60°，而∠EFB=60°，由此可以证明 EF∥DC，而 DC=EF， 然后即可证明四边形 EFCD 是平行四边形； （2）如图，连接 BE，由 BF=EF，∠EFB=60°可以推出△EFB 是等边三角形，然后得到 EB=EF， ∠EBF=60°，而 DC=EF，由此得到 EB=DC，又△ABC 是等边三角形，所以得到∠ACB=60°，AB=AC，由 SAS 即可证明△AEB≌△ADC，利用全等三角形的性质就证明 AE=AD。 例 3.（2011 上海 12 分）如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，AB＝DC，过点 D 作 DE⊥BC，垂足为 E，并 延长 DE 至 F，使 EF＝DE．联结 BF、CD、AC． （1）求证：四边形 ABFC 是平行四边形； （2）如果 DE2＝BE·CE，求证四边形 ABFC 是矩形． 【答案】解：（1）证明：连接 BD。 ∵梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，∴AC=BD，∠ACB=∠DBC ∵DE⊥BC，EF=DE，∴BD=BF，∠DBC=∠FBC。 ∴AC=BF，∠ACB=∠CBF。∴AC∥BF。 ∴四边形 ABFC 是平行四边形； （2）∵DE2＝BE·CE，∴ DE CE BE DE 。 ∵∠DEB=∠DEC=90°，∴△BDE∽△DEC。∴∠CDE=∠DBE， ∴∠BFC=∠BDC=∠BDE＋∠CDE=∠BDE＋∠DBE=90°。 12 ∴四边形 ABFC 是矩形。 【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，等量代换。 【分析】（1）连接 BD，利用等腰梯形的性质得到 AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到 DB=FB，从而 得到 AC=BF，然后证得 AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形。 （2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得 到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形。 练习题： 1. （2011 山东潍坊 3 分）已知长方形 ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线 BD 的中点 O 做 BD 的垂 直平分线 EF，分别交 AD、BC 于点 E、F，则 AE 的长为 ▲ ． 2. （2011 辽宁辽阳 3 分）如图，已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝60°，若 DE⊥AB，垂足为点 E， 则 DE 的长为 ▲ ． 3. （2011 湖北十堰 8 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 为半径 OB 上一点，过点 C 作 CD⊥AB 交半 圆 O 于点 D，将△ ACD 沿 AD 折叠得到△ AED，AE 交半圆于点 F，连接 DF。 （1）求证：DE 是半圆的切线； （2）连接 OD，当 OC=BC 时，判断四边形 ODFA 的形状，并证明你的结论。 4. （2011 四川巴中 10 分） 如图所示，△ ABC 的外接圆圆心 O 在 AB 上，点 D 是 BC 延长线上一点， DM⊥AB 于 M，交 AC 于 N，且 AC=CD．CP 是△ CDN 的 ND 边的中线． (1)求证：△ ABC≌△DNC； (2)试判断 CP 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论。 13 5. （2011 广东河源 9 分） 如图，等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD=BC。将△ACD 沿对角线 AC 翻折 后，点 D 恰好与边 AB 的中点 M 重合． (1)点 C 是否在以 AB 为直径的圆上?请说明理由; (2)当 AB=4 时，求此梯形的面积． 三、构造直角三角形：通过构造直角三角形，应用直角三角形的性质得到一些边角关系（勾股定 理，两锐角互余，锐角三角函数），达到求证（解）的目的。 典型例题： 14 例 2.（2012 广西柳州 3 分）已知：在△ABC 中，AC=a，AB 与 BC 所在直线成 45°角，AC 与 BC 所 在直 线形成的夹角的余弦值为 2 55 （即 cosC= 2 55 ），则 AC 边上的中线长是 ▲ ． 【答案】 85 a10 或 5 10 a。 【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，三角形中位线定理，勾股定理。 【分析】分两种情况： ①△ABC 为锐角三角形时，如图 1，BE 为 AC 边的中线。 作△ABC 的高 AD，过点 E 作 EF⊥BC 于点 F。 ∵在 Rt△ACD 中，AC=a，cosC= 2 55 ， ∴CD= a，AD= 5 5 a。 ∵在 Rt△ABD 中，∠ABD=45°，∴BD=AD= a。。 ∴BC=BD+CD= 35 5 a。 ∵点 E 是 AC 的中点，EF∥AD，∴EF 是△ACD 的中位线。∴FC= 1 2 DC= a，EF= AD= a。 ∴BF= a。 在 Rt△BEF 中，由勾股定理，得 22 2 2 22 5 17 85BE BF EF 5a a = a = a5 10 20 10      。 ②△ABC 为钝角三角形时，如图 2，BE 为 AC 边的中线。 作△ABC 的高 AD。 ∵在 Rt△ACD 中，AC=a，cosC= ， ∴CD= a，AD= a。 ∵在 Rt△ABD 中，∠ABD=45°，∴BD=AD= a。∴BC= BD= a。 ∵点 E 是 AC 的中点，∴BE 是△ACD 的中位线。∴BE= AD= a。 15 综上所述，AC 边上的中线长是 85 a10 或 5 10 a。 例 3. （2012 广西河池 3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD＞AB，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重 合，折痕为 MN，连结 CN．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为 1︰4，则 MN BM 的值为【 】 A．2 B．4 C． 25 D． 26 【答案】D。 【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。 【分析】过点 N 作 NG⊥BC 于 G，由四边形 ABCD 是矩形，易得四边形 CDNG 是矩形，又由折叠的性质， 可得四边形 AMCN 是菱形，由△CDN 的面积与△CMN 的面积比为 1：4，根据等高三角形的面积比等于 对应底的比，可得 DN：CM=1：4，然后设 DN=x，由勾股定理可求得 MN 的长，从而求得答案： 过点 N 作 NG⊥BC 于 G， ∵四边形 ABCD 是矩形，∴四边形 CDNG 是矩形，AD∥BC。 ∴CD=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN。 由折叠的性质可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，∴∠ANM=∠AMN。 ∴AM=AN。∴AM=CM，∴四边形 AMCN 是平行四边形。 ∵AM=CM，∴四边形 AMCN 是菱形。 ∵△CDN 的面积与△CMN 的面积比为 1：4，∴DN：CM=1：4。 设 DN=x，则 AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。∴BM=x，GM=3x。 在 Rt△CGN 中，  22 2 2NG CN CG 4x x 15x     ， 在 Rt△MNG 中，    2222MN GM NG 3x 15x =2 6x    ， ∴ MN 2 6x= =2 6BM x 。故选 D。 例 4.（2012 北京市 5 分）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 E，∠BAC=900，∠CED=450， ∠DCE=900，DE= 2 ，BE=2 ．求 CD 的长和四边形 ABCD 的面积． 16 【答案】解：过点 D 作 DH⊥AC， ∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE= 2 ，∴EH=DH=1。 又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC= 3 。 ∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2 2 ， ∴AB=AE=2。∴AC=2+1+ 3 =3+ 3 。 ∴ ABCD 1 1 9 3 3S 2 3 3 1 3 3 2 2 2         四 形 （ ） （ ）边 。 【考点】勾股定理，含 30 度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质， 【分析】利用等腰直角三角形的性质得出 EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中 30°所对边等于斜边的 一半得出 CD 的长，求出 AC，AB 的长即可得出四边形 ABCD 的面积。 例 5.（2012 山东莱芜 9 分）某市规划局计划在一坡角为 16º的斜坡 AB 上安装一球形雕塑，其横截面示意 图如图所示．已知支架 AC 与斜坡 AB 的夹角为 28º，支架 BD⊥AB 于点 B，且 AC、BD 的延长线均过⊙O 的圆心，AB＝12m，⊙O 的半径为 1.5m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离(结果精确到 0.01m，参考 数据：cos28º≈0.9，sin62º≈0.9，sin44º≈0.7，cos46º≈0.7)． 【答案】解：如图，过点 O 作水平地面的垂线，垂足为点 E。 在 Rt△AOB 中， ABcos OAB OA，即 0 12cos28 OA ， ∴ 0 12 12OA 13.3330.9cos28    。 ∵∠BAE=160，∴∠OAE=280＋160=440。 在 Rt△AOE 中， OEsin OAE OA，即 0 OEsin44 13.333 ， 17 ∴ 0OE 13.333 sin44 13.333 0.7 9.333     9.333＋1.5=10.833≈10.83（m）。 答：雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为 10.83 m。 【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。 【分析】如图，过点 O 作水平地面的垂线，构造 Rt△AOE。解 Rt△AOB，求出 OA；解 Rt△AOE，求出 OE，即可得出雕塑最顶端到水平地面的垂直距离。 例 6.（2012 山东聊城 7 分）周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边 P 处观看小亮与爸爸在湖中 划船（如图）．小船从 P 处出发，沿北偏东 60°划行 200 米到达 A 处，接着向正南方向划行一段时间到达 B 处．在 B 处小亮观测妈妈所在的 P 处在北偏西 37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参 考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.41， ≈1.73） 【答案】解：作 PD⊥AB 于点 D， 由已知得 PA=200 米，∠APD=30°，∠B=37°， 在 Rt△PAD 中， 由 cos30°= PD PA ，得 PD=PAcos30°=200× 3 2 =100 3 （米）。 在 Rt△PBD 中， 由 sin37°= PD PB ，得 PB= 0 PD 100 1.73 2880.6sin37 （米）。 答：小亮与妈妈的距离约为 288 米。 【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数。 【分析】作 PD⊥AB 于点 D，分别在直角三角形 PAD 和直角三角形 PBD 中求得 PD 和 PB 即可求得结论。 例 7. （2012 吉林省 8 分）如图，在扇形 OAB 中，∠AOB=90°，半径 OA=6．将扇形 OAB 沿过点 B 的直 线折叠，点 O 恰好落在 AB 上点 D 处，折痕交 OA 于点 C，求整个阴影部分的周长和面积． 18 【答案】解：连接 OD。 根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC， ∴OB=OD=BD。∴△OBD 是等边三角形。∴∠DBO=60°。 ∴∠CBO= 1 2 ∠DBO=30°。 ∵∠AOB=90°，∴OC=OB•tan∠CBO=6× 3 =2 33 。 ∴ BDC OBC 11S S OB OC 6 2 3=6 322       ， 2 AOB 90 6S =9360  扇形 ， 90 6AB= =3180   ∴整个阴影部分的周长为：AC+CD+BD+ AB ==AC+OC+OB+ AB =6+6+3π=12+3π。 整个阴影部分的面积为： BDC OBCAOBS S S 9 6 3 6 3 9 12 3      扇形 。 【考点】翻折变换（折叠问题），等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值， 弧长的扇形面积的计算。 【分析】连接 OD，由折叠的性质，可得 CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，则可得△OBD 是等边三角 形，继而求得 OC 的长，即可求得△OBC 与△BCD 的面积，又由在扇形 OAB 中，∠AOB=90°，半径 OA=6， 即可求得扇形 OAB 的面积与 AB 的长，从而求得整个阴影部分的周长和面积。 练习题： 1. （2012 四川绵阳 3 分）已知△ABC 中，∠C=90°，tanA= 1 2 ，D 是 AC 上一点，∠CBD=∠A，则 sin∠ABD= 【 】。 A． 3 5 B． 10 5 C． 3 10 D． 3 10 10 2.（2012 山东青岛 8 分）如图，某校教学楼 AB 的后面有一建筑物 CD，当光线与地面的夹角是 22º时， 19 教学楼在建筑物的墙上留下高 2m 的影子 CE；而当光线与地面的夹角是 45º时，教学楼顶 A 在地面上的影 子 F 与墙角 C 有 13m 的距离(B、F、C 在一条直线上)． (1)求教学楼 AB 的高度； (2)学校要在 A、E 之间挂一些彩旗，请你求出 A、E 之间的距离(结果保留整数)． (参考数据：sin22º≈ 3 8 ，cos22º≈15 16 ，tan22º≈ 2 5 ) 3.（2012 湖北襄阳 3 分）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一 个测角仪，去测量学校内一座假山的高度 CD．如图，已知小明距假山的水平距离 BD 为 12m，他的眼镜 距地面的高度为 1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线 OA 和假山的最高点 C，此时，铅垂线 OE 经过量 角器的 60°刻度线，则假山的高度为【 】 A．（ 4 3 +1.6）m B．（ 12 +1.6）m C．（ 4 +1.6）m D．4 m 4.（2012 江苏南京 2 分）如图，将 45的∠AOB 按图摆放在一把刻度尺上，顶点 O 与尺下沿的端点重合， OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点 B 在尺上的读数为 2cm，若按相同的方式将37 的∠AOC 放置在 该尺上，则 OC 与尺上沿的交点 C 在尺上的读数约为 ▲ cm （结果精确到 0.1 cm，参考数据：sin37 0.60 ， cos37 0.80 ， tan37 0.75 ） 5.（2012 福建福州 4 分）如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于 点 D，则 AD 的长是 ▲ ，cosA 的值是 ▲ ．(结果保留根号) 20 6.（2012 陕西省 8 分）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先 在湖岸上的凉亭 A 处测得湖心岛上的迎宾槐 C 处位于北偏东65 方向，然后，他从凉亭 A 处沿湖岸向正 东方向走了 100 米到 B 处，测得湖心岛上的迎宾槐 C 处位于北偏东 45方向（点 A、B、C 在同一水平面 上）．请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐 C 处与湖岸上的凉亭 A 处之间的距离（结果精 确到 1 米）． （参考数据：sin25 0.4226 cos25 0.9063 tan25 0.4663 sin65 0.9063       ， ， ， ， cos65 0.4226 tan65 2.1445   ， ） 7.（2012 江苏连云港 10 分）已知 B 港口位于 A 观测点北偏东 53.2°方向，且其到 A 观测点正北方向的距 离 BD 的长为 16km，一艘货轮从 B 港口以 40km/h 的速度沿如图所示的 BC 方向航行，15m in 后达到 C 处， 现测得 C 处位于 A 观测点北偏东 79.8°方向，求此时货轮与 A 观测点之间的距离 AC 的长(精确到 0.1km)．(参 考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50， 2 ≈1.41， 5 ≈2.24) 21 8.（2012 四川乐山 10 分）如图，在东西方向的海岸线 l 上有一长为 1 千米的码头 MN，在码头西端 M 的 正西方向 30 千米处有一观察站 O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 O 的北偏西 30°方向，且与 O 相距 千米的 A 处；经过 40 分钟，又测得该轮船位于 O 的正北方向，且与 O 相距 20 千米的 B 处． （1）求该轮船航行的速度； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头 MN 靠岸？请说明理由．（参考数据： ， ） 四、构造全等三角形：通过构造全等三角形，应用全等三角形对应边、角相等的性质，达到求证 （解）的目的。 典型例题： 例 1. （2012 浙江绍兴 5 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，将△ABE 沿 AE 折叠， 使点 B 落在 AC 上的点 B′处，又将△CEF 沿 EF 折叠，使点 C 落在 EB′与 AD 的交点 C′处．则 BC：AB 的 值为 ▲ 。 22 例 2. （2012 山东泰安 3 分）如图，AB∥CD，E，F 分别为 AC，BD 的中点，若 AB=5，CD=3，则 EF 的 长是【 】 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D。 【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。 【分析】连接 DE 并延长交 AB 于 H， ∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE。 ∵E 是 AC 中点，∴DE=EH。∴△DCE≌△HAE（AAS）。 ∴DE=HE，DC=AH。 ∵F 是 BD 中点，∴EF 是△DHB 的中位线。∴EF= 1 2 BH。 ∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2。∴EF=1。故选 D。 例 3.（2012 山东德州 12 分）如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上 的一点（不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H， 折痕为 EF，连接 BP、BH． 23 （1）求证：∠APB=∠BPH； （2）当点 P 在边 AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最小值？若存在， 求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）如图 1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB． 又∵∠EPH=∠EBC=90°， ∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。 又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。 （2）△PHD 的周长不变为定值 8。证明如下： 如图 2，过 B 作 BQ⊥PH，垂足为 Q。 由（1）知∠APB=∠BPH， 又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP， ∴△ABP≌△QBP（AAS）。 ∴AP=QP，AB=BQ。 又∵AB=BC，∴BC=BQ。 又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）。 ∴CH=QH。 ∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。 （3）如图 3，过 F 作 FM⊥AB，垂足为 M，则 FM=BC=AB。 又∵EF 为折痕，∴EF⊥BP。 ∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。 又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。 ∴EM=AP=x． ∴在 Rt△APE 中，（4﹣BE）2+x2=BE2，即 2xBE 2+ 8 。 24 ∴ 2xCF BE EM 2+ x8    。 又∵四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等， ∴     2 221 1 x 1 1S BE CF BC= 4+ x 4= x 2x+8= x 2 +62 2 4 2 2          。 ∵ 1042<<，∴当 x=2 时，S 有最小值 6。 【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二 次函数的最值。 【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC 即可得 出答案。 （2）先由 AAS 证明△ABP≌△QBP，从而由 HL 得出△BCH≌△BQH，即可得 CH=QH。因此， △PDH 的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8 为定值。 （3）利用已知得出△EFM≌△BPA，从而利用在 Rt△APE 中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数 的最值求出即可。 例 4. （2011 广西南宁 3 分）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90º，∠A＝15º，AB＝8，则 AC·BC 的值为【 】 A．14 B．16 3 C．4 15 D．16 【答案】D。 【考点】全等三角形的判定和性质，锐角三角函数。 【分析】延长 BC 到点 D，使 CD＝CB，连接 AD，过点 D 作 DE⊥AB， 垂足为点 E。则知△ACD≌△ACB，从而由已知得∠CAD＝∠A＝15º， AD＝AB。因此，在 Rt△ADE 中，AD＝8，∠BAD＝30º，∴DE＝AD·sin30º ＝4。从而 S△ADE＝ 1 2 ·AB·DE＝16，又 S△ADE＝ ·BD·AC＝ ·2BC·AC＝AC·BC，即 AC·BC＝16。 例 5. （2011 山东济南 3 分）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90º，AC＞BC，分别以 AB、BC、CA 为一边 向△ABC 外作正方形 ABDE、BCMN、CAFG，连接 EF、GM、ND，设△AEF、△BND、△CGM 的面积 分别为 S1、S2、S3，则下列结论正确的是【 】 25 A．S1＝S2＝S3 B．S1＝S2＜S3 C．S1＝S3＜S2 D．S2＝S3＜S1 【答案】A。 【考点】正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质。 【分析】过点 D 作 DQ⊥MN 交 CB 的延长线于点 P，交 MN 的延长线于点 Q； 过点 E 作 ER⊥GF 交 CA 的延长线于点 S，交 GF 的延长线于点 R。 易证△CGM≌△CAB（SAS），即 S2＝S△ABC； 易证△PBD≌△CAB（AAS）， ∴BP=AC，即 S3 的底为 BN=BC，高为 BP=AC，∴S2＝S△ABC； 易证△SEA≌△CAB（AAS）， ∴AS=BC，即 S1 的底为 FA=CA，高为 AS=BC，∴S2＝S△ABC。 ∴S1＝S2＝S3＝S△ABC。故选 A。 例 6. （2011 山东德州 8 分）如图 AB=AC，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC 于 E，BE 与 CD 相交于点 O． （1）求证 AD=AE； （2）连接 OA，BC，试判断直线 OA，BC 的关系并说明理由． 【答案】解：（1）证明：在△ACD 与△ABE 中， ∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC， ∴△ACD≌△ABE（AAS）。 ∴AD=AE。 （2）在 Rt△ADO 与 Rt△AEO 中，∵OA=OA，AD=AE， ∴△ADO≌△AEO（HL）。 ∴∠DAO=∠EAO。 即 OA 是∠BAC 的平分线。 又∵AB=AC，∴OA⊥BC。 26 【考点】全等三角形的判定和性质 【分析】（1）根据全等三角形 AAS 的判定方法，证明△ACD≌△ABE，即可得出 AD=AE。 （2）根据已知条件得出△ADO≌△AEO，得出∠DAO=∠EAO，即可判断出 OA 是∠BAC 的平分 线，即 OA⊥BC。 练习题： 1. （2012 湖南岳阳 3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，沿 AD 折叠，使点 B 落在斜边 AC 上，若 AB=3， BC=4，则 BD= ▲ ． 2. （2011 湖北恩施 3 分）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为 F，DE=DG，△ADG 和△AED 的面积分别为 50 和 39，则△EDF 的面积为 【 】 A、11 B、5.5 C、7 D、3.5 3. （2011 湖北随州 4 分）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 平分线 BP 交于点 P， 若∠BPC=40°，则∠CAP= ▲ ． 4.（2011 广西贵港 2 分）如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形 ABCD， 若 AD＝6cm，∠ABC＝60°，则四边形 ABCD 的面积等于_ ▲ cm2． 5. （2011 江苏徐州 6 分）如图，将矩形纸片 ABCD 按如下顺序进行折叠: 对折、展平, 得折痕 EF(如图①); 27 沿 GC 折叠, 使点 B 落在 EF 上的点 B' 处(如图②); 展平, 得折痕 GC(如图③); 沿 GH 折叠, 使点 C 落在 DH 上的点 C' 处(如图④); 沿 GC' 折叠(如图⑤); 展平, 得折痕 GC' 、GH(如图⑥)。 （1）求图②中∠BCB' 的大小; （2）图⑥中的△ GCC' 是正三角形吗?请说明理由. 五、构造相似三角形：通过构造相似三角形，应用相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质， 达到求证（解）的目的。 典型例题： 例 1. （2012 广东深圳 3 分）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图， 此时测得地面上的影长为 8 米，坡面上的影长为 4 米．已知斜坡的坡角为 300，同一时 刻，一根长为 l 米、 垂直于地面放置 的标杆在地面上的影长为 2 米，则树的高度为【 】 A.(6 3) 米 B.12 米 C. (4 2 3) 米 D．10 米 【答案】A。 【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数 定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。 【分析】延长 AC 交 BF 延长线于 E 点，则∠CFE=30°。 作 CE⊥BD 于 E，在 Rt△CFE 中，∠CFE=30°，CF=4， ∴CE=2，EF=4cos30°=2 3 ， 在 Rt△CED 中，CE=2， ∵同一时刻，一根长为 1 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米，∴DE=4。 ∴BD=BF+EF+ED=12+2 。 28 ∵△DCE∽△DAB，且 CE：DE=1：2， ∴在 Rt△ABD 中，AB= 1 2 BD=  1 12+2 3 6+ 32  。故选 A。 例 2.（2012 湖北十堰 3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB=2，AD=4，AC 的垂直平分线 EF 交 AD 于点 E、 交 BC 于点 F，则 EF= ▲ ． 【答案】 5 。 【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理；． 【分析】连接 EC，AC、EF 相交于点 O。 ∵AC 的垂直平分线 EF，∴AE=EC。 ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠D=∠B=90°，AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC。 ∴△AOE∽△COF。∴ AO OE OC OF 。 ∵OA=OC，∴OE=OF，即 EF=2OE。 在 Rt△CED 中，由勾股定理得：CE2=CD2+ED2，即 CE2=（4－CE）2+22，解得：CE= 5 2 。 ∵在 Rt△ABC 中，AB=2，BC=4，由勾股定理得：AC= 25，∴CO= 。 ∵在 Rt△CEO 中，CO= ，CE= ，由勾股定理得：EO= 5 2 。∴EF=2EO= 。 例 3.（2012 天津市 10 分）已知一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 A（11，0）， 点 B（0，6），点 P 为 BC 边上的动点（点 P 不与点 B、C 重合），经过点 O、P 折叠该纸片，得点 B′和折 痕 OP．设 BP=t． （Ⅰ）如图①，当∠BOP=300 时，求点 P 的坐标； （Ⅱ）如图②，经过点 P 再次折叠纸片，使点 C 落在直线 PB′上，得点 C′和折痕 PQ，若 AQ=m，试用含 有 t 的式子表示 m； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点 C′恰好落在边 OA 上时，求点 P 的坐标（直接写出结果即可）． 29 【答案】解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6。 在 Rt△OBP 中，由∠BOP=30°，BP=t，得 OP=2t。 ∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1= 23，t2=－ （舍去）． ∴点 P 的坐标为（ ，6）。 （Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P 分别是由△OBP、△QCP 折叠得到的， ∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。 ∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。 ∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°。 ∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ。 又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ。∴ OB BP PC CQ 。 由题意设 BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则 PC=11－t，CQ=6－m． ∴ 6t 11 t 6 m 。∴ 21 11m t t 666   （0＜t＜11）。 （Ⅲ）点 P 的坐标为（11 13 3  ，6）或（11+ 13 3 ，6）。 【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的 判定和性质。 【分析】（Ⅰ）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在 Rt△OBP 中，由∠BOP=30°，BP=t，得 OP=2t，然后 利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。 （Ⅱ）由△OB′P、△QC′P 分别是由△OBP、△QCP 折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP， △QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。 （Ⅲ）首先过点 P 作 PE⊥OA 于 E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得 C′Q 的长，然 后利用相似三角形的对应边成比例与 ，即可求得 t 的值： 过点 P 作 PE⊥OA 于 E，∴∠PEA=∠QAC′=90°。 ∴∠PC′E+∠EPC′=90°。 30 ∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A。 ∴△PC′E∽△C′QA。∴ PE PC AC C Q  。 ∵PC′=PC=11－t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6－m， ∴ 22AC C Q AQ 36 12m      。 ∴ 6 11 t 6 m36 12m   。 ∵ 6t 11 t 6 m ，即 6 11 t t 6 m   ，∴ 66= t36 12m ，即 236 12m=t 。 将 21 11m t t 666   代入，并化简，得 23t 22 t 36=0 。解得： 12 11 13 11+ 13tt33 ， 。 ∴点 P 的坐标为（11 13 3  ，6）或（ 11+ 13 3 ，6）。 例 4.（2012 湖南岳阳 3 分）如图，△ABC 中，AB=AC，D 是 AB 上的一点，且 AD= 2 3 AB，DF∥BC，E 为 BD 的中点．若 EF⊥AC，BC=6，则四边形 DBCF 的面积为 ▲ ． 【答案】15。 【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理。 【分析】如图，过 D 点作 DG⊥AC，垂足为 G，过 A 点作 AH⊥BC，垂足为 H， ∵AB=AC，点 E 为 BD 的中点，且 AD= 2 3 AB， ∴设 BE=DE=x，则 AD=AF=4x。 ∵DG⊥AC，EF⊥AC， ∴DG∥EF，∴ AE DE=AF GF ，即 5x x=4x GF ，解得 4GF= x5 。 ∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴ DF AD=BC AB ，即 DF 4x=6 6x ，解得 DF=4。 又∵DF∥BC，∴∠DFG=∠C， ∴Rt△DFG∽Rt△ACH，∴ DF GF=AC HC ，即 4 x4 5=6x 3 ，]解得 2 5x=2 。 31 在 Rt△ABH 中，由勾股定理，得 2 2 2 2 5AH= AB BH 36x 3 = 36 9=92     。 ∴ ABC 11S BC AH 6 9 2722        。 又∵△ADF∽△ABC，∴ 22 ADF ABC S DF 4 4 S BC 6 9               ，∴ ADF 4S 27=129  ∴ ABC ADFDBCFS S S 27 12 15    四 形边 。 例 5. （2011 山东淄博 4 分）如图，正方体的棱长为 3，点 M，N 分别在 CD，HE 上，CM= 1 2 DM，HN=2NE， HC 与 NM 的延长线交于点 P，则 tan∠NPH 的值为 ▲ ． 【答案】 1 3 。 【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数。 【分析】∵CM＝ 1 2 DM，HN＝2NE，∴CM＝ CD，HN＝ 2 3 HE＝ CD， 又∵△PCM∽△PHN，∴ PC CM 1 PH HN 2，即 PH＝2CH＝2CD。 ∴tan∠NPH＝ HN 1 PH 3 。 练习题： 1. （2012 江西南昌 8 分）如图 1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图 2 是晒衣架的侧面示意图，立杆 AB．CD 相交于点 O，B．D 两点立于地面，经测量： AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链 EF 成一条直线，且 EF=32cm． （1）求证：AC∥BD； （2）求扣链 EF 与立杆 AB 的夹角∠OEF 的度数（精确到 0.1°）； （3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到 122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说 明理由． （参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈0.553；可使用科学记算器） 32 2. （2011 山东淄博 4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 是 BC 边的中点，过点 B 作 BG⊥AE， 垂足为 G，延长 BG 交 AC 于点 F，则 CF= ▲ ． 3. （2011 广东深圳 3 分）如图，△ABC 与△DEF 均为等边三角形，O 为 BC、EF 的中点，则 AD：BE 的 值为【 】 A. 3 :1 B. 2 :1 C.5:3 D.不确定 4. （2011 广西北海 3 分）如图，△ABC 的面积为 63，D 是 BC 上的一点，且 BD∶CD＝2∶1，DE∥AC 交 AB 于点 E，延长 DE 到 F，使 FE∶ED＝2∶1，则△CDF 的面积为 ▲ ． 5. （2011 湖北黄石 3 分）有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的 2 倍，如图。将这两张纸条交叉 重叠地放在一起，重合部分为四边形 ABCD，则 AB 与 BC 的数量关系为 ▲ . 33 6. （2011 山西省 3 分）如图，已知 AB=12；AB⊥BC 于 B，AB⊥AD 于 A，AD=5，BC=10．点 E 是 CD 的中点，则 AE 的长是 ▲ 。 7. （2011 陕西省 8 分）一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形 坑”的深度，来评估这些坑道对河道的影响，如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对 象，测量方案如下： ①先测出沙坑坑沿的圆周长 34.54 米； ②甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于 B 时恰好他的视 线经过沙坑坑沿圆周上一点 A 看到坑底 S（甲同学的视线起点 C 与点 A，点 S 三点共线），经测量：AB=1.2 米，BC=1.6 米． 根据以上测量数据，求圆锥形坑的深度（圆锥的高）．（π 取 3.14，结果精确到 0.1 米） 8. （2011 北京 5 分）如图，在△ABC，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC、BC 于点 D、E，点 F 在 AC 的延长线上，且∠CBF= 1 2 ∠CAB． （1）求证：直线 BF 是⊙O 的切线； （2）若 AB=5，sin∠CBF= 5 5 ，求 BC 和 BF 的长． 34 六、构造特殊四边形：通过构造平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四边形，应用它 们边、角、对角线、中位线的性质，达到求证（解）的目的。 典型例题： 例 1. （2012 贵州遵义 3 分）如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将△ABE 沿 BE 折叠后得到△GBE， 延长 BG 交 CD 于 F 点，若 CF=1，FD=2，则 BC 的长为【 】 A．32 B． 26 C． 25 D． 23 【答案】B。 【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质和判定，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股 定理。 【分析】过点 E 作 EM⊥BC 于 M，交 BF 于 N。 ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC， ∵∠EMB=90°，∴四边形 ABME 是矩形。∴AE=BM， 由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM。 ∵∠ENG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM（AAS）。 ∴NG=NM。 ∵E 是 AD 的中点，CM=DE，∴AE=ED=BM=CM。 ∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM。∴BN=NF。∴NM= 1 2 CF= 。∴NG= 。 ∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣ 15 22 。∴BF=2BN=5 ∴ 2 2 2 2BC BF CF 5 1 2 6     。故选 B。 例 2. （2012 四川德阳 3 分） 如图，点 D 是△ABC 的边 AB 的延长线上一点，点 F 是边 BC 上的一个动 点（不与点 B 重合）.以 BD、BF 为邻边作平行四边形 BDEF，又 AP BE（点 P、E 在直线 AB 的同侧）， 35 如果 BD B1 4 A ，那么△PBC 的面积与△ABC 面积之比为【 】 A. 4 1 B. 5 3 C. 5 1 D. 4 3 【答案】D。 【考点】平行四边形的判定和性质。 【分析】过点 P 作 PH∥BC 交 AB 于 H，连接 CH，PF，PE。 ∵AP BE，∴四边形 APEB 是平行四边形。∴PE AB。， ∵四边形 BDEF 是平行四边形，∴EF BD。 ∴EF∥AB。∴P，E，F 共线。 设 BD=a， ∵ 1BD AB4 ，∴PE=AB=4a。∴PF=PE﹣EF=3a。 ∵PH∥BC，∴S△HBC=S△PBC。 ∵PF∥AB，∴四边形 BFPH 是平行四边形。∴BH=PF=3a。 ∵S△HBC：S△ABC=BH：AB=3a：4a=3：4，∴S△PBC：S△ABC=3：4。故选 D。 例 3.（2012 安徽省 5 分）如图，P 是矩形 ABCD 内的任意一点，连接 PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、 △PCD、△PDA，设它们的面积分别是 S1、S2、S3、S4，给出如下结论： ①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3 ③若 S3=2 S1，则 S4=2 S2 ④若 S1= S2，则 P 点在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是 ▲ （把所有正确结论的序号都填在横线上）. 【答案】②④。 36 【考点】矩形的性质，相似 【分析】如图，过点 P 分别作四个三角形的高， ∵△APD 以 AD 为底边，△PBC 以 BC 为底边， ∴此时两三角形的高的和为 AB， ∴S1+S3= 1 2 S 矩形 ABCD； 同理可得出 S2+S4= S 矩形 ABCD。 ∴②S2+S4= S1+ S3 正确，则①S1+S2=S3+S4 错误。 若 S3=2 S1，只能得出△APD 与△PBC 高度之比，S4 不一定等于 2S2；故结论③错误。 如图，若 S1=S2，则 ×PF×AD= ×PE×AB， ∴△APD 与△PBA 高度之比为：PF：PE =AB：AD 。 ∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四边形 AEPF 是矩形， ∴矩形 AEPF∽矩形 ABCD。连接 AC。 ∴PF：CD =PE ：BC=AP：AC， 即 PF：CD =AF ：AD=AP：AC。 ∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴点 A、P、C 共线。∴P 点在矩形的对角线上。 故结论④正确。 综上所述，结论②和④正确。 例 4.（2012 广西贵港 8 分）如图，在□ABCD 中，延长 CD 到 E，使 DE＝CD，连接 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于点 G。 （1）求证：AF＝DF； （2）若 BC＝2AB，DE＝1，∠ABC＝60°，求 FG 的长。 【答案】解：（1）证明：如图 1，连接 BD、AE， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD。 37 ∵DE＝CD，∴AB∥DE，AB＝DE。 ∴四边形 ABDE 是平行四边形。∴AF＝DF。 （2）如图 2，在 BC 上截取 BN＝AB＝1，连接 AN， ∵∠ABC＝60°，∴△ANB 是等边三角形。 ∴AN＝1＝BN，∠ANB＝∠BAN＝60°。 ∵BC＝2AB＝2，∴CN＝1＝AN。 ∴∠ACN＝∠CAN＝1 2×60°＝30°。 ∴∠BAC＝90°。 由勾股定理得：AC＝ 22－12＝ 3。 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD。 ∴△AGB∽△CGE。∴BG GE＝AB CE＝AG CG。∴ 1 1＋1＝ AG 3－AG，解得 AG＝ 3 3 。 在△BGA 中，由勾股定理得：BG＝ 12＋   3 3 2＝2 3 3 。 ∵BG GE＝1 2， ∴GE＝4 3 3 ，BE＝4 3 3 ＋2 3 3 ＝2 3。 ∵四边形 ABDE 是平行四边形，∴BF＝1 2BE＝ 3。∴FG＝ 3－2 3 3 ＝ 3 3 。 【考点】平行四边形的判定和性质，全等、相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形 的内角和定理，三角形中位线定理，勾股定理。 【分析】（1）连接 AE、BD、根据 AB∥CD，AB＝CD＝DE，得出平行四边形 ABDE，即可推出答案。 （2）在 BC 上截取 BN＝AB＝1，连接 AN，推出△ANB 是等边三角形，求出 CN＝1＝AN，根据 三角形的内角和定理求出∠BAC＝90°，由勾股定理求出 AC，根据△AGB∽△CGE，得出BG GE＝AB CE＝AG CG， 求出 AG，在△BGA 中，由勾股定理求出 BG，求出 GE、BE，根据□BDEA 求出 BF，即可求出答案。 例 5.（2012 江苏常州 7 分）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC 的中点为 O，过点 O 作 AC 的垂直平分线分别与 AD、BC 相交于点 E、F，连接 AF。 求证：AE=AF。 38 【答案】证明：连接 CE。 ∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，。 又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO（AAS）。 ∴AE=CF。∴四边形 AECF 是平行四边形。 又∵EF⊥AC，∴平行四边形 AECF 是菱形。 ∴AE=AF。 【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。 【分析】由已知，根据 AAS 可证得△AEO≌△CFO，从而得 AE=CF。根据一组对边平行且相等的四边形是平 行四边形的判定可得四边形 AECF 是平行四边形。由 EF⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的 判定得平行四边形 AECF 是菱形。根据菱形四边相等的性质和 AE=AF。 例 6.（2012 海南省 11 分）如图（1），在矩形 ABCD 中，把∠B、∠D 分别翻折，使点 B、D 分别落在对角 线 BC 上的点 E、F 处，折痕分别为 CM、AN. （1）求证：△AND≌△CBM. （2）请连接 MF、NE，证明四边形 MFNE 是平行四边形，四边形 MFNE 是菱形吗？请说明理由？ （3）P、Q 是矩形的边 CD、AB 上的两点，连结 PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若 PQ=CQ，PQ∥MN。 且 AB=4，BC=3，求 PC 的长度. 【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。 ∴∠DAC=∠BCA。 又由翻折的性质，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=∠BCM，∴∠DAN=∠BCM。 39 ∴△AND≌△CBM（ASA）。 （2）证明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。 又由翻折的性质，得 DN=FN，BM=EM， ∴FN=EM。 又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC， ∴FN∥EM。∴四边形 MFNE 是平行四边形。 四边形 MFNE 不是菱形，理由如下： 由翻折的性质，得∠CEM=∠B=900， ∴在△EMF 中，∠FEM＞∠EFM。 ∴FM＞EM。∴四边形 MFNE 不是菱形。 （3）解：∵AB=4，BC=3，∴AC=5。 设 DN=x，则由 S△ADC=S△AND＋S△NAC 得 3 x＋5 x=12，解得 x= 3 2 ，即 DN=BM= 。 过点 N 作 NH⊥AB 于 H，则 HM=4－3=1。 在△NHM 中，NH=3，HM=1， 由勾股定理，得 NM= 10 。 ∵PQ∥MN，DC∥AB， ∴四边形 NMQP 是平行四边形。∴NP=MQ，PQ= NM= 。 又∵PQ=CQ，∴CQ= 。 在△CBQ 中，CQ= ，CB=3，由勾股定理，得 BQ=1。 ∴NP=MQ= 1 2 。∴PC=4－ － =2。 【考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判 定和性质，菱形的判定，勾股定理。 【分析】（1）由矩形和翻折对称的性质，用 ASA 即可得到△AND≌△CBM。 （2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。 （3）设 DN=x，则由 S△ADC=S△AND＋S△NAC 可得 DN=BM= 。过点 N 作 NH⊥AB 于 H，则由勾 股定理可得 NM= ，从而根据平行四边形的性质和已知 PQ=CQ，即可求得 CQ= 。因此，在△CBQ 40 中，应用勾股定理求得 BQ=1。从而求解。 例 7. （2011 山东泰安 10 分）已知：在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E 是 BC 的中 点，连接 AE、AC． （1）点 F 是 DC 上一点，连接 EF，交 AC 于点 O（如图 1），求证：△AOE∽△COF； （2）若点 F 是 DC 的中点，连接 BD，交 AE 与点 G（如图 2），求证：四边形 EFDG 是菱形． 【答案】解：（1）证明：∵点 E 是 BC 的中点，BC=2AD，∴EC=BE= 1 2 BC=AD。 又∵AD∥DC，∴四边形 AECD 为平行四边形。 ∴AE∥DC。∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO。 ∴△AOE∽△COF。 （2）证明：连接 DE， ∵AD 平行且等于 BE，∴四边形 ABED 是平行四边形， 又∠ABE=90°，∴四边形 ABED 是矩形。 ∴GE=GA=GB=GD= BD= AE。 ∵E、F 分别是 BC、CD 的中点，∴EF、GE 是△CBD 的两条中线。 ∴EF= BD=GD，GE= CD=DF。 又 GE=GD，∴EF=GD=GE=DF。∴四边形 EFDG 是菱形。 【考点】梯形的性质，平行四边形的判定和性质，平行的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质， 菱形的判定。 【分析】（1）由点 E 是 BC 的中点，BC=2AD，可证得四边形 AECD 为平行四边形，即可得△AOE∽△COF。 （2）连接 DE，易得四边形 ABED 是平行四边形，又由∠ABE=90°，可证得四边形 ABED 是矩形， 根据矩形和三角形中位线的性质，易证得 EF=GD=GE=DF，则可得四边形 EFDG 是菱形。 练习题： 1. （2012 广东深圳 3 分）如图，Rt△ABC 中，C= 90o，以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE，且正方形 对角线交于点 D，连接 OC，已知 AC=5，OC=6 2 ，则另一直角边 BC 的长为 ▲ ． 41 2.（2012 内蒙古呼和浩特 3 分）已知：在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯 形的面积是【 】 A．25 B．50 C． 25 2 D． 30 2 4 3.（2012 江苏南通 3 分）如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90º，AB＝7cm，BC＝3cm， AD＝4cm，则 CD＝ ▲ cm． 4.（2012湖北黄冈3分）如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC ，AD=4，AB=CD=5，∠B=60°，则下底BC 的 长为 ▲ . 5. （2011 山东枣庄 10 分 ）如图，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC 交 AB 于 E，DF 平分∠EDC 交 BC 于 F，连结 EF． （1）证明：EF=CF； （2）当 tan ADE3 1 时，求 EF 的长． 6. （四川自贡 10 分） 如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，AC⊥BD 于点 O，∠CDB=∠CAB，DE⊥AB， CF⊥AB，E．F 为垂足．设 DC=m，AB=n． 42 (1)求证：△ACB≌△BDA； (2)求四边形 DEFC 的周长． 七、构造圆的特殊图形：通过构造圆的特殊图形，应用圆周角定理、垂径定理、切线与过切点的 半（直）径的关系、两圆相切公切线的性质、两圆相交公共弦的性质等，达到求证（解）的目的。 典型例题： 例 1. （2012 海南省 3 分）如图，点 A、B、O 是正方形网格上的三个格点，⊙O 的半径为 OA，点 P 是优 弧 AmB上的一点，则 tan APB 的值是【 】 A．1 B． 2 2 C． 3 3 D． 3 【答案】A。 【考点】圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义。 【分析】如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 P1，连接 AB，BP1。设网格的边长为 a。 则由直径所对圆周角是直角的性质，得∠ABP1=900。 根据勾股定理，得 AB=BP1= 2a 。 根据正切函数定义，得 1 1 AB 2atan AP B= = =1BP 2a  。 根据同弧所对圆周角相等的性质，得∠ABP=∠ABP。∴ 1tan APB=tan APB=1。故选 A。 P1 43 例 3.（2012 山东日照 4 分）如图，过 A、C 、D 三点的圆的圆心为 E，过 B、F、E 三点的圆的圆心为 D， 如果∠A=63°，那么∠θ= ▲ ．[来︿源 【答案】180。 【考点】等腰三角形的判定和性质，三角形外角定理。 【分析】如图，连接 CE，DE， ∵过 A、C 、D 三点的圆的圆心为 E，过 B、F、E 三点的 圆的圆心为 D， 44 ∴AE=CE=DE=DB。∴∠A=∠ACE，∠ECD=∠CDE，∠DEB=∠DBE=∠θ。 ∵∠A=63°，∴∠AEC=1800－2×630=540。 又∵∠ECD=∠CDE=2∠θ，∴∠AEC=∠ ECD＋∠DBE=3∠θ，即 3∠θ=540。∴∠θ=180。 例 4.（2012 湖北鄂州 3 分）如下图 OA=OB=OC 且∠ACB=30°，则∠AOB 的大小是【 】 A.40° B.50° C.60° D.70° 【答案】C。 【考点】圆周角定理。 【分析】∵OA=OB=OC，∴A、B、C 在以 O 为圆心 OA 为半径的圆上。 作⊙O。 ∵ ∠ACB 和 ∠AOB 是同弧 AB 所对的圆周角和圆心角，且 ∠ACB=30°， ∴根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半的性质，得∠AOB=60°。故选 C。 例 5.（2012 天津市 3 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，以顶点 A、B 为圆心，1 为半径的两弧交 于点 E，以顶点 C、D 为圆心，1 为半径的两弧交于点 F，则 EF 的长为 ▲ ． 【答案】 31 。 【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】连接 AE，BE，DF，CF。 ∵以顶点 A、B 为圆心，1 为半径的两弧交于点 E，AB=1， ∴AB=AE=BE，∴△AEB 是等边三角形。 ∴边 AB 上的高线为： 3 2 。 45 同理：CD 边上的高线为： 3 2 。 延长 EF 交 AB 于 N，并反向延长 EF 交 DC 于 M，则 E、F、M，N 共线。 ∵AE=BE，∴点 E 在 AB 的垂直平分线上。 同理：点 F 在 DC 的垂直平分线上。 ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB∥DC。∴MN⊥AB，MN⊥DC。 由正方形的对称性质，知 EM=FN。 ∴EF＋2EM=AD=1，EF＋EM= ，解得 EF= 31 。 例 6.（2012 广西玉林、防城港 3 分）如图，矩形 OABC 内接于扇形 MON，当 CN=CO 时，∠NMB 的度 数是 ▲ . 【答案】30°。 【考点】矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理。 【分析】连接 OB， ∵CN=CO，∴OB=ON=2OC。 ∵四边形 OABC 是矩形，∴∠BCO=90°。 ∴ OC 1cos BOC OB 2   。∴∠BOC=60°。 ∴∠NMB= 1 2 ∠BOC=30°。 例 7.（2012 江西南昌 12 分）已知，纸片⊙O 的半径为 2，如图 1，沿弦 AB 折叠操作． （1）①折叠后的 AB 所在圆的圆心为 O′时，求 O′A 的长度； ②如图 2，当折叠后的 经过圆心为 O 时，求 AOB 的长度； ③如图 3，当弦 AB=2 时，求圆心 O 到弦 AB 的距离； （2）在图 1 中，再将纸片⊙O 沿弦 CD 折叠操作． ①如图 4，当 AB∥CD，折叠后的 与CD 所在圆外切于点 P 时，设点 O 到弦 AB．CD 的距离之和为 d， 求 d 的值； 46 ②如图 5，当 AB 与 CD 不平行，折叠后的 AB 与CD 所在圆外切于点 P 时，设点 M 为 AB 的中点，点 N 为 CD 的中点，试探究四边形 OMPN 的形状，并证明你的结论． 【答案】解：（1）①折叠后的 AB 所在圆 O′与⊙O 是等圆，∴O′A=OA=2。 ②当 经过圆 O 时，折叠后的 所在圆 O′在⊙O 上，如图 2 所示，连接 O′A．OA．O′B，OB，OO′。 ∵△OO′A，△OO′B 为等边三角形， ∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°。 ∴ AOB 的长度 120 2 4 180 3 。 ③如图 3 所示，连接 OA，OB， ∵OA=OB=AB=2， ∴△AOB 为等边三角形。 过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，∴OE=OA•sin60°= 3 。 ∴圆心 O 到弦 AB 的距离为 。 （2）①如图 4，当折叠后的 AB 与CD 所在圆外切于点 P 时， 过点 O 作 EF⊥AB 交 AB 于点 H、交 AEB 于点 E，交 CD 于点 G、交 CFD 于点 F，即点 E、H、P、O、G、F 在直径 EF 上。 ∵AB∥CD，∴EF 垂直平分 AB 和 CD。 根据垂径定理及折叠，可知 PH= 1 2 PE，PG= PF。 又∵EF=4，∴点 O 到 AB．CD 的距离之和 d 为： d=PH+PG= PE+ PF= （PE+PF）=2。 ②如图 5，当 AB 与 CD 不平行时，四边形是 OMPN 平行四边形。证明如下： 47 设 O′，O″为 APB 和 CPD 所在圆的圆心， ∵点 O′与点 O 关于 AB 对称，点 O″于点 O 关于 CD 对称， ∴点 M 为的 OO′中点，点 N 为 OO″的中点。 ∵折叠后的 与 所在圆外切， ∴连心线 O′O″必过切点 P。 ∵折叠后的 与 所在圆与⊙O 是等圆， ∴O′P=O″P=2，∴PM= 1 2 OO″=ON，PN= OO′=OM， ∴四边形 OMPN 是平行四边形。 【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定 理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。 【分析】（1）①折叠后的 AB 所在圆 O′与⊙O 是等圆，可得 O′A 的长度。 ②如图 2，过点 O 作 OE⊥AB 交⊙O 于点 E，连接 OA．OB．AE、BE，可得△OAE、△OBE 为等边三角形，从而得到 AOB 的圆心角，再根据弧长公式计算即可。 ③如图 3，连接 OA．OB，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，可得△AOB 为等边三角形，根据三 角函数的知识可求折叠后求圆心 O 到弦 AB 的距离。 （2）①如图 4， AEB与 CFD 所在圆外切于点 P 时，过点 O 作 EF⊥AB 交 于点 E，交 于点 F，根据垂径定理及折叠，可求点 O 到 AB．CD 的距离之和。 ②由三角形中位线定理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。 练习题： 1. （2012 江苏泰州 3 分）如图，△ABC 内接于⊙O，OD⊥BC 于 D，∠A=50°，则 ∠OCD 的度数是【 】 A．40° B．45° C．50° D．60° 2.（2012 湖北恩施 3 分）如图，两个同心圆的半径分别为 4cm 和 5cm，大圆的一条弦 AB 与小圆相切，则 弦 AB 的长为【 】 48 A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm 3.（2012 贵州黔东南 4 分）如图，若 AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=55°，则∠BCD 的度数 为【 】 A．35° B．45° C．55° D．75° 4.（2012 山东枣庄 3 分）如图，直径为 10 的⊙A 经过点 C(0,5)和点 O (0,0)，B 是 y 轴右侧⊙A 优弧上一点， 则 cos∠OBC 的值为【 】 A． 1 2 B． 3 2 C． 3 5 D． 4 5 5（2012 湖南岳阳 6 分）如图所示，在⊙O 中， AD AC ，弦 AB 与弦 AC 交于点 A，弦 CD 与 AB 交于 点 F，连接 BC． （1）求证：AC2=AB•AF； （2）若⊙O 的半径长为 2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积． 6.（2012 青海省 7 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 N，点 M 在⊙O 上，∠1=∠C 49 （1）求证：CB∥MD； （2）若 BC=4，sinM= 2 3 ，求⊙O 的直径． 7.（2012 广西贵港 3 分）如图，PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 是切点，点 C 是劣弧 AB 上的一个动点， 若∠P＝40°，则∠ACB 的度数是【 】 A．80° B．110° C．120° D．140° 8.（2012 黑龙江大庆 6 分） 如图△ABC 中，BC=3，以 BC 为直径的⊙O 交 AC 于点 D，若 D 是 AC 中点， ∠ABC=120°. （1）求∠ACB 的大小； （2）求点 A 到直线 BC 的距离． 9.（2012 山东泰安 3 分）如图，AB 与⊙O 相切于点 B，AO 的延长线交⊙O 于点 C，连接 BC，若 ∠ABC=120°， OC=3，则 BC 的长为【 】 A．π B．2π C．3π D．5π 50 10.（2012 广西南宁 3 分）如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AB=AC=8，O 为 BC 的中点，以 O 为圆心 作半圆，使它与 AB，AC 都相切，切点分别为 D，E，则⊙O 的半径为【 】 A．8 B．6 C．5 D．4 11.（2012 陕西省 8 分）如图，PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B，点 M 在 PB 上，且 OM∥AP，MN⊥AP， 垂足为 N． （1）求证：OM=AN； （2）若⊙O 的半径 R=3，PA=9，求 OM 的长． 12.（2012 浙江丽水、金华 8 分）如图，AB 为⊙O 的直径，EF 切⊙O 于点 D，过点 B 作 BH⊥EF 于点 H， 交⊙O 于点 C，连接 BD． (1)求证：BD 平分∠ABH； (2)如果 AB＝12，BC＝8，求圆心 O 到 BC 的距离． 八、基本辅助线：基本辅助线包括连接两点的线段、平行线、垂直线、角平分线等，如连接直角 三角形直角顶点与斜边的中点构成斜边上的中线；过三角形一边的中点作另一边的平行线构成三角形的中 位线；过三角形一顶点作对边的垂直线构成直角三角形；连接圆上一点和直径的两端点构成直角三角形； 等等。 典型例题： 51 例 2.（2012 广东佛山 6 分）如图，已知 AB=DC，DB=AC （1）求证：∠ABD=∠DCA，注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据． （2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？ 【答案】证明：（1）连接 AD， 在△BAD 和△CDA 中， ∵ AB=CD （已知），DB=AC（已知）， AD=AD（公共边）， ∴△BAD≌△CDA（SSS）。 ∴∠ABD=∠DCA（全等三角形对应角相等）。 （2）作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边。 【考点】全等三角形的判定和性质。 【分析】（1）连接 AD，证明三角形 BAD 和三角形 CAD 全等即可得到结论； （2）作辅助线的意图是构造全等的三角形。 例 3.（2012 黑龙江牡丹江 3 分）如图．点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB=AC，AD=AE．请写出图中的 全等三角形 ▲ (写出一对即可)． 52 【答案】△ABD≌△ACE（答案不唯一）。 【考点】开放型，等腰三角形的性质，全等三角形的判定。 【分析】如图，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，则 ∵AB=AC，AD=AE（已知）， ∴BH=CH，DH=EH（等腰三角形三线合一）。 ∴BH－DH=CH-EH，即 BD=CE。 ∴△ABD≌△ACE（SSS）。 还可得△ABE≌△ACD（SSS）。 例 4.（2012 贵州贵阳 3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线 DE 交于 BC 的延长线 于 F，若∠F=30°，DE=1，则 EF 的长是【 】 A．3 B．2 C． 3 D．1 【答案】B。 【考点】线段垂直平分线的性质，含 30 度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定。 【分析】连接 AF， ∵DF 是 AB 的垂直平分线，∴AF=BF。 ∵FD⊥AB，∴∠AFD=∠BFD=30°，∠B=∠FAB=90°﹣30°=60°。 ∵∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∠FAC=60°﹣30°=30°。 ∵DE=1，∴AE=2DE=2。 ∵∠FAE=∠AFD=30°，∴EF=AE=2。故选 B。 53 例 5.（2012 四川宜宾 3 分）如图，在四边形 ABCD 中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD= 1 2 AB，点 E、 F 分别为 AB．AD 的中点，则△AEF 与多边形 BCDFE 的面积之比为【 】 A． 1 7 B． 1 6 C． 1 5 D． 1 4 【答案】C。 【考点】直角梯形的性质，三角形的面积，三角形中位线定理。 【分析】如图，连接 BD，过点 F 作 FG∥AB 交 BD 于点 G，连接 EG，CG。 ∵DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD= 1 2 AB，点 E、F 分别为 AB．AD 的中点， ∴根据三角形中位线定理，得 AE=BE=AF=DF=DC=FG。 ∴图中的六个三角形面积相等。 ∴△AEF 与多边形 BCDFE 的面积之比为 1 5 。故选 C。 例 6.（2012 天津市 3 分）若一个正六边形的周长为 24，则该正六边形的面积为 ▲ ． 【答案】 24 3 。 【考点】正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】根据题意画出图形，如图，连接 OB，OC，过 O 作 OM⊥BC 于 M， ∴∠BOC= 1 6 ×360°=60°。 ∵OB=OC，∴△OBC 是等边三角形。∴∠OBC=60°。 ∵正六边形 ABCDEF 的周长为 24，∴BC=24÷6=4。 ∴OB=BC=4，∴BM=OB·sin∠OBC =4· 3 =2 32 。 ∴ ABCDEF OBC 11S 6S 6 BC OM 6 4 2 3 24 322          。 例 7.（2012 福建厦门 10 分）已知 ABCD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 P 在边 AD 上，过点 P 分 别作 PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为 E、F，PE＝PF． 54 （1）如图，若 PE＝ 3，EO＝1，求∠EPF 的度数； （2）若点 P 是 AD 的中点，点 F 是 DO 的中点，BF ＝BC＋3 2－4，求 BC 的长． 【答案】解：（1）连接 PO , ∵ PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD， ∴ Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）。 ∴∠EPO＝∠FPO。 在 Rt△PEO 中， tan∠EPO＝EO PE＝ 3 3 ， ∴ ∠EPO＝30°。∴ ∠EPF＝60°。 （2）∵点 P 是 AD 的中点，∴ AP＝DP。 又∵ PE＝PF，∴ Rt△PEA≌Rt△PFD（HL）。 ∴∠OAD＝∠ODA。∴ OA＝OD。 ∴ AC＝2OA＝2OD＝BD。∴ ABCD 是矩形。 ∵ 点 P 是 AD 的中点，点 F 是 DO 的中点，∴ AO∥PF。 ∵ PF⊥BD，∴ AC⊥BD。∴ ABCD 是菱形。∴ ABCD 是正方形。 ∴ BD＝ 2BC。 ∵ BF＝3 4BD，∴BC＋3 2－4＝3 2 4 BC，解得，BC＝4。 【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正方形的 判定和性质，锐角三角函数定义。 【分析】（1）连接 PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO 和△PFO 全等，根据全 等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解。 （2）根据条件证出 ABCD 是正方形。根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解。 例 8.（2012 河北省 2 分）如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦（不是直径），AB⊥CD 于点 E，则下列结论 正确的是【 】 55 A．AE＞BE B． AD BC C．∠D= 1 2 ∠AEC D．△ADE∽△CBE 【答案】D。 【考点】垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】∵CD 是⊙O 的直径，AB 是弦（不是直径），AB⊥CD 于点 E， ∴根据垂径定理，得 AE=BE。故选项 A 错误。 如图，连接 AC，则根据同弧所对的圆周角相等的性质，得∠D=∠B， ∴BC=AC。 根据垂径定理，只有在 AB 是直径时才有 AC=AD，而 AB 不是直径，∴AD≠AC。∴ AD AC 。 ∴ AD BC 。故选项 B 错误。 如图，连接 AO，则根据同弧所对的圆周角是圆心角一半的性质，得∠D= 1 2 ∠AOC。 ∵∠AEC 是△AOE 的外角，∴∠AEC＞∠AOC。∴∠D＜ ∠AEC。故选项 C 错误。 ∵根据同弧所对的圆周角相等的性质，得∠D=∠B，∠DAE=∠BCE， ∴△ADE∽△CBE。故选项 D 正确。 故选 D。 例 9.（2012 辽宁阜新 3 分）如图，在△ABC 中，BC=3cm，∠BAC=60°，那么△ABC 能被半径至少为 ▲ cm 的圆形纸片所覆盖． 【答案】 3 。 【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】作圆 O 的直径 CD，连接 BD， 56 ∵圆周角∠A、∠D 所对弧都是 BC ，∴∠D=∠A=60°。 ∵CD 是直径，∴∠DBC=90°。∴sin∠D= BC CD 。 又∵BC=3cm，∴sin60°= 3 CD ，解得：CD= 23。 ∴圆 O 的半径是 3 （cm）。 ∴△ABC 能被半径至少为 cm 的圆形纸片所覆盖。 例 10.（2012 宁夏区 6 分）在⊙O 中，直径 AB⊥CD 于点 E，连接 CO 并延长交 AD 于点 F,且 CF⊥AD. 求∠D 的度数. 【答案】解：连接 BD 。 ∵AB⊙O 是直径，∴BD ⊥AD。 又∵CF⊥AD，∴BD∥CF。∴∠BDC=∠C。 又∵∠BDC= 1 2 ∠BOC，∴∠C= ∠BOC。 ∵AB⊥CD，∴∠C=30°。∴∠ADC＝60°。 【考点】圆周角定理，平行线的判定和性质，三角形内角和定理。 【分析】连接 BD，根据平行线的判定和性质可得：BD∥CF，则∠BDC=∠C，根据圆周角定理可得 ∠BDC= ∠BOC，则∠C= ∠BOC，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解。 例 11.（2012 江苏南通 8 分）如图，⊙O 的半径为 17cm，弦 AB∥CD，AB＝30cm，CD＝16cm，圆心 O 位于 AB、CD 的上方，求 AB 和 CD 间的距离． 【答案】解：分别作弦 AB、CD 的弦心距，设垂足为 E、F，连接 OA，OC。 ∵AB=30，CD=16，∴AE= 1 2 AB=15，CF= CD=8。 57 又∵⊙O 的半径为 17，即 OA=OC=17。 ∴在 Rt△AOE 中， 2 2 2 2OE OA AE 17 15 8     。 在 Rt△OCF 中， 2 2 2 2OF OC CF 17 8 15     。 ∴EF=OF－OE=15－8=7。 答：AB 和 CD 的距离为 7cm。 【考点】垂径定理，勾股定理。 【分析】分别作弦 AB、CD 的弦心距，设垂足为 E、F；由于 AB∥CD，则 E、O、F 三点共线，EF 即为 AB、 CD 间的距离；由垂径定理，易求得 AE、CF 的长，可连接 OA、ODC 在构建的直角三角形中，根据勾股定 理即可求出 OE、OF 的长，也就求出了 EF 的长，即弦 AB、CD 间的距离。 例 12.（2012 山西省 2 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C．D 是⊙O 上一点，∠CDB=20°，过点 C 作⊙O 的 切线交 AB 的延长线于点 E，则∠E 等于【 】 A． 40° B． 50° C． 60° D． 70° 【答案】B。 【考点】切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理。 【分析】如图所示，连接 OC。 ∵∠BOC 与∠CDB 是弧 BC 所对的圆心角与圆周角， ∴∠BOC=2∠CDB。 又∵∠CDB=20°，∴∠BOC=40°， 又∵CE 为圆 O 的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°。则∠E=90°﹣40°=50°。故选 B。 例 13.（2012 福建泉州 3 分）如图，点 O 是△ABC 的内心，过点 O 作 EF∥AB，与 AC、BC 分别交于点 E、 F ，则【 】 58 A .EF>AE+BF B. EF

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