一元二次方程的根与系数的关系  教案3

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一元二次方程的根与系数的关系  教案3

‎21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 ‎1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用.‎ ‎2.培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力.‎ ‎3.渗透由特殊到一般,再由一般到特殊的认识事物的规律.‎ ‎4.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神.‎ 重点 根与系数的关系及其推导 难点 正确理解根与系数的关系.一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系.‎ 一、复习引入 ‎1.已知方程x2-ax-3a=0的一个根是6,则求a及另一个根的值.‎ ‎2.由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系.其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系,这种关系比较复杂,是否有更简洁的关系?‎ ‎3.由求根公式可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=,x2=.观察两式右边,分母相同,分子是-b+与-b-.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系?‎ 二、探索新知 解下列方程,并填写表格:‎ 方程 x1‎ x2‎ x1+x2‎ x1·x2‎ x2-2x=0‎ x2+3x-4=0‎ x2-5x+6=0‎ ‎  观察上面的表格,你能得到什么结论?‎ ‎(1)关于x的方程x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q≥0)的两根x1,x2与系数p,q之间有什么关系?‎ ‎(2)关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2与系数a,b,c之间又有何关系呢?你能证明你的猜想吗?‎ 解下列方程,并填写表格:‎ 方程 x1‎ x2‎ x1+x2‎ x1·x2‎ ‎2x2-7x-4=0‎ ‎3x2+2x-5=0‎ ‎5x2-17x+6=0‎ ‎  小结:根与系数关系:‎ ‎(1)关于x的方程x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q≥0)的两根x1,x2与系数p,q的关系是:x1+x2=-p,x1·x2=q(注意:根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零.)‎ 2‎ ‎(2)形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程,可以先将二次项系数化为1,再利用上面的结论.‎ 即:对于方程 ax2+bx+c=0(a≠0)‎ ‎∵a≠0,∴x2+x+=0‎ ‎∴x1+x2=-,x1·x2= ‎(可以利用求根公式给出证明)‎ 例1 不解方程,写出下列方程的两根和与两根积:‎ ‎(1)x2-3x-1=0   (2)2x2+3x-5=0‎ ‎(3)x2-2x=0 (4)x2+x= ‎(5)x2-1=0 (6)x2-2x+1=0‎ 例2 不解方程,检验下列方程的解是否正确?‎ ‎(1)x2-2x+1=0 (x1=+1,x2=-1)‎ ‎(2)2x2-3x-8=0 (x1=,x2=)‎ 例3 已知一元二次方程的两个根是-1和2,请你写出一个符合条件的方程.(你有几种方法?)‎ 例4 已知方程2x2+kx-9=0的一个根是-3,求另一根及k的值.‎ 变式一:已知方程x2-2kx-9=0的两根互为相反数,求k;‎ 变式二:已知方程2x2-5x+k=0的两根互为倒数,求k.‎ 三、课堂小结 ‎1.根与系数的关系.‎ ‎2.根与系数关系使用的前提是:(1)是一元二次方程;(2)判别式大于等于零.‎ 四、作业布置 ‎1.不解方程,写出下列方程的两根和与两根积.‎ ‎(1)x2-5x-3=0 (2)9x+2=x2 (3)6x2-3x+2=0‎ ‎(4)3x2+x+1=0‎ ‎2.已知方程x2-3x+m=0的一个根为1,求另一根及m的值.‎ ‎3.已知方程x2+bx+6=0的一个根为-2,求另一根及b的值 2‎
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