初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第16讲 锐角三角函数

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第16讲 锐角三角函数

1 第十六讲 锐角三角函数 古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论： 在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值 一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748 年经过 瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的 sin、cos、tg、ctg 的通用形式． 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰 富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin2α +cos2α =1； 商数关系：tgα =   cos sin ，ctgα =   sin cos ； 倒数关系：tgα ctgα =1． 【例题求解】 【例 1】 已知在△ABC 中，∠A、∠B 是锐角，且 sinA＝ 13 5 ，tanB=2，AB=29cm， 则 S△ABC = ． 思路点拨 过 C 作 CD⊥AB 于 D，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 13 5AC CD ， tanB= 2BD CD ，设 CD=5m，AC＝13m，CD＝2n，BD＝n，解题的关键是求出 m、n 的值． 注：设△ABC 中，a、b、c 为∠A、∠B、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证 明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S△ABC= CabBacAbc sin2 1sin2 1sin2 1  ； （2） RC c B b A a 2sinsinsin  ． 【例 2】 如图，在△ABC 中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，BC=1，则 AC=( ) A． 32 B． 32 C．0.3 D． 23  思路点拨 由 15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 2 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 【例 3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过 BC 的中点 D 作 DE⊥ AB 于 E，连结 CE，求 sin∠ACE 的值． 思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比． 【例 4】 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，tanB=cos∠DAC， (1)求证：AC＝BD； (2)若 sinC= 13 12 ，BC=12，求 AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC= AC AD13 12 ，引入参数可设 AD=12 k ，AC＝13 ． 【例 5】 已知：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA、sinB 是方程 02  qpxx 的两个根． (1)求实数 p 、 q 应满足的条件； (2)若 p 、q 满足(1)的条件，方程 02  qpxx 的两个根是否等于 Rt△ABC 中两锐角 A、B 的正弦? 思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立 、 等式，注意判别式、三角函数值的有界性， 建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数 、 应满足的条件． 学历训练 1．已知α 为锐角，下列结论①sinα +cosα =l；②如果α >45°，那么 sinα >cosα ；③如 3 果 cosα > 2 1 ，那么α <60°； ④ sin11)-(sin 2 α ．正确的有 ． 2．如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于 E，BC=1，cosB 13 5 ，则这个菱形的面积为 ． 3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB＝BD，利用此图可求得 tan75°= ． 4．化简 (1) 263tan27tan 22   = ． (2)sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°= ． 5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下 表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( ) A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最低 6．已知 sinα cosα = 8 1 ，且 0°<α <45°则 coα -sinα 的值为( ) A． 2 3 B． 2 3 C． 4 3 D． 4 3 7．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，D 是 AC 的中点，则 ctg∠DBC 的值 是( ) A． 3 B． 32 C． 2 3 D． 4 3 8．如图，在等腰 Rt△ABC 中．∠C＝90°，AC＝6，D 是 AC 上一点，若 tan∠DBA= 5 1 ， 则 AD 的长为( ) A． 2 B．2 C． 1 D． 22 9．已知关于 x 的方程 0)1(24 2  mxmx 的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求 m 的 值． 4 10．如 图，D 是△ABC 的边 AC 上的一点，CD=2AD，AE⊥BC 于 E，若 BD＝8，sin∠CBD= 4 3 ， 求 AE 的长． 11．若 0°<α <45°，且 sinα conα = 16 73 ，则 sinα = ． 12．已知关于 x 的方程 0)cos1(2sin423  xx 有两个不相等的实数根，α 为锐角，那 么α 的取值范围是 ． 13．已知是△ABC 的三边，a、b、c 满足等式 ))((4)2( 2 acacb  ，且有 035  ca ，则 sinA+sinB+sinC 的值为 ． 14．设α 为锐角，且满足 sinα =3cosα ，则 sinα cosα 等于( ) A． 6 1 B． 5 1 C． 9 2 D． 10 3 15．如图，若两条宽度为 1 的带子相交成 30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是 ( ) A．2 B． 2 3 C．1 D． 2 1 16．如图，在△ABC 中，∠A＝30°，tanB= ，AC= 32 ，则 AB 的长是( ) A． 33 B． 322 C．5 D． 2 9 17．己在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，且 c= 35 ，若关于 x 的方程 0)35(2)35( 2  baxxb 有两个相等的实根，又方程 0sin5)sin10(2 2  AxAx 的两实 根的平方和为 6，求△ABC 的面积． 18．如图，已知 AB=CD=1，∠ABC＝90°，∠CBD°=30°，求 AC 的长． 19．设 a、b、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断 nn ba  与 nc 的关系， 并证明你的结论． 20．如图，已知边长为 2 的正三角形 ABC 沿直线 l 滚动． (1)当△ABC 滚动一周到△A lB1C1 的位置，此时 A 点所运动的路程为 ，约为 (精确 到 0.1，π =3.14) (2)设△ABC 滚动 240°，C 点的位置为 Cˊ，△ABC 滚动 480°时，A 点的位置在 Aˊ， 5 请你利用三角函数中正切的两角和公式 tan(α +β )=(tanα +tanβ )÷(1-tanα ·tanβ )，求出∠ CACˊ+∠CAAˊ的度数． 参考答案 6