湖北省孝感市中考数学试题（解析版）

湖北省孝感市中考数学试题（解析版）

湖北省孝感市2018年中考数学试题 一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不读、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分）‎ ‎1. 的倒数是（ ）‎ A. 4 B. -4 C. D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据乘积是1的两个数互为倒数解答．‎ 详解：∵-×(-4)=1,‎ ‎∴的倒数是-4.‎ 故选：B．‎ 点睛：此题考查的知识点是倒数，关键掌握求一个数的倒数的方法．注意：负数的倒数还是负数．‎ ‎2. 如图，直线，若，，则的度数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：依据三角形内角和定理，即可得到∠ABC=60°，再根据AD∥BC，即可得出∠2=∠ABC=60°．‎ 详解：∵∠1=42°，∠BAC=78°，‎ ‎∴∠ABC=60°，‎ 又∵AD∥BC，‎ ‎∴∠2=∠ABC=60°，‎ 故选：C．‎ 点睛：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．‎ ‎3. 下列某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先根据在数轴上表示不等式解集的方法得出该不等式组的解集，再找出符合条件的不等式组即可．‎ 详解：A、此不等式组的解集为x＜2，不符合题意；‎ B、此不等式组的解集为2＜x＜4，符合题意；‎ C、此不等式组的解集为x＞4，不符合题意；‎ D、此不等式组的无解，不符合题意；‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，解答此类题目时一定要注意实心与空心圆点的区别，即一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点．‎ ‎4. 如图，在中，，，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．‎ 详解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，‎ ‎∴BC=，‎ ‎∴sinA=.‎ 故选：A．‎ 点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．‎ ‎5. 下列说法正确的是（ ）‎ A. 了解“孝感市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是全面调查 B. 甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，，则甲的成绩比乙稳定 C. 三张分别画有菱形，等边三角形，圆的卡片，从中随机抽取一张，恰好抽到中心对称图形卡片的概率是 D. “任意画一个三角形，其内角和是”这一事件是不可能事件 ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据随机事件的概念以及概率的意义结合选项可得答案．‎ 详解：A、了解“孝感市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是抽样调查，此选项错误；‎ B、甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，S甲2＞S乙2，则乙的成绩比甲稳定，此选项错误；‎ C、三张分别画有菱形，等边三角形，圆的卡片，从中随机抽取一张，恰好抽到中心对称图形卡片的概率是，此选项错误；‎ D、“任意画一个三角形，其内角和是360°”这一事件是不可能事件，此选项正确.‎ 故选：D．‎ 点睛：此题主要考查了概率的意义，关键是弄清随机事件和必然事件的概念的区别．‎ ‎6. 下列计算正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：直接利用完全平方公式以及二次根式加减运算法则和幂的乘方运算法则分别计算得出答案．‎ 详解：A、，正确；‎ B、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；‎ C、2+，无法计算，故此选项错误；‎ D、（a3）2=a6，故此选项错误；‎ 故选：A．‎ 点睛：此题主要考查了完全平方公式以及二次根式加减运算和幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．‎ ‎7. 如图，菱形的对角线，相交于点，，，则菱形的周长为（ ）‎ A. 52 B. 48 C. 40 D. 20‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由勾股定理即可求得AB的长，继而求得菱形ABCD的周长．‎ 详解：∵菱形ABCD中，BD=24，AC=10，‎ ‎∴OB=12，OA=5，‎ 在Rt△ABO中，AB==13，‎ ‎∴菱形ABCD的周长=4AB=52，‎ 故选：A．‎ 点睛：此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质 ‎8. 已知，，则式子的值是（ ）‎ A. 48 B. C. 16 D. 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先通分算加法，再算乘法，最后代入求出即可．‎ 详解：（x-y+）（x+y-）‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=（x+y）（x-y），‎ 当x+y=4，x-y=时，原式=4×=12，‎ 故选：D．‎ 点睛：本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．‎ ‎9. 如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以以 的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动.若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数关系图象大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题意表示出△PBQ的面积S与t的关系式，进而得出答案．‎ 详解：由题意可得：PB=3-t，BQ=2t，‎ 则△PBQ的面积S=PB•BQ=（3-t）×2t=-t2+3t，‎ 故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下．‎ 故选：C．‎ 点睛：此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键．‎ ‎10. 如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点，连分别交，于点，，过点作交于点，则下列结论：‎ ‎①；②；③；④；⑤.‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP=x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得，从而得出a与x的关系即可判断．‎ 详解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，‎ ‎∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，‎ ‎∴∠ADC=15°，故①正确；‎ ‎∵AE⊥BD，即∠AED=90°，‎ ‎∴∠DAE=45°，‎ ‎∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，‎ ‎∴∠AGF=75°，‎ 由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；‎ 记AH与CD的交点为P，‎ 由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，‎ 则∠BAH=∠ADC=15°，‎ 在△ADF和△BAH中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ADF≌△BAH（ASA），‎ ‎∴DF=AH，故③正确；‎ ‎∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，‎ ‎∴△AFG∽△CBG，故④正确；‎ 在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP=x，‎ 设EF=a，‎ ‎∵△ADF≌△BAH，‎ ‎∴BH=AF=2x，‎ ‎△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，‎ ‎∴BE=AE=AF+EF=a+2x，‎ ‎∴EH=BE-BH=a+2x-2x=a，‎ ‎∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，‎ ‎∴△PAF∽△EAH，‎ ‎∴，即，‎ 整理，得：2x2=（-1）ax，‎ 由x≠0得2x=（-1）a，即AF=（-1）EF，故⑤正确；‎ 故选：B．‎ 点睛：本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．‎ 二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将结果直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎11. 一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳的平均距离，即149600000千米，用科学记数法表示1个天文单位是__________千米．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：科学技术是指a×10n，1≤lal<10，n为原数的整数位数减一.‎ 考点：科学计数法.‎ ‎12. 如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．‎ 详解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；‎ 根据三视图知：该圆锥的母线长为6cm，底面半径为2cm，‎ 故表面积=πrl+πr2=π×2×6+π×22=16π（cm2）．‎ 故答案为：16π．‎ 点睛：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．‎ ‎13. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是__________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】分析：根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2-bx-c=0的解．‎ 详解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），‎ ‎∴方程组的解为，，‎ 即关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-2，x2=1．‎ 所以方程ax2=bx+c的解是x1=-2，x2=1‎ 故答案为x1=-2，x2=1．‎ 点睛：本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题 ‎14. 已知的半径为，，是的两条弦，，，，则弦和之间的距离是__________．‎ ‎【答案】2或14‎ ‎【解析】分析：分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．‎ 详解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，‎ ‎∵AB=16cm，CD=12cm，‎ ‎∴AE=8cm，CF=6cm，‎ ‎∵OA=OC=10cm，‎ ‎∴EO=6cm，OF=8cm，‎ ‎∴EF=OF-OE=2cm；‎ ‎②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，‎ ‎∵AB=16cm，CD=12cm，‎ ‎∴AF=8cm，CE=6cm，‎ ‎∵OA=OC=10cm，‎ ‎∴OF=6cm，OE=8cm，‎ ‎∴EF=OF+OE=14cm．‎ ‎∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．‎ 故答案为：2或14．‎ 点睛：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．‎ ‎15. 我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记，，，，…，那么的值是__________．‎ ‎【答案】11 ‎ ‎【解析】分析：由已知数列得出an=1+2+3+…+n=，再求出a10、a11的值，代入计算可得．‎ 详解：由a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…，知an=1+2+3+…+n=，‎ ‎∴a10==55、a11==66，‎ 则a4+a11-2a10+10=10+66-2×55+10=-24，‎ 故答案为：-24．‎ 点睛：本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知数列得出an=1+2+3+…+n=．‎ ‎16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，点在轴正半轴上，点在第三象限的双曲线上，过点作轴交双曲线于点，连接，则的面积为__________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】分析：作辅助线，构建全等三角形：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于 M，证明△AGD≌△DHC≌△CMB，根据点D的坐标表示：AG=DH=-x-1，由DG=BM，列方程可得x的值，表示D和E的坐标，根据三角形面积公式可得结论．‎ 详解：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，‎ 设D（x，），‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD=CD=BC，∠ADC=∠DCB=90°，‎ 易得△AGD≌△DHC≌△CMB，‎ ‎∴AG=DH=-x-1，‎ ‎∴DG=BM，‎ ‎∴1-=-1-x-，‎ x=-2，‎ ‎∴D（-2，-3），CH=DG=BM=1-=4，‎ ‎∵AG=DH=-1-x=1，‎ ‎∴点E的纵坐标为-4，‎ 当y=-4时，x=-，‎ ‎∴E（-，-4），‎ ‎∴EH=2-=，‎ ‎∴CE=CH-HE=4-=，‎ ‎∴S△CEB=CE•BM=××4=7.‎ 故答案为：7．‎ 点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题的压轴题．‎ 三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分72分.解答写在答题卡上） ‎ ‎17. 计算.‎ ‎【答案】13.‎ ‎【解析】分析：原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项化为最简二次根式，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.‎ 详解：原式 ‎.‎ 点睛：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎18. 如图，，，，在一条直线上，已知，，，连接.求证：四边形是平行四边形.‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】分析：由AB∥DE、AC∥DF利用平行线的性质可得出∠B=∠DEF、∠ACB=∠F，由BE=CF可得出BC=EF，进而可证出△ABC≌△DEF（ASA），根据全等三角形的性质可得出AB=DE，再结合AB∥DE，即可证出四边形ABED是平行四边形．‎ 详证明：∵AB∥DE，AC∥DF，‎ ‎∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F．‎ ‎∵BE=CF，‎ ‎∴BE+CE=CF+CE，‎ ‎∴BC=EF．‎ 在△ABC和△DEF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（ASA），‎ ‎∴AB=DE．‎ 又∵AB∥DE，‎ ‎∴四边形ABED是平行四边形．‎ 点睛：本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的性质找出AB=DE是解题的关键．‎ ‎19. 在孝感市关工委组织的“五好小公民”主题教育活动中，我市蓝天学校组织全校学生参加了“红旗飘飘，引我成长”知识竞赛，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按从高分到低分将成绩分成，，，，五类，绘制成下面两个不完整的统计图：‎ 根据上面提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）类所对应的圆心角是________度，样本中成绩的中位数落在________类中，并补全条形统计图；‎ ‎（2）若类含有2名男生和2名女生，随机选择2名学生担任校园广播“孝心伴我行”节目主持人，请用列表法或画树状图求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.‎ ‎【答案】（1）72，，补图见解析；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）首先用C类别的学生人数除以C类别的人数占的百分率，求出共有多少名学生；然后根据B类别百分比求得其人数，由各类别人数和等于总人数求得D的人数，最后用360°乘以样本中D类别人数所占比例可得其圆心角度数，根据中位数定义求得答案．‎ ‎（3）若A等级的4名学生中有2名男生2名女生，现从中任意选取2名担任校园广播“孝心伴我行”节目主持人，应用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可．‎ 详解：（1）∵被调查的总人数为30÷30%=100人，‎ 则B类别人数为100×40%=40人，‎ 所以D类别人数为100-（4+40+30+6）=20人，‎ 则D类所对应的圆心角是360°×=72°，‎ 中位数是第50、51个数据的平均数，而第50、51个数据均落在C类，‎ 所以中位数落在C类，‎ 补全条形图如下：‎ ‎（2）列表为：‎ 男1‎ 男2‎ 女1‎ 女2‎ 男1‎ ‎--‎ 男2男1‎ 女1男1‎ 女2男1‎ 男2‎ 男1男2‎ ‎--‎ 女1男2‎ 女2男2‎ 女1‎ 男1女1‎ 男2女1‎ ‎--‎ 女2女1‎ 女2‎ 男1女2‎ 男2女2‎ 女1女2‎ ‎--‎ 由上表可知，从4名学生中任意选取2名学生共有12种等可能结果，其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有8种，‎ ‎∴恰好选到1名男生和1名女生的概率为．‎ 点睛：此题考查了扇形统计图、条形统计图和列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎20. 如图，中，，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：‎ ‎①作的平分线交于点；‎ ‎②作边的垂直平分线，与相交于点；‎ ‎③连接，.‎ 请你观察图形解答下列问题：‎ ‎（1）线段，，之间的数量关系是________；‎ ‎（2）若，求的度数.‎ ‎【答案】（1）；（2）80°.‎ ‎【解析】分析：（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC；‎ ‎（2）根据等腰三角形的性质得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的内角和得：∠BAC=180°-‎ ‎2×70°=40°，由角平分线定义得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的性质可得结论.‎ 详解：（1）如图，PA=PB=PC，理由是：‎ ‎∵AB=AC，AM平分∠BAC，‎ ‎∴AD是BC的垂直平分线，‎ ‎∴PB=PC，‎ ‎∵EP是AB的垂直平分线，‎ ‎∴PA=PB，‎ ‎∴PA=PB=PC；‎ 故答案为：PA=PB=PC；‎ ‎（2）∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=70°，‎ ‎∴∠BAC=180°-2×70°=40°，‎ ‎∵AM平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD=∠CAD=20°，‎ ‎∵PA=PB=PC，‎ ‎∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，‎ ‎∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．‎ 点睛：本题考查了角平分线和线段垂直平分线的基本作图、等腰三角形的三线合一的性质、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是关键．‎ ‎21. 已知关于的一元二次方程.‎ ‎（1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根；‎ ‎（2）若原方程的两根，满足，求的值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）-2.‎ ‎【解析】分析：（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2p+1）2≥0，由此即可证出：无论p取何值此方程总有两个实数根；‎ ‎（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6-p2-p，结合x12+x22-x1x2=3p2+1，即可求出p值．‎ 详解：（1）证明：原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0．‎ ‎∵△=（-5）2-4（6-p2-p）=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0，‎ ‎∴无论p取何值此方程总有两个实数根；‎ ‎（2）∵原方程的两根为x1、x2，‎ ‎∴x1+x2=5，x1x2=6-p2-p．‎ 又∵x12+x22-x1x2=3p2+1，‎ ‎∴（x1+x2）2-3x1x2=3p2+1，‎ ‎∴52-3（6-p2-p）=3p2+1，‎ ‎∴25-18+3p2+3p=3p2+1，‎ ‎∴3p=-6，‎ ‎∴p=-2．‎ 点睛：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22-x1x2=3p2+1，求出p值．‎ ‎22. “绿水青山就是金山银山”，随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高.孝感市槐荫公司根据市场需求代理、两种型号的净水器，每台型净水器比每台型净水器进价多200元，用5万元购进型净水器与用4.5万元购进型净水器的数量相等.‎ ‎（1）求每台型、型净水器的进价各是多少元？‎ ‎（2）槐荫公司计划购进、两种型号的净水器共50台进行试销，其中型净水器为台，购买资金不超过9.8万元.试销时型净水器每台售价2500元，型净水器每台售价2180元.槐荫公司决定从销售 型净水器的利润中按每台捐献元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）型净水器每台进价2000元，型净水器每台进价1800元.（2）的最大值是元.‎ ‎【解析】分析：（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为（m-200）元，根据数量=总价÷单价结合用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论；‎ ‎（2）根据购买资金=A型净水器的进价×购进数量+B型净水器的进价×购进数量结合购买资金不超过9.8万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，由总利润=每台A型净水器的利润×购进数量+每台B型净水器的利润×购进数量-a×购进A型净水器的数量，即可得出W关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．‎ 详解：（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为（m-200）元，‎ 根据题意得：，‎ 解得：m=2000，‎ 经检验，m=2000是分式方程的解，‎ ‎∴m-200=1800．‎ 答：A型净水器每台的进价为2000元，B型净水器每台的进价为1800元．‎ ‎（2）根据题意得：2000x+180（50-x）≤98000，‎ 解得：x≤40．‎ W=（2500-2000）x+（2180-1800）（50-x）-ax=（120-a）x+19000，‎ ‎∵当70＜a＜80时，120-a＞0，‎ ‎∴W随x增大而增大，‎ ‎∴当x=40时，W取最大值，最大值为（120-a）×40+19000=23800-40a，‎ ‎∴W的最大值是（23800-40a）元．‎ 点睛：本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出W关于x的函数关系式．‎ ‎23. 如图，中，，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交的延长线于点.‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）已知，，求和的长.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2） ‎ ‎【解析】分析：（1）连接OD，AD，由圆周角定理可得AD⊥BC，结合等腰三角形的性质知BD=CD，再根据OA=OB知OD∥AC，从而由DG⊥AC可得OD⊥FG，即可得证；‎ ‎（2）连接BE．BE∥GF，推出△AEB∽△AFG，可得，由此构建方程即可解决问题；‎ 详解：（1）连接OD，AD，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，‎ ‎∵AB=AC， ‎ ‎∴BD=CD，‎ 又∵OA=OB，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∵DG⊥AC，‎ ‎∴OD⊥FG，‎ ‎∴直线FG与⊙O相切；‎ ‎（2）连接BE．∵BD=2，‎ ‎∴CD＝BD＝2，‎ ‎∵CF=2，‎ ‎∴DF==4，‎ ‎∴BE=2DF=8，‎ ‎∵cos∠C=cos∠ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴AB=10，‎ ‎∴AE=，‎ ‎∵BE⊥AC，DF⊥AC，‎ ‎∴BE∥GF，‎ ‎∴△AEB∽△AFG，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴BG=．‎ 点睛：本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及中位线定理等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．‎ ‎24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点和点的坐标分别为，，将绕点按顺时针分别旋转，得到，，抛物线经过点，，；抛物线经过点，，.‎ ‎（1）点的坐标为________，点的坐标为________；抛物线的解析式为________，抛物线的解析式为________；‎ ‎（2）如果点是直线上方抛物线上的一个动点.‎ ‎①若，求点的坐标；‎ ‎②如图2，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，记，求与的函数关系式.当时，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1），，：，：.（2）①符合条件的点的坐标为或.②.‎ ‎【解析】分析：（1）根据旋转的性质，可得C，E，F的坐标，根据待定系数法求解析式；‎ ‎（2）①根据P点关于直线CA或关于x轴对称直线与抛物线交点坐标，求出解析式，联立方程组求解；‎ ‎②根据图象上的点满足函数解析式，可得P、N、M纵坐标，根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的较大的纵坐标间较小的纵坐标，可得二次函数，根据x取值范围讨论h范围．‎ 详解：（1）由旋转可知，OC=6，OE=2，‎ 则点C坐标为（-6，0），E点坐标为（2，0），‎ 分别利用待定系数法求C1解析式为：y=-x2−4x−6，‎ C2解析式为：y=-x2−2x+6‎ ‎（2）①若点P在x轴上方，∠PCA=∠ABO时，则CA1与抛物线C1的交点即为点P 设直线CA1的解析式为：y=k1x+b1‎ ‎∴‎ 解得 ‎ ‎∴直线CA1的解析式为：y=x+2‎ 联立：，解得或，‎ ‎∴；‎ ‎∴符合条件的点的坐标为或.‎ ‎②设直线的解析式为：，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴直线的解析式为：，‎ 过点作于点，则，‎ ‎∴，‎ ‎ ‎ ‎，，‎ ‎，‎ 当时，的最大值为21.‎ ‎∵，当时，；‎ 当时，；‎ 当时，的取值范围是.‎ 点睛：本题考查二次函数综合题，解（1）的关键是利用旋转的性质得出C，E的坐标，又利用了待定系数法；解（2）①的关键是利用解方程组，要分类讨论，以防遗漏；解（2）②的关键是利用平行于y轴直线上两点间的距离是较大的较大的纵坐标间较小的纵坐标得出二次函数，又利用了二次函数的性质．‎