2013年中考数学复习专题讲座10：方案设计型问题

2013年中考数学复习专题讲座10：方案设计型问题

1 2013 年中考数学复习专题讲座十：方案设计型问题 一、中考专题诠释 方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操 作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。 随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越 受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，这也是新课程 所要求的核心内容之一。 二、解题策略和解法精讲 方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车调配、图 形拼接等。所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。 这类问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造 合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。解答此类问题必须具有扎实的基础知识和 灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函 数思想及分类讨论等各种数学思想。 三、中考考点精讲 考点一：设计测量方案问题 这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量。所用到的数学知识主要有相似、 全等、三角形中位线、投影、解直角三角形等。 例 1 （2012•河南）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅．如图所示，一条幅 从楼顶 A 处放下，在楼前点 C 处拉直固定．小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前 D 处 测得楼顶 A 点的仰角为 31°，再沿 DB 方向前进 16 米到达 E 处，测得点 A 的仰角为 45°．已 知点 C 到大厦的距离 BC=7 米，∠ABD=90°．请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整 数．参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析：设 AB=x 米．根据∠AEB=45°，∠ABE=90°得到 BE=AB=x，然后在 Rt△ABD 中得到 tan31°= 16 x x  ．求得 x=24．然后在 Rt△ABC 中，利用勾股定理求得 AC 即可． 解答：解：设 AB=x 米． ∵∠AEB=45°，∠ABE=90°， ∴BE=AB=x 在 Rt△ABD 中，tan∠D= AB BD ， 即 tan31°= ． ∴x= 16 tan 31 1 tan 31 ≈16 0.6 1 0.6   =24． 2 即 AB≈24 米 在 Rt△ABC 中， AC= 2 2 2 27 24BC AB   =25． 即条幅的长度约为 25 米． 点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求 解． 考点二：设计搭配方案问题 这类问题不仅在中考中经常出现，大家在平时的练习中也会经常碰到。它一般给出两 种元素，利用这两种元素搭配出不同的新事物，设计出方案，使获利最大或成本最低。解 题时要根据题中蕴含的不等关系，列出不等式（组），通过不等式组的整数解来确定方案。 例 2 （2012•内江）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的 4200 盆甲种花卉和 3090 盆乙种花卉，搭配 A、B 两种园艺造型共 60 个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造 型所需花卉数量的情况下表所示，结合上述信息，解答下列问题： 造型花卉 甲 乙 A 80 40 B 50 70 （1）符合题意的搭配方案有几种？ （2）如果搭配一个 A 种造型的成本为 1000 元，搭配一个 B 种造型的成本为 1500 元，试说 明选用那种方案成本最低？最低成本为多少元？ 考点： 一元一次不等式组的应用。810360 专题： 应用题；图表型。 分析： （1）设需要搭配 x 个 A 种造型，则需要搭配 B 种造型（60﹣x）个，根据“4200 盆甲种花卉”“3090 盆乙种花卉”列不等式求解，取整数值即可． （2）计算出每种方案的花费，然后即可判断出答案． 解答： 解：（1）设需要搭配 x 个 A 种造型，则需要搭配 B 种造型（60﹣x）个， 则有 ， 解得 37≤x≤40， 所以 x=37 或 38 或 39 或 40． 第一方案：A 种造型 37 个，B 种造型 23 个； 第二种方案：A 种造型 38 个，B 种造型 22 个； 第三种方案：A 种造型 39 个，B 种造型 21 个． 第四种方案：A 种造型 40 个，B 种造型 20 个． （2）分别计算三种方案的成本为： ①37×1000+23×1500=71500 元， ②38×1000+22×1500=71000 元， ③39×1000+21×1500=70500 元， ④40×1000+20×1500=70000 元． 通过比较可知第④种方案成本最低． 答：选择第四种方案成本最低，最低位 70000 元． 3 点评： 此题考查了一元一次不等式组的应用，是一道实际问题，有一定的开放性，（1）根 据图表信息，利用所用花卉数量不超过甲、乙两种花卉的最高数量列不等式组解答；（2）为 最优化问题，根据（1）的结果直接计算即可． 考点三：设计销售方案问题 在商品买卖中，更多蕴含着数学的学问。在形形色色的让利、打折、买一赠一、摸奖等 促销活动中，大家不能被表象所迷惑，需要理智的分析。通过计算不同的销售方案盈利情况， 可以帮助我们明白更多的道理。近来还出现运用概率统计知识进行设计的问题。 例 5 （2012•广安）某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑， 经投标，购买 1 块电子白板比买 3 台笔记本电脑多 3000 元，购买 4 块电子白板和 5 台笔记 本电脑共需 80000 元． （1）求购买 1 块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？ （2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为 396，要求购买的总费用 不超过 2700000 元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的 3 倍，该校有哪几 种购买方案？ （3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？ 考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。810360 分析： （1）设购买 1 块电子白板需要 x 元，一台笔记本电脑需要 y 元，由题意得等量关 系：①买 1 块电子白板的钱=买 3 台笔记本电脑的钱+3000 元，②购买 4 块电子白板的费用 +5 台笔记本电脑的费用=80000 元，由等量关系可得方程组，解方程组可得答案； （2）设购买电子白板 a 块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台，由题意得不等关系：①购买 笔记本电脑的台数≤购买电子白板数量的3倍；②电子白板和笔记本电脑总费用≤2700000元， 根据不等关系可得不等式组，解不等式组，求出整数解即可； （3）由于电子白板贵，故少买电子白板，多买电脑，根据（2）中的方案确定买的电脑数与 电子白板数，再算出总费用． 解答： 解：（1）设购买 1 块电子白板需要 x 元，一台笔记本电脑需要 y 元，由题意得： ， 解得： ． 答：购买 1 块电子白板需要 15000 元，一台笔记本电脑需要 4000 元． （2）设购买电子白板 a 块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台，由题意得： ， 解得：99≤a≤101 ， ∵a 为正整数， ∴a=99，100，101，则电脑依次买：297 台，296 台，295 台． 因此该校有三种购买方案： 方案一：购买笔记本电脑 295 台，则购买电子白板 101 块； 方案二：购买笔记本电脑 296 台，则购买电子白板 100 块； 4 方案三：购买笔记本电脑 297 台，则购买电子白板 99 块； （3）解法一： 购买笔记本电脑和电子白板的总费用为： 方案一：295×4000+101×15000=2695000（元） 方案二：296×4000+100×15000=2684000（元） 方案三：297×4000+99×15000=2673000（元） 因此，方案三最省钱，按这种方案共需费用 2673000 元． 解法二： 设购买笔记本电脑数为 z 台，购买笔记本电脑和电子白板的总费用为 W 元， 则 W=4000z+15000（396﹣z）=﹣11000z+5940000， ∵W 随 z 的增大而减小，∴当 z=297 时，W 有最小值=2673000（元） 因此，当购买笔记本电脑 297 台、购买电子白板 99 块时，最省钱，这时共需费用 2673000 元． 点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出 题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组． 考点四：设计图案问题 图形的分割、拼接问题是考查动手操作能力与空间想能力的一类重要问题，在各地的 中考试题中经常出现。这类问题大多具有一定的开放性，要求学生多角度、多层次的探索， 以展示思维的灵活性、发散性、创新性。 例 6 （2012•遵义）在 4×4 的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正 方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 种． 考点：利用轴对称设计图案． 分析：根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案． 解答：解：如图所示： 5 故一共有 13 种做法， 故答案为：13． 点评：此题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称 的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 四、真题演练 一、选择题 2．（ 2012•本溪）下列各网格中的图形是用其图形中的一部分平移得到的是（ ） A． B． C． D． 考点：利用平移设计图案． 专题：探究型． 分析：根据平移及旋转的性质对四个选项进行逐一分析即可． 解答：解：A、是利用图形的旋转得到的，故本选项错误； B、是利用图形的旋转和平移得到的，故本选项错误； C、是利用图形的平移得到的，故本选项正确； D、是利用图形的旋转得到的，故本选项错误． 故选 C． 点评：本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形经过平移后所得图形与原图形全等是解答 此题的关键． 3．（ 2012•丽水）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影 部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 考点：利用旋转设计图案． 分析：通过观察发现，当涂黑②时，所形成的图形关于点 A 中心对称． 解答：解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中 心对称图形． 6 故选 B． 点评：本题考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义，要知道，一个图形绕端点旋转 180°所形成的图形叫中心对称图形． 4．（ 2012•广元）下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对 称来分析整个图案的形成过程的图案有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案． 分析：根据旋转、轴对称的定义来分析． 图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动； 轴对称是指如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称． 解答：解：图形 1 可以旋转 90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合； 图形 2 可以旋转 180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合； 图形 3 可以旋转 180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合； 图形 4 可以旋转 90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合． 故既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案 有 4 个． 故选 A． 点评：考查了旋转和轴对称的性质．①旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的 大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；②轴对称图形的对应线段、对应 角相等． 二、填空题 5．（ 2012•杭州）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平 面直角坐标系内移动点 A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点 A 的横坐标 仍是整数，则移动后点 A 的坐标为 ． 7 考点：利用轴对称设计图案． 分析：根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重 合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，把 A 进行移动可得到点的坐标，注 意考虑全面． 解答： 解：如图所示： A′（-1，1）， A″（-2，-2）， C（0，2）， D（-2，-3） 故答案为：（-1，1），（-2，-2）），（ 0，2），（ -2，-3）． 点评：此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义，根据 3 个定点 所在位置，找出 A 的位置． 6．（2012•漳州）利用对称性可设计出美丽的图案．在边长为 1 的方格纸中，有如图所示的 四边形（顶点都在格点上）． （1）先作出该四边形关于直线 l 成轴对称的图形，再作出你所作的图形连同原四边形绕 0 点按顺时针方向旋转 90°后的图形； （2）完成上述设计后，整个图案的面积等于 ． 考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案． 专题：探究型． 分析：（1）根据图形对称的性质先作出关于直线 l 的对称图形，再作出所作的图形连同原四 边形绕 0 点按顺时针方向旋转 90°后的图形即可； （2）先利用割补法求出原图形的面积，由图形旋转及对称的性质可知经过旋转与轴对称所 得图形与原图形全等即可得出结论． 8 解答： 解：（1）如图所示： 先作出关于直线 l 的对称图形； 再作出所作的图形连同原四边形绕 0 点按顺时针方向 旋转 90°后的图形． （2）∵边长为 1 的方格纸中一个方格的面积是 1， ∴原图形的面积为 5， ∴整个图案的面积=4×5=20． 故答案为：20． 点评：本题考查的是利用旋转及轴对称设计图案，熟知经过旋转与轴对称所得图形与原图形 全等是解答此题的关键． 三、解答题 7．（2012•山西）实践与操作：如图 1 是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等 的圆弧而成的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形． （1）请你仿照图 1，用两段相等圆弧（小于或等于半圆），在图 3 中重新设计一个不同的轴 对称图形． （2）以你在图 3 中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图 4 中拼成一个中心对称图形． 考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案． 分析：（1）利用正方形边长的一半为半径，以边长中点为圆心画半圆，画出两个半圆即可得 出答案； （2）利用（1）中图象，直接拼凑在一起得出答案即可． 9 解答： 解：（1）在图 3 中设计出符合题目要求的图形． （2）在图 4 中画出符合题目要求的图形． 评分说明：此题为开放性试题，答案不唯一，只要符合题目要求即可给分． 点评：此题主要考查了利用轴对称设计图案，仿照已知，利用轴对称图形的定义作出轴对称 图形是解题关键． 9．（ 2012•丹东）南中国海是中国固有领海，我渔政船经常在此海域执勤巡察．一天我渔政 船停在小岛 A 北偏西 37°方向的 B 处，观察 A 岛周边海域．据测算，渔政船距 A 岛的距离 AB 长为 10 海里．此时位于 A 岛正西方向 C 处的我渔船遭到某国军舰的袭扰，船长发现在 其北偏东 50°的方向上有我方渔政船，便发出紧急求救信号．渔政船接警后，立即沿 BC 航 线以每小时 30 海里的速度前往救助，问渔政船大约需多少分钟能到达渔船所在的 C 处？（参 考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60， sin40°≈0.64，cos40°≈0.77） 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 分析：首先 B 点作 BD⊥AC ， 垂 足 为 D ， 根 据 题 意 ， 得 ： ∠ABD=∠BAM=37°， ∠CBD=∠BCN=50°，然后分别在 Rt△ABD 与 Rt△CBD 中，利用余弦函数求得 BD 与 BC 的长，继而求得答案． 解答： 解：过 B 点作 BD⊥AC，垂足为 D． 根据题意，得：∠ABD=∠BAM=37°，∠CBD=∠BCN=50°， 在 Rt△ABD 中， ∵cos∠ABD= BD AB ， 10 ∴cos37○= 10 BD ≈0.80， ∴BD≈10×0.8=8（海里）， 在 Rt△CBD 中， ∵cos∠CBD= BD BC ， ∴cos50○= 8 BC ≈0.64， ∴BC≈8÷0.64=12.5（海里）， ∴12.5÷30= 5 12 （小时）， ∴ ×60=25（分钟）． 答：渔政船约 25 分钟到达渔船所在的 C 处． 点评：此题考查了方向角问题．此题难度适中，解题的关键是利用方向角构造直角三角形， 然后解直角三角形，注意数形结合思想的应用． 10．（ 2012•长春）如图，有一个晾衣架放置在水平地面上，在其示意图中，支架 OA、OB 的长均为 108cm，支架 OA 与水平晾衣杆 OC 的夹角∠AOC 为 59°，求支架两个着地点之间 的距离 AB．（结果精确到 0.1cm）[参考数据：sin59°=0.86，cos59°=0.52，tan59°=1.66] 考点：解直角三角形的应用． 分析：作 OD⊥AB 于点 D，在直角三角形 OAD 中，利用已知角的余弦值和 OA 的长求得 AD 的长即可求得线段 AB 的长． 解答： 解：作 OD⊥AB 于点 D， ∵OA=OB ∴AD=BD ∵OC∥AB ∴∠OAB=59°， 在 RtAOD 中，AD=OA•cos59°， ∴AB=2AD=2OA•cos59°=2×108×0.52≈112.3cm． 答：支架两个着地点之间的距离 AB 约为 112.3cm． 点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形并求解 11 12．（ 2012•河池）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加．据 统计，某小区 2009 年底拥有家庭电动自行车 125 辆，2011 年底家庭电动自行车的拥有量达 到 180 辆． （1）若该小区 2009 年底到 2012 年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小 区到 2012 年底电动自行车将达到多少辆？ （2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资 3 万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分 别为室内车位 1000 元/个，露天车位 200 元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不 少于室内车位的 2 倍，但不超过室内车位的 2.5 倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？ 试写出所有可能的方案． 考点： 一元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用。810360 分析： （1）设年平均增长率是 x，根据某小区 2009 年底拥有家庭电动自行车 125 辆，2011 年底家庭电动自行车的拥有量达到 180 辆，可求出增长率，进而可求出到 2012 年底家庭电 动车将达到多少辆． （2）设建 x 个室内车位，根据投资钱数可表示出露天车位，根据计划露天车位的数量不少 于室内车位的 2 倍，但不超过室内车位的 3 倍，可列出不等式组求解，进而可求出方案情况． 解答： 解：（1）设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为 x， 则 125（1+x）2=180， 解得 x1=0.2=25%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去） ∴180（1+20%）=216（辆）， 答：该小区到 2012 年底家庭电动自行车将达到 216 辆； （2）设该小区可建室内车位 a 个，露天车位 b 个， 则 ， 由①得 b=150﹣5a， 代入②得 20≤a≤ ， ∵a 是正整数， ∴a=20 或 21， 当 a=20 时 b=50，当 a=21 时 b=45． ∴方案一：建室内车位 20 个，露天车位 50 个； 方案二：室内车位 21 个，露天车位 45 个． 点评： 本题考查了一元二次方程的应用，关键是先求出增长率，再求出 2012 年的家庭电 动自行车量，然后根据室内车位和露天车位的数量关系列出不等式组求解． 15．（ 2012•丹东）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动．在一个不透明的箱子里放有 4 个完全相同的小球，球上分别标有“0 元”、“10 元”、“30 元”和“50 元”的字样．规定：顾客 在本商场同一日内，消费每满 300 元，就可以从箱子里先后摸出两个球（每次只摸出一个球， 第一次摸出后不放回）．商场根据两个小球所标金额之和返还相应价格的购物券，可以重新 12 在本商场消费．某顾客消费刚好满 300 元，则在本次消费中： （1）该顾客至少可得 元购物券，至多可得 元购物券； （2）请用画树状图或列表法，求出该顾客所获购物券的金额不低于 50 元的概率． 考点：列表法与树状图法． 分析：（1）根据题意即可求得该顾客至少可得的购物券，至多可得的购物券的金额； （2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与该顾客所获购物券的金 额不低于 50 元的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 解答：解：（1）根据题意得：该顾客至少可得购物券：0+10=10（元），至多可得购物券： 30+50=80（元）． 故答案为：10，80． （2）列表得： 0 10 30 50 0 - （0，10） （0，30） （0，50） 10 （10，0） - （10，30） （10，50） 30 （30，0） （30，10） - （30，50） 50 （50，0） （50，10） （50，30） - ∵两次摸球可能出现的结果共有 12 种，每种结果出现的可能性相同，而所获购物券的金额 不低于 50 元的结果共有 6 种． ∴该顾客所获购物券的金额不低于 50 元的概率是： 1 2 ． 点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗 漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完 成的事件；注意此题是不放回实验． 17．（ 2012•铁岭）为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派生活委员小亮到文具店为 获奖同学购买奖品．小亮发现，如果买 1 个笔记本和 3 支钢笔，则需要 18 元；如果买 2 个 笔记本和 5 支钢笔，则需要 31 元． （1）求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？ （2）班主任给小亮的班费是 100 元，需要奖励的同学是 24 名（每人奖励一件奖品），若购 买的钢笔数不少于笔记本数，求小亮有哪几种购买方案？ 考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。810360 分析： （1）每个笔记本 x 元，每支钢笔 y 元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购买笔记本 m 个，则购买钢笔（24﹣m）个利用总费用不超过 100 元和钢笔数不少 于笔记本数列出不等式组求得 m 的取值范围后即可确定方案． 解答： 解：（1）设每个笔记本 x 元，每支钢笔 y 元 依题意得： 13 解得： 答：设每个笔记本 3 元，每支钢笔 5 元． （2）设购买笔记本 m 个，则购买钢笔（24﹣m）个 依题意得： 解得：12≥m≥10 ∵m 取正整数 ∴m=10 或 11 或 12 ∴有三种购买方案：①购买笔记本 10 个，则购买钢笔 14 个． ②购买笔记本 11 个，则购买钢笔 13 个． ③购买笔记本 12 个，则购买钢笔 12 个． 点评： 本题考查了一元一次不等式的应用及二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细的 分析题意并找到等量关系列方程或不等关系列不等式． 18．（ 2012•南充）学校 6 名教师和 234 名学生集体外出活动，准备租用 45 座大车或 30 座小 车．若租用 1 辆大车 2 辆小车共需租车费 1000 元；若租用 2 辆大车一辆小车共需租车费 1100 元． （1）求大、小车每辆的租车费各是多少元？ （2）若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过 2300 元，求最省钱的租车方案． 考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。810360 分析： （1）设大车每辆的租车费是 x 元、小车每辆的租车费是 y 元．根据题意：“租用 1 辆大车 2 辆小车共需租车费 1000 元”；“租用 2 辆大车一辆小车共需租车费 1100 元”；列出 方程组，求解即可； （2）根据汽车总数不能小于 （取整为 6）辆，即可求出共需租汽车的辆数；设出租 用大车 m 辆，则租车费用 Q（单位：元）是 m 的函数，由题意得出 100m+1800≤2300，得 出取值范围，分析得出即可． 解答： 解：（1）设大车每辆的租车费是 x 元、小车每辆的租车费是 y 元． 可得方程组 ， 解得 ． 答：大车每辆的租车费是 400 元、小车每辆的租车费是 300 元． （2）由每辆汽车上至少要有 1 名老师，汽车总数不能大于 6 辆； 由要保证 240 名师生有车坐，汽车总数不能小于 （取整为 6）辆， 综合起来可知汽车总数为 6 辆． 设租用 m 辆甲种客车，则租车费用 Q（单位：元）是 m 的函数， 即 Q=400m+300（6﹣m）； 14 化简为：Q=100m+1800， 依题意有：100m+1800≤2300， ∴m≤5， 又要保证 240 名师生有车坐，m 不小于 4， 所以有两种租车方案， 方案一：4 辆大车，2 辆小车； 方案二：5 辆大车，1 辆小车． ∵Q 随 m 增加而增加， ∴当 m=4 时，Q 最少为 2200 元． 故最省钱的租车方案是：4 辆大车，2 辆小车． 点评： 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用和理解题意的能力，关 键是根据题目所提供的等量关系和不等量关系，列出方程组和不等式求解． 19．（ 2012•朝阳）为支持抗震救灾，我市 A、B 两地分别有赈灾物资 100 吨和 180 吨，需全 部运往重灾区 C、D 两县，根据灾区的情况，这批赈灾物资运往 C 县的数量比运往 D 县的 数量的 2 倍少 80 吨． （1）求这批赈灾物资运往 C、D 两县的数量各是多少吨？ （2）设 A 地运往 C 县的赈灾物资数量为 x 吨（x 为整数）．若要 B 地运往 C 县的赈灾物资 数量大于 A 地运往 D 县赈灾物资数量的 2 倍，且要求 B 地运往 D 县的赈灾物资数量不超过 63 吨，则 A、B 两地的赈灾物资运往 C、D 两县的方案有几种？ 考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。810360 专题： 调配问题。 分析： （1）设运往 C 县的物资是 a 吨，D 县的物资是 b 吨，然后根据运往两地的物资总 量列出一个方程，再根据运往 C、D 两县的数量关系列出一个方程，然后联立组成方程组求 解即可； （2）根据 A 地运往 C 县的赈灾物资数量为 x 吨，表示出 B 地运往 C 县的物资是（160﹣x） 吨，A 地运往 D 县的物资是（100﹣x）吨，B 地运往 D 县的物资是 120﹣（ 100﹣x）=（20+x） 吨，然后根据“B 地运往 C 县的赈灾物资数量大于 A 地运往 D 县赈灾物资数量的 2 倍”列出 一个不等式，根据“B 地运往 D 县的赈灾物资数量不超过 63 吨”列出一个不等式，组成不等 式组并求解，再根据 x 为整数即可得解． 解答： 解：（1）设运往 C 县的物资是 a 吨，D 县的物资是 b 吨， 根据题意得， ， 解得 ， 答：这批赈灾物资运往 C、D 两县的数量各是 160 吨，120 吨； （2）设 A 地运往 C 县的赈灾物资数量为 x 吨，则 B 地运往 C 县的物资是（160﹣x）吨， A 地运往 D 县的物资是（100﹣x）吨，B 地运往 D 县的物资是 120﹣（100﹣x）=（20+x） 吨， 根据题意得， ， 15 解不等式①得，x＞40， 解不等式②得，x≤43， 所以，不等式组的解集是 40＜x≤43， ∵x 是整数， ∴x 取 41、42、43， ∴方案共有 3 种，分别为： 方案一：A 地运往 C 县的赈灾物资数量为 41 吨，则 B 地运往 C 县的物资是 119 吨， A 地运往 D 县的物资是 59 吨，B 地运往 D 县的物资是 61 吨； 方案二：A 地运往 C 县的赈灾物资数量为 42 吨，则 B 地运往 C 县的物资是 118 吨， A 地运往 D 县的物资是 58 吨，B 地运往 D 县的物资是 62 吨； 方案三：A 地运往 C 县的赈灾物资数量为 43 吨，则 B 地运往 C 县的物资是 117 吨， A 地运往 D 县的物资是 57 吨，B 地运往 D 县的物资是 63 吨． 点评： 本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，找出题目中的数量 关系是解题的关键，（2）难点在于根据 A 地运往 C 县的赈灾物资数量为 x 吨，表示出运往 其他县的物资是解题的关键． 20．（ 2012•北海）某班有学生 55 人，其中男生与女生的人数之比为 6：5． （1）求出该班男生与女生的人数； （2）学校要从该班选出 20 人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于 7 人；②女生人 数超过男生人数 2 人以上．请问男、女生人数有几种选择方案？ 考点： 一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用。810360 分析： （1）设男生有 6x 人，则女生有 5x 人，根据男女生的人数的和是 55 人，即可列方 程求解； （2）设选出男生 y 人，则选出的女生为（20﹣y）人，根据：①男生人数不少于 7 人；②女 生人数超过男生人数 2 人以上，即可列出不等式组，从而求得 y 的范围，再根据 y 是整数， 即可求得 y 的整数值，从而确定方案． 解答： 解：（1）设男生有 6x 人，则女生有 5x 人．（1 分） 依题意得：6x+5x=55（2 分） ∴x=5 ∴6x=30，5x=25（3 分） 答：该班男生有 30 人，女生有 25 人．（4 分） （2）设选出男生 y 人，则选出的女生为（20﹣y）人．（5 分） 由题意得： （6 分） 解之得：7≤y＜9 ∴y 的整数解为：7、8．（ 7 分） 当 y=7 时，20﹣y=13 当 y=8 时，20﹣y=12 答：有两种方案，即方案一：男生 7 人，女生 13 人；方案二：男生 8 人，女生 12 人．（8 分） 点评： 本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读 懂题列出不等式关系式即可求解． 16 21．（ 2012•温州）温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将 n 件产品运 往 A，B，C 三地销售，要求运往 C 地的件数是运往 A 地件数的 2 倍，各地的运费如图所示．设 安排 x 件产品运往 A 地． （1）当 n=200 时，①根据信息填表： A 地 B 地 C 地 合计 产品件数（件） x 2x 200 运费（元） 30x ②若运往 B 地的件数不多于运往 C 地的件数，总运费不超过 4000 元，则有哪几种运输方案？ （2）若总运费为 5800 元，求 n 的最小值． 考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。810360 专题： 应用题。 分析： （1）①运往 B 地的产品件数=总件数 n﹣运往 A 地的产品件数﹣运往 B 地的产品 件数；运费=相应件数×一件产品的运费； ②根据运往 B 地的件数不多于运往 C 地的件数，总运费不超过 4000 元列出不等式组，求得 整数解的个数即可； （2）总运费=A 产品的运费+B 产品的运费+C 产品的运费，进而根据函数的增减性及（1） 中②得到的 x 的取值求得 n 的最小值即可． 解答： 解：（1）①根据信息填表 A 地 B 地 C 地 合计 产品件数（件） 200﹣3x 运费 1600﹣24x 50x 56x+1600 ②由题意，得 ， 解得 40≤x≤42 ， ∵x 为整数， ∴x=40 或 41 或 42， ∴有三种方案，分别是（i）A 地 40 件，B 地 80 件，C 地 80 件； （ii）A 地 41 件，B 地 77 件，C 地 82 件； （iii）A 地 42 件，B 地 74 件，C 地 84 件； （2）由题意，得 30x+8（n﹣3x）+50x=5800， 整理，得 n=725﹣7x． ∵n﹣3x≥0， ∴x≤72.5， 17 又∵x≥0， ∴0≤x≤72.5 且 x 为整数． ∵n 随 x 的增大而减少， ∴当 x=72 时，n 有最小值为 221． 点评： 考查一次函数的应用；得到总运费的关系式是解决本题的关键；注意结合自变量的 取值得到 n 的最小值． 23．（ 2012•深圳）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用 11.8 万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共 40 台，三种家电的进价和售价如表所示： 价格 种类 进价 （元/台） 售价 （元/台） 电视机 5000 5500 洗衣机 2000 2160 空 调 2400 2700 （1）在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量 不超过电视机的数量的 3 倍．请问商场有哪几种进货方案？ （2）在 “2012 年消费促进月”促销活动期间，商家针对这三种节能型产品推出“现金每购 1000 元送 50 元家电消费券一张、多买多送”的活动．在（1）的条件下，若三种电器在活动期间 全部售出，商家预估最多送出多少张？ 考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。810360 分析： （1）设购进电视机 x 台，则洗衣机是 x 台，空调是（40﹣2x）台，根据空调的数 量不超过电视机的数量的 3 倍，且 x 以及 40﹣2x 都是非负整数，即可确定 x 的范围，从而 确定进货方案； （2）三种电器在活动期间全部售出的金额，可以表示成 x 的函数，根据函数的性质，即可 确定 y 的最大值，从而确定所要送出的消费券的最大数目． 解答： 解：（1）设购进电视机 x 台，则洗衣机是 x 台，空调是（40﹣2x）台， 根据题意得： ， 解得：8≤x≤10， 根据 x 是整数，则从 8 到 10 共有 3 个正整数，分别是 8、9、10，因而有 3 种方案： 方案一：电视机 8 台、洗衣机 8 台、空调 24 台； 方案二：电视机 9 台、洗衣机 9 台、空调 22 台； 方案三：电视机 10 台、洗衣机 10 台、空调 20 台． （2）三种电器在活动期间全部售出的金额 y=5500x+2160x+2700（40﹣2x）， 即 y=2260x+108000． 由一次函数性质可知：当 x 最大时，y 的值最大． x 的最大值是 10，则 y 的最大值是：2260×10+108000=130600 元． 18 由现金每购 1000 元送 50 元家电消费券一张，可知 130600 元的销售总额最多送出 130 张消 费券． 点评： 本题考查了不等式组的应用以及一次函数的应用，正确确定 x 的条件是解题的关 键． 24．（ 2012•黔西南州）某工厂计划生产 A，B 两种产品共 10 件，其生产成本和利润如下表： A 种产品 B 种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划获利 14 万元，问 A，B 两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于 44 万元，且获利多于 14 万元，问工厂有哪几种生产方案？ （3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 考点： 一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用。810360 分析： （1）设生产 A 种产品 x 件，则生产 B 种产品有 10﹣x 件，根据计划获利 14 万元， 即两种产品共获利 14 万元，即可列方程求解； （2）根据计划投入资金不多于 44 万元，且获利多于 14 万元，这两个不等关系即可列出不 等式组，求得 x 的范围，再根据 x 是非负整数，确定 x 的值，x 的值的个数就是方案的个数； （3）由已知可得，B 产品生产越多，获利越大，因而 B 取最大值时，获利最大，据此即可 求解． 解答： 解：（1）设生产 A 种产品 x 件，则生产 B 种产品 10﹣x 件，于是有 x+3（10﹣x）=14， 解得：x=8， 则 10﹣x=10﹣8=2（件） 所以应生产 A 种产品 8 件，B 种产品 2 件； （2）设应生产 A 种产品 x 件，则生产 B 种产品有 10﹣x 件，由题意有： ，解得：2≤x＜8； 所以可以采用的方案有： ， ， ， ， ， 共 6 种方案； （3）由已知可得，B 产品生产越多，获利越大，所以当 时可获得最大利润，其最大利 润为 2×1+8×3=26 万元． 点评： 本题考查理解题意的能力，关键从表格种获得成本价和利润，然后根据利润这个等 量关系列方程，根据第二问中的利润和成本做为不等量关系列不等式组分别求出解，然后求 出哪种方案获利最大从而求出来． 25．（ 2012•攀枝花）煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用 煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划．某煤矿现有 1000 吨煤炭要全部运往 A、 19 B 两厂，通过了解获得 A、B 两厂的有关信息如下表（表中运费栏“元/t•km”表示：每吨煤炭 运送一千米所需的费用）： 厂别 运费（元/t•km） 路程（km） 需求量（t） A 0.45 200 不超过 600 B a（a 为常数） 150 不超过 800 （1）写出总运费 y（元）与运往 A 厂的煤炭量 x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的 取值范围； （2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费 （可用含 a 的代数式表示） 考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。810360 分析： （1）根据总费用=运往 A 厂的费用+运往 B 厂的费用．经化简后可得出 y 与 x 的函 数关系式， （2）根据图表中给出的判定吨数的条件，算出自变量的取值范围，然后根据函数的性质来 算出所求的方案． 解答： 解：（1）若运往 A 厂 x 吨，则运往 B 厂为（1000﹣x）吨． 依题意得：y=200×0.45x+150×a×（1000﹣x） =90x﹣150ax+150000a， =（90﹣150a）x+150000a． 依题意得： 解得：200≤x≤600． ∴函数关系式为 y=（90﹣150a）x+150000a，（ 200≤x≤600）． （2）当 0＜a＜0.6 时，90﹣150a＞0， ∴当 x=200 时，y 最小=（90﹣150a）×200+150000a=120000a+18000． 此时，1000﹣x=1000﹣200=800． 当 a＞0.6 时，90﹣150a＜0，又因为运往 A 厂总吨数不超过 600 吨， ∴当 x=600 时，y 最小=（90﹣150a）×600+150000a=60000a+54000． 此时，1000﹣x=1000﹣600=400． 答：当 0＜a＜0.6 时，运往 A 厂 200 吨，B 厂 800 吨时，总运费最低，最低运费 120000a+18000 元． 当 a＞0.6 时，运往 A 厂 600 吨，B 厂 400 吨时，总运费最低，最低运费 60000a+54000． 点评： 本题考查了利用一次函数的有关知识解答实际应用题，一次函数是常用的解答实际 问题的数学模型，是中考的常见题型，同学们应重点掌握． 26．（ 2012•凉山州）某商场计划购进冰箱、彩电进行销售．相关信息如下表： 进价（元/台） 售价（元/台） 冰箱 a 2500 彩电 a﹣400 2000 （1）若商场用 80000 元购进冰箱的数量与用 64000 元购进彩电的数量相等，求表中 a 的值． 20 （2）为了满足市场需要求，商场决定用不超过 9 万元采购冰箱、彩电共 50 台，且冰箱的数 量不少于彩电数量的 ． ①该商场有哪几种进货方式？ ②若该商场将购进的冰箱、彩电全部售出，获得的最大利润为 w 元，请用所学的函数知识 求出 w 的值． 考点： 一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用。810360 专题： 应用题；图表型。 分析： （1）分别表示冰箱和彩电的购进数量，根据相等关系列方程求解； （2）设购买彩电 x 台，则购进冰箱（50﹣x）台． ①根据题意列表达式组求解； ②用含 x 的代数式表示利润 W，根据 x 的取值范围和一次函数的性质求解． 解答： 解：（1）根据题意得 = ． 解得 a=2000．经检验 a=2000 是原方程的根； （2）设购买彩电 x 台，则购进冰箱（50﹣x）台． ①根据题意得 ． 解得：25≤x≤ ， 故有三种进货方式： 1）购买彩电 25 台，则购进冰箱 25 台； 2）购买彩电 26 台，则购进冰箱 24 台； 3）购买彩电 27 台，则购进冰箱 23 台． ②一个冰箱的利润为：500 元，一个彩电的利润为 400 元， 故 w=400x+500（50﹣x）=﹣100x+25000， w 为关于 x 的一次函数，且为减函数， 而 25≤x≤ ，x 取整数， 故当 x=25 时，获得的利润最大，最大为 22500 元． 点评： 此题考查了一次函数的应用、分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解答本题 的关键是求出 a 的值，利用函数及不等式的知识进行解答． 27．（ 2012•佳木斯）国务院总理温家宝 2011 年 11 月 16 日主持召开国务院常务会议，会议 决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区．现要把 228 吨物资从某地运往青海甲、乙两 地，用大、小两种货车共 18 辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分 别为 16 吨/辆和 10 吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表： 运往地 车 型 甲 地（元/辆） 乙 地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 21 （1）求这两种货车各用多少辆？ （2）如果安排 9 辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为 a 辆，前往 甲、乙两地的总运费为 w 元，求出 w 与 a 的函数关系式（写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于 120 吨，请你设计出使总运费最少的货车 调配方案，并求出最少总运费． 考点： 一次函数的应用；二元一次方程组的应用。810360 分析： （1）设大货车用 x 辆，小货车用 y 辆，根据大、小两种货车共 18 辆，运输 228 吨物资，列方程组求解； （2）设前往甲地的大货车为 a 辆，则前往乙地的大货车为（8﹣a）辆，前往甲地的小货车 为（9﹣a）辆，前往乙地的小货车为[10﹣（9﹣a）]辆，根据表格所给运费，求出 w 与 a 的 函数关系式； （3）结合已知条件，求 a 的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方 案． 解答： 解：（1）解法一、设大货车用 x 辆，小货车用 y 辆，根据题意得 …（2 分） 解得 答：大货车用 8 辆，小货车用 10 辆．…（1 分） 解法二、设大货车用 x 辆，则小货车用（18﹣x）辆，根据题意得 16x+10（18﹣x）=228 …（2 分） 解得 x=8 ∴18﹣x=18﹣8=10（辆） 答：大货车用 8 辆，小货车用 10 辆；…（1 分） （2）w=720a+800（8﹣a）+500（9﹣a）+650[10﹣（9﹣a）]…（2 分） =70a+11550， ∴w=70a+11550（0≤a≤8 且为整数） …（1 分） （3）16a+10（9﹣a）≥120， 解得 a≥5，…（1 分） 又∵0≤a≤8， ∴5≤a≤8 且为整数，…（1 分） ∵w=70a+11550， k=70＞0，w 随 a 的增大而增大， ∴当 a=5 时，w 最小， 最小值为 W=70×5+11550=11900（元） …（1 分） 答：使总运费最少的调配方案是：5 辆大货车、4 辆小货车前往甲地；3 辆大货车、6 辆小货 车前往乙地．最少运费为 11900 元．…（1 分） 点评： 本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用．关键是根据题意，得出安排 各地的大、小货车数与前往甲地的大货车数 a 的关系． 22 28．（ 2012•鸡西）为了迎接“五•一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、 乙两种服装，甲种服装每件进价 180 元，售价 320 元；乙种服装每件进价 150 元，售价 280 元． （1）若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共 200 件，恰好用去 32400 元，求购进甲、乙两 种服装各多少件？ （2）该专卖店为使甲、乙两种服装共 200 件的总利润（利润=售价﹣进价）不少于 26700 元，且不超过 26800 元，则该专卖店有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，专卖店准备在 5 月 1 日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对 甲种服装每件优惠 a（0＜a＜20）元出售，乙种服装价格不变，那么该专卖店要获得最大利 润应如何进货？ 考点： 一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用。810360 分析： （1）设购进甲种服装 x 件，则乙种服装是（200﹣x）件，根据两种服装共用去 32400 元，即可列出方程，从而求解； （2）设购进甲种服装 y 件，则乙种服装是（200﹣y）件，根据总利润（利润=售价﹣进价） 不少于 26700 元，且不超过 26800 元，即可得到一个关于 y 的不等式组，解不等式组即可求 得 y 的范围，再根据 y 是正整数整数即可求解； （3）首先求出总利润 W 的表达式，然后针对 a 的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货 方案． 解答： 解：（1）设购进甲种服装 x 件，则乙种服装是（200﹣x）件， 根据题意得：180x+150（200﹣x）=32400， 解得：x=80， 200﹣x=200﹣80=120（件）， 则购进甲、乙两种服装 80 件、120 件； （2）设购进甲种服装 y 件，则乙种服装是（200﹣y）件，根据题意得： ， 解得：70≤y≤80， 又∵y 是正整数， ∴共有 11 种方案； （3）设总利润为 W 元， W=（140﹣a）y+130（200﹣y） 即 w=（10﹣a）y+26000． ①当 0＜a＜10 时，10﹣a＞0，W 随 y 增大而增大， ∴当 y=80 时，W 有最大值，即此时购进甲种服装 80 件，乙种服装 120 件； ②当 a=10 时，（2）中所以方案获利相同， 所以按哪种方案进货都可以； ③当 10＜a＜20 时，10﹣a＜0，W 随 y 增大而减小． 当 y=70 时，W 有最大值，即此时购进甲种服装 70 件，乙种服装 130 件． 点评： 本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用，以及一次函数的性质，正确利 用 y 表示出利润是关键． 23 29．（ 2012•黑龙江）2011 年 11 月 6 日下午，广西第一条高速铁路﹣南宁至钦州铁路扩能改 造工程正式进入铺轨阶段．现要把 248 吨物资从某地运往南宁、钦州两地，用大、小两种货 车共 20 辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为 16 吨/辆和 10 吨 /辆，运往南宁、钦州两地的运费如下表： 运往地 车型 南宁（元/辆） 钦州（元/辆） 大货车 620 700 小货车 400 550 （1）求这两种货车各用多少辆？ （2）如果安排 9 辆货车前往南宁，其余货车前往钦州，设前往南宁的大货车为 a 辆，前往 南宁、钦州两地的总运费为 w 元，求出 w 与 a 的函数关系式（写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，若运往南宁的物资不少于 120 吨，请你设计出使总运费最少的货车 调配方案，并求出最少总运费． 考点： 一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用。810360 分析： （1）根据大、小两种货车共 20 辆，以及两种车所运的货物的和是 248 吨，据此即 可列方程或方程组即可求解； （2）首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为 w 元就是各个费用的和，据此即 可写出函数关系式； （3）根据运往南宁的物资不少于 120 吨，即可列出不等式求得 a 的范围，再根据 a 是整数， 即可确定 a 的值，根据（2）中的函数关系，即可确定 w 的最小值，确定运输方案． 解答： 解：（1）解法一、设大货车用 x 辆，小货车用 y 辆，根据题意得 ， 解得 ． 答：大货车用 8 辆，小货车用 12 辆． 解法二、设大货车用 x 辆，则小货车用（20﹣x）辆，根据题意得 16x+10（20﹣x）=248， 解得 x=8， ∴20﹣x=20﹣8=12（辆）． 答：大货车用 8 辆，小货车用 12 辆． （2）w=620a+700（8﹣a）+400（9﹣a）+550[12﹣（9﹣a）] =70a+10850， ∴w=70a+10850（0≤a≤8 且为整数）； （3）16a+10（9﹣a）≥120， 解得 a≥5， 又∵0≤a≤8， ∴5≤a≤8 且为整数． ∵w=70a+10850， k=70＞0，w 随 a 的增大而增大， 24 ∴当 a=5 时，W 最小， 最小值为：W=70×5+10850=11200（元）． 答：使总运费最少的调配方案是：5 辆大货车、4 辆小货车前往甲地；3 辆大货车、8 辆小货 车前往乙地．最少运费为 11200 元． 点评： 主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义 中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函 数值． 30．（ 2012•贵港）某公司决定利用仅有的 349 个甲种部件和 295 个乙种部件组装 A、B 两种 型号的简易板房共 50 套捐赠给灾区．已知组装一套 A 型号简易板房需要甲种部件 8 个和乙 种部件 4 个，组装一套 B 型号简易板房需要甲种部件 5 个和乙种部件 9 个． （1）该公司组装 A、B 两种型号的简易板房时，共有多少种组装方案？ （2）若组装 A、B 两种型号的简易板房所需费用分别为每套 200 元和 180 元，问最少总组 装费用是多少元？并写出总组装费用最少时的组装方案． 考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。810360 分析： （1）根据题中已知条件列出不等式组，解不等式租得出整数即可解得有 3 种组装 方案； （2）根据组装方案的费用 W 关于 x 的方程，解得当 x=31 时，组装费用 W 最小为 9620 元． 解答： 解：（1）设组装 A 型号简易板房 x 套，则组装 B 型号简易板房（50﹣x）套， 根据题意得出： ， 解得：31≤x≤33， 故该公司组装 A、B 两种型号的简易板房时，共有 3 种组装方案： 组装 A 型号简易板房 31 套，则组装 B 型号简易板房 19 套， 组装 A 型号简易板房 32 套，则组装 B 型号简易板房 18 套， 组装 A 型号简易板房 33 套，则组装 B 型号简易板房 17 套； （2）设总组装费用为 W， 则 W=200x+180（50﹣x）=20x+9000， ∵20＞0， ∴W 随 x 的增大而增大， 当 x=31 时，W 最小=20×31+9000=9620（元）． 此时 x=31，50﹣31=19， 答：最少总组装费用是 9620 元，总组装费用最少时的组装方案为：组装 A 型号简易板房 31 套，则组装 B 型号简易板房 19 套． 点评： 本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的实际应用，是各地中考的热点，同学 们在平时练习时要加强训练，属于中档题． 31．（ 2012•阜新）某仓库有甲种货物 360 吨，乙种货物 290 吨，计划用 A、B 两种共 50 辆 货车运往外地．已知一辆 A 种货车的运费需 0.5 万元，一辆 B 种货车的运费需 0.8 万元． 25 （1）设 A 种货车为 x 辆，运输这批货物的总运费为 y 万元，试写出 y 与 x 的关系表达式； （2）若一辆 A 种货车能装载甲种货物 9 吨和乙种货物 3 吨；一辆 B 种货车能装载甲种货物 6 吨和乙种货物 8 吨．按此要求安排 A，B 两种货车运送这批货物，有哪几种运输方案？请 设计出来； （3）试说明哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？ 考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。810360 分析： （1）设 A 种货车为 x 辆，则 B 种货车为（50﹣x）辆，则表示出两种车的费用的 和就是总费用，据此即可求解； （2）仓库有甲种货物 360 吨，乙种货物 290 吨，两种车的运载量必须不超过 360 吨，290 吨，据此即可得到一个关于 x 的不等式组，再根据 x 是整数，即可求得 x 的值，从而确定运 输方案； （3）运费可以表示为 x 的函数，根据函数的性质，即可求解． 解答： 解：（1）设 A 种货车为 x 辆，则 B 种货车为（50﹣x）辆． 根据题意，得 y=0.5x+0.8（50﹣x），即 y=﹣0.3x+40 （2）根据题意，得 解这个不等式组，得 20≤x≤22 ∵x 是整数 ∴x 可取 20、21、22 即共有三种方案， A（辆） B（辆） 一 20 30 二 21 29 三 22 28 （3）由（1）可知，总运费 y=﹣0.3x+40， ∵k=﹣0.3＜0， ∴一次函数 y=﹣0.3x+40 的函数值随 x 的增大而减小． 所以 x=22 时，y 有最小值，即 y=﹣0.3×22+40=33.4（万元） 选择方案三：A 种货车为 22 辆，B 种货车为 28 辆，总运费最少是 33.4 万元． 点评： 本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件 与数学思想联系起来，读懂题列出方程组和不等式组即可求解． 32．（ 2012•郴州）某校为开展好大课间活动，欲购买单价为 20 元的排球和单价为 80 元的篮 球共 100 个． （1）设购买排球数为 x（个），购买两种球的总费用为 y（元），请你写出 y 与 x 的函数关系 式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）如果购买两种球的总费用不超过 6620 元，并且篮球数不少于排球数的 3 倍，那么有哪 几种购买方案？ （3）从节约开支的角度来看，你认为采用哪种方案更合算？ 26 考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。810360 分析： （1）设购买篮球 x 个，购买篮球和排球的总费用 y 元，根据某校计划购买篮球和 排球共 100 个，已知篮球每个 80 元，排球每个 20 元可列出函数式． （2）先设出购买篮球 x 个，根据篮球的个数不少于排球个数的 3 倍和购买两种球的总费用 及单价，列出不等式组，解出 x 的值，即可得出答案； （3）根据（2）得出的篮球和排球的个数，再根据它们的单价，即可求出总费用，再进行比 较，即可得出更合算的方案． 解答： 解：（1）设购买排球 x 个，购买篮球和排球的总费用 y 元， y=20x+80（100﹣x）=8000﹣60x； （2）设购买排球 x 个，则篮球的个数是（100﹣x），根据题意得： ， 解得：23≤x≤25， 所以 x 取 25，24，23， 当买排球 25 个时，篮球的个数是 75 个， 当买排球 24 个时，篮球的个数是 76 个， 当买排球 23 个时，篮球的个数是 77 个， 所以有 3 种购买方案． （3）根据（2）得： 当买排球 25 个，篮球的个数是 75 个，总费用是：25×20+75×80=6500（元）， 当买排球 24 个，篮球的个数是 76 个，总费用是：24×20+76×80=6560（元）， 当买排球 23 个，篮球的个数是 77 个，总费用是：23×20+77×80=6620（元）， 所以采用买排球 25 个，篮球 75 个时更合算． 点评： 本题考查的是一元一次不等式组及一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题 意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系． 33．（ 2012•本溪）某商店购进甲、乙两种型号的滑板车，共花费 13000 元，所购进甲型车的 数量不少于乙型车数量的二倍，但不超过乙型车数量的三倍．现已知甲型车每辆进价 200 元，乙型车每辆进价 400 元，设商店购进乙型车 x 辆． （1）商店有哪几种购车方案？ （2）若商店将购进的甲、乙两种型号的滑板车全部售出，并且销售甲型车每辆获得利润 70 元，销售乙型车每辆获得利润 50 元，写出此商店销售这两种滑板车所获得的总利润 y（元） 与购进乙型车的辆数 x（辆）之间的函数关系式？并求出商店购进乙型车多少辆时所获得的 利润最大？ 考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。810360 分析： （1）设商店购进乙型车 x 辆．则甲型是： 辆．根据所购进甲型车的 数量不少于乙型车数量的二倍，但不超过乙型车数量的三倍，即可得到关于 x 的不等式组， 从而求得 x 的范围，然后根据甲、乙的辆数都是正整数，即可确定 x 的值，从而确定方案； 27 （2）根据总获利=甲型的获利+乙型的获利，即可得到函数解析式，然后利用函数的性质即 可确定商店购进乙型车多少辆时所获得的利润最大． 解答： 解：（1）设商店购进乙型车 x 辆．则甲型是： 辆． 根据题意得： ， 解得：13≤x≤ ， ∵x 是正整数， 是正整数． ∴x=13 或 14 或 15 或 16． 则有 4 种方案：方案一：乙 13 辆，甲 39 辆； 方案二：乙 14 辆，甲 37 辆； 方案三：乙 15 辆，甲 35 辆； 方案四：乙 16 辆，甲 33 辆． （2）y=70× +50x， 即 y=﹣90x+4550． ∵﹣90＜0，则 y 随 x 的增大而减小， ∴当 x=13 时，y 最大． 答：当乙型车购进 13 辆时所获得的利润最大． 点评： 本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用．解决本题的关键是读懂题 意，找到所求量的等量关系，及符合题意的不等关系式．要会利用函数的单调性结合自变量 的取值范围求得利润的最大值． 34．（ 2012•鞍山）某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学 习桌，如果购买 3 张两人学习桌，1 张三人学习桌需 220 元；如果购买 2 张两人学习桌，3 张三人学习桌需 310 元． （1）求两人学习桌和三人学习桌的单价； （2）学校欲投入资金不超过 6000 元，购买两种学习桌共 98 张，以至少满足 248 名学生的 需求，设购买两人学习桌 x 张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为 W 元，求出 W 与 x 的函数关系式；求出所有的购买方案． 考点： 一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用。810360 分析： （1）设每张两人学习桌单价为 a 元和每张三人学习桌单价为 b 元，根据如果购买 3 张两人学习桌，1 张三人学习桌需 220 元；如果购买 2 张两人学习桌，3 张三人学习桌需 310 元分别得出等式方程，组成方程组求出即可； （2）根据购买两种学习桌共 98 张，设购买两人学习桌 x 张，则购买 3 人学习桌（98﹣x） 张，根据以至少满足 248 名学生的需求，以及学校欲投入资金不超过 6000 元得出不等式， 进而求出即可． 28 解答： 解：（1）设每张两人学习桌单价为 a 元和每张三人学习桌单价为 b 元，根据题意得 出： ， 解得： ， 答：两人学习桌和三人学习桌的单价分别为 50 元，70 元； （2）设购买两人学习桌 x 张，则购买 3 人学习桌（98﹣x）张， 购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为 W 元， 则 W 与 x 的函数关系式为：W=50x+70（98﹣x）=﹣20x+6860； 根据题意得出： ， 由 50x+70（98﹣x）≤6000， 解得：x≥43， 由 2x+3（98﹣x）≥248， 解得：x≤46， 故不等式组的解集为：43≤x≤46， 故所有购买方案为：当购买两人桌 43 张时，购买三人桌 58 张， 当购买两人桌 44 张时，购买三人桌 54 张， 当购买两人桌 45 张时，购买三人桌 53 张， 当购买两人桌 46 张时，购买三人桌 52 张． 点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式组的应用，解决问题的关键是读 懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．