2019年河南省普通高中招生考试试卷数学试题

2019年河南省普通高中招生考试试卷数学试题

‎2019年河南省普通高中招生考试试卷 数　学 一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．‎ ‎1. －的绝对值是(　　)‎ A. －　 　B. 　 　C. 2　 　D. －2‎ ‎2. 成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为(　　)‎ A. 46×10－7 B. 4.6×10－7‎ C. 4.6×10－6 D. 0.46×10－5‎ ‎3. 如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为(　　)‎ A. 45° B. 48° C. 50° D. 58°‎ 第3题图 ‎4. 下列计算正确的是(　　)‎ A. 2a＋3a＝6a B. (－3a)2＝6a2‎ C. (x－y)2＝x2－y2 D. 3－＝2 ‎5. 如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②.关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是(　　)‎ 第5题图 A. 主视图相同 B. 左视图相同 C. 俯视图相同 D. 三种视图都不相同 ‎6. 一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3的根的情况是(　　)‎ A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 ‎7. 某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是(　　)‎ ‎　　　‎ 第7题图 A. 1.95元 B. 2.15元 C. 2.25元 D. 2.75元 ‎8. 已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n的值为(　　)‎ A. －2 B. －4 C. 2 D. 4 ‎ ‎9. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3.分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为(　　)‎ A. 2 B. 4 C. 3 D. ‎ 第9题图 ‎10. 如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A(－3，4)，B(3，4)．将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为(　　)‎ ‎　　‎ 第10题图 A. (10，3) B. (－3，10) C. (10，－3) D. (3，－10)‎ ‎ 二、填空题(每小题3分，共15分)‎ ‎11. 计算：－2－1＝________．‎ ‎12. 不等式组的解集是________．‎ ‎13. 现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是________．‎ ‎14. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA.若OA＝2，则阴影部分的面积为________．‎ 第14题图 ‎15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a.连接AE，将△ABE沿AE折叠．若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为________．‎ ‎　　‎ 第15题图 三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)‎ ‎16. (8分)先化简，再求值：(－1)÷，其中x＝.‎ ‎17. (9分)如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°.以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G.‎ ‎(1)求证：△ADF≌△BDG；‎ ‎(2)填空：‎ ‎①若AB＝4，且点E是的中点，则DF的长为________；‎ ‎②取的中点H，当∠EAB的度数为________时，四边形OBEH为菱形．‎ 第17题图 ‎18. (9分)某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩(百分制)进行整理、描述和分析．部分信息如下：‎ a. 七年级成绩频数分布直方图：‎ 第18题图 b. 七年级成绩在70≤x<80这一组的是：‎ ‎70　72　74　75　76　76　77　77　77　78　79‎ c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：‎ 年级 平均数 中位数 七 ‎76.9‎ m 八 ‎79.2‎ ‎79.5‎ 根据以上信息，回答下列问题：‎ ‎(1)在这次测试中，七年级在80分以上(含80分)的有________人；‎ ‎(2)表中m的值为________；‎ ‎(3)在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；‎ ‎(4)该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．‎ ‎19. (9分)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21 m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．(精确到1 m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，≈1.73)‎ 第19题图 ‎20. (9分)学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．‎ ‎(1)求A，B两种奖品的单价；‎ ‎(2)学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的.请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．‎ ‎21. (10分)模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：‎ ‎(1)建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为x，y.由矩形的面积为4，得xy＝4，即y＝；由周长为m，‎ 得2(x＋y)＝m，即y＝－x＋.满足要求的(x，y)应是两个函数图象在第________象限内交点的坐标．‎ ‎(2)画出函数图象 函数y＝(x>0)的图象如图所示，而函数y＝－x＋的图象可由直线y＝－x平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线y＝－x.‎ 第21题图 ‎(3)平移直线y＝－x，观察函数图象 ‎①当直线平移到与函数y＝(x>0)的图象有唯一交点(2，2)时，周长m的值为________；‎ ‎②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．‎ ‎(4)得出结论 若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为________．‎ ‎22. (10分)在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α.点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP.‎ ‎(1)观察猜想 如图①，当α＝60°时，的值是________，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是________．‎ ‎(2)类比探究 如图②，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．‎ ‎(3)解决问题 当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．‎ ‎23. (11分)如图，抛物线y＝ax2＋x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C.直线y＝－x－2经过点A，C.‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m.‎ ‎①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；‎ ‎②作点B关于点C的对称点B′，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx＋b的解析式．(k，b可用含m的式子表示)‎ ‎2019河南数学试卷解析 ‎1. B　【解析】一个正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，一个负数的绝对值是它的相反数，故表示数字的点到原点的距离，可得－的绝对值是.‎ ‎2. C　【解析】数字0.0000046，第一个非0数字前面是6个0，因此运用科学记数法表示正确结果是4.6×10－6.‎ ‎3. B　【解析】如解图，设CD与BE相交于点F，∵AB∥CD，∠B＝75°，∴∠EFC＝∠B＝75°，∵∠E＝27°，∴∠D＝75°－27°＝48°.‎ 第3题解图 ‎4. D　【解析】‎ 选项 逐项分析 正误 A ‎2a＋3a＝5a≠6a  B ‎(－3a)2＝9a2≠6a2‎  C ‎(x－y)2＝x2－2xy＋y2≠x2－y2‎  D ‎3－＝2 ‎√‎ ‎5. C　【解析】‎ 主视图 左视图 俯视图 由以上内容可得，题图①和题图②的俯视图相同．‎ ‎6. A　【解析】将一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3转化为一般式为x2－2x－4＝0，∵b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－4)＝20＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．‎ ‎7. C　【解析】根据题意可得，这天销售的矿泉水的平均单价是x＝5×10%＋3×15%＋2×55%＋1×20%＝2.25元．‎ ‎8. B　【解析】已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，∵两点的纵坐标相同，∴两点关于抛物线的对称轴对称，显然对称轴是直线x＝＝1，∴－＝1，解得b＝2，∴抛物线的解析式是y＝－x2＋2x＋4，当x＝－2时，解得y＝－4.‎ ‎9. A　【解析】∵点O是AC中点，∴OA＝OC，∵AF∥BC，∠FAO＝∠BCO，∠AOF＝∠BOC，∴△AOF≌△COB.则AF＝BC，∴四边形ABCF是平行四边形，由题意可得，OF是AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴平行四边形ABCF是菱形，则CF＝CB＝3，则DF＝AD－AF＝AD－BC＝4－3＝1，∴在Rt△CDF中，CD＝＝＝2.‎ 第9题解图 ‎10. D　【解析】由题图可得，点D 的横坐标与点A的横坐标相等都是－3，AB＝3－(－3)＝6，∴点D的纵坐标是4＋6＝10，则点D的起始位置的坐标是(－3，10)；把组合图形绕原点O顺时针旋转的角度是90°，如果旋转的次数是4的整数倍时，则点D的对应点回到原来位置(－3，10)，显然70＝68＋2，因此旋转68次时，点D的对应点在点(－3，10)位置，再旋转2次，到点(－3，10)关于原点O的中心对称点(3，－10)位置，组合图形绕原点O顺时针旋转70次，每次旋转90°时，得出点D的对应点坐标是(3，－10)．‎ ‎11. 　【解析】原式＝2－＝. ‎ ‎12. x≤－2　【解析】解不等式≤－1，得x≤－2，解不等式－x＋7＞4，得x＜3，因此不等式组的解集是x≤－2.‎ ‎13. 　【解析】列表如下：‎ 第1个袋子第2个袋子 红 红 白 黄 ‎(红 ，黄)‎ ‎(红，黄)‎ ‎(白，黄)‎ 红 ‎(红， 红)‎ ‎(红，红)‎ ‎(白，红)‎ 红 ‎(红， 红)‎ ‎(红，红)‎ ‎(白，红)‎ 由上表可知，共有9种等可能的结果，其中两个球颜色相同的有4种结果，∴摸出的两个球颜色相同的概率为.‎ ‎14. π＋　【解析】如解图，过点D作DE⊥OB，垂足为点E，∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠DAO＝30°，∵OC⊥OA，∴OD＝AO·tan30°＝2×＝2，∴S△AOD＝AO×OD＝×2×2＝2，∵∠DOB＝∠AOB－∠AOD＝30°，∴S扇形COB＝＝π，在Rt△ODE中，DE＝OD×＝1.S△ODB＝×2×1＝，∴阴影部分的面积＝S扇形COB＋S△AOD－S△ODB＝π＋2－＝π＋.‎ 第14题解图 ‎15. 或　【解析】(1)如解图①，点B′落在矩形ABCD的边CD上，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a，因此EC＝a，B′E＝BE＝a，AB′＝AB＝1，AD＝BC＝a，易得△B′EC∽△AB′D，∴＝，则＝，∴B′C＝a2，在Rt△B′EC中，利用勾股定理得，B′E2＝B′C2＋EC2，∴(a)2＝(a2)2＋(a)2，由于a是正数，则()2＝(a)2＋()2，解得a＝；(2)如解图②，点B′落在矩形ABCD的边AD上，直接得出四边形ABEB′是正方形，∴a＝1，则a＝，显然点B′只能落在矩形ABCD的两条边CD或AD上，不可能在边AB或BC上(点B′与两点B，E不可能在同一条直线上)，故a的值为或.‎ ‎ ‎ 图① 图②‎ 第15题解图 ‎16. 解：原式＝÷ ‎＝·(4分)‎ ‎＝.(6分)‎ 当x＝时，原式＝＝.(8分)‎ ‎17. (1)证明：∵BA＝BC，∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠CAB＝∠C＝45°.‎ ‎∵AB为半圆O的直径，‎ ‎∴∠ADF＝∠BDG＝90°.‎ ‎∴∠DBA＝∠DAB＝45°.‎ ‎∴AD＝BD.(3分)‎ ‎∵∠DAF和∠DBG都是所对的圆周角，‎ ‎∴∠DAF＝∠DBG.‎ ‎∴△ADF≌△BDG(ASA)；(5分)‎ ‎(2)解：① 4－2；(7分)‎ ‎【解法提示】∵点E是的中点，∴∠DAE＝∠BAE，∵AB是半圆O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEG＝90°，∴AG＝AB＝4，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，AB是半圆O的直径，∠DAB＝45°，∴AD＝AB·cos 45°＝2，∴DG＝AG－AD＝4－2，由(1)知DF＝DG，∴DF＝4－2.‎ ‎②30°.(9分)‎ ‎【解法提示】∵四边形OEBH为菱形，∴BE＝OB，∵OE＝OB，∴△OEB为等边三角形，∴∠EOB＝60°，∴∠EAB＝30°.‎ ‎18. 解：(1)23；(2分)‎ ‎(2)77.5；(4分)‎ ‎【解法提示】∵共有50名学生，∴把七年级学生的成绩由低到高排列，中位数应是第25名和第26名学生成绩的平均数，这两名学生的成绩分别为77，78，∴七年级成绩的中位数为＝77.5.‎ ‎(3)甲的排名更靠前．∵甲的成绩大于七年级抽测成绩的中位数，而乙的成绩小于八年级抽测成绩的中位数，∴甲的排名更靠前；(6分)‎ ‎(4)400×＝224(人)．‎ 答：估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为224.(9分)‎ ‎19. 解：在Rt△ACE中，∵∠A＝34°，CE＝55，‎ ‎∴AC＝≈≈82.1 m.‎ ‎∴BC＝AC－AB≈82.1－21＝61.1 m．(4分)‎ 在Rt△BCD中，∵∠CBD＝60°，‎ ‎∴CD＝BC·tan60°≈61.1×1.73≈105.7 m．(7分)‎ ‎∴DE＝CD－CE≈105.7－55≈51 m.‎ 答：炎帝塑像DE的高度是51 m．(9分)‎ ‎20. 解：(1)设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元，(1分)‎ 根据题意，得解得 答：A奖品的单价为30元，B奖品的单价为15元；(4分)‎ ‎(2)设购买A奖品a个，则购买B奖品(30－a)个，共需w元，‎ 根据题意，得w＝30a＋15(30－a)＝15a＋450.(6分)‎ ‎∵15＞0，∴当a取最小值时，w有最小值．‎ ‎∵a≥(30－a)，解得a≥7.5.‎ 而a为正整数，∴当a＝8时，w取得最小值，此时30－8＝22.‎ ‎∴当购买A奖品8个，B奖品22个时最省钱．(9分)‎ ‎21. 解：(1)一；(1分)‎ ‎(2)如解图；‎ 第21题解图 ‎(3)①8；‎ ‎【解法提示】将点(2，2)代入y＝－x＋中，得m＝8.(4分)‎ ‎②直线与函数y＝(x＞0)的图象交点还有两种情况；‎ 当有0个交点时，周长m的取值范围是0＜m＜8；‎ 当有2个交点时，周长m的取值范围是m＞8.(8分)‎ ‎(4)m≥8.(10分)‎ ‎22. 解：(1)1，60°；(2分)‎ ‎【解法提示】∵∠ACB＝60°，∠APD＝60°，AC＝BC，AP＝PD，∴△ACB与△APD都是等边三角形，∴AC＝AB，AP＝AD，而∠CAP＝∠CAB－∠PAB＝∠PAD－∠PAB＝∠BAD，∴△APC≌△ADB(SAS)．BD＝CP，∴＝1；∵△APC≌△ADB.∴∠ACP＝∠ABD，设CP与BD的延长线交于点I，如解图①，∴∠CIB＝180°－∠PCB－∠CBD＝180°－(60°－∠ACP)－(60°＋∠ABD)＝60°＋∠ACP－∠ABD＝60°，∴直线BD与直线CP所在直线的夹角等于60°.‎ 第22题解图①‎ ‎　　　　‎ 第22题解图②‎ ‎(2)，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°.(4分)‎ 理由如下：‎ ‎∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∵∠CAB＝45°，＝.‎ 同理可得：∠PAD＝45°，＝，‎ ‎∴＝，∠CAB＝∠PAD.‎ ‎∴∠CAB＋∠DAC＝∠PAD＋∠DAC.‎ 即∠DAB＝∠PAC.‎ ‎∴△DAB∽△PAC.(6分)‎ ‎∴＝＝，∠DBA＝∠PCA.‎ 设BD交CP于点G，BD交CA于点H.如解图②，‎ ‎∵∠BHA＝∠CHG，‎ ‎∴∠CGH＝∠BAH＝45°；(8分)‎ ‎(3)的值为2＋或2－.(10分)‎ 第22题解图③‎ ‎　　‎ 第22题解图④‎ ‎【解法提示】分两种情况：如解图③，可设CP＝a，则BD＝a.设CD与AB交于点Q，则PQ＝CP＝a.可证∠DQB＝∠DBQ＝67.5°，则DQ＝BD＝a，易得AD＝PD＝2a＋a，∴＝2＋；如解图④，可设AP＝DP＝b，则AD＝b，由EF∥AB，∠PEA＝∠CAB＝45°，可证∠ECD＝∠EAD＝22.5°，易得CD＝AD＝b，CP＝b＋b，∴＝2－.‎ ‎23. 解：(1)∵直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点C，‎ ‎∴A(－4，0)，C(0，－2)．‎ ‎∵抛物线y＝ax2＋x＋c经过点A，C，‎ ‎∴　∴ ‎∴抛物线的解析式为y＝x2＋x－2；(3分)‎ ‎(2)①∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为(m，m2＋m－2)．‎ 当△PCM是直角三角形时，有以下两种情况：‎ ‎(i)当∠CPM＝90°时，如解图①，PC∥x轴，m2＋m－2＝－2.‎ 解得m1＝0(舍去)，m2＝－2.‎ ‎∵当m＝－2时，×(－2x－2)2＋×(－2)－2＝－2，‎ ‎∴点P的坐标为(－2，－2)．(5分)‎ 第23题解图①‎ ‎　　‎ 第23题解图②‎ ‎(ii)当∠PCM＝90°时，过点P作PN⊥y轴于点N，如解图②，‎ ‎∴∠CNP＝∠AOC＝90°.‎ ‎∵∠NCP＋∠ACO＝∠OAC＋∠ACO＝90°，‎ ‎∴∠NCP＝∠OAC.‎ ‎∴△CNP∽△AOC.‎ ‎∴＝.‎ ‎∵C(0，－2)，N(0，m2＋m－2)，‎ ‎∴CN＝m2＋m，PN＝m.‎ 即＝.解得m3＝0(舍去)，m4＝6.‎ ‎∵当m＝6时，×62＋×6－2＝10，‎ ‎∴点P的坐标为(6，10)．‎ 综上所述，点P的坐标为(－2，－2)或(6，10)；(8分)‎ ‎②直线l的解析式为y＝x－2或y＝x－2或y＝x－m－2.(11分)‎ ‎【解法提示】△BB′M的三条中位线所在的直线，每条都满足点M、B、B′到该直线的距离都相等．如解图③，‎ ‎(i)将B(2, 0)、M(m，－m－2)两点分别代入y＝kx＋b，得 解得k＝.此时直线l的解析式为y＝x－2.‎ ‎(ii)将B′(－2, －4)、M(m，－m－2)两点分别代入y＝kx＋b，得 解得k＝，此时直线l的解析式为y＝x－2.‎ ‎(iii)因为直线BC的斜率k＝1，BM的中点为D(m＋1，－m－1)，将点D代入y＝x＋b，得b＝－m－2.此时直线l的解析式为y＝x－m－2.‎ 第23题解图③‎