人教版九年级数学上册教案:24_4 弧长和扇形的面积

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人教版九年级数学上册教案:24_4 弧长和扇形的面积

1 3.7 弧长及扇形的面积 教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程; 2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题. (二)能力训练要求 1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力. 2.了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力. (三)情感与价值观要求 1.经历探索弧长及扇形面积计算公式,让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受 数学的严谨性以及数学结论的确定性. 2.通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系, 激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力. 教学重点 1.经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程. 2.了解弧长及扇形面积计算公式. 3.会用公式解决问题. 教学难点 1.探索弧长及扇形面积计算公式. 2.用公式解决实际问题. 教学方法 学生互相交流探索法 教具准备 2.投影片四张 第一张:(记作§3.7A) 第二张:(记作§3.7B) 第三张:(记作§3.7C) 第四张:(记作§3.7D) 教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 2 [师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式,弧是圆周的一部分,扇形是圆 的一部分,那么弧长与扇形面积应怎样计算?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系 呢?本节课我们将进行探索. Ⅱ.新课讲解 一、复习 1.圆的周长如何计算? 2.圆的面积如何计算? 3.圆的圆心角是多少度? [生]若圆的半径为 r,则周长 l=2π r,面积 S=π r2,圆的圆心角是 360°. 二、探索弧长的计算公式 投影片(§3.7A) 如图,某传送带的一个转动轮的半径为 10cm. (1)转动轮转一周,传送带上的物品 A 被传送多少厘米? (2)转动轮转 1°,传送带上的物品 A 被传送多少厘米? (3)转动轮转 n°,传送带上的物品 A 被传送多少厘米? [师]分析:转动轮转一周,传送带上的物品应被传送一个圆的周长;因为圆的周长对 应 360°的圆心角,所以转动轮转 1°,传送带上的物品 A 被传送圆周长的 1 360 ;转动轮转 n°,传送带上的物品 A 被传送转 1°时传送距离的 n 倍. [生]解:(1)转动轮转一周,传送带上的物品 A 被传送 2π ×10=20π cm; (2)转动轮转 1°,传送带上的物品 A 被传送 20 360 18  cm; (3)转动轮转 n°,传送带上的物品 A 被传送 n× 20 n 360 180  =cm. [师]根据上面的计算,你能猜想出在半径为 R 的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算 公式吗?请大家互相交流. 3 [生]根据刚才的讨论可知,360°的圆心角对应圆周长 2π R,那么 1°的圆心角对应的 弧长为 2 360 180 RR ,n°的圆心角对应的弧长应为 1°的圆心角对应的弧长的 n 倍,即 n× 180 180 R n R . [师]表述得非常棒. 在半径为 R 的圆中,n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为: l= 180 nR . 下面我们看弧长公式的运用. 三、例题讲解 投影片(§3.7B) 制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,试计算下图中管道的展 直长度,即 AB 的长(结果精确到 0.1mm). 分析:要求管道的展直长度,即求 的长,根根弧长公式 l= 180 nR 可求得 的长, 其中 n 为圆心角,R 为半径. 解:R=40mm,n=110. ∴ 的长= 180 n π R=110 180 ×40π ≈76.8mm. 因此,管道的展直长度约为 76.8mm. 四、想一想 投影片(§3.7C) 在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长 3m 的绳子,绳子的另一端拴着一 只狗. (1)这只狗的最大活动区域有多大? (2)如果这只狗只能绕柱子转过 n°角,那么它的最大活动区域有多大? [师]请大家互相交流. 4 [生](1)如图(1),这只狗的最大活动区域是圆的面积,即 9π ; (2)如图(2),狗的活动区域是扇形,扇形是圆的一部分,360°的圆心角对应的圆面积, 1°的圆心角对应圆面积的 1 360 ,即 ×9π = 40  ,n°的圆心角对应的圆面积为 n× = 40 n . [师]请大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式. [生]如果圆的半径为 R,则圆的面积为π R2,1°的圆心角对应的扇形面积为 2 360 R ,n° 的圆心角对应的扇形面积为 n· 22 360 360 R n R .因此扇形面积的计算公式为 S 扇形= 360 n π R2,其中 R 为扇形的半径,n 为圆心角. 五、弧长与扇形面积的关系 [师]我们探讨了弧长和扇形面积的公式,在半径为 R 的圆中,n°的圆心角所对的弧长 的计算公式为 l= 180 n π R,n°的圆心角的扇形面积公式为 S 扇形= π R2,在这两个公式 中,弧长和扇形面积都和圆心角 n.半径 R 有关系,因此 l 和 S 之间也有一定的关系,你能 猜得出吗?请大家互相交流. [生]∵l= π R,S 扇形= π R2, ∴ π R2= 1 2 R· π R.∴S 扇形= lR. 六、扇形面积的应用 投影片(§3.7D) 扇形 AOB 的半径为 12cm,∠AOB=120°,求 AB 的长(结果精确到 0.1cm)和扇形 AOB 的面积(结果精确到 0.1cm2) 分析:要求弧长和扇形面积,根据公式需要知道半径 R 和圆心角 n 即可,本题中这些 条件已经告诉了,因此这个问题就解决了. 5 解: AB 的长=120 180 π ×12≈25.1cm. S 扇形= 120 360 π ×122≈150.7cm2. 因此, 的长约为 25.1cm,扇形 AOB 的面积约为 150.7cm2. Ⅲ.课堂练习 随堂练习 Ⅳ.课时小结 本节课学习了如下内容: 1.探索弧长的计算公式 l= 180 n π R,并运用公式进行计算; 2.探索扇形的面积公式 S= 360 n π R2,并运用公式进行计算; 3.探索弧长 l 及扇形的面积 S 之间的关系,并能已知一方求另一方. Ⅴ.课后作业 习题 3.10 Ⅵ.活动与探究 如图,两个同心圆被两条半径截得的 的长为 6π cm,CD 的长为 10π cm,又 AC =12cm,求阴影部分 ABDC 的面积. 分析:要求阴影部分的面积,需求扇形 COD 的面积与扇形 AOB 的面积之差.根据扇形 面积 S= 1 2 lR,l 已知,则需要求两个半径 OC 与 OA,因为 OC=OA+AC,AC 已知,所以只要 能求出 OA 即可. 解:设 OA=R,OC=R+12,∠O=n°,根据已知条件有: 6 180 10 ( 12)180 n R n R          ① ② ① ② 得 3 5 12 R R  . 6 ∴3(R+12)=5R,∴R=18. ∴OC=18+12=30. ∴S=S 扇形 COD-S 扇形 AOB= 1 2 ×10π ×30- ×6π ×18=96π cm2. 所以阴影部分的面积为 96π cm2. 板书设计 §3.7 弧长及扇形的面积 一、1.复习圆的周长和面积计算公式; 2.探索弧长的计算公式; 3.例题讲解; 4.想一想; 5.弧长及扇形面积的关系; 6.扇形面积的应用. 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业
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