华师大版九年级数学上册教案第24章 解直角三角形
第24章 解直角三角形
24．1 测量
利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方法，初步接触直角三角形的边角关系．
重点
探索测量距离的几种方法．
难点
解决实际问题时学生对数学实践活动的原理的理解和对方法的掌握．
一、情境引入
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高．
你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题，但如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？
二、探究新知
教师利用多媒体展示教材100页“试一试”，引导学生分析学习本节内容．
如图，站在离旗杆BE底部10 m处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC＝34°，并已知目高AD为1.5 m，现在请你按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？
分析：利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴AC∶A′C′＝BC∶B′C′＝500∶1.
∴只要用刻度尺量出纸上B′C′的长度，就可以计算出BC的长度，加上AD长即为旗杆的高度．若量得B′C′＝a cm，则BC＝500a cm＝5a m．故旗杆高(1.5＋5a)m.
教师再用课件展示例题，可由学生自主完成，最后教师点评．
例2 为了测出旗杆的高度，设计了如图所示的三种方案，并测得图(a)中BO＝6 m，OD＝3.4 m，CD＝1.7 m；图(b)中CD＝1 m，FD＝0.6 m，EB＝1.8 m；图(c)中BD＝9 m，EF＝0.2 m，此人的臂长为0.6 m.
(1)说明其中运用的主要知识；
(2)分别计算出旗杆的高度．
(a)
(b)
(c)
【分析】图(a)和图(c)都运用了相似三角形对应边成比例的性质，图(b)运用了同一时刻的物高与影长成正比的性质．
解：(1)∵△AOB∽△COD，
∴＝，即＝，
∴AB＝3(m)．
(2)∵同一时刻物高与影长成正比，
∴＝，即＝，
∴AB＝3(m)．
(3)∵△CEF∽△CAB，△CFG∽△CBD，
∴＝＝，
∴＝，
∴AB＝3(m)．
教师点评：测量物体的高度可利用自己的身高、臂长等长度结合相似图形的性质求出物高，也可以运用同一时刻的物高与影长成正比的性质测量物体的高度．
三、练习巩固
教师利用课件展示习题，引导学生独立完成，点名上台展示，教师点评．
1．已知小明同学身高1.5 m，经太阳光照射，在地面的影长为2 m，若此时测得一塔在同一地面的影长为60 m，则塔高为( )
A．90 m B．80 m C．45 m D．40 m
2．如图，A，B两点被池塘隔开，在点A，B外任选一点C，连结AC，BC，分别取其三等分点M，N，量得MN＝38 m，则AB的长为( )
A．76 m B．104 m C．114 m D．152 m
3．在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？
4．某同学想测旗杆的高度，他在某一时刻测得1 m长的竹竿竖起时的影长为1.5 m，同一时刻测量旗杆影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为9 m，留在墙上的影长为2 m，求旗杆的高度．
四、小结与作业
小结
这节课你学到了哪些测量物体高度的方法？
布置作业
从教材相应练习和“习题24.1”中选取．
本课时从学生身边所熟悉的测量旗杆的高度入手，通过探究设计各种测量方案，让学生学会利用所学的相似三角形、勾股定理的有关知识来解决问题，经历测量过程从而获得成功的体验，懂得数学来源于生活实际并用之于实际的道理，激发学生的学习兴趣，培养学生的动手操作能力．
24．2 直角三角形的性质
1．掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用．
2．继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系．知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律．
重点
直角三角形斜边上的中线性质定理的应用．
难点
直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法．
一、情境引入
复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？
学生回答：(1)在直角三角形中，两个锐角互余；
(2)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)．
二、探究新知
除了刚才同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质？现在我们一起探索！
1．实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片．
(1)量一量边AB的长度；
(2)找到斜边的中点，用字母D表示，画出斜边上的中线；
(3)量一量斜边上的中线的长度．
让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系．
2．提出命题：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
3．证明命题：
你能否用演绎推理证明这一猜想？
已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．
求证：CD＝AB.
【分析】可“倍长中线”，延长CD至点E，使DE＝CD，易证四边形ACBE是矩形，
∴CE＝AB＝2CD.
思考 还有其他方法来证明吗？还可作如下的辅助线．
4．应用：
例 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°.
求证：BC＝AB.
【分析】构造斜边上的中线，作斜边上的中线CD，易证△BDC为等边三角形，所以BC＝BD＝AB.
【归纳结论】直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
三、练习巩固
教师利用课件展示练习题，可由学生小组讨论完成，教师归纳．
1．如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，CD＝4，则AB＝________．
2．三角形三个角度数比为1∶2∶3，它的最大边长是4 cm，那么它的最小边长为________cm.
3．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE，点G为垂足．
求证：(1)点G是CE的中点；
(2)∠B＝2∠BCE.
第3题图
第4题图
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝2 cm，求BC的长．
四、小结与作业
小结
1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
2．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
3．有斜边上的中点，要考虑构造斜边上的中线或中位线．
布置作业
从教材相应练习和“习题24.2”中选取．
本课从复习已学过的直角三角形的性质入手，通过实验操作、猜想、证明、探究直角三角形斜边上的中线性质定理，培养学生识图的能力，提高分析和解决问题的能力，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识和综合意识．
24．3 锐角三角函数
24．3.1 锐角三角形函数
第1课时 锐角三角函数
1．使学生掌握锐角的三种三角函数的定义．
2．使学生掌握锐角三角函数的取值范围．
重点
三角函数的定义及三角函数值的求法．
难点
引入参数三角函数值．
一、情境引入
教师展示课件，提出问题，引导学生进入本节学习内容．
1．含30°角的直角三角形，有什么性质？
答：30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的比值为.
2．上述结论与所选取的直角三角形的大小有关吗？
答：无关．
3．含45°角的直角三角形中，45°角所对的直角边与斜边的比值为多少？
这个比值与所选取的直角三角形的大小有关吗？
答：，无关．
4．一般地，在Rt△ABC中，∠A为其一个锐角，当∠A取一个固定的值时，∠A所对的直角边和斜边的比值固定吗？
答：固定不变，如下图．
在Rt△AB1C1，Rt△AB2C2，
Rt△AB3C3中，∠A的对边和斜边的比值分别为，，.
∵B1C1∥B2C2∥B3C3，
∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3，
∴＝＝＝是一个固定值．
我们把这个固定的比值，称为∠A的正弦，记作sinA，当∠A看作变量时，sinA常称为∠A的正弦函数，正弦函数是三角函数的一种，今天我们就来研究锐角三角函数．
二、探究新知
(一)锐角三角函数的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
∠A的正弦：sinA＝＝＝，
∠A的余弦：cosA＝＝＝，
∠A的正切：tanA＝＝＝.
【教学说明】这三个三角函数的书写和含义，特别是不能看成是乘法的关系，另外角的符号也常常省略．
提问：你能按定义写出∠B的三个三角函数来吗？
(二)锐角三角函数的取值范围
在Rt△ABC中，∠A为其一锐角，有0
0.
(三)利用锐角三角函数定义求三角函数值
1．直接利用定义求三角函数值
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝8，试求出∠A的三个三角函数值．
解：AB＝＝＝17，
sinA＝＝，
cosA＝＝，
tanA＝＝.
2．已知直角三角形的两边的比，求三角函数值．
例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a∶b＝2∶3，求sinA，cosA.
解：设a＝2k，b＝3k，
由勾股定理得c＝＝k，
∴sinA＝＝＝，
cosA＝＝＝.
3．已知某锐角三角函数值，求三角函数值．
例3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，求∠A的另外两个三角函数值．
解：∵sinA＝＝，
∴设a＝2k，c＝3k，
由勾股定理得b＝＝k，
∴cosA＝＝＝，
tanA＝＝＝.
三、练习巩固
教师利用课件展示练习题，可由学生独立完成练习1，2，3，由学生抢答．第4题教师适当点拨：过点A作AD⊥BC构造直角三角形．学生小组内交流，教师点评．
1．在平面直角坐标系中，点P的坐标为(2，4)，O为原点，OP与x轴的夹角为α，则sinα＝________．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝，则cosA＝______．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA＝______，cosA＝________．
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB∶BC＝2∶5，求tanC的值．
四、小结与作业
小结
1．锐角三角函数的定义：
∠α的正弦：sinα＝，
∠α的余弦：cosα＝，
∠α的正切：tanα＝.
2．锐角三角函数的取值范围：
当∠α为锐角时，00.
3．利用定义求锐角三角函数值．
布置作业
从教材相应练习和“习题24.3”中选取．
本课时遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展．
第2课时 特殊角的三角函数值
1．熟记30°，45°，60°角的三角函数值．
2．让学生经历30°，45°，60°角的三角函数值推导过程，从而掌握特殊角的三角函数的运用方法．
重点
熟记30°，45°，60°角的三角函数值．
难点
根据函数值说出对应的锐角度数．
一、情境引入
教师利用课件展示例题，复习上节内容．
上节课我们学习了锐角三角函数的定义．
复习 如图，在Rt△DEC中，∠E＝90°，DE＝6，CD＝10，求∠D的三个三角函数值．(sinD＝，cosD＝，tanD＝)
二、探究新知
你能否根据锐角三角函数的定义求出30°角的三个三角函数值？
1．探究
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.
思考：(1)BC＝____AB；
(2)由勾股定理可得
AC2＝__AB2__－__BC2__，
AC＝＝____AB，
sin30°＝＝＝，
cos30°＝＝＝，
tan30°＝＝＝.
问：如何求60°角的三角函数值？
sin60°＝＝____，cos60°＝＝____，
tan60°＝＝____．
2．做一做
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，根据锐角三角函数的定义求出∠A的三角函数值．
思考：(1)AC＝BC；
(2)由勾股定理可知
AB＝＝____AC.
归纳：sin45°＝____，cos45°＝____，
tan45°＝__1__．
3．填表
α
sinα
cosα
tanα
30°
45°
1
60°
思考：(1)sinα随着α的增大而__增大__；
(2)cosα随着α的增大而__减小__；
(3)tanα随着α的增大而__增大__．
例 求值：sin30°·tan30°＋cos60°·tan60°.
解：原式＝×＋×＝.
三、练习巩固
教师利用课件展示练习，可由学生独立完成，教师点名展示，教师点评：第1题的计算，注意理清运算顺序；第2题可构造直角三角形，再运用锐角三角函数的知识解决，注意两种情况；第3题可先求出α的三角函数值，再根据其值求角的度数．
1．计算：
(1)|3－|＋()0＋cos230°－4sin60°；
(2)(2cos45°－sin60°)＋；
(3)(sin30°)－1－20200＋|－4|－tan60°.
2．直线y＝kx－4与y轴相交所成的锐角的正切值为，则k的值为________．
3．求下列锐角α的大小：
(1)4cos2α－3sin45°＝0；
(2)tan2α－(＋1)tanα＋＝0.
4．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AB＝6，求BC的长．(结果保留根号)
四、小结与作业
小结
本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？
布置作业
从教材相应练习和“习题24.3”中选取．
本节从复习锐角三角函数的定义入手，提出求解30°角的三角函数值，让学生动手探究45°，60°角的三角函数值，加以归纳总结，并学会应用．在教学上充分体现以学生为主体的思想，在教学中以调动学生的思维为主，充分培养学生的自主性和创造性．
24．3.2 用计算器求锐角三角函数的值
经历用计算器由已知锐角求它的三角函数值，及由已知的三角函数值求锐角的过程，进一步体会三角函数的意义，学会应用方法．
重点
用计算器求任意角的三角函数值．
难点
用计算器求锐角三角函数值时要注意按键顺序．
一、情境引入
同学们，前面我们学习了特殊角30°，45°，60°的三角函数值，但一些非特殊角(如17°，56°，89°等)的三角函数值又怎么求呢？这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务．
二、探究新知
拿出计算器，熟悉计算器的用法．
下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角．
1．求已知锐角的三角函数值．
例1 求sin63°52′41″的值．(精确到0.0001)
解：先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：
(SETUP)，显示.
再按下列顺序依次按键：
显示结果为0.897859012.
所以sin63°52′41″≈0.8979.
注意：SETUP是键的第二功能，启用第二功能，需先按键．
例2 求tan19°15′的值．(精确到0.0001)
解：在角度单位状态为“度”的情况下(屏幕显示)，按下列顺序依次按键：
显示结果为0.349215633.
所以tan19°15′≈0.3492.
2．由锐角三角函数值求锐角．
例3 已知tanx＝0.7410，求锐角x.(精确到1′)
解：在角度单位状态为“度”的情况下(屏幕显示)，按下列顺序依次按键：
(tan－1)，显示结果为36.53844577.
再按键，显示结果为36°32′18.4″.
所以x≈36°32′.
三、练习巩固
教师利用课件展示练习，可由学生独立完成，小组内交流．
1．用计算器求sin28°，cos27°，tan26°的值，它们的大小关系为____________________．
2．已知tanA＝0.3249，则∠A约为________．
3．升国旗时，某同学站在离国旗20 m处行注目礼，当国旗升至顶端时，该同学视线的仰角为42°，若双眼离地面1.6 m，求旗杆AB的高度．(精确到0.01 m)
第3题图
第4题图
4．如图，一名患者体内器官后面有一肿瘤，在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤，已知肿瘤在皮下6.3 cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8 cm的B处进入身体，求∠CBA的度数．
四、小结与作业
小结
1．本节学习的数学知识：利用计算器求锐角的三角函数值或锐角的度数．
2．本节学习的数学方法：培养学生一般化意识，认识特殊和一般都是事物属性的一个方面．
3．求锐角的三角函数值时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，再按数字键；或先输入数字后，再按三角函数键．因此使用计算器时一定先要弄清楚输入顺序．
布置作业
从教材相应练习和“习题24.3”中选取．
本课时让学生经历用计算器进行三角函数值计算的过程，体会三角函数的意义，培养学生应用现代化学习工具的能力，激发学生的学习兴趣．
24．4 解直角三角形
第1课时 解直角三角形
1．使学生理解解直角三角形的意义．
2．能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形．
重点
用直角三角形的三个关系式解直角三角形．
难点
用直角三角形的有关知识去解决简单的实际问题．
一、情境引入
前面的课时中，我们学习了直角三角形的边角关系，下面我们通过一道例题来看看大家掌握得怎么样．
例 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，求∠A的各个三角函数值．
二、探究新知
教师利用课件引入例1，引导学生分析，使学生在讨论过程中理解三角形中“元素”的内涵，至于“元素”的定义不作深究．
把握好直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决直角三角形有关的实际问题了．
例1 如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5 m处折断倒下，树顶落在离树根12 m处，则大树在折断之前高多少？
例子中，能求出折断的树干之间的夹角吗？
学生结合引例讨论，得出结论：利用锐角三角函数的逆过程．
通过上面的例子，你们知道“解直角三角形”的含义吗？
学生讨论得出“解直角三角形”的含义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
问：上面例子中，若要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？能求出来吗？
学生结合定义讨论目标和方法，得出结论：利用两锐角互余．
【探索新知】
问：上面的例子是给了两条边．那么，如果给出一个角和一条边，能不能求出其他元素呢？
例2 如图，东西两炮台A，B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离．(精确到1米)
解：在Rt△ABC中，
∵∠CAB＝90°－∠DAC＝50°，
＝tan∠CAB，
∴BC＝AB·tan∠CAB＝2000×tan50°≈2384(米)．
∵＝cos50°，
∴AC＝＝≈3111(米)．
答：敌舰与A，B两炮台的距离分别约为3111米和2384米．
问：AC还可以用哪种方法求？
学生讨论得出各种解法，分析比较，得出：使用题目中原有的条件，可使结果更精确．
问：通过对上面两个例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，
你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？(几个学生展示)
学生讨论分析，得出结论．
问：通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？
学生交流讨论归纳：解直角三角形，只有下面两种情况：
(1)已知两条边；
(2)已知一条边和一个锐角．
三、练习巩固
教师利用课件展示练习，可由学生独立完成，教师点名上台展示，再点评．
1．在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？
2．海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离．(画出图形后计算，精确到0.1海里)
四、小结与作业
小结
1．“解直角三角形”是求出直角三角形的所有元素．
2．解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两条边或已知一条边和一个锐角．
3．解直角三角形的方法．
布置作业
从教材相应练习和“习题24.4”中选取．
通过直角三角形边角之间关系的复习和例题的实践应用，归纳出“解直角三角形”的含义和两种解题情况．通过讨论交流得出解直角三角形的方法，并学会把实际问题转化为直角三角形的问题．给出一定的情景内容，引导学生自主探究，通过例题的实践应用，提高学生分析问题、解决问题的能力，以及提高综合运用知识的能力．
第2课时 俯角和仰角的问题
1．理解仰角、俯角的含义，准确运用这些概念来解决一些实际问题．
2．培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力．
重点
理解仰角和俯角的概念．
难点
能解与直角三角形有关的实际问题．
一、情境引入
教师展示课件，引出问题．
如图，为了测量旗杆的高度BC，小明站在离旗杆10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α＝52°，然后他很快就算出旗杆BC的高度了．(精确到0.1米)
你知道小明是怎样算出的吗？
二、探究新知
教师结合展示的引例，结合图片，引导学生观察，分析，归纳仰角、俯角的概念．
想要解决刚才的问题，我们先来了解仰角、俯角的概念．
现在我们可以来看一看小明是怎样算出来的．
【分析】在Rt△CDE中，已知一个角和一条边，利用解直角三角形的知识即可求出CE的长，从而求出CB的长．
解：在Rt△CDE中，
∵CE＝DE·tanα＝AB·tanα＝10×tan52°≈12.80，
∴BC＝BE＋CE＝DA＋CE≈1.50＋12.80＝14.3(米)．
答：旗杆的高度约为14.3米．
教师再展示例题，引导学生思考、分析，关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化为几何问题解决．
例 如图，两建筑物的水平距离为32.6 m，从点A测得点D的俯角α为35°12′，测得点C的俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高．(精确到0.1 m)
解：过点D作DE⊥AB于点E，则∠ACB＝∠β＝43°24′，∠ADE＝∠α＝35°12′，DE＝BC＝32.6.
在Rt△ABC中，
∵tan∠ACB＝，
∴AB＝BC·tan∠ACB＝32.6×tan43°24′≈30.83(m)．
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADE＝，
∴AE＝DE·tan∠ADE＝32.6×tan35°12′≈23.00(m)．∴DC＝BE＝AB－AE
＝30.83－23.00≈7.8(m)．
答：两个建筑物的高分别约为30.8 m，7.8 m.
三、练习巩固
教师利用多媒体展示练习题，可由学生自主完成，小组交流，代表上台展示，教师点评．
1．如图，一只运载火箭从地面L处发射，当卫星达到点A时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6 km，仰角为43°，1 s后火箭到达B点，此时测得BR的距离是6.13 km，仰角为45.54°，这个火箭从点A到点B的平均速度是多少？(精确到0.01 km/s)
2．如图，当小华站在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°；如果小华向后退0.5米到B处，这时他看到自己的脚在镜中的像的俯角为30°，求小华的眼睛到地面的距离．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73)
四、小结与作业
小结
1．这节课你学到了什么？你有何体会？
2．这节课你还存在什么问题？
布置作业
从教材相应练习和“习题24.4”中选取．
本节课从学生接受知识的最近发展区出发，创设了学生最熟悉的旗杆问题情境，引导学生发现问题、分析问题．在探索活动中，学生自主探索知识，逐步把生活实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用，养成交流与合作的良好习惯．让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学数学的信心．
第3课时 坡度问题
1．使学生掌握测量中坡角、坡度的概念．
2．掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题．
重点
解决有关坡度的实际问题．
难点
解决有关坡角的实际问题．
一、情境引入
教师展示图片，引出问题．
读一读
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．
如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i＝.坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝＝tanα.
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．
二、探究新知
教师利用课件展示例1，例2，结合前面所学知识，可由学生自主完成，小组讨论，教师适当给予分析，最后作出点评．
例1 如图，一段路基的横截面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽．(精确到0.1米)
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E，F.
知DE＝CF＝4.2，EF＝CD＝12.51，
在Rt△ADE中，
∵＝＝tan32°，
∴AE＝≈6.72.
在Rt△BCF中，同理可得
BF＝≈7.90.
∴AB＝AE＋EF＋BF
≈6.72＋12.51＋7.90
≈27.1(米)
答：路基下底的宽约为27.1米．
例2 学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB长为12米，为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3(即CD与BC的长度之比)．A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.
解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
则易求得AC＝6，BC＝6.
在Rt△BDC中，i＝＝，
易得DC＝BC＝2，
∴AD＝AC－DC＝(6－2)米．
三、练习巩固
教师利用课件展示练习，可由学生独立完成，其中第1，2，3，4题由学生抢答，第5题教师点名上台展示，再给予点评．
1．已知一坡面的坡度i＝1∶，则坡角α为( )
A．15° B．20° C．30° D．45°
2．彬彬沿坡度为1∶的坡面向上走50米，则他离地面的高度为( )
A．25 米 B．50米 C．25米 D．50 米
3．某水库大坝某段的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝底宽126米，斜坡的坡比是1∶，则此处大坝的坡角和高分别是________米．
4．如图，一束光线照在坡度为1∶的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是________．
5．如图，已知在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400 m到点D处，测得点A的仰角为60°，求AB的高度．
四、小结与作业
小结
1．本节学习的数学知识：利用解直角三角形的知识解决实际问题．
2．本节学习的数学方法：数形结合的思想和数学建模的思想．
布置作业
从教材相应练习和“习题24.4”中选取．
本节课以实际情境，引导学生将实际问题抽象为数学问题，构造几何模型，应用三角函数的知识解决问题．在整体设计上，由易到难，难度层层推进，尽量满足不同层次学生的学习需要．在教学过程中，让学生经历知识的形成过程，体会数形结合的数学思想，进一步培养学生应用数学的意识．
