2013年江苏省无锡市中考数学试卷（含答案）

2013年江苏省无锡市中考数学试卷（含答案）

江苏省无锡市2013年中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）（2013•无锡）|﹣2|的值等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎﹣2‎ C．‎ ‎±2‎ D．‎ 考点：‎ 绝对值．3718684‎ 分析：‎ 根据负数的绝对值等于它的相反数解答．‎ 解答：‎ 解：|﹣2|=2．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了绝对值的性质，主要利用了负数的绝对值是它的相反数．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•无锡）函数y=+3中自变量x的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x＞1‎ B．‎ x≥1‎ C．‎ x≤1‎ D．‎ x≠1‎ 考点：‎ 函数自变量的取值范围．‎ 分析：‎ 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：根据题意得，x﹣1≥0，‎ 解得x≥1．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：‎ ‎（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；‎ ‎（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；‎ ‎（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•无锡）方程的解为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x=2‎ B．‎ x=﹣2‎ C．[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ x=3‎ D．‎ x=﹣3‎ 考点：‎ 解分式方程 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ 解答：‎ 解：去分母得：x﹣3（x﹣2）=0，‎ 去括号得：x﹣3x+6=0，‎ 解得：x=3，‎ 经检验x=3是分式方程的解．‎ 故选C 点评：‎ 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•无锡）已知一组数据：15，13，15，16，17，16，14，15，则这组数据的极差与众数分别是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4，15‎ B．‎ ‎3，15‎ C．‎ ‎4，16‎ D．‎ ‎3，16‎ 考点：‎ 极差；众数 分析：‎ 极差是一组数中最大值与最小值的差；众数是这组数据中出现次数最多的数．‎ 解答：‎ 解：极差为：17﹣13=4，‎ 数据15出现了3次，最多，故众数为15，‎ 故选A．‎ 点评：‎ 考查了众数和极差的概念．众数是一组数据中出现次数最多的数；极差就是这组数中最大值与最小值的差．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•无锡）下列说法中正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 两直线被第三条直线所截得的同位角相等 ‎　‎ B．‎ 两直线被第三条直线所截得的同旁内角互补 ‎　‎ C．‎ 两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相垂直 ‎　‎ D．‎ 两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直 考点：‎ 平行线的性质；同位角、内错角、同旁内角 分析：‎ 根据平行线的性质，结合各选项进行判断即可．‎ 解答：‎ 解：A、两平行线被第三条直线所截得的同位角相等，原说法错误，故本选项错误；‎ B、两平行线被第三条直线所截得的同旁内角互补，原说法错误，故本选项错误；‎ C、两平行线被第三条直线所截得的同位角的平分线互相平行，原说法错误，故本选项错误；‎ D、两平行线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直，说法正确，故本选项正确；‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了平行线的性质，在判断正误时，一定要考虑条件，否则很容易出错．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•无锡）已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎30cm2‎ B．‎ ‎30πcm2‎ C．‎ ‎15cm2‎ D．‎ ‎15πcm2‎ 考点：‎ 几何体的表面积；圆柱的计算 分析：‎ 圆柱侧面积=底面周长×高．‎ 解答：‎ 解：根据圆柱的侧面积公式，可得该圆柱的侧面积为：2π×3×5=30πcm2．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题主要考查了圆柱侧面积的计算方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•无锡）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎35°‎ B．‎ ‎140°‎ C．‎ ‎70°‎ D．‎ ‎70°或 140°‎ 考点：‎ 圆周角定理 分析：‎ 由A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，利用圆周角定理，即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，‎ ‎∴∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，AD=1，BC=4，则△AOD与△BOC的面积比等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；梯形．‎ 分析：‎ 由梯形ABCD中，AD∥BC，可得△AOD∽△COB，又由AD=1，BC=4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△AOD与△BOC的面积比．‎ 解答：‎ 解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，‎ ‎∴△AOD∽△COB，‎ ‎∵AD=1，BC=4，‎ 即AD：BC=1：4，‎ ‎∴△AOD与△BOC的面积比等于：1：16．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•无锡）如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3：4‎ B．‎ ‎：2‎ C．‎ ‎：2‎ D．‎ ‎2：‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；三角形的面积；勾股定理 分析：‎ 连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角形的面积和平行四边形的面积得出S△DEC=S△DFA=S平行四边形ABCD，求出AF×DP=CE×DQ，设AB=3a，BC=2a，则BF=a，BE=2a，BN=a，BM=a，FN=a，CM=a，求出AF=a，CE=2a，代入求出即可．‎ 解答：‎ 解：连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，‎ ‎∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：S△DEC=S△DFA=S平行四边形ABCD，‎ 即AF×DP=CE×DQ，‎ ‎∴AF×DP=CE×DQ，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∵∠DAB=60°，‎ ‎∴∠CBN=∠DAB=60°，‎ ‎∴∠BFN=∠MCB=30°，‎ ‎∵AB：BC=3：2，‎ ‎∴设AB=3a，BC=2a，‎ ‎∵AE：EB=1：2，F是BC的中点，‎ ‎∴BF=a，BE=2a，‎ BN=a，BM=a，‎ 由勾股定理得：FN=a，CM=a，‎ AF==a，‎ CE==2a，‎ ‎∴a•DP=2a•DQ ‎∴DP：DQ=：2，‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的应用，关键是求出AF×DP=CE×DQ和求出AF、CE的值．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•无锡）已知点A（0，0），B（0，4），C（3，t+4），D（3，t）．记N（t）为▱ABCD内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N（t）所有可能的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎6、7‎ B．‎ ‎7、8‎ C．‎ ‎6、7、8‎ D．‎ ‎6、8、9‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；坐标与图形性质．‎ 分析：‎ 分别求出t=1，t=2，t=0时的整数点，根据答案即可求出答案．‎ 解答：‎ 解：当t=0时，A（0，0），B（0，4），C（3，4），D（3，0），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），共6个点；‎ 当t=1时，A（0，0），B（0，4），C（3，5），D（3，1），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），共8个点；‎ 当t=2时，A（0，0），B（0，4），C（3，6），D（3，2），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），共7个点；‎ 故选项A错误，选项B错误；选项D错误，选项C正确；‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形的性质，函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和归纳能力．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共16分）‎ ‎11．（3分）（2013•无锡）分解因式：2x2﹣4x=　2x（x﹣2）　．‎ 考点：‎ 因式分解-提公因式法 分析：‎ 首先找出多项式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可．‎ 解答：‎ 解：2x2﹣4x=2x（x﹣2）．‎ 故答案为：2x（x﹣2）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了提取公因式法因式分解，根据题意找出公因式是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•无锡）去年，中央财政安排资金 8 200 000 000 元，免除城市义务教育学生学杂费，支持进城务工人员随迁子女公平接受义务教育，这个数据用科学记数法可表示为　8.2×109　元．‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：将8 200 000 000 用科学记数法表示为8.2×109．‎ 故答案为：8.2×109．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2013•无锡）已知双曲线y=经过点（﹣1，2），那么k的值等于　﹣3　．‎ 考点：‎ 反比例函数图象上点的坐标特征 分析：‎ 直接把点（﹣1，2）代入双曲线y=，求出k的值即可．‎ 解答：‎ 解：∵双曲线y=经过点（﹣1，2），‎ ‎∴2=，解得k=﹣3．‎ 故答案为：﹣3．‎ 点评：‎ 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•无锡）六边形的外角和等于　360　度．‎ 考点：‎ 多边形内角与外角 分析：‎ 根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．‎ 解答：‎ 解：六边形的外角和等于360度．‎ 点评：‎ 任何多边形的外角和是360度．外角和与多边形的边数无关．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•无锡）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD的中点，则OE的长等于　4　．‎ 考点：‎ 菱形的性质；直角三角形斜边上的中线．‎ 分析：‎ 根据菱形的性质得出OD=OB，根据三角形的中位线性质得出OE=AB，代入求出即可．‎ 解答：‎ 解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴DO=OB，‎ ‎∵E是AD的中点，‎ ‎∴OE=AB，‎ ‎∵AB=8，‎ ‎∴OE=4．‎ 故答案为4．‎ 点评：‎ 本题考查了菱形的性质和三角形的中位线定理的应用，关键是求出OE=AB，此题比较简单．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•无锡）如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC=　45　°．‎ 考点：‎ 等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质 分析：‎ 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAC=∠ABE=45°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后求出∠CBE，根据等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF=EF，根据等边对等角求出∠BEF=∠CBE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：∵DE垂直平分AB，‎ ‎∴AE=BE，‎ ‎∵BE⊥AC，‎ ‎∴△ABE是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠BAC=∠ABE=45°，‎ 又∵AB=AC，‎ ‎∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣45°）=67.5°，‎ ‎∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=67.5°﹣45°=22.5°，‎ ‎∵AB=AC，AF⊥BC，‎ ‎∴BF=CF，‎ ‎∴BF=EF，‎ ‎∴∠BEF=∠CBE=22.5°，‎ ‎∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5°+22.5°=45°．‎ 故答案为：45．‎ 点评：‎ 本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并求出△ABE是等腰直角三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2013•无锡）如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是36，则它的表面积是　72　．‎ 考点：‎ 由三视图判断几何体 分析：‎ 根据主视图与左视图得出长方体的边长，再利用图形的体积得出它的高，进而得出表面积．‎ 解答：‎ 解：∵由主视图得出长方体的长是6，宽是2，这个几何体的体积是36，‎ ‎∴设高为h，则6×2×h=36，‎ 解得：h=3，‎ ‎∴它的表面积是：2×3×2+2×6×2+3×6×2=72．‎ 故答案为：72．‎ 点评：‎ 此题主要考查了利用三视图判断几何体的边长，得出图形的高是解题关键．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2013•无锡）已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，﹣a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为　7　．‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；坐标与图形性质．‎ 分析：‎ ‎①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD；②CD是平行四边形的一条对角线，过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，证△DBN≌△ACAM，推出DN=CM=a，BN=AM=8﹣a，得出D（（8﹣a，6+a），由勾股定理得：CD2=（8﹣a﹣a）2+（6+a+a）2=8a2﹣8a+100=8（a﹣）2+98，求出即可．‎ 解答：‎ 解：有两种情况：‎ ‎①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD==10‎ ‎②CD是平行四边形的一条对角线，‎ 过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，‎ 则∠BND=∠DFA═∠CMA=∠QFA=90°，‎ ‎∠CAM+∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴BD=AC，∠C=∠D，BD∥AC，‎ ‎∴∠BDF=∠FQA，‎ ‎∴∠DBN=∠CAM，‎ ‎∵在△DBN和△CAM中 ‎∴△DBN≌△ACAM（AAS），‎ ‎∴DN=CM=a，BN=AM=8﹣a，‎ D（（8﹣a，6+a），‎ 由勾股定理得：CD2=（8﹣a﹣a）2+（6+a+a）2=8a2﹣8a+100=8（a﹣）2+98，‎ 当a=时，CD有最小值，是 ‎∵＜10，‎ ‎∴CD的最小值是=7，‎ 故答案为：7．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，二次函数的最值的应用，关键是能得出关于a的二次函数解析式，题目比较好，难度偏大．‎ ‎　‎ 三、计算题 ‎19．（8分）（2013•无锡）计算：‎ ‎（1）﹣（﹣2）2+（﹣0.1）0；‎ ‎（2）（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）．‎ 考点：‎ 完全平方公式；实数的运算；平方差公式；零指数幂．‎ 分析：‎ ‎（1）原式第一项利用平方根的定义化简，第二项表示两个﹣2的乘积，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果；‎ ‎（2）原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：（1）原式=3﹣4+1=0；‎ ‎（2）原式=x2+2x+1﹣x2+4=2x+5．‎ 点评：‎ 此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及负指数幂，幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2013•无锡）（1）解方程：x2+3x﹣2=0；‎ ‎（2）解不等式组：．‎ 考点：‎ 解一元二次方程-公式法；解一元一次不等式组 分析：‎ ‎（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；‎ ‎（2）先求出两个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）x2+3x﹣2=0，‎ ‎∵b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣2）=17，‎ ‎∴x=，‎ x1=，x2=﹣；‎ ‎（2）‎ ‎∵解不等式①得：x≥4，‎ 解不等式②得：x＞5，‎ ‎∴不等式组的解集为：x＞5．‎ 点评：‎ 本题考查了解一元二次方程和解不等式组的应用，主要考查学生的计算能力．‎ ‎　‎ ‎21．（6分）（2013•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin∠A=，求BC的长和tan∠B的值．‎ 考点：‎ 解直角三角形．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 在直角三角形ABC中，根据sinA的值及AB的长，利用锐角三角函数定义求出BC的长，再利用勾股定理求出AC的长，利用锐角三角函数定义即可求出tanB的值．‎ 解答：‎ 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA===，‎ ‎∴BC=4，‎ 根据勾股定理得：AC==2，[来源:学科网]‎ 则tanB===．‎ 点评：‎ 此题属于解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2013•无锡）小明与甲、乙两人一起玩“手心手背”的游戏．他们约定：如果三人中仅有一人出“手心”或“手背”，则这个人获胜；如果三人都出“手心”或“手背”，则不分胜负，那么在一个回合中，如果小明出“手心”，则他获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）‎ 考点：‎ 列表法与树状图法 分析：‎ 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他获胜的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：画树状图得：‎ ‎∵共有4种等可能的结果，在一个回合中，如果小明出“手心”，则他获胜的有1种情况，‎ ‎∴他获胜的概率是：．‎ 点评：‎ 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎23．（6分）（2013•无锡）某校为了解“课程选修”的情况，对报名参加“艺术鉴赏”，“科技制作”，“数学思维”，“阅读写作”这四个选修项目的学生（每人限报一课）进行抽样调查，下面是根据收集的数据绘制的不完整的统计图：‎ 请根据图中提供的信息，解答下面的问题：‎ ‎（1）此次共调查了　200　名学生，扇形统计图中“艺术鉴赏”部分的圆心角是　144　度；‎ ‎（2）请把这个条形统计图补充完整；‎ ‎（3）现该校共有800名学生报名参加这四个选修项目，请你估计其中有多少名学生选修“科技制作”项目．‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 分析：‎ ‎（1）根据阅读写作的人数和所占的百分比，即可求出总学生数，再用艺术鉴赏的人数除以总人数乘以360°，即可得出答案；‎ ‎（2）用总学生数减去“艺术鉴赏”，“科技制作”，“阅读写作”，得出“数学思维”的人数，从而补全统计图；‎ ‎（3）用“科技制作”所占的百分比乘以总人数8000，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：根据题意得：‎ 调查的总学生数是：50÷25%=200（名），‎ ‎“艺术鉴赏”部分的圆心角是×360°=144°；‎ 故答案为：200，144；‎ ‎（2）数学思维的人数是：200﹣80﹣30﹣50=40（名），‎ 补图如下：[来源:学§科§网]‎ ‎（3）根据题意得：800×=120（名），‎ 答：其中有120名学生选修“科技制作”项目．‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2013•无锡）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题．‎ ‎（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；‎ ‎（2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．（命题请写成“如果…，那么…．”的形式）‎ 考点：‎ 平行四边形的判定；命题与定理 分析：‎ ‎（1）根据平行得出相似三角形，推出比例式，即可求出OB=OD，根据平行四边形的判定推出即可；‎ ‎（2）根据等腰梯形和平行四边形的判定判断即可．‎ 解答：‎ ‎（1）以①②作为条件构成的命题是真命题，‎ 证明：∵AB∥CD，‎ ‎∴△AOB∽△COD，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AO=OC，‎ ‎∴OB=OD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎（2）根据①③作为条件构成的命题是假命题，即如果有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形时平行四边形，如等腰梯形符合，但不是平行四边形；‎ 根据②③作为条件构成的命题是假命题，即如果一个四边形ABCD的对角线交于O，且OA=OC，AD=BC，那么这个四边形时平行四边形，如图，‎ 根据已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四边形不是平行四边形．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形的判定，相似三角形的性质和判定，等腰梯形的判定等知识点的应用，主要考查学生的推理能力哈辨析能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．‎ ‎　‎ ‎25．（8分）（2013•无锡）已知甲、乙两种原料中均含有A元素，其含量及每吨原料的购买单价如下表所示：‎ A元素含量 单价（万元/吨）‎ 甲原料 ‎5%‎ ‎2.5‎ 乙原料 ‎8%‎ ‎6‎ 已知用甲原料提取每千克A元素要排放废气1吨，用乙原料提取每千克A元素要排放废气0.5吨，若某厂要提取A元素20千克，并要求废气排放不超过16吨，问：该厂购买这两种原料的费用最少是多少万元？‎ 考点：‎ 一次函数的应用 分析：‎ 设需要甲原料x吨，乙原料y吨．由20千克=0.02吨就可以列出方程5%x+8%y=0.02和不等式5%x×1000x1+8%y×1000x0.5≤16，设购买这两种原料的费用为W万元，根据条件可以列出表达式，由函数的性质就可以得出结论．‎ 解答：‎ 解：设需要甲原料x吨，乙原料y吨．由题意，得 由①，得 y=．‎ 把①代入②，得x≤．‎ 设这两种原料的费用为W万元，由题意，得 W=2.5x+6y=﹣1.25x+1.5．‎ ‎∵k=﹣1.25＜0，‎ ‎∴W随x的增大而减小．‎ ‎∴x=时，W最小=1.2．‎ 答：该厂购买这两种原料的费用最少为1.2万元．‎ 点评：‎ 本题考查了利用一元一次不等式组和一次函数解决实际问题．解答时列出不等式组，建立一次函数模型并运用一次函数的性质求最值是难点．‎ ‎　‎ ‎26．（12分）（2013•无锡）如图，直线x=﹣4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A，交直线x=﹣4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，且AD：BD=1：3．‎ ‎（1）求点A的坐标；‎ ‎（2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）过点D作DF⊥x轴于点F，由抛物线的对称性可知OF=AF，则2AF+AE=4①，由DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出==，即AE=2AF②，①与②联立组成二元一次方程组，解出AE=2，AF=1，进而得到点A的坐标；‎ ‎（2）先由抛物线过原点（0，0），设此抛物线的解析式为y=ax2+bx，再根据抛物线过原点（0，0）和A点（﹣2，0），求出对称轴为直线x=﹣1，则由B点横坐标为﹣4得出C点横坐标为2，BC=6．再由OB＞OC，可知当△OBC是等腰三角形时，可分两种情况讨论：①当OB=BC时，设B（﹣4，y1），列出方程，解方程求出y1的值，将A，B两点坐标代入y=ax2+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式；②当OC=BC时，设C（2，y2），列出方程，解方程求出y2‎ 的值，将A，C两点坐标代入y=ax2+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式．‎ 解答：‎ 解：（1）如图，过点D作DF⊥x轴于点F．‎ 由题意，可知OF=AF，则2AF+AE=4①．‎ ‎∵DF∥BE，‎ ‎∴△ADF∽△ABE，‎ ‎∴==，即AE=2AF②，‎ ‎①与②联立，解得AE=2，AF=1，‎ ‎∴点A的坐标为（﹣2，0）；‎ ‎（2）∵抛物线过原点（0，0），[来源:学*科*网]‎ ‎∴可设此抛物线的解析式为y=ax2+bx．‎ ‎∵抛物线过原点（0，0）和A点（﹣2，0），‎ ‎∴对称轴为直线x==﹣1，‎ ‎∵B、C两点关于直线x=﹣1对称，B点横坐标为﹣4，‎ ‎∴C点横坐标为2，‎ ‎∴BC=2﹣（﹣4）=6．‎ ‎∵抛物线开口向上，‎ ‎∴∠OAB＞90°，OB＞AB=OC，‎ ‎∴当△OBC是等腰三角形时，分两种情况讨论：‎ ‎①当OB=BC时，设B（﹣4，y1），‎ 则16+=36，解得y1=±2（负值舍去）．‎ 将A（﹣2，0），B（﹣4，2）代入y=ax2+bx，‎ 得，解得．‎ ‎∴此抛物线的解析式为y=x2+x；‎ ‎②当OC=BC时，设C（2，y2），‎ 则4+=36，解得y2=±4（负值舍去）．‎ 将A（﹣2，0），C（2，4）代入y=ax2+bx，‎ 得，解得．‎ ‎∴此抛物线的解析式为y=x2+x．‎ 综上可知，若△OBC是等腰三角形，此抛物线的函数关系式为y=x2+x或y=x2+x．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数的对称性，相似三角形的判定与性质，运用待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形的性质，两点间的距离公式等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎27．（12分）（2013•无锡）如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止，点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为t（s）．△APQ的面积S（cm2）与t（s）之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．‎ ‎（1）求点Q运动的速度；‎ ‎（2）求图2中线段FG的函数关系式；‎ ‎（3）问：是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 相似形综合题；动点问题的函数图象．‎ 分析：‎ ‎（1）根据函数图象中E点所代表的实际意义求解．E点表示点P运动到与点B重合时的情形，运动时间为3s，可得AB=6cm；再由S△APQ=，可求得AQ的长度，进而得到点Q的运动速度；‎ ‎（2）函数图象中线段FG，表示点Q运动至终点D之后停止运动，而点P在线段CD上继续运动的情形．如答图2所示，求出S的表达式，并确定t的取值范围；‎ ‎（3）当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如答图3所示，求出t的值；‎ 当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4所示，求出t的值．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意，可知题图2中点E表示点P运动至点B时的情形，所用时间为3s，则菱形的边长AB=2×3=6cm．‎ 此时如答图1所示：‎ AQ边上的高h=AB•sin60°=6×=cm，‎ S=S△APQ=AQ•h=AQ×=，解得AQ=3cm，‎ ‎∴点Q的运动速度为：3÷3=1cm/s．‎ ‎（2）由题意，可知题图2中FG段表示点P在线段CD上运动时的情形．如答图2所示：‎ 点Q运动至点D所需时间为：6÷1=6s，点P运动至点C所需时间为12÷2=6s，至终点D所需时间为18÷2=9s．‎ 因此在FG段内，点Q运动至点D停止运动，点P在线段CD上继续运动，且时间t的取值范围为：6≤t≤9．‎ 过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，则PE=PD•sin60°=（18﹣2t）×=t+．‎ S=S△APQ=AD•PE=×6×（t+）=t+，‎ ‎∴FG段的函数表达式为：S=t+（6≤t≤9）．‎ ‎（3）菱形ABCD的面积为：6×6×sin60°=．‎ 当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如答图3所示．‎ 此时△APQ的面积S=AQ•AP•sin60°=t•2t×=t2，[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ 根据题意，得t2=×，‎ 解得t=s；‎ 当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图4所示．‎ 此时，有S梯形ABPQ=S菱形ABCD，即（2t﹣6+6）×6×=×，‎ 解得t=s．‎ ‎∴存在t=和t=，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：5的两部分．‎ 点评：‎ 本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．‎ ‎　‎ ‎28．（12分）（2013•无锡）下面给出的正多边形的边长都是20cm，请分别按下列要求设计一种剪拼方法（用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明．‎ ‎（1）将图1中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形面积相等；‎ ‎（2）将图2中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积与原正三角形的面积相等；‎ ‎（3）将图3中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积与原正五边形的面积相等．‎ 考点：‎ 图形的剪拼 专题：‎ 操作型．‎ 分析：‎ ‎（1）在正方形四个角上分别剪下一个边长为5的小正方形，拼成一个正方形作为直四棱柱的底面即可；‎ ‎（2）在正三角形的每一角上找出到顶点距离是5的点，然后作边的垂线，剪下后拼成一个正三角形，作为直三棱柱的一个底面即可；‎ ‎（3）在正五边形的每一角上找出到顶点距离是5的点，然后作边的垂线，剪下后拼成一个正五边形，作为直五棱柱的一个底面即可．‎ 解答：‎ 解：（1）如图1，沿黑线剪开，把剪下的四个小正方形拼成一个正方形，再沿虚线折叠即可；‎ ‎（2）如图，2，沿黑线剪开，把剪下的三部分拼成一个正三角形，再沿虚线折叠即可；‎ ‎（3）如图3，沿黑线剪开，把剪下的五部分拼成一个正五边形，再沿虚线折叠即可．‎ 点评：‎ 本题考查了图形的剪拼，解题的关键在于根据拼成棱柱的表面积与原图形的面积相等，从而判断出剪下的部分拼成的图形应该是棱柱的一个底面．‎ ‎　‎