2013年湖北省荆州市中考数学试题（含答案）

2013年湖北省荆州市中考数学试题（含答案）

湖北省荆州市2013年中考数学试卷 一.选择题：‎ ‎1．（3分）（2013•荆州）下列等式成立的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎|﹣2|=2‎ B．‎ ‎（﹣1）0=0‎ C．‎ ‎（﹣）﹣1=2‎ D．‎ ‎﹣（﹣2）=﹣2‎ 考点：‎ 负整数指数幂；相反数；绝对值；零指数幂 分析：‎ 根据绝对值、零指数幂及负整数指数幂的运算法则，结合各选项进行判断即可．‎ 解答：‎ 解：A、|﹣2|=2，计算正确，故本选项正确；‎ B、（﹣1）0=1，原式计算错误，故本选项错误；‎ C、（﹣）﹣1=﹣2，原式计算错误，故本选项错误；‎ D、﹣（﹣2）=2，原式计算错误，故本选项错误；‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了绝对值、零指数幂及负整数指数幂的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•荆州）如图，AB∥CD，∠ABE=60°，∠D=50°，则∠E的度数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎30°‎ B．‎ ‎20°‎ C．‎ ‎10°‎ D．‎ ‎40°‎ 考点：‎ 平行线的性质；三角形的外角性质 分析：‎ 由AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠CFE，又由三角形外角的性质，求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠CFE=∠ABE=60°，‎ ‎∵∠D=50°，‎ ‎∴∠E=∠CFE﹣∠D=10°．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•荆州）解分式方程时，去分母后可得到（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x（2+x）﹣2（3+x）=1‎ B．‎ x（2+x）﹣2=2+x ‎　‎ C．‎ x（2+x）﹣2（3+x）=（2+x）（3+x）‎ D．‎ x﹣2（3+x）=3+x 考点：‎ 解分式方程 分析：‎ 方程两边都乘以最简公分母（3+x）（2+x），整理即可得解．‎ 解答：‎ 解：方程两边都乘以（3+x）（2+x），则 x（2+x）﹣2（3+x）=（2+x）（3+x）．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了解分式方程，注意没有分母的也要乘以最简公分母，分子约分后要加上括号．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•荆州）计算的结果是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎+‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎﹣‎ 考点：‎ 二次根式的加减法 分析：‎ 先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．‎ 解答：‎ 解：原式=4×+3×﹣2=．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了二次根式的加减运算，解答本题关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•荆州）四川雅安发生地震灾害后，某中学九（1）班学生积极捐款献爱心，如图是该班50名学生的捐款情况统计，则他们捐款金额的众数和中位数分别是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎20，10‎ B．‎ ‎10，20‎ C．‎ ‎16，15‎ D．‎ ‎15，16‎ 考点：‎ 众数；条形统计图；中位数 分析：‎ 根据众数和中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数．‎ 解答：‎ 解：∵10出现了16次，出现的次数最多，‎ ‎∴他们捐款金额的众数是10；‎ ‎∵共有50个数，‎ ‎∴中位数是第25、26个数的平均数，‎ ‎∴中位数是（20+20）÷2=20；‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数．‎ ‎6．（3分）（2013•荆州）如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CE交AD于E，点F是AB的中点，则S△AEF：S四边形BDEF为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3：4‎ B．‎ ‎1：2‎ C．‎ ‎2：3‎ D．‎ ‎1：3‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．‎ 分析：‎ 由题意可推出△ADC为等腰三角形，CE为顶角∠ACD的角平分线，所以也是底边上的中线和高，因此E为AD的中点，所以EF为△ABD的中位线，这样即可判断出S△AEF：S四边形BDEF的值．‎ 解答：‎ 解：∵DC=AC，‎ ‎∴△ADC是等腰三角形，‎ ‎∵∠ACB的平分线CE交AD于E，‎ ‎∴E为AD的中点（三线合一），‎ 又∵点F是AB的中点，‎ ‎∴EF为△ABD的中位线，‎ ‎∴EF=BD，△AFE∽△ABD，‎ ‎∵S△AFE：S△ABD=1：4，‎ ‎∴S△AFE：S四边形BDEF=1：3，‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键在于求证EF为中位线，S△AFE：S△ABD=1：4．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•荆州）体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的有y人，若（x，y）恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式是（　　）‎ 进球数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 人数 ‎1‎ ‎5‎ x y ‎3‎ ‎2‎ ‎　‎ A．‎ y=x+9与y=x+‎ B．‎ y=﹣x+9与y=x+‎ ‎　‎ C．‎ y=﹣x+9与y=﹣x+‎ D．‎ y=x+9与y=﹣x+‎ 考点：‎ 一次函数与二元一次方程（组）‎ 分析：‎ 根据一共20个人，进球49个列出关于x、y的方程即可得到答案．‎ 解答：‎ 解：根据进球总数为49个得：2x+3y=49﹣5﹣3×4﹣2×5=22，‎ 整理得：y=﹣x+，‎ ‎∵20人一组进行足球比赛，‎ ‎∴1+5+x+y+3+2=20，‎ 整理得：y=﹣x+9．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题目列出方程并整理成函数的形式．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•荆州）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ π 考点：‎ 扇形面积的计算；旋转的性质．‎ 分析：‎ 图中S阴影=S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC．‎ 解答：‎ 解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1，‎ ‎∴BC=ACtan60°=1×=，AB=2‎ ‎∴S△ABC=AC•BC=．‎ 根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC=S△AB′C′，AB=AB′．‎ ‎∴S阴影=S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC ‎=‎ ‎=．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了扇形面积的计算、旋转的性质．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•荆州）将一边长为2的正方形纸片折成四部分，再沿折痕折起来，恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥，则三棱锥四个面中最小的面积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 展开图折叠成几何体．‎ 分析：‎ 三棱锥四个面中最小的一个面是等腰直角三角形，它的两条直角边等于正方形边长的一半，根据三角形面积公式即可求解．‎ 解答：‎ 解：最小的一个面是等腰直角三角形，它的两条直角边都是2÷2=1，‎ ‎1×1÷2=．‎ 故三棱锥四个面中最小的面积是．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 考查了展开图折叠成几何体，本题关键是得到最小的一个面的形状．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•荆州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线（k≠0）上．将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ 考点：‎ 反比例函数综合题 分析：‎ 作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F，易证△OAB≌△FDA≌△BEC，求得A、B的坐标，根据全等三角形的性质可以求得C、D的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得G的坐标，则a的值即可求解．‎ 解答：‎ 解：作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F．‎ 在y=﹣3x+3中，令x=0，解得：y=3，即B的坐标是（0，3）．‎ 令y=0，解得：x=1，即A的坐标是（1，0）．‎ 则OB=3，OA=1．‎ ‎∵∠BAD=90°，‎ ‎∴∠BAO+∠DAF=90°，‎ 又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°，‎ ‎∴∠DAF=∠OBA，‎ ‎∵在△OAB和△FDA中，‎ ‎，‎ ‎∴△OAB≌△FDA（AAS），‎ 同理，△OAB≌△FDA≌△BEC，‎ ‎∴AF=OB=EC=3，DF=OA=BE=1，‎ 故D的坐标是（4，1），C的坐标是（3，4）．代入y=‎ 得：k=4，则函数的解析式是：y=．‎ OE=4，‎ 则C的纵坐标是4，把y=4代入y=得：x=1．即G的坐标是（1，4），‎ ‎∴CG=2．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得C、D的坐标是关键．‎ ‎　‎ 二.填空题：‎ ‎11．（3分）（2013•荆州）分解因式：a3﹣ab2=　a（a+b）（a﹣b）　．‎ 考点：‎ 提公因式法与公式法的综合运用 分析：‎ 观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．‎ 解答：‎ 解：a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．‎ 点评：‎ 本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式．‎ 本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•荆州）如图，在高度是21米的小山A处没得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为何45°，则这个建筑物的高度CD=　21+7　米（结果可保留根号）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 分析：‎ 作AE⊥CD于点E，则△AED和△ABD都是等腰直角三角形，即可求得DE的长，然后在直角三角形中利用三角函数求得CE的长，进而求得CD的长．‎ 解答：‎ 解：作AE⊥CD于点E．‎ 在直角△ABD中，∠ADB=45°，‎ ‎∴DE=AE=BD=AB=21（米），‎ 在直角△AEC中，CE=AE•tan∠CAE=21×=7（米）．‎ 则CD=21+7．‎ 故答案是：21+7．‎ 点评：‎ 本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2013•荆州）如图，是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：‎ ‎①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；‎ ‎②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4．‎ 考点：‎ 利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．‎ 分析：‎ 根据轴对称图形的性质以及阴影部分面积求法得出即可，本题答案不唯一，只要满足题目两个条件即可．‎ 解答：‎ 解：如图所示：答案不唯一．‎ 点评：‎ 此题主要考查了轴对称图形的性质以及图形面积求法，根据轴对称图形的定义得出是解题关键．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形AnBnDnEn 的边长是　　．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 求出第一个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第n个小正方形AnBnDnEn 的边长．‎ 解答：‎ 解：∵∠A=∠B=45°，‎ ‎∴AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B，‎ ‎∴第一个内接正方形的边长=AB=1；‎ 同理可得：‎ 第二个内接正方形的边长=A1B1=AB=；‎ 第三个内接正方形的边长=A2B2=AB=；‎ 故可推出第n个小正方形AnBnDnEn 的边长=AB=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出前几个内接正方形的边长，得出一般规律．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•荆州）若根式有意义，则双曲线y=与抛物线y=x2+2x+2﹣2k的交点在第　二　象限．‎ 考点：‎ 二次函数的性质；二次根式有意义的条件；反比例函数的性质 分析：‎ 根据被开方数大于等于0，分母不等于0可得2﹣2k＞0，再根据反比例函数的性质确定出反比例函数图象位于第二、四象限，求出抛物线对称轴为直线x=﹣1，与y轴的交点在正半轴，确定出抛物线图象不在第四象限，从而判断出交点一定在第二象限．‎ 解答：‎ 解：根据题意得，2﹣2k＞0，‎ ‎∴2k﹣2＜0，‎ 反比例函数y=的图象位于第二、四象限，‎ ‎∵抛物线y=x2+2x+2﹣2k的对称轴为直线x=﹣=﹣1，‎ 与y轴的交点为（0，2﹣2k），在y轴正半轴，‎ ‎∴抛物线y=x2+2x+2﹣2k的图象不经过第四象限，‎ ‎∴双曲线y=与抛物线y=x2+2x+2﹣2k的交点在第二象限．‎ 故答案为：二．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，熟记熟记二次函数的性质与反比例函数的性质判断出函数图象所经过的象限是解题的关键，也是本题的难点．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•荆州）如图，在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b=2a﹣b．已知不等式x△k≥1的解集在数轴上，则k的值是　k≤﹣3　．‎ 考点：‎ 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式 专题：‎ 新定义．‎ 分析：‎ 根据新运算法则得到不等式2x﹣k≥1，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的取值范围．‎ 解答：‎ 解：根据图示知，已知不等式的解集是x≤﹣1．‎ 则2x﹣1≤﹣3‎ ‎∵x△k=2x﹣k≥1，‎ ‎∴k≤2x﹣1≤﹣3，‎ ‎∴k≤﹣3．‎ 故答案是：k≤﹣3．‎ 点评：‎ 本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2013•荆州）如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3），则D点的坐标是　（5，0）　．‎ 考点：‎ 平行四边形的性质；坐标与图形性质；等边三角形的性质 分析：‎ 设CE和x轴交于H，由对称性可知CE=6，再根据等边三角形的性质可知AC=CE=6，根据勾股定理即可求出AH的长，进而求出AO和DH的长，所以OD可求，又因为D在x轴上，纵坐标为0，问题得解．‎ 解答：‎ 解：∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是（7，﹣3），‎ ‎∴C的坐标为（7，3），‎ ‎∴CH=3，CE=6，‎ ‎∵△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，‎ ‎∴AC=6，‎ ‎∴AH=9，‎ ‎∵OH=7，‎ ‎∴AO=DH=2，‎ ‎∴OD=5，‎ ‎∴D点的坐标是（5，0），‎ 故答案为（5，0）．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x轴对称的特点以及勾股定理的运用．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2013•荆州）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：‎ ‎①△A1AD1≌△CC1B；‎ ‎②当x=1时，四边形ABC1D1是菱形；‎ ‎③当x=2时，△BDD1为等边三角形；‎ ‎④s=（x﹣2）2 （0＜x＜2）；‎ 其中正确的是　①②③④　（填序号）．‎ 考点：‎ 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定；菱形的判定 分析：‎ ‎①根据矩形的性质，得∠DAC=∠ACB，再由平移的性质，可得出∠A1=∠ACB，A1D1=CB，从而证出结论；‎ ‎②根据菱形的性质，四条边都相等，可推得当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形．‎ ‎③当x=2时，点C1与点A重合，可求得BD=DD1=BD1=2，从而可判断△BDD1为等边三角形．‎ ‎④易得△AC1F∽△ACD，根据面积比等于相似比平方可得出s与x的函数关系式．．‎ 解答：‎ 解①∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴BC=AD，BC∥AD ‎∴∠DAC=∠ACB ‎∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，‎ ‎∴∠A1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1，‎ 在△A1AD1与△CC1B中，‎ ‎，‎ ‎∴△A1AD1≌△CC1B（SAS），‎ 故①正确；‎ ‎②∵∠ACB=30°，‎ ‎∴∠CAB=60°，‎ ‎∵AB=1，‎ ‎∴AC=2，‎ ‎∵x=1，‎ ‎∴AC1=1，‎ ‎∴△AC1B是等边三角形，‎ ‎∴AB=BC1，‎ 又AB∥BC1，‎ ‎∴四边形ABC1D1是菱形，‎ 故②正确；‎ ‎③如图所示：‎ 则可得BD=DD1=BD1=2，‎ ‎∴△BDD1为等边三角形，故③正确．‎ ‎④易得△AC1F∽△ACD，‎ ‎∴=（）2，‎ 解得：S△AC1F=（x﹣2）2 （0＜x＜2）；故④正确；‎ 综上可得正确的是①②③④．‎ 故答案为：①②③④．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定及解直角三角形的知识，解答本题需要我们熟练掌握全等三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质，有一定难度．‎ ‎　‎ 三．解答题：‎ ‎19．（2013•荆州）用代入消元法解方程组 ‎．‎ 考点：‎ 解二元一次方程组 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 把第一个方程整理为y=x﹣2，然后利用代入消元法求解即可．‎ 解答：‎ 解：，‎ 由①得，y=x﹣2③，‎ ‎③代入②得，3x+5（x﹣2）=14，‎ 解得x=3，‎ 把x=3代入③得，y=3﹣2=1，‎ 所以，方程组的解是．‎ 点评：‎ 本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．‎ ‎　‎ ‎20．（2013•荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定；等腰直角三角形 分析：‎ 根据等角的余角相等可得出∠ACE=∠BCD，结合CA=CB，CD=CE，可证明△ACE≌△BCD．‎ 解答：‎ 解：△ACE≌△BCD．‎ ‎∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠ECD=∠ACB=90°，‎ ‎∴∠ACE=∠BCD（都是∠ACD的余角），‎ 在△ACE和△BCD中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ACE≌△BCD．‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握三角形全等的判定定理．‎ ‎　‎ ‎21．（100分）（2013•荆州）我市某中学为备战省运会，在校运动队的学生中进行了全能选手的选拔，并将参加选拔学生的综合成绩分成四组，绘成了如下尚不完整的统计图表．‎ 组别 成绩 组中值 频数 第一组 ‎90≤x＜100‎ ‎95‎ ‎4‎ 第二组 ‎80≤x＜90‎ ‎85‎ m 第三组 ‎70≤x＜80‎ ‎75‎ n 第四组 ‎60≤x＜70‎ ‎65‎ ‎21‎ 根据图表信息，回答下列问题：‎ ‎（1）参加活动选拔的学生共有　50　人；表中m=　10　，n=　15　；‎ ‎（2）若将各组的组中值视为该组的平均值，请你估算参加选拔学生的平均成绩；‎ ‎（3）将第一组中的4名学生记为A、B、C、D，由于这4名学生的体育综合水平相差不大，现决定随机挑选其中两名学生代表学校参赛，试通过画树形图或列表的方法求恰好选中A和B的概率．‎ 考点：‎ 频数（率）分布表；用样本估计总体；扇形统计图；列表法与树状图法 分析：‎ ‎（1）根据频数分布表可知第一组有4人，根据扇形统计图可知第一组所占百分比为8%，由此得出参加活动选拔的学生总数，再用学生总数乘以第三组所占百分比求出n，用学生总数减去第一、三、四组的频数之和所得的差即为m的值；‎ ‎（2）利用组中值求出总数即可得出平均数；‎ ‎（3）根据列表法求出所有可能即可得出恰好选中A和B的概率．‎ 解答：‎ 解：（1）∵第一组有4人，所占百分比为8%，‎ ‎∴学生总数为：4÷8%=50；‎ ‎∴n=50×30%=15，‎ m=50﹣4﹣15﹣21=10．‎ 故答案为50，10，15；‎ ‎（2）==74.4；‎ ‎（3）将第一组中的4名学生记为A、B、C、D，现随机挑选其中两名学生代表学校参赛，所有可能的结果如下表：‎ A B C D A ‎（B，A）‎ ‎（C，A）‎ ‎（D，A）‎ B ‎（A，B）‎ ‎（C，B）‎ ‎（D，B）‎ C ‎（A，C）‎ ‎（B，C）‎ ‎（D，C）‎ D ‎（A，D）‎ ‎（B，D）‎ ‎（C，D）‎ 由上表可知，总共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同．恰好选中A和B的结果有2种，其概率为==．‎ 点评：‎ 此题主要考查了扇形图与统计表的综合应用，利用扇形图与统计表相结合获取正确的信息得出第一组有4人，所占百分比为8%是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（2013•荆州）已知：关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）=0‎ ‎（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；‎ ‎（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值．‎ 考点：‎ 根的判别式；根与系数的关系 分析：‎ ‎（1）确定判别式的范围即可得出结论；‎ ‎（2）根据根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，继而根据题意可得出方程，解出即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：①当k=0时，方程是一元一次方程，有实数根；‎ ‎②当k≠0时，方程是一元二次方程，‎ ‎∵△=（3k﹣1）2﹣4k×2（k﹣1）=（k﹣1）2≥0，‎ ‎∴无论k为何实数，方程总有实数根．‎ ‎（2）解：∵此方程有两个实数根x1，x2，‎ ‎∴x1+x2=，x1x2=，‎ ‎∵|x1﹣x2|=2，‎ ‎∴（x1﹣x2）2=4，‎ ‎∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，即﹣4×=4，‎ 解得：=±2，‎ 即k=1或k=﹣．‎ 点评：‎ 本题考查了根的判别式及根与系数的关系，属于基础题，这些用到的知识点是需要我们熟练记忆的内容．‎ ‎　‎ ‎23．（2013•荆州）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于E，DE=EC，过点B的切线与AD的延长线交于F，过E作EG⊥BC于G，延长GE交AD于H．‎ ‎（1）求证：AH=HD；‎ ‎（2）若cos∠C=，DF=9，求⊙O的半径．‎ 考点：‎ 切线的性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．‎ 分析：‎ ‎（1）由AB为⊙O的直径，DE=EC，根据垂径定理的推论，可证得AB⊥CD，又由EG⊥BC，易证得∠CDA=∠DEH，即可得HD=EH，继而可证得AH=EH，则可证得结论；‎ ‎（2）由AB为⊙O的直径，可得∠BDF=90°，由BF是切线，可得∠DBF=∠C，然后由三角函数的性质，求得BD的长，继而求得答案．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵AB为⊙O的直径，DE=EC，‎ ‎∴AB⊥CD，‎ ‎∴∠C+∠CBE=90°，‎ ‎∵EG⊥BC，‎ ‎∴∠C+∠CEG=90°，‎ ‎∴∠CBE=∠CEG，‎ ‎∵∠CBE=∠CDA，∠CEG=∠DEH，‎ ‎∴∠CDA=∠DEH，‎ ‎∴HD=EH，‎ ‎∵∠A+∠ADC=90°，∠AEH+∠DEH=90°，‎ ‎∴AH=EH，‎ ‎∴AH=HD；‎ ‎（2）解：∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∴∠BDF=90°，‎ ‎∵BF是⊙O的切线，‎ ‎∴∠DBF=∠C，‎ ‎∵cos∠C=，DF=9，‎ ‎∴tan∠DBF=，‎ ‎∴BD==12，‎ ‎∵∠A=∠C，‎ ‎∴sin∠A=，‎ ‎∴AB==20，‎ ‎∴⊙O的半径为10．‎ 点评：‎ 此题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理、弦切角定理、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．‎ ‎　‎ ‎24．（2013•荆州）如图，某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕．他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图甲所示，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图乙所示．‎ ‎（1）直接写出y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）分别求出第10天和第15天的销售金额；‎ ‎（3）若日销售量不低于24千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元？‎ 考点：‎ 一次函数的应用 分析：‎ ‎（1）分两种情况进行讨论：①0≤x≤15；②15＜x≤20，针对每一种情况，都可以先设出函数的解析式，再将已知点的坐标代入，利用待定系数法求解；‎ ‎（2）日销售金额=日销售单价×日销售量．由于第10天和第15天在第10天和第20天之间，当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系式为p=mx+n，由点（10，10），（20，8）在p=mx+n的图象上，利用待定系数法求得p与x的函数解析式，继而求得10天与第15天的销售金额；‎ ‎（3）日销售量不低于24千克，即y≥24．先解不等式2x≥24，得x≥12，再解不等式﹣6x+120≥24，得x≤16，则求出“最佳销售期”共有5天；然后根据p=﹣x+12（10≤x≤20），利用一次函数的性质，即可求出在此期间销售时单价的最高值．‎ 解答：‎ 解：（1）分两种情况：‎ ‎①当0≤x≤15时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k1x，‎ ‎∵直线y=k1x过点（15，30），‎ ‎∴15k1=30，解得k1=2，‎ ‎∴y=2x（0≤x≤15）；‎ ‎②当15＜x≤20时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k2x+b，‎ ‎∵点（15，30），（20，0）在y=k2x+b的图象上，‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∴y=﹣6x+120（15＜x≤20）；‎ 综上，可知y与x之间的函数关系式为：‎ y=；‎ ‎（2）∵第10天和第15天在第10天和第20天之间，‎ ‎∴当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数解析式为p=mx+n，‎ ‎∵点（10，10），（20，8）在z=mx+n的图象上，‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∴p=﹣x+12（10≤x≤20），‎ 当x=10时，p=10，y=2×10=20，销售金额为：10×20=200（元），‎ 当x=15时，p=﹣×15+12=9，y=30，销售金额为：9×30=270（元）．‎ 故第10天和第15天的销售金额分别为200元，270元；‎ ‎（3）若日销售量不低于24千克，则y≥24．‎ 当0≤x≤15时，y=2x，‎ 解不等式2x≥24，得x≥12；‎ 当15＜x≤20时，y=﹣6x+120，‎ 解不等式﹣6x+120≥24，得x≤16，‎ ‎∴12≤x≤16，‎ ‎∴“最佳销售期”共有：16﹣12+1=5（天）；‎ ‎∵p=﹣x+12（10≤x≤20），﹣＜0，‎ ‎∴p随x的增大而减小，‎ ‎∴当12≤x≤16时，x取12时，p有最大值，此时p=﹣×12+12=9.6（元/千克）．‎ 故此次销售过程中“最佳销售期”共有5天，在此期间销售单价最高为9.6元．‎ 点评：‎ 此题考查了一次函数的应用，有一定难度．解题的关键是理解题意，利用待定系数法求得函数解析式，注意数形结合思想与函数思想的应用．‎ ‎　‎ ‎25．（2013•荆州）如图，已知：如图①，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止）；对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a（x﹣k）2+h（a＜0）始终经过点E，过E作EG∥OA交抛物线于点G，交AB于点F，连结DE、DF、AG、BG．设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，运动时间为t秒．‎ ‎（1）用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；‎ ‎（2）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？判断此时△AFG与△AGB是否相似，并说明理由；‎ ‎（3）当△ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式．‎ 考点：‎ 二次函数综合题 分析：‎ ‎（1）首先求出一次函数y=﹣x+与坐标轴交点A、B的坐标，然后解直角三角形求出BF、EF、AF的长；‎ ‎（2）由EF∥AD，且EF=AD=t，则四边形ADEF为平行四边形，若▱ADEF是菱形，则DE=AD=t．由DE=2OE，列方程求出t的值；‎ 如答图1所示，推出∠BAG=∠GAF，∠ABG=∠AGF=30°，证明△AFG与△AGB相似．‎ ‎（3）当△ADF是直角三角形时，有两种情形，需要分类讨论：‎ ‎①若∠ADF=90°，如答图2所示．首先求出此时t的值；其次求出点G的坐标，利用待定系数法求出直线BG的解析式，得到点M的坐标；最后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；‎ ‎②若∠AFD=90°，如答图3所示．解题思路与①相同．‎ 解答：‎ 解：（1）在直线解析式y=﹣x+中，令x=0，得y=；令y=0，得x=1．‎ ‎∴A（1，0），B（0，），OA=1，OB=．‎ ‎∴tan∠OAB=，∴∠OAB=60°，‎ ‎∴AB=2OA=2．‎ ‎∵EG∥OA，∴∠EFB=∠OAB=60°．‎ ‎∴EF===t，BF=2EF=2t，‎ ‎∴AF=AB﹣BF=2﹣2t．‎ ‎（2）①∵EF∥AD，且EF=AD=t，∴四边形ADEF为平行四边形．‎ 若▱ADEF是菱形，则DE=AD=t．‎ 由DE=2OD，即：t=2（1﹣t），解得t=．‎ ‎∴t=时，四边形ADEF是菱形．‎ ‎②此时△AFG与△AGB相似．理由如下：‎ 如答图1所示，连接AE，‎ ‎∵四边形ADEF是菱形，‎ ‎∴∠DEF=∠DAF=60°，‎ ‎∴∠AEF=30°．‎ 由抛物线的对称性可知，AG=AE，‎ ‎∴∠AGF=∠AEF=30°．‎ 在Rt△BEG中，BE=，EG=2，‎ ‎∴tan∠EBG==，‎ ‎∴∠EBG=60°，‎ ‎∴∠ABG=∠EBG﹣∠EBF=30°．‎ 在△AFG与△AGB中，∵∠BAG=∠GAF，∠ABG=∠AGF=30°，‎ ‎∴△AFG∽△AGB．‎ ‎（3）当△ADF是直角三角形时，‎ ‎①若∠ADF=90°，如答图2所示：‎ 此时AF=2DA，即2﹣2t=2t，解得t=．‎ ‎∴BE=t=，OE=OB﹣BE=，‎ ‎∴E（0，），G（2，）．‎ 设直线BG的解析式为y=kx+b，将B（0，），G（2，）代入得：‎ ‎，解得k=，b=，‎ ‎∴y=x+．‎ 令x=1，得y=，‎ ‎∴M（1，）．‎ 设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+，点E（0，）在抛物线上，‎ ‎∴=a+，解得a=．‎ ‎∴y=（x﹣1）2+=x2+x+．‎ ‎②若∠AFD=90°，如答图3所示：‎ 此时AD=2AF，即：t=2（2﹣2t），解得：t=．‎ ‎∴BE=t=，OE=OB﹣BE=，‎ ‎∴E（0，），G（2，）．‎ 设直线BG的解析式为y=kx+b，将B（0，），G（2，）代入得：‎ ‎，解得k=，b=，‎ ‎∴y=x+．‎ 令x=1，得y=，∴M（1，）．‎ 设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+，点E（0，）在抛物线上，‎ ‎∴=a+，解得a=．‎ ‎∴y=（x﹣1）2+=x2+x+．‎ 综上所述，符合条件的抛物线的解析式为：y=x2+x+或y=x2+x+．‎ 点评：‎ 本题是中考压轴题，涉及二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、解直角三角形、菱形等知识点．第（3）问中，有两种情形存在，需要分类讨论，避免漏解．‎