2010年辽宁省锦州市中考数学试卷

2010年辽宁省锦州市中考数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1、（2010•锦州）太阳的直径约为1 390 000千米，这个数用科学记数法表示为（　　）‎ ‎ A、0.139×107千米 B、1.39×106千米 ‎ C、13.9×105千米 D、139×104千米 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ 解答：解：1 390 000=1.39×106千米．故选B．‎ 点评：用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．‎ ‎2、（2010•锦州）﹣6的倒数是（　　）‎ ‎ A、6 B、﹣6‎ ‎ C、‎1‎‎6‎ D、﹣‎‎1‎‎6‎ 考点：倒数。‎ 分析：根据倒数的定义求解．‎ 解答：解：﹣6的倒数是﹣‎1‎‎6‎．‎ 故选D．‎ 点评：倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．‎ ‎3、（2010•锦州）如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：简单组合体的三视图。‎ 分析：找到从左面看所得到的图形即可．‎ 解答：解：从物体左面看，左边2列，右边是1列．故选A．‎ 点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．‎ ‎4、（2010•锦州）不等式组：‎&8﹣3x≥﹣1‎‎&x﹣1＞0‎的解集是（　　）‎ ‎ A、x≤3 B、1＜x≤3‎ ‎ C、x≥3 D、x＞1‎ 考点：解一元一次不等式组。‎ 分析：首先把两条不等式的解集分别解出来，再根据大大取大，小小取小，比大的小比小的大取中间，比大的大比小的小无解的原则，把不等式的解集用一条式子表示出来．‎ 解答：解：由（1）x≤3，‎ 由（2）x＞1，‎ 所以1＜x≤3．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查不等式组的解法，一定要把每条不等式的解集正确解出来．‎ ‎5、（2010•锦州）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：中心对称图形；轴对称图形；生活中的旋转现象。‎ 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ 解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；‎ B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；‎ C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；‎ D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．‎ 故选B．‎ 点评：掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．‎ 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．‎ 如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．‎ 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎6、（2010•锦州）如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A的度数是（　　）‎ ‎ A、61° B、60°‎ ‎ C、37° D、39°‎ 考点：三角形的外角性质。‎ 分析：作直线AD，根据三角形的外角性质可得：∠3=∠B+∠1，∠4=∠C+∠2，从而推出∠BAC=∠1+∠2=∠3+∠4﹣∠B﹣∠D=37°．‎ 解答：解：作直线AD，‎ ‎∴∠3=∠B+∠1﹣﹣﹣（1）‎ ‎∴∠4=∠C+∠2﹣﹣﹣（2）‎ 由（1）、（2）得：∠3+∠4=∠B+∠D+∠1+∠2，‎ 即∠BDC=∠B+∠C+∠BAC，‎ ‎∵∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°‎ ‎∴∠BAC=98°﹣38°﹣23°=37°．‎ 故选C．‎ 点评：解答此题的关键是构造三角形，应用三角形内角与外角的关系解答．‎ ‎7、（2010•锦州）如图是由四个全等的直角三角形围成的，若两条直角边分别为3和4，则向图中随机抛掷一枚飞镖，飞镖落在阴影区域的概率是（不考虑落在线上的情形）（　　）‎ ‎ A、‎3‎‎5‎ B、‎‎4‎‎5‎ ‎ C、‎16‎‎25‎ D、‎‎25‎‎49‎ 考点：几何概率。‎ 分析：根据直角三角形的性质，求出阴影部分面积和总面积，计算出二者的比值即可．‎ 解答：解：根据题意分析可得：阴影部分为正方形，边长为5，故面积为25；‎ 总面积为（3+4）2=49，故飞镖落在阴影区域的概率是‎25‎‎49‎．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．‎ ‎8、（2010•锦州）如图所示，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ ‎ A、1cm2 B、1.5cm2‎ ‎ C、2cm2 D、3cm2‎ 考点：三角形中位线定理。‎ 专题：整体思想。‎ 分析：根据题意，易得MN=DE，从而证得△MNO≌△EDO，再进一步求△ODE的高，进一步求出阴影部分的面积．‎ 解答：解：连接MN，作AF⊥BC于F．‎ ‎∵AB=BC，‎ ‎∴BF=CF=‎1‎‎2‎BC=‎1‎‎2‎×8=4，‎ 在Rt△ABF中，AF=AB‎2‎‎﹣‎BF‎2‎=‎5‎‎2‎‎﹣‎‎4‎‎2‎‎=3‎，‎ ‎∵M、N分别是AB，AC的中点，‎ ‎∴MN是中位线，即平分三角形的高且MN=8÷2=4，‎ ‎∴NM=DE，‎ ‎∴△MNO≌△EDO，O也是ME，ND的中点，∴阴影三角形的高是1.5÷2=0.75，∴S阴影=4×0.75÷2=1.5．故选B．‎ 点评：本题的关键是利用中位线的性质，求得阴影部分三角形的高，再利用三角形的面积公式计算．‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎9、（2010•锦州）函数y=‎xx﹣3‎的自变量x的取值范围为 ．‎ 考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．‎ 解答：解：根据题意得：‎&x﹣3‎≠0‎‎&x﹣3≥0‎，即x﹣3＞0，‎ 解得x＞3．‎ 点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：‎ ‎（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；‎ ‎（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；‎ ‎（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．‎ ‎10、（2010•淄博）分解因式：a2b﹣2ab2+b3= ．‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用。‎ 分析：先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．‎ 解答：解：a2b﹣2ab2+b3=b（a2﹣2ab+b2）﹣﹣（提取公因式）‎ ‎=b（a﹣b）2（完全平方公式）．‎ 点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行两次分解，注意分解要彻底．‎ ‎11、（2010•锦州）反比例函数y=kx的图象经过点（﹣2，3），则k等于 ．‎ 考点：待定系数法求反比例函数解析式。‎ 专题：计算题；待定系数法。‎ 分析：将点（﹣2，3）代入解析式可求出k的值．‎ 解答：解：把（﹣2，3）代入函数y=kx中，得3=k‎﹣2‎，解得k=﹣6．‎ 故答案为﹣6．‎ 点评：主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．先设y=kx，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．‎ ‎12、（2010•锦州）小亮练习射击，第一轮10枪打完后他的成绩如图，他10次成绩的方差是 ．‎ 考点：方差。‎ 专题：计算题；图表型。‎ 分析：首先计算成绩的平均数，再根据方差公式计算．方差S2=‎1‎n[（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）2]．‎ 解答：解：数据的平均数=‎1‎‎10‎（4+10+8+4+2+6+8+6+8+4）=6，‎ 方差=‎1‎‎10‎（4+16+4+4+16+4+4+4+4）=5.6．‎ 故填5.6．‎ 点评：本题考查了方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x，则方差S2=‎1‎n[（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．‎ ‎13、（2010•锦州）将一块含30°角的三角尺绕较长直角边旋转一周得一圆锥，这个圆锥的高是3‎3‎，则圆锥的侧面积是 ．‎ 考点：圆锥的计算；勾股定理。‎ 分析：由于圆锥的高，底面半径，圆锥的母线三者在一个角是30°的直角三角形中，故可得到底面半径是3，母线长是6，底面圆周长是6π，再由圆锥的侧面积公式计算．‎ 解答：解：∵圆锥的高，底面半径，圆锥的母线三者在一个角是30°的直角三角形中，‎ ‎∴底面半径是3，母线长是6，‎ ‎∴底面圆周长是6π，‎ ‎∴圆锥的侧面积是‎1‎‎2‎×6π×6=18π．‎ 故本题答案为：18π．‎ 点评：本题解决的关键就是掌握圆锥的侧面展开图与圆锥的关系．‎ ‎14、（2010•锦州）为了估计不透明的袋子里装有多少白球，先从袋中摸出10个球都做上标记，然后放回袋中去，充分摇匀后再摸出10‎ 个球，发现其中有一个球有标记，那么你估计袋中大约有 个白球．‎ 考点：利用频率估计概率。‎ 专题：应用题。‎ 分析：根据概率公式，设袋中大约有x个球，由题意得‎10‎x=‎1‎‎10‎，求解即可．‎ 解答：解：∵摸出10个球，发现其中有一个球有标记，‎ ‎∴带有标记的球的频率为‎1‎‎10‎，设袋中大约有x个球，由题意得‎10‎x=‎1‎‎10‎，‎ ‎∴x=100个．‎ 故本题答案为：100．‎ 点评：本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．‎ ‎15、（2010•锦州）如图所示，点A、B在直线MN上，AB=11cm，⊙A、⊙B的半径均为1cm，⊙A以每秒2cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0），当点A出发后 秒两圆相切．‎ 考点：圆与圆的位置关系。‎ 专题：分类讨论。‎ 分析：根据两圆相切时，两圆的半径与圆心距的关系，注意有4种情况．‎ 解答：解：分四种情况考虑：‎ ‎①当首次外切时，有2t+1+1+t=11，解得：t=3；‎ ‎②当首次内切时，有2t+1+t﹣1=11，解得：t=‎11‎‎3‎；‎ ‎③当再次内切时，有2t﹣（1+t﹣1）=11，解得：t=11；‎ ‎④当再次外切时，有2t﹣（1+t）﹣1=11，解得：t=13．‎ ‎∴当点A出发后3、‎11‎‎3‎、11、13秒两圆相切．‎ 点评：本题考查了两圆相切时，两圆的半径与圆心距的关系，注意有4种情况．‎ ‎16、（2010•锦州）图中的圆与正方形各边都相切，设这个圆的面积为S1；图2中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的面积之和为S2；图3中的九个圆半径相等，并依次外切，且与正方形的各边相切，设这九个圆的面积之和为S3，…依此规律，当正方形边长为2时，第n个图中所有圆的面积之和Sn= ．‎ 考点：相切两圆的性质。‎ 专题：规律型。‎ 分析：先从图中找出每个图中圆的面积，从中找出规律，再计算面积和．‎ 解答：解：根据图形发现：‎ 第一个图中，圆的半径平方是正方形边长的‎1‎‎4‎；‎ 第二个图中，所有圆的半径平方之和是正方形边长的‎1‎‎4‎；‎ 依次类推，则第n个图中所有圆的面积之和Sn和第一个图中的圆的面积都是相等的，即为π．‎ 点评：观察图形，即可发现这些图中，每一个图中的所有的圆面积和都相等．‎ 三、解答题（共10小题，满分102分）‎ ‎17、（2010•锦州）先化简‎2x﹣4‎x‎2‎‎﹣4‎÷‎2xx+2‎﹣1，再任选一个你喜欢的数代入求值．‎ 考点：分式的化简求值。‎ 专题：开放型。‎ 分析：先把分式化简，再把数代入，x取0，±2以外的任何数．‎ 解答：解：原式=‎2（x﹣2）‎‎（x+2）（x﹣2）‎×x+2‎‎2x﹣1（3分）‎ ‎=‎1‎x﹣1（1分）‎ ‎=‎1‎x﹣xx（1分）‎ ‎=‎1﹣xx．（1分）‎ ‎（x只要不取0，±2均可）‎ 如当x=1时，（1分）‎ 原式=‎1﹣1‎‎1‎=0．（1分）‎ 点评：分式的混合运算，因式分解、约分是关键．‎ ‎18、（2010•锦州）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．‎ ‎（1）将△ABC向右移平2个单位长度，作出平移后的△A1B1C1，并写出△A1B1C1‎ 各顶点的坐标；‎ ‎（2）若将△ABC绕点（﹣1，0）顺时针旋转180°后得到△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；‎ ‎（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某点成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，说明理由．‎ 考点：作图-旋转变换；作图-平移变换。‎ 专题：网格型。‎ 分析：（1）根据平移的规律找到出平移后的对应点的坐标，依次为A1（0，4），B1（﹣2，2），C1（﹣1，1）；顺次连接即可得到答案；‎ ‎（2）根据旋转中心对称的规律可得：旋转后对应点的坐标，依次为A2（0，﹣4），B2（2，﹣2），C2（1，﹣1）；顺次连接即可；‎ ‎（3）观察可得，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（0，0）成中心对称．‎ 解答：解：（1）A1（0，4），B1（﹣2，2），C1（﹣1，1）；（3分）（图形正确给（2分），坐标正确给1分）‎ ‎（2）A2（0，﹣4），B2（2，﹣2），C2（1，﹣1）；（3分）‎ ‎（图形正确给（2分），坐标正确给1分）‎ ‎（3）△A1B1C1与△A2B2C2关于点（0，0）成中心对称．（2分）（指出是中心对称给（1分），写出点的坐标给1分）‎ 点评：本题通过图象的平移，感受平移在生活中的应用，体会数学与生活的紧密联系，考查学生的动手能力．注意平移关键是先确定几个关健点，接着把这几个点分别移动，再连成图形便可．‎ ‎19、（2010•锦州）某校开展以“庆国庆60周年”为主题的艺术活动，举办了四个项目的比赛．它们分别是：A演讲、B唱歌、C书法、D绘画．要求每位同学必须参加且限报一项．以九年（一）班为样本进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你结合图中所给出的信息解答下列问题：‎ ‎（1）求出参加绘画比赛的学生人数占全班总人数的百分比；‎ ‎（2）求出扇形统计图中参加书法比赛的学生所在的扇形圆心角的度数；‎ ‎（3）若该校九年级学生共有500人，请你估计这次活动中参加演讲和唱歌的学生共有多少人？‎ 考点：扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）从表中可看出总人数=13+25+10+2=50，绘画人数除50即可．‎ ‎（2）两图结合，按频数和频率的关系知c=20%，由此即可求出相应圆心角的度数；‎ ‎（3）利用样本估计总体即可．‎ 解答：解：（1）∵九年（一）班学生数为25÷50%=50（人），‎ ‎∴参加绘画的D项人数占全班总人数的百分比为2÷50=4%．‎ ‎（2）360°×（1﹣26%﹣50%﹣4%）=72°．‎ ‎∴参加书法比赛的C项所在的扇形圆心角的度数是72°．‎ ‎（3）根据题意：A项和B项学生的人数和占全班总人数的76%．‎ ‎∴500×76%=380（人）．‎ ‎∴估计这次活动中参加演讲和唱歌的学生共有380人．‎ 点评：懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎20、（2010•锦州）为了加快城市经济发展，某市准备修建一座横跨南北的大桥．如图所示，测量队在点A处观测河对岸水边有一点C，测得C在北偏东60°的方向上，沿河岸向东前行30米到达B处，测得C在北偏东45°的方向上，请你根据以上数据帮助该测量队计算出这条河的宽度．（结果保留根号）‎ 考点：解直角三角形的应用-方向角问题。‎ 专题：计算题。‎ 分析：过点C作CD⊥AB于D．分别在Rt△ACD和Rt△BCD中，运用三角函数定义求解．‎ 解答：解：过点C作CD⊥AB于D．‎ 设CD=x米．‎ 在Rt△BCD中，∠CBD=45°，‎ ‎∴BD=CD=x米．‎ 在Rt△ACD中，∠DAC=30°，AD=AB+BD=（30+x）米．‎ ‎∵tan∠DAC=CDAD，‎ ‎∴‎3‎‎3‎=x‎30+x．‎ ‎∴x=15‎3‎+15．‎ 答：这条河的宽度为（15‎3‎+15）米．‎ 点评：‎ 解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．‎ ‎21、（2010•锦州）小刚和小明玩“石头”、“剪子”、“布”的游戏，游戏的规则为：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”，若两人所出手势相同，则为平局．‎ ‎（1）玩一次小刚出“石头”的概率是多少？‎ ‎（2）玩一次小刚胜小明的概率是多少，用列表法或画树状图法加以说明．‎ 考点：列表法与树状图法。‎ 分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率的大小．‎ 解答：解：（1）小刚有三种出发，则出“石头”的概率P（玩一次小刚出“石头”）=‎1‎‎3‎；‎ ‎（2）树状图：（6分）‎ 由树状图可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种，所以P（玩一次小刚胜小明）=‎1‎‎3‎；（1分）‎ 列表：（4分）‎ 由列表可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种，‎ 所以P（玩一次小刚胜小明）=‎1‎‎3‎．（1分）‎ 点评：本题考查随机事件率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．‎ ‎22、（2010•锦州）根据规划设计，某市工程队准备在开发区修建一条长300米的盲道．铺设了60米后，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米，结果共用了8天完成任务，该工程队改进技术后每天铺设盲道多少米？‎ 考点：分式方程的应用；解一元二次方程-因式分解法。‎ 专题：应用题。‎ 分析：本题的等量关系是工作时间=工作总量÷工作效率，根据“共用了8天完成任务”，可得出：原来铺设60米所用的时间+采用新的施工方式后实际所用的时间=8小时．‎ 解答：解：设该工程队改进技术后每天铺设盲道x米，则改进技术前每天铺设（x﹣10）米，‎ 根据题意，得‎60‎x﹣10‎+‎300﹣60‎x=8‎ 整理，得2x2﹣95x+600=0‎ 解得x1=40，x2=7.5‎ 经检验，x1=40，x2=7.5都是原方程的根，但x2=7.5不符合实际意义，舍去，‎ ‎∴x=40．‎ 答：该工程队改进技术后每天铺设盲道40米．‎ 点评：找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题主要考查的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率，本题要注意采用新的施工方式前后工作总量的变化．‎ ‎23、（2010•锦州）如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于F．‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE=3，⊙O的半径为5．求BF的长．‎ 考点：切线的判定；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）在Rt△ABC中，运用勾股定理可将爱那个AC的长求出，运用切割线定理可将AE的长求出，根据△AED∽△ABF，可将BF的长求出．‎ 解答：证明：（1）连接OD，BC，OD与BC相交于点G，‎ ‎∵D是弧BC的中点，‎ ‎∴OD垂直平分BC，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴AC⊥BC，‎ ‎∴OD∥AE．‎ ‎∵DE⊥AC，‎ ‎∴OD⊥DE，‎ ‎∵OD为⊙O的半径，‎ ‎∴DE是⊙O的切线．‎ 解：（2）由（1）知：OD⊥BC，AC⊥BC，DE⊥AC，‎ ‎∴四边形DECG为矩形，‎ ‎∴CG=DE=3，‎ ‎∴BC=6．‎ ‎∵⊙O的半径为5，‎ ‎∴AB=10，‎ ‎∴AC=AB‎2‎‎﹣‎BC‎2‎=8，‎ 由（1）知：DE为⊙O的切线，‎ ‎∴DE2=EC•EA既32=（EA﹣8）EA，‎ 解得：AE=9．‎ ‎∵D为弧BC的中点，‎ ‎∴∠EAD=∠FAB，‎ ‎∵BF切⊙O于B，‎ ‎∴∠FBA=90°．‎ 又∵DE⊥AC于E，‎ ‎∴∠E=90°，‎ ‎∴∠FBA=∠E，‎ ‎∴△AED∽△ABF，‎ ‎∴BFDE‎=‎ABAE，‎ ‎∴BF‎3‎‎=‎‎10‎‎9‎，‎ ‎∴BF=‎10‎‎3‎．‎ 点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．‎ ‎24、（2010•锦州）某商场购进一批单价为50元的商品，规定销售时单价不低于进价，每件的利润不超过40%．其中销售量y（件）与所售单价x（元）的关系可以近似的看作如图所表示的一次函数．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；‎ ‎（2）设该公司获得的总利润（总利润=总销售额﹣总成本）为w元，求w与x之间的函数关系式，当销售单价为何值时，所获利润最大，最大利润是多少？‎ 考点：二次函数的应用；一次函数的应用。‎ 分析：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，利用图象经过点（60，400）和（70，300），利用待定系数法求解即可；‎ ‎（2）用x表示总利润，得到W=﹣10x2+1500x﹣50000，根据二次函数最值的求法求当销售单价为70元时，所获得利润有最大值为6000元．‎ 解答：解：（1）最高销售单价为50（1+40%）=70（元），（1分）‎ 根据题意，设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），（1分）‎ ‎∵函数图象经过点（60，400）和（70，300），‎ ‎∴‎&400=60k+b‎&300=70k+b，（1分）‎ 解得‎&k=﹣10‎‎&b=1000‎，‎ ‎∴y与x之间的函数关系式为y=﹣10x+1000，‎ x的取值范围是50≤x≤70；（2分）‎ ‎（2）根据题意，w=（x﹣50）（﹣10x+1000），（1分）‎ W=﹣10x2+1500x﹣50000，w=﹣10（x﹣75）2+6250，（1分）‎ ‎∵a=﹣10，∴抛物线开口向下，‎ 又∵对称轴是x=75，自变量x的取值范围是50≤x≤70，‎ ‎∴y随x的增大而增大，（1分）‎ ‎∴当x=70时，w最大值=﹣10（70﹣75）2+6250=6000（元），‎ ‎∴当销售单价为70元时，所获得利润有最大值为6000元．（2分）‎ 点评：主要考查利用函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．‎ ‎25、（2010•锦州）如图，直角梯形ABCD和正方形EFGC的边BC、CG在同一条直线上，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD=4，AB=6，BC=8，直角梯形ABCD的面积与正方形EFGC的面积相等，将直角梯形ABCD沿BG向右平行移动，当点C与点G重合时停止移动．设梯形与正方形重叠部分的面积为S．‎ ‎（1）求正方形的边长；‎ ‎（2）设直角梯形ABCD的顶点C向右移动的距离为x，求S与x的函数关系式；‎ ‎（3）当直角梯形ABCD向右移动时，它与正方形EFGC的重叠部分面积S能否等于直角梯形ABCD面积的一半？若能，请求出此时运动的距离x的值；若不能，请说明理由．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列一次函数关系式；根据实际问题列二次函数关系式；三角形的面积；正方形的性质；直角梯形。‎ 专题：开放型；分类讨论。‎ 分析：（1）可通过求出梯形的面积即正方形的面积来求正方形的边长．‎ ‎（2）由（1）的结果可看出AD，EF也在一条直线上，那么本题要分两种情况进行讨论．‎ ‎①当D在E点上或E点左侧时，即当0＜x≤4时，重叠部分是个三角形，如果设DN与CE的交点为M，那么高就是CM底边就是CN，CN=x，CM可以通过构建相似三角形来求，过D作DH⊥BC于H，那么根据三角形CMN和HDN相似即可求出CM，也就能得出关于x，y的函数关系式．‎ ‎②当D在E点右侧时，即当4＜x≤6时，重叠部分是直角梯形，而DE=CG﹣（8﹣x），然后根据梯形的面积公式即可得出x，y的函数关系式．‎ ‎（3）先求出梯形的面积，然后将其一半的值代入（2）的函数式中，求出符合题意的解即可．‎ 解答：解：（1）S正方形EFGC=S梯形ABCD=‎1‎‎2‎（4+8）×6=36．‎ 设正方形边长为x．‎ ‎∴x2=36，‎ ‎∴x1=6，x2=﹣6（不合题意，舍去）．‎ ‎∴正方形的边长为6．‎ ‎（2）①当0＜x≤4时，重叠部分为△MCN．‎ 过D作DH⊥BC于H，可得△MCN∽△DHN，‎ ‎∴MCDH=CNHN，‎ ‎∴MC‎6‎=X‎4‎，‎ ‎∴MC=‎3‎‎2‎x，‎ ‎∴S=‎1‎‎2‎CN•CM=‎1‎‎2‎•x•‎3‎‎2‎x．‎ ‎∴S=‎3‎‎4‎x2．‎ ‎②当4＜x≤6时，重叠部分为直角梯形ECND．‎ S=‎1‎‎2‎[4﹣（8﹣x）]×6，‎ ‎∴S=6x﹣12．‎ ‎（3）存在．‎ ‎∵S梯形ABCD=36，当0≤x＜4时，S=‎3‎‎4‎x2，‎ ‎∴‎1‎‎2‎×36=‎3‎‎4‎x2，x=2‎6‎（取正值）＞4‎ ‎∴此时x值不存在．‎ 当4≤x≤6时，S=6x﹣12，‎ ‎∴‎1‎‎2‎×36=6x﹣12，‎ ‎∴x=5．‎ 综上所述，当x=5时，重叠部分面积S等于直角梯形的一半．‎ 点评：本题主要考查了梯形、正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，（2）中要根据重合部分的形状的不同来分类讨论．不要漏解．‎ ‎26、（2010•锦州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根．‎ ‎（1）求这条抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；‎ ‎（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）先通过解方程求出A，B两点的坐标，然后根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式．‎ ‎（2）本题要通过求△CPE的面积与P点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求△CPE的面积的最大值以及对应的P的坐标．△CPE的面积无法直接表示出，可用△CPB和△BEP的面积差来求，设出P点的坐标，即可表示出BP的长，可通过相似三角形△BEP和△BAC求出．△BEP中BP边上的高，然后根据三角形面积计算方法即可得出△CEP的面积，然后根据上面分析的步骤即可求出所求的值．‎ ‎（3）本题要分三种情况进行讨论：‎ ‎①QC=BC，那么Q点的纵坐标就是C点的纵坐标减去或加上BC的长．由此可得出Q点的坐标．‎ ‎②QB=BC，此时Q，C关于x轴对称，据此可求出Q点的坐标．‎ ‎③QB=QC，Q点在BC的垂直平分线上，可通过相似三角形来求出QC的长，进而求出Q点的坐标．‎ 解答：解：‎ ‎（1）∵x2﹣2x﹣8=0，∴（x﹣4）（x+2）=0．‎ ‎∴x1=4，x2=﹣2．‎ ‎∴A（4，0），B（﹣2，0）．‎ 又∵抛物线经过点A、B、C，设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），‎ ‎∴‎&c=4‎‎&16a+4b+c=0‎‎&4a﹣2b+c=0‎．‎ ‎∴‎&a=﹣‎‎1‎‎2‎‎&b=1‎‎&c=4‎．‎ ‎∴所求抛物线的解析式为y=﹣‎1‎‎2‎x2+x+4．‎ ‎（2）设P点坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G．‎ ‎∵点B坐标为（﹣2，0），点A坐标（4，0），‎ ‎∴AB=6，BP=m+2．‎ ‎∵PE∥AC，‎ ‎∴△BPE∽△BAC．‎ ‎∴BPAB=EGCO．‎ ‎∴EG‎4‎=‎m+2‎‎6‎ ‎∴EG=‎2m+4‎‎3‎．‎ ‎∴S△CPE=S△CBP﹣S△EBP ‎=‎1‎‎2‎BP•CO﹣‎1‎‎2‎BP•EG ‎∴S△OPE=‎1‎‎2‎（m+2）（4﹣‎2m+4‎‎3‎）‎ ‎=﹣‎1‎‎3‎m2+‎2‎‎3‎m+‎8‎‎3‎．‎ ‎∴S△CPE=﹣‎1‎‎3‎（m﹣1）2+3．‎ 又∵﹣2≤m≤4，‎ ‎∴当m=1时，S△CPE有最大值3．‎ 此时P点的坐标为（1，0）．‎ ‎（3）存在Q点，其坐标为Q1（1，1），Q2（1，‎11‎），Q3（1，﹣‎11‎），Q4（1，4+‎19‎），Q5（1，4﹣‎19‎）‎ 点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形面积的求法、三角形相似、探究等腰三角形的构成情况等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ huangling；wdxwzk；zhehe；CJX；lzhzkkxx；csiya；MMCH；hnaylzhyk；lanyuemeng；算术；137-hui；lanyan；wdxwwzy；Linaliu；bjy；ln_86；ljj；mmll852；xiu；路斐斐；开心；lanchong；zxw；wangcen；HJJ；zhjh；fuaisu；xinruozai。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日