2009年辽宁省铁岭市中考数学试题(含答案)

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2009年辽宁省铁岭市中考数学试题(含答案)

‎2009年铁岭市初中毕业生学业考试 数 学 试 卷 ‎※考试时间120分钟 试卷满分150分 一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个是正确的,请将正确答案的选项填在下表中相应题号下的空格内.每小题3分,共24分)‎ ‎1.目前国内规划中的第一高楼上海中心大厦,总投入约14 800 000 000元.14 800 000 000元用科学记数法表示为( )‎ A.元 B.元 C.元 D.元 ‎2.计算的结果为( )‎ E A B C D 第3题图 ‎45°‎ ‎125°‎ A. B. C. D.‎ ‎3.如图所示,已知直线,,,‎ 则的度数为( )‎ A.70 B.80 ‎ C.90 D.100‎ ‎4.一个圆柱体钢块,正中央被挖去了一个长方体孔,其俯视图如图所示,则此圆柱体钢块的左视图是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 俯视图 第4题图 ‎5.数据21,21,21,25,26,27的众数、中位数分别是( )‎ A.21,23 B.21,‎21 ‎ C.23,21 D.21,25‎ ‎6.为了美化环境,某市加大对绿化的投资.2007年用于绿化投资20万元,2009年用于绿化投资25万元,求这两年绿化投资的年平均增长率.设这两年绿化投资的年平均增长率为,根据题意所列方程为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7.如图所示,反比例函数与正比例函数的图象的一个交点坐标是,若,则的取值范围在数轴上表示为( )‎ y ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ y2‎ y1‎ x O 第7题图 ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ A.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ B.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ C.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ D.‎ ‎8.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折,得到如图所示的图形,然后将阴影部分剪掉,把剩余部分展开后的平面图形是( )‎ 垂直 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 第8题图 二、填空题(每小题3分,共24分)‎ ‎9.分解因式: .‎ ‎10.函数自变量的取值范围是 .‎ 第12题图 ‎11.小丽想用一张半径为‎5cm的扇形纸片围成一个底面半径为‎4cm的圆锥,接缝忽略不计,则扇形纸片的面积是 cm2.(结果用表示)‎ ‎12.如图所示,小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分,阴影部分是黑色石子,小华随意向其内部抛一个小球,则小球落在黑色石子区域内的概率是 .‎ ‎13.如图所示,为的直径,点为其半圆上一点,为另一半圆上任意一点(不含),则 度.‎ C B A P O ‎40°‎ 第13题图 O y x 第14题图 ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ 第15题图 A B C ‎14.已知抛物线()经过点,且顶点在第一象限.有下列三个结论:① ② ③.把正确结论的序号填在横线上 .‎ ‎15.如图所示,在正方形网格中,图①经过 变换(填“平移”或“旋转”或“轴对称”)可以得到图②;图③是由图②经过旋转变换得到的,其旋转中心是点 (填“A”或“B”或“C”).‎ ‎16.如图所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下去,则第个图形需要黑色棋子的个数是 .‎ 第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形 第16题图 三、解答题(每题8分,共16分)‎ ‎17.计算:.‎ ‎18.解方程:.‎ 四、解答题(每题10分,共20分)‎ ‎19.如图所示,在中,.‎ ‎(1)尺规作图:作线段的垂直平分线(保留作图痕迹,不写作法);‎ ‎(2)在已作的图形中,若分别交及的延长线于点,连接.‎ A C B 第19题图 求证:.‎ ‎20.某市开展了党员干部“一帮一扶贫”活动.为了解贫困群众对帮扶情况的满意程度,有关部门在该市所管辖的两个区内,分别随机抽取了若干名贫困群众进行问卷调查.根据收集的信息进行了统计,并绘制了下面尚不完整的统计图.已知在甲区所调查的贫困群众中,非常满意的人数占甲区所调查的总人数的35%.根据统计图所提供的信息解答下列问题:‎ ‎(1)甲区参加问卷调查的贫困群众有 人;‎ ‎(2)请将统计图补充完整;‎ 非常满意 人数 ‎800‎ ‎600‎ ‎400‎ ‎200‎ 满意 比较满意 不满意 满意程度 甲 乙 第20题图 ‎420‎ ‎700‎ ‎760‎ ‎500‎ ‎250‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎(3)小红说:“因为甲区有30人不满意,乙区有40人不满意,所以甲区的不满意率比乙区低.”你认为这种说法正确吗?为什么?‎ 五、解答题(每题10分,共20分)‎ ‎21.小明和小亮是一对双胞胎,他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们,小明和小亮都想先挑选.于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选.游戏规则是:在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球,上面分别标有数字1、2、3、4.一人先从袋中随机摸出一个小球,另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球.若摸出的两个小球上的数字和为奇数,则小明先挑选;否则小亮先挑选.‎ ‎(1)用树状图或列表法求出小明先挑选的概率;‎ ‎(2)你认为这个游戏公平吗?请说明理由.‎ ‎22.如图所示,已知是半圆的直径,弦,是延长线上一点,.判断直线与半圆的位置关系,并证明你的结论.‎ O A B E D C 第22题图 六、解答题(每题10分,共20分)‎ ‎23.某旅游区有一个景观奇异的望天洞,点是洞的入口,游人从入口进洞游览后,可经山洞到达山顶的出口凉亭处观看旅游区风景,最后坐缆车沿索道返回山脚下的处.在同一平面内,若测得斜坡的长为‎100米,坡角,在处测得的仰角,在处测得的仰角,过点作地面的垂线,垂足为.‎ ‎(1)求的度数;‎ A C D E F B 第23题图 ‎(2)求索道的长.(结果保留根号)‎ 一等奖 二等奖 三等奖 单价(元)‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎24.为迎接国庆六十周年,某校团委组织了“歌唱祖国”有奖征文活动,并设立了一、二、三等奖.学校计划派人根据设奖情况买50件奖品,其中二等奖件数比一等奖件数的2倍还少10件,三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍.各种奖品的单价如下表所示.如果计划一等奖买件,买50件奖品的总钱数是元.‎ ‎(1)求与的函数关系式及自变量的取值范围;‎ ‎(2)请你计算一下,如果购买这三种奖品所花的总钱数最少?最少是多少元?‎ 七、解答题(本题12分)‎ ‎25.是等边三角形,点是射线上的一个动点(点不与点重合),是以为边的等边三角形,过点作的平行线,分别交射线于点,连接.‎ ‎(1)如图(a)所示,当点在线段上时.‎ ‎ ①求证:;‎ ‎②探究四边形是怎样特殊的四边形?并说明理由;‎ ‎(2)如图(b)所示,当点在的延长线上时,直接写出(1)中的两个结论是否成立?‎ ‎(3)在(2)的情况下,当点运动到什么位置时,四边形是菱形?并说明理由.‎ A G C D B F E 图(a)‎ A D C B F E G 图(b)‎ 第25题图 八、解答题(本题14分)‎ ‎26.如图所示,已知在直角梯形中,轴于点.动点从点出发,沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过点作垂直于直线,垂足为.设点移动的时间为秒(),与直角梯形重叠部分的面积为.‎ ‎(1)求经过三点的抛物线解析式;‎ ‎(2)求与的函数关系式;‎ ‎(3)将绕着点顺时针旋转,是否存在,使得的顶点或在抛物线上?若存在,直接写出的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎2‎ O A B C x y ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ P 第26题图 Q ‎2009年铁岭市初中毕业生学业考试 数学试题参考答案及评分标准 注:本参考答案只给出一种或几种解法(证法),若用其他方法解答并正确,可参考此评分标准相应步骤赋分.‎ 一、选择题(每小题3分,共24分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C B B C A C D A 二、填空题(每小题3分,共24分)‎ ‎9. 10. 11. 12. 13.70‎ ‎14.①②③ 15.平移(2分);A(3分) 16.或或 三、(每题8分,共16分)‎ ‎17.解:原式 6分 ‎ 8分 ‎18.解:方程两边分别乘以得 ‎ 3分 ‎ 7分 检验:当时,(或分母不等于0)‎ ‎∴是原方程的根. 8分 四、(每题10分,共20分)‎ A C B 第19题图 F E D l ‎19.(1)直线即为所求. 1分 作图正确. 3分 ‎(2)证明:在中,‎ 又∵为线段的垂直平分线,‎ ‎∴, 5分 ‎∴,‎ ‎∴.‎ 又∵,‎ ‎∴. 8分 在中,,‎ ‎∴,‎ ‎∴. 10分 ‎20.(1)1200 3分 ‎(2)图形正确(甲区满意人数有500人) 5分 ‎(3)不正确. 6分 ‎∵甲区的不满意率是,乙区的不满意率是,‎ ‎∴甲区的不满意率比乙区的不满意率高. 10分 五、(每题10分,共20分)‎ ‎21.解:(1)根据题意可列表或树状图如下:‎ ‎ 第一次 第二次 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎——‎ ‎(1,2)‎ ‎(1,3)‎ ‎(1,4)‎ ‎2‎ ‎(2,1)‎ ‎——‎ ‎(2,3)‎ ‎(2,4)‎ ‎3‎ ‎(3,1)‎ ‎(3,2)‎ ‎——‎ ‎(3,4)‎ ‎4‎ ‎(4,1)‎ ‎(4,2)‎ ‎(4,3)‎ ‎——‎ ‎ 5分 ‎(1,2)‎ ‎(1,3)‎ ‎(1,4)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎(1,1)‎ ‎(2,3)‎ ‎(2,4)‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎(3,1)‎ ‎(3,2)‎ ‎(3,4)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎(4,1)‎ ‎(4,2)‎ ‎(4,3)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 第一次摸球 第二次摸球 ‎ 5分 从表或树状图可以看出所有可能结果共有12种,且每种结果发生的可能性相同,符合条件的结果有8种,‎ ‎∴(和为奇数) 7分 ‎(2)不公平. 8分 ‎∵小明先挑选的概率是(和为奇数),小亮先挑选的概率是(和为偶数),‎ ‎∵,∴不公平. 10分 ‎22.直线与半圆相切. 1分 ‎ 证明:法一:‎ 连接,作于点.‎ O A B E D C 第22题图 F ‎∵,∴. 2分 ‎∵. 3分 ‎∴,‎ ‎∴. 6分 ‎∵,∴. 7分 ‎∴, 8分 ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴直线与半圆相切. 10分 法二:连接,作于点,作于点.‎ ‎∵,∴.‎ 在中, 3分 ‎∵,,‎ ‎∴四边形是矩形,‎ ‎∴.‎ ‎∵,, 5分 在中,.‎ ‎∵,‎ ‎∴ 8分 ‎∴.‎ ‎∴直线与半圆相切. 10分 六、(每题10分,共20分)‎ ‎23.(1)解:∵,∴.‎ A C D E F B 第23题图 G 又∵,‎ ‎∴, 1分 ‎∵,‎ ‎∴. 2分 ‎(2)过点作于点. 3分 在中,,‎ ‎∴ 4分 又∵,‎ ‎∴.‎ ‎. 6分 在中, 7分 ‎∴, 8分 ‎∴(米) 9分 答:索道长米. 10分 ‎24.解:(1) 2分 ‎. 3分 由 5分 得 6分 ‎∴自变量的取值范围是,且为整数. 7分 ‎(2)∵,∴随的增大而增大,当时,有最小值. 8分 最小值为. 9分 答:一等奖买10件,二等奖买10件,三等奖买30件时,所花的钱数最少,‎ 最少钱数是370元. 10分 七、(本题12分)‎ ‎25.(1)①证明:∵和都是等边三角形,‎ A G C D B F E 图(a)‎ 第25题图 ‎∴. 1分 又∵,,‎ ‎∴,‎ ‎∴. 3分 ‎②法一:由①得,‎ ‎∴.‎ 又∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴. 5分 又∵,‎ ‎∴四边形是平行四边形. 6分 法二:证出,‎ 得. 5分 由①得.‎ 得.‎ ‎∴四边形是平行四边形. 6分 ‎(2)①②都成立. 8分 A D C B F E G 图(b)‎ 第25题图 ‎(3)当(或或或或)时,四边形是菱形. 9分 理由:法一:由①得,‎ ‎∴ 10分 又∵,‎ ‎∴. 11分 由②得四边形是平行四边形,‎ ‎∴四边形是菱形. 12分 法二:由①得,‎ ‎∴. 9分 又∵四边形是菱形,‎ ‎∴ 11分 ‎∴. 12分 法三:∵四边形是平行四边形,‎ ‎∴,‎ ‎∴ 9分 ‎∴,‎ ‎∴是等边三角形. 10分 又∵,四边形是菱形,‎ ‎∴,‎ ‎∴ 11分 ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴. 12分 八、解答题(本题14分)‎ ‎26.解:(1)法一:由图象可知:抛物线经过原点,‎ 设抛物线解析式为.‎ 把,代入上式得: 1分 解得 3分 ‎∴所求抛物线解析式为 4分 法二:∵,,‎ ‎∴抛物线的对称轴是直线.‎ 设抛物线解析式为() 1分 把,代入得 ‎ 解得 3分 ‎∴所求抛物线解析式为. 4分 ‎(2)分三种情况:‎ ‎①当,重叠部分的面积是,过点作轴于点,‎ ‎2‎ O A B C x y ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ P 第26题图1‎ Q F ‎∵,在中,,,‎ 在中,,,‎ ‎∴,‎ ‎2‎ O A B C x y ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ 第26题图2‎ Q F G P H ‎∴. 6分 ‎②当,设交于点,作轴于点,‎ ‎,则四边形是等腰梯形,‎ 重叠部分的面积是.‎ ‎∴,‎ ‎∴. 8分 ‎③当,设与交于点,交于点,重叠部分的面积是.‎ ‎2‎ O A B C x y ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ 第26题图3‎ Q F M P N 因为和都是等腰直角三角形,所以重叠部分的面积是.‎ ‎∵,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎ . 10分 ‎(3)存在 12分 ‎ 14分
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