2019湖南省怀化市中考数学试卷 解析版

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2019湖南省怀化市中考数学试卷 解析版

‎2019年湖南省怀化市中考数学试卷 一、选择题(每小题4分,共40分;每小題的四个选项中只有一项是正确的,请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上)‎ ‎1.(4分)下列实数中,哪个数是负数(  )‎ A.0 B.3 C. D.﹣1‎ ‎2.(4分)单项式﹣5ab的系数是(  )‎ A.5 B.﹣5 C.2 D.﹣2‎ ‎3.(4分)怀化位于湖南西南部,区域面积约为27600平方公里,将27600用科学记数法表示为(  )‎ A.27.6×103 B.2.76×103 C.2.76×104 D.2.76×105‎ ‎4.(4分)抽样调查某班10名同学身高(单位:厘米)如下:160,152,165,152,160,160,170,160,165,159.则这组数据的众数是(  )‎ A.152 B.160 C.165 D.170‎ ‎5.(4分)与30°的角互为余角的角的度数是(  )‎ A.30° B.60° C.70° D.90°‎ ‎6.(4分)一元一次方程x﹣2=0的解是(  )‎ A.x=2 B.x=﹣2 C.x=0 D.x=1‎ ‎7.(4分)怀化是一个多民族聚居的地区,民俗文化丰富多彩.下面是几幅具有浓厚民族特色的图案,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎8.(4分)已知∠α为锐角,且sinα=,则∠α=(  )‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ ‎9.(4分)一元二次方程x2+2x+1=0的解是(  )‎ A.x1=1,x2=﹣1 B.x1=x2=1 C.x1=x2=﹣1 D.x1=﹣1,x2=2‎ ‎10.(4分)为了落实精准扶贫政策,某单位针对某山区贫困村的实际情况,特向该村提供优质种羊若干只.在准备配发的过程中发现:公羊刚好每户1只;若每户发放母羊5只,则多出17只母羊,若每户发放母羊7只,则有一户可分得母羊但不足3只.这批种羊共(  )只.‎ A.55 B.72 C.83 D.89‎ 二、填空题(每小题4分,共24分;请将答案直接填写在答题卡的相应位置上)‎ ‎11.(4分)合并同类项:4a2+6a2﹣a2=   .‎ ‎12.(4分)因式分解:a2﹣b2=   .‎ ‎13.(4分)计算:﹣=   .‎ ‎14.(4分)若等腰三角形的一个底角为72°,则这个等腰三角形的顶角为   .‎ ‎15.(4分)当a=﹣1,b=3时,代数式2a﹣b的值等于   .‎ ‎16.(4分)探索与发现:下面是用分数(数字表示面积)砌成的“分数墙”,则整面“分数墙”的总面积是   .‎ 三、解答题(本大题共7小题,共86分)‎ ‎17.(8分)计算:(π﹣2019)0+4sin60°﹣+|﹣3|‎ ‎18.(8分)解二元一次方组:‎ ‎19.(10分)已知:如图,在▱ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,E,F分别为垂足.‎ ‎(1)求证:△ABE≌△CDF;‎ ‎(2)求证:四边形AECF是矩形.‎ ‎20.(10分)如图,为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度,小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向,他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处,此时测得柳树位于北偏东30°方向,试计算此段河面的宽度.‎ ‎21.(12分)某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛,在选拔赛中,两人各射箭10次的成绩(单位:环数)如下:‎ 次数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 王方 ‎7‎ ‎10‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎10‎ 李明 ‎8‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎(1)根据以上数据,将下面两个表格补充完整:‎ 王方10次射箭得分情况 ‎ 环数 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 频数 ‎   ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 频率 ‎   ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 李明10次射箭得分情况 ‎ 环数 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 频数 ‎   ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ 频率 ‎   ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ ‎   ‎ ‎(2)分别求出两人10次射箭得分的平均数;[来源:Zxxk.Com]‎ ‎(3)从两人成绩的稳定性角度分析,应选派谁参加比赛合适.‎ ‎22.(12分)如图,A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点,连接AC、CE、EB、BD、DA,得到一个五角星图形和五边形MNFGH.‎ ‎(1)计算∠CAD的度数;‎ ‎(2)连接AE,证明:AE=ME;[来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎(3)求证:ME2=BM•BE.‎ ‎23.(14分)如图,在直角坐标系中有Rt△AOB,O为坐标原点,OB=1,tan∠ABO=3,将此三角形绕原点O顺时针旋转90°,得到Rt△COD,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象刚好经过A,B,C三点.‎ ‎(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;‎ ‎(2)过定点Q的直线l:y=kx﹣k+3与二次函数图象相交于M,N两点.‎ ‎①若S△PMN=2,求k的值;‎ ‎②证明:无论k为何值,△PMN恒为直角三角形;‎ ‎③当直线l绕着定点Q旋转时,△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动,直接写出该抛物线的表达式.‎ ‎2019年湖南省怀化市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题4分,共40分;每小題的四个选项中只有一项是正确的,请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上)‎ ‎1.(4分)下列实数中,哪个数是负数(  )‎ A.0 B.3 C. D.﹣1‎ ‎【分析】根据小于零的数是负数,可得答案.‎ ‎【解答】解:A、0既不是正数也不是负数,故A错误;‎ B、3是正实数,故B错误;‎ C、是正实数,故C错误;‎ D、﹣1是负实数,故D正确;‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了实数,小于零的数是负数,属于基础题型.‎ ‎2.(4分)单项式﹣5ab的系数是(  )‎ A.5 B.﹣5 C.2 D.﹣2‎ ‎【分析】根据单项式系数的定义来选择,单项式中数字因数叫做单项式的系数,单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数,可得答案 ‎【解答】解:单项式﹣5ab的系数是﹣5,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查单项式,注意单项式中数字因数叫做单项式的系数,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.‎ ‎3.(4分)怀化位于湖南西南部,区域面积约为27600平方公里,将27600用科学记数法表示为(  )‎ A.27.6×103 B.2.76×103 C.2.76×104 D.2.76×105‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:将27600用科学记数法表示为:2.76×105.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎4.(4分)抽样调查某班10名同学身高(单位:厘米)如下:160,152,165,152,160,160,170,160,165,159.则这组数据的众数是(  )‎ A.152 B.160 C.165 D.170‎ ‎【分析】根据众数定义:一组数据中出现次数最多的数据叫众数,可知160出现的次数最多.‎ ‎【解答】解:数据160出现了4次为最多,‎ 故众数是160,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】此题主要考查了众数,关键是把握众数定义,难度较小.‎ ‎5.(4分)与30°的角互为余角的角的度数是(  )‎ A.30° B.60° C.70° D.90°‎ ‎【分析】直接利用互为余角的定义分析得出答案.‎ ‎【解答】解:与30°的角互为余角的角的度数是:60°.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】此题主要考查了互为余角的定义,正确把握互为余角的定义是解题关键.‎ ‎6.(4分)一元一次方程x﹣2=0的解是(  )‎ A.x=2 B.x=﹣2 C.x=0 D.x=1‎ ‎【分析】直接利用一元一次方程的解法得出答案.‎ ‎【解答】解:x﹣2=0,‎ 解得:x=2.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】此题主要考查了一元一次方程的解法,正确掌握基本解题方法是解题关键.‎ ‎7.(4分)怀化是一个多民族聚居的地区,民俗文化丰富多彩.下面是几幅具有浓厚民族特色的图案,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解.‎ ‎【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;‎ B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;‎ C、既是中心对称图形也是轴对称图形,故此选项正确;‎ D、是轴对称图形,但不是中心对称图形,故此选项错误.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念:轴对称的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合,中心对称是要寻找对称中心,旋转180°后与原图重合.[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎8.(4分)已知∠α为锐角,且sinα=,则∠α=(  )‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ ‎【分析】根据特殊角的三角函数值解答.‎ ‎【解答】解:∵∠α为锐角,且sinα=,‎ ‎∴∠α=30°.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值,属较简单题目.‎ ‎9.(4分)一元二次方程x2+2x+1=0的解是(  )‎ A.x1=1,x2=﹣1 B.x1=x2=1 C.x1=x2=﹣1 D.x1=﹣1,x2=2‎ ‎【分析】利用完全平方公式变形,从而得出方程的解.‎ ‎【解答】解:∵x2+2x+1=0,‎ ‎∴(x+1)2=0,‎ 则x+1=0,‎ 解得x1=x2=﹣1,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.‎ ‎10.(4分)为了落实精准扶贫政策,某单位针对某山区贫困村的实际情况,特向该村提供优质种羊若干只.在准备配发的过程中发现:公羊刚好每户1只;若每户发放母羊5只,则多出17只母羊,若每户发放母羊7只,则有一户可分得母羊但不足3只.这批种羊共(  )只.‎ A.55 B.72 C.83 D.89‎ ‎【分析】设该村共有x户,则母羊共有(5x+17)只,根据“每户发放母羊7只时有一户可分得母羊但不足3只”列出关于x的不等式组,解之求得整数x的值,再进一步计算可得.‎ ‎【解答】解:设该村共有x户,则母羊共有(5x+17)只,‎ 由题意知,‎ 解得:<x<12,‎ ‎∵x为整数,‎ ‎∴x=11,‎ 则这批种羊共有11+5×11+17=83(只),‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查一元一次不等式组的应用,解题的关键是理解题意找到题目蕴含的不等关系,并据此得出不等式组.‎ 二、填空题(每小题4分,共24分;请将答案直接填写在答题卡的相应位置上)‎ ‎11.(4分)合并同类项:4a2+6a2﹣a2= 9a2 .‎ ‎【分析】根据合并同类项法则计算可得.‎ ‎【解答】解:原式=(4+6﹣1)a2=9a2,‎ 故答案为:9a2.‎ ‎【点评】本题考查合并同类项,合并同类项时要注意以下三点:‎ ‎①‎ 要掌握同类项的概念,会辨别同类项,并准确地掌握判断同类项的两条标准:带有相同系数的代数项;字母和字母指数;‎ ‎②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项,经过合并同类项,式的项数会减少,达到化简多项式的目的;‎ ‎③“合并”是指同类项的系数的相加,并把得到的结果作为新的系数,要保持同类项的字母和字母的指数不变.‎ ‎12.(4分)因式分解:a2﹣b2= (a+b)(a﹣b) .‎ ‎【分析】利用平方差公式直接分解即可求得答案.‎ ‎【解答】解:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).‎ 故答案为:(a+b)(a﹣b).‎ ‎【点评】此题考查了平方差公式的应用.解题的关键是熟记公式.‎ ‎13.(4分)计算:﹣= 1 .‎ ‎【分析】由于两分式的分母相同,分子不同,故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可.‎ ‎【解答】解:原式=‎ ‎=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎【点评】本题考查的是分式的加减法,即同分母的分式想加减,分母不变,把分子相加减.‎ ‎14.(4分)若等腰三角形的一个底角为72°,则这个等腰三角形的顶角为 36° .‎ ‎【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵等腰三角形的一个底角为72°,‎ ‎∴等腰三角形的顶角=180°﹣72°﹣72°=36°,‎ 故答案为:36°.‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.‎ ‎15.(4分)当a=﹣1,b=3时,代数式2a﹣b的值等于 ﹣5 .‎ ‎【分析】把a、b的值代入代数式,即可求出答案即可.‎ ‎【解答】解:当a=﹣1,b=3时,2a﹣b=2×(﹣1)﹣3=﹣5,‎ 故答案为:﹣5.‎ ‎【点评】本题考查了求代数式的值的应用,能正确进行有理数的混合运算是解此 题的关键.‎ ‎16.(4分)探索与发现:下面是用分数(数字表示面积)砌成的“分数墙”,则整面“分数墙”的总面积是 n﹣1 .‎ ‎【分析】由题意“分数墙”的总面积=2×+3×+4×+…+n×=n﹣1.‎ ‎【解答】解:由题意“分数墙”的总面积=2×+3×+4×+…+n×=n﹣1,‎ 故答案为n﹣1.‎ ‎【点评】本题考查规律型问题,有理数的混合运算等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.‎ 三、解答题(本大题共7小题,共86分)‎ ‎17.(8分)计算:(π﹣2019)0+4sin60°﹣+|﹣3|‎ ‎【分析】先计算零指数幂、代入三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号,再计算乘法,最后计算加减可得.‎ ‎【解答】解:原式=1+4×﹣2+3‎ ‎=1+2﹣2+3‎ ‎=4.‎ ‎【点评】本题主要考查实数的运算,解题的关键是掌握零指数幂的规定、熟记特殊锐角三角函数值及二次根式与绝对值的性质.‎ ‎18.(8分)解二元一次方组:‎ ‎【分析】直接利用加减消元法进而解方程组即可.‎ ‎【解答】解:,‎ ‎①+②得:‎ ‎2x=8,‎ 解得:x=4,‎ 则4﹣3y=1,‎ 解得:y=1,‎ 故方程组的解为:.‎ ‎【点评】此题主要考查了解二元一次方程组,正确掌握解题方法是解题关键.‎ ‎19.(10分)已知:如图,在▱ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,E,F分别为垂足.‎ ‎(1)求证:△ABE≌△CDF;‎ ‎(2)求证:四边形AECF是矩形.‎ ‎【分析】(1)由平行四边形的性质得出∠B=∠D,AB=CD,AD∥BC,由已知得出∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°,由AAS证明△ABE≌△CDF即可;‎ ‎(2)证出∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°,即可得出结论.‎ ‎【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴∠B=∠D,AB=CD,AD∥BC,‎ ‎∵AE⊥BC,CF⊥AD,‎ ‎∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°,‎ 在△ABE和△CDF中,,‎ ‎∴△ABE≌△CDF(AAS);‎ ‎(2)证明:∵AD∥BC,‎ ‎∴∠EAF=∠AEB=90°,‎ ‎∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°,‎ ‎∴四边形AECF是矩形.‎ ‎【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质;熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键.‎ ‎20.(10分)如图,为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度,小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向,他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处,此时测得柳树位于北偏东30°方向,试计算此段河面的宽度.‎ ‎【分析】如图,作AD⊥于BC于D.由题意得到BC=1.5×40=60米,∠ABD=30°,∠ACD=60°,根据三角形的外角的性质得到∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=30°,求得∠ABC=∠BAC,得到BC=AC=60米.在Rt△ACD中,根据三角函数的定义即可得到结论.‎ ‎【解答】解:如图,作AD⊥于BC于D.‎ 由题意可知:BC=1.5×40=60米,∠ABD=30°,∠ACD=60°,‎ ‎∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=30°,[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴∠ABC=∠BAC,‎ ‎∴BC=AC=60米.‎ 在Rt△ACD中,AD=AC•sin60°=60×=30(米).‎ 答:这条河的宽度为30米.‎ ‎【点评】此题主要考查了解直角三角形﹣方向角问题,解题时首先正确理解题意,然后作出辅助线构造直角三角形解决问题.‎ ‎21.(12分)某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛,在选拔赛中,两人各射箭10次的成绩(单位:环数)如下:‎ 次数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 王方 ‎7‎ ‎10‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎10‎ 李明 ‎8‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎(1)根据以上数据,将下面两个表格补充完整:‎ 王方10次射箭得分情况 ‎ 环数 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 频数 ‎ 1 ‎ ‎ 2 ‎ ‎ 1 ‎ ‎ 3 ‎ ‎ 3 ‎ 频率 ‎ 0.1 ‎ ‎ 0.2 ‎ ‎ 0.1 ‎ ‎ 0.3 ‎ ‎ 0.3 ‎ 李明10次射箭得分情况 ‎ 环数 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 频数 ‎ 0 ‎ ‎ 0 ‎ ‎ 6 ‎ ‎ 3 ‎ ‎ 1 ‎ 频率 ‎ 0 ‎ ‎ 0 ‎ ‎ 0.6 ‎ ‎ 0.3 ‎ ‎ 0.1 ‎ ‎(2)分别求出两人10次射箭得分的平均数;‎ ‎(3)从两人成绩的稳定性角度分析,应选派谁参加比赛合适.‎ ‎【分析】(1)根据各组的频数除以10即可得到结论;‎ ‎(2)根据加权平均数的定义即可得到结论;‎ ‎(3)根据方差公式即可得到结论.‎ ‎【解答】解:(1)‎ 环数 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 频数 ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ 李明10次射箭得分情况 ‎ 环数 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 频数 ‎0‎ ‎0‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎1‎ 频率 ‎0‎ ‎0‎ ‎0.6‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎(2)王方的平均数=(6+14+8+27+30)=8.5;李明的平均数=(48+27+10)=8.5;‎ ‎(3)∵S=[(6﹣8.5)2+2(7﹣8.5)2+(8﹣8.5)2+3(9﹣8.5)2+3(10﹣8.5)2]=1.85;‎ S=[6(8﹣8.5)2+3(9﹣8.5)2+(10﹣8.5)2=0.35;‎ ‎∵S>S,‎ ‎∴应选派李明参加比赛合适.‎ ‎【点评】本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.‎ ‎22.(12分)如图,A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点,连接AC、CE、EB、BD、DA,得到一个五角星图形和五边形MNFGH.‎ ‎(1)计算∠CAD的度数;‎ ‎(2)连接AE,证明:AE=ME;‎ ‎(3)求证:ME2=BM•BE.‎ ‎【分析】(1)由题意可得∠COD=70°,由圆周角的定理可得∠CAD=36°;‎ ‎(2)由圆周角的定理可得∠CAD=∠DAE=∠AEB=36°,可求∠AME=∠CAE=72°,可得AE=ME;‎ ‎(3)通过证明△AEN∽△BEA,可得,可得ME2=BE•NE,通过证明BM=NE,即可得结论.‎ ‎【解答】解:(1)∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点,‎ ‎∴的度数==72°‎ ‎∴∠COD=70°‎ ‎∵∠COD=2∠CAD ‎∴∠CAD=36°‎ ‎(2)连接AE ‎∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点,‎ ‎∴‎ ‎∴∠CAD=∠DAE=∠AEB=36°‎ ‎∴∠CAE=72°,且∠AEB=36°‎ ‎∴∠AME=72°‎ ‎∴∠AME=∠CAE ‎∴AE=ME ‎(3)连接AB ‎∵‎ ‎∴∠ABE=∠DAE,且∠AEB=∠AEB ‎∴△AEN∽△BEA ‎∴‎ ‎∴AE2=BE•NE,且AE=ME[来源:学科网]‎ ‎∴ME2=BE•NE ‎∵‎ ‎∴AE=AB,∠CAB=∠CAD=∠DAE=∠BEA=∠ABE=36°‎ ‎∴∠BAD=∠BNA=72°‎ ‎∴BA=BN,且AE=ME ‎∴BN=ME ‎∴BM=NE ‎∴ME2=BE•NE=BM•BE ‎【点评】本题是圆的综合题,考查了圆的有关知识,相似三角形的性质和判定,证明△AEN∽△BEA是本题的关键.‎ ‎23.(14分)如图,在直角坐标系中有Rt△AOB,O为坐标原点,OB=1,tan∠ABO=3,将此三角形绕原点O顺时针旋转90°,得到Rt△COD,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象刚好经过A,B,C三点.‎ ‎(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;‎ ‎(2)过定点Q的直线l:y=kx﹣k+3与二次函数图象相交于M,N两点.‎ ‎①若S△PMN=2,求k的值;‎ ‎②证明:无论k为何值,△PMN恒为直角三角形;‎ ‎③当直线l绕着定点Q旋转时,△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动,直接写出该抛物线的表达式.‎ ‎【分析】(1)求出点A、B、C的坐标分别为(0,3)、(﹣1,0)、(3,0),即可求解;‎ ‎(2)①S△PMN=PQ×(x2﹣x1),则x2﹣x1=4,即可求解;②k1k2===﹣1,即可求解;③取MN的中点H,则点H是△PMN外接圆圆心,即可求解.‎ ‎【解答】解:(1)OB=1,tan∠ABO=3,则OA=3,OC=3,‎ 即点A、B、C的坐标分别为(0,3)、(﹣1,0)、(3,0),‎ 则二次函数表达式为:y=a(x﹣3)(x+1)=a(x2﹣2x﹣3),‎ 即:﹣3a=3,解得:a=﹣1,‎ 故函数表达式为:y=﹣x2+2x+3,‎ 点P(1,4);‎ ‎(2)将二次函数与直线l的表达式联立并整理得:‎ x2﹣(2﹣k)x﹣k=0,‎ 设点M、N的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),‎ 则x1+x2=2﹣k,x1x2=﹣k,‎ 则:y1+y2=k(x1+x2)﹣2k+6=6﹣k2,‎ 同理:y1y2=9﹣4k2,‎ ‎①y=kx﹣k+3,当x=1时,y=3,即点Q(1,3),‎ S△PMN=2=PQ×(x2﹣x1),则x2﹣x1=4,‎ ‎|x2﹣x1|=,‎ 解得:k=±2;‎ ‎②点M、N的坐标为(x1,y1)、(x2,y2)、点P(1,4),‎ 则直线PM表达式中的k1值为:,直线PN表达式中的k2值为:,‎ 为:k1k2===﹣1,‎ 故PM⊥PN,‎ 即:△PMN恒为直角三角形;‎ ‎③取MN的中点H,则点H是△PMN外接圆圆心,‎ 设点H坐标为(x,y),‎ 则x==1﹣k,‎ y=(y1+y2)=(6﹣k2),‎ 整理得:y=﹣2x2+4x+1,‎ 即:该抛物线的表达式为:y=﹣2x2+4x+1.‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、圆的基本知识等,其中,用韦达定理处理复杂数据,是本题解题的关键.‎
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