2019九年级数学上册 专题突破讲练 解直角三角形试题 (新版)青岛版

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2019九年级数学上册 专题突破讲练 解直角三角形试题 (新版)青岛版

解直角三角形 解直角三角形的基本类型以及解法 图形 已知类型 已知条件 解法步骤 两边 斜边,一直角边 ‎(如c、a)‎ ‎①b=;‎ ‎②由sinA=,求∠A;‎ ‎③∠B=90°-∠A 两直角边 ‎(如a、b)‎ ‎①c=;‎ ‎②由tanA=,求∠A;‎ ‎③∠B=90°-∠A 一边一角 斜边,一锐角 ‎(如c,∠A)‎ ‎①∠B=90°-∠A;‎ ‎②由sinA=,求a=c·sinA;‎ ‎③由cosA=,求b=c·cosA 一直角边,一锐角 ‎(如a、∠A)‎ ‎①∠B=90°-∠A;‎ ‎②由tanA=,求b=;‎ ‎③由sinA=,求c= 方法归纳:(1)直角三角形中的五个元素:两条直角边,一条斜边,两个锐角。在没有特殊说明的情况下,“解直角三角形”即求出所有的未知元素。‎ ‎(2)直角三角形的特殊性质:①直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半;②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。‎ ‎(3)直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积。‎ 总结:‎ ‎1. 能够利用勾股定理、三角函数解直角三角形;‎ ‎2. 会添加适当的辅助线构造直角三角形解决斜三角形的问题。‎ 例题 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sinB=,AD=1。‎ ‎(1)求BC的长;‎ ‎(2)求tan∠DAE的值。‎ 解析:(1)先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°,再解 8‎ Rt△ADC,得出DC=1;解Rt△ADB,得出AB=3,根据勾股定理求出BD,然后根据BC=BD+DC即可求解;(2)先由三角形的中线的定义求出CE的值,则DE=CE-CD,然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解。‎ 答案:(1)在△ABC中,∵AD是BC边上的高,∴∠ADB=∠ADC=90°。‎ 在△ADC中,∵∠ADC=90°,∠C=45°,AD=1,∴DC=AD=1。‎ 在△ADB中,∵∠ADB=90°,sinB=,AD=1,∴AB==3,∴BD==2,∴BC=BD+DC=2+1;‎ ‎(2)∵AE是BC边上的中线,∴CE=BC=+,∴DE=CE-CD=-,∴tan∠DAE==-。‎ 点拨:本题考查了三角形的高、中线的定义,勾股定理,解直角三角形等知识点,难度中等,解答这类问题时注意将相关的边和角转化到相应的直角三角形中。‎ 解直角三角形时应注意以下问题:‎ ‎(1)在求解有关解直角三角形的问题时,要画出图形,以利于分析解决问题;‎ ‎(2)选择关系式时要尽量利用原始数据,以防止“累积错误”;‎ ‎(3)遇到不是直角三角形的图形时,要添加适当的辅助线,将其转化为直角三角形后再求解。‎ 总之,解直角三角形时,选择恰当的边角关系式尤为重要,恰当的边角关系不仅能使问题迅速解决,而且还会使计算简便、过程简捷,达到事半功倍的效果。解直角三角形的方法遵循“有斜用弦,无斜用切;宁乘勿除,化斜为直”的原则。‎ 满分训练 如图所示,在△ABC中,AD为∠A的平分线,AB=3,AC=5,∠BAC=120°,求AD的长。‎ 解析:要求AD,需选择适当的三角形使AD为其一边,这样才能方便地运用有关知识处理问题,所以本题应考虑将AD构造成直角三角形的边。‎ 答案:设AD=x。∵AD是∠BAC的平分线,∠BAC=120°,∴∠1=∠2=60°。‎ ‎∵S△ACD+S△ADB=S△ABC,作DH1⊥AB于H1,DH2⊥AC于H2,BH3⊥CA,交CA延长线于H3,则DH1=DH2=ADsin60°=xsin60°,BH3=3sin60°。‎ ‎∴×5×xsin60°+×3×xsin60°=×5×3sin60°。‎ 解得x=,所以角平分线AD的长为。‎ 8‎ 点拨:求钝角或锐角三角形中的边角时,常常作出垂直,构造直角三角形,得到边角之间的关系。‎ ‎(答题时间:)‎ 一、选择题 ‎1. △ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是( )‎ A. csinA=a B. bcosB=c C. atanA=b D. ctanB=b ‎*2. 如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,点P在四边形ABCD上,若P到BD的距离为,则点P的个数为( )‎ A. 1 B. ‎2 ‎ C. 3 D. 4‎ ‎**3. 如图,在Rt△ABO中,斜边AB=1。若OC∥BA,∠AOC=36°,则( )‎ A. 点B到AO的距离为sin54° B. 点B到AO的距离为tan36°‎ C. 点A到OC的距离为sin36°sin54° D. 点A到OC的距离为cos36°sin54°‎ ‎**4. 在矩形ABCD中,有一个菱形BFDE(点E、F分别在线段AB、CD上),记它们的面积分别为SABCD和SBFDE,现给出下列命题:①若=,则tan∠EDF=;②若DE2=BD•EF,则DF=2AD。则( )‎ A. ①是真命题,②是真命题 B. ①是真命题,②是假命题 C. ①是假命题,②是真命题 D. ①是假命题,②是假命题 8‎ 二、填空题 ‎5. 在△ABC中,AB=AC=5,sin∠ABC=0.8,则BC=__________。‎ ‎*6. 如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB于点E,cosA=,BE=4,则tan∠DBE的值是__________。‎ ‎**7. 在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E,垂足为D,连接BE。已知AE=5,tan∠AED=,则BE+CE=__________。‎ ‎**8. 如图所示,在△ABC中,∠A=30°,AB=AC=2,BD是边AC上的高,利用此图可求得tan15°=__________,BC=__________。‎ 三、解答题 ‎9. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sin∠A=,求BC的长和tan∠B的值。‎ ‎10. 如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AB=8,∠ABD=30°,∠CAD=45°,求BC的长。‎ ‎*11. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,BE⊥CD,垂足为点E。己知AC=15,cosA=。‎ 8‎ ‎(1)求线段CD的长;‎ ‎(2)求sin∠DBE的值。‎ ‎**12. 如图,已知△ABC是⊙O的内接三角形,AB=AC,点P是的中点,连接PA、PB、PC。‎ ‎(1)如图①,若∠BPC=60°,求证:AC=AP;‎ ‎(2)如图②,若sin∠BPC=,求tan∠PAB的值。‎ 8‎ ‎1. A 解析:∵a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,且∠C=90°。sinA=,则csinA=a,故选项A正确;cosB=,则ccosB=a,故选项B错误;tanA=,则=b,故选项C错误;tanB=,则atanB=b,故选项D错误。‎ ‎2. B 解析:过点A作AE⊥BD于E,过点C作CF⊥BD于F,∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,∴∠ABD=∠ADB=45°,∴∠CDF=90°-∠ADB=45°,∵sin∠ABD=,∴AE=AB•sin∠ABD=2•sin45°=2•=2>,所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个;∵sin∠CDF=,∴CF=CD•sin∠CDF=•=1<,所以在边BC和CD上没有到BD的距离为的点。总之,P到BD的距离为的点有2个。‎ ‎3. C 解析:点B到AO的距离是指BO的长,∵AB∥OC,∴∠BAO=∠AOC=36°,∵在Rt△BOA中,∠BOA=90°,AB=1,∴sin36°=,∴BO=ABsin36°=sin36°,故选项A错误;由以上可知,选项B错误;过A作AD⊥OC于D,则AD的长是点A到OC的距离,∵∠BAO=36°,∠AOB=90°,∴∠ABO=54°,∵sin36°=,∴AD=AO•sin36°,∵sin54°=,∴AO=AB•sin54°,又∵AB=1,∴AD=AB•sin54°•sin36°=1×sin54°•sin36°=sin54°•sin36°,故选项C正确;由以上可知,选项D错误,故选C。‎ ‎4. A 解析:①设CF=x,DF=y,BC=h,则由已知菱形BFDE得,BF=DF=y,由已知得:=,化简得:=,即在△BFC中,cos∠BFC===,∴∠BFC=30°。由已知得∠EDF=30°,∴tan∠EDF=,所以①是真命题。②已知菱形BFDE,∴DF=DE,S△DEF=DF•AD=BD•EF,又DE2=BD•EF(已知),∴S△DEF=DE2=DF2,∴DF•AD=DF2,∴DF=2AD,所以②是真命题。故选:A。‎ ‎5. 6 解析:过点A作AD⊥BC于D,∵AB=AC,∴BD=CD,在Rt△ABD中,∵sin∠ABC==0.8,∴AD=5×0.8=4,则BD==3,∴BC=BD+CD=3+3=6。‎ 8‎ ‎6. 2 解析:∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB,∵cosA=,BE=4,DE⊥AB,∴设AD=AB=5x,AE=3x,则5x-3x=4,x=2,即AD=10,AE=6,在Rt△ADE中,由勾股定理得:DE==8,在Rt△BDE中,tan∠DBE===2。‎ ‎7. 6或16 解析:①若∠BAC为锐角,如答图1所示:‎ ‎∵AB的垂直平分线是DE,∴AE=BE,ED⊥AB,AD=AB,∵AE=5,tan∠AED=,∴sin∠AED=,∴AD=AE•sin∠AED=3,∴AB=6,∴BE+CE=AE+CE=AC=AB=6;②若∠BAC为钝角,如答图2所示:‎ 同理可求得:BE+CE=16。故答案为:6或16。‎ ‎8. ; 解析:在△ABD中,BD=ABsin∠A=2sin30°=1,AD=ABcos∠A=2cos30°=。所以CD=AC-AD=AB-AD=2-,所以tan∠CBD==2-,∠CBD=∠ABC-∠ABD=75°-60°=15°,即tan15°=2-。BC2=BD2+CD2=8-4=(-)2,所以BC=-。‎ ‎9. 解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sinA===,∴BC=4,根据勾股定理得:AC==2,则tanB===。‎ ‎10. 解:∵AD⊥BC于点D,∴∠ADB=∠ADC=90°。在Rt△ABD中,∵AB=8,∠ABD=30°,∴AD=ABsin∠ABD=AB=4,BD=ABcos∠ABD=AB=4。在Rt△ADC中,∵∠CAD=45°,∠ADC=90°,∴DC=AD=4,∴BC=BD+DC=4+4。‎ ‎11. 解:(1)在Rt△ABC中,cosA=,∵AC=15,∴AB==15× 8‎ ‎=25。又∵点D是Rt△ABC斜边AB的中点,∴CD=AB=;(2)∵点D是AB的中点,∴△ACD、△BCD都是等腰三角形,∴∠ADC=∠ACD,∠BCD=∠CBD。∵∠ADC=∠BDE=90°-∠DBE,∠ACD=90°-∠BCD=90°-∠CBD,∴∠DBE=∠CBD。∴sin∠DBE=sin∠CBD===。‎ ‎12. 解:(1)∵∠BPC=60°,∴∠BAC=60°,∵AB=AC,∴△ABC为等边三角形,∴∠ACB=∠ABC=60°,∴∠APC=∠ABC=60°,而点P是的中点,∴∠ACP=∠ACB=30°,∴∠PAC=90°,∴tan∠PCA==tan30°=,∴AC=PA;(2)过A点作AD⊥BC交BC于D,连接OP交AB于E,如图,∵AB=AC,∴AD平分BC,∴点O在AD上,连接OB,则∠BOD=∠BAC,∵∠BPC=∠BAC,∴sin∠BOD=sin∠BPC==,设OB=25x,则BD=24x,∴OD==7x,在Rt△ABD中,AD=25x+7x=32x,BD=24x,∴AB==40x,∵点P是的中点,∴OP垂直平分AB,∴AE=AB=20x,∠AEP=∠AEO=90°,在Rt△AEO中,OE==15x,∴PE=OP-OE=25x-15x=10x,在Rt△APE中,tan∠PAE===,即tan∠PAB的值为。‎ 8‎
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