初中数学中考复习课件章节考点专题突破:第一章 数与式第一章第5讲二次根式及其运算

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初中数学中考复习课件章节考点专题突破:第一章 数与式第一章第5讲二次根式及其运算

第 5 讲 二次根式及其运算 要点梳理 1 . 二次根式的概念 式子 叫做二次根式. 2 . 二次根式的性质 (1)( a ) 2 = 。 (2) a 2 = | a | = î ï í ï ì a ( a > 0 ) ; 0 ( a = 0 ) ; - a ( a < 0 ) W . a ( a≥0 ) 要点梳理 3 . 二次根式的运算 (1) 二次根式加减法的实质是合并同类根式; (2) 二次根式的乘法: a · b = ; (3) 二次根式乘法 的反用: ab = ; (4) 二次根式的除法: a b = ; (5) 二次根式除法的反用: a b = . 要点梳理 4 . 最简二次根式 运算结果中的二次根式 , 一般都要化成最简二次根式.最简二次根式 , 需满足两个条件: (1) 被开方数不含分母; (2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式. “ 双重非负性 ” 算术平方根 a 具有双重非负性 , 一是被开方数 a 必须 是非负数 , 即 a ≥ 0 ;二是算术平方根 a 的值是非负数 , 即 a ≥ 0. 算术平方根的非负 性主要用于两方面: ( 1 ) 某些二次根式的题目中隐含着 “ a ≥ 0 ” 这个条件 , 做 题时要善于挖掘隐含条件 , 巧妙求解; ( 2 ) 若几个非负数的和为零 , 则每一个非负数都等于零 . 两个防范 ( 1 ) 求 a 2 时 , 一定要注意确定 a 的大小 , 应注意利用等 式 a 2 = | a | , 当问题中已知条件不能直接判定 a 的大小时 就要分类讨论; ( 2 ) 一般情况下 , 我们解题时 , 总会习惯地把重点放在探 求思路和计算结果上 , 而忽视了 一些不太重要、不直接 影响求解过程的附加条件和隐含条件 . 要特别注意 , 问 题中的条件没有主次之分 , 都必须认真对待 . 求值问题 “ 五招 ” (1) 巧用平方; (2) 巧用乘法公式; (3) 巧用配方; (4) 巧用换元; (5) 巧用倒数. 1 . ( 2014· 苏州 ) 若式子 x - 4 在实数范围内有意义 , 则 x 的取值范围是 ( ) A . x ≤ - 4 B . x ≥ - 4 C . x ≤ 4 D . x ≥ 4 2 . ( 2014· 孝感 ) 下列二次根式中 , 不能与 2 合并的是 ( ) A. 1 2 B. 8 C. 12 D. 18 D C 3 . ( 2014· 徐州 ) 下列运算中错误的是 ( ) A. 2 + 3 = 5 B. 2 × 3 = 6 C. 8 ÷ 2 = 2 D . ( - 3 ) 2 = 3 4 . ( 2014· 福州 ) 若 ( m - 1 ) 2 + n + 2 = 0 , 则 m + n 的值是 ( ) A . - 1 B . 0 C . 1 D . 2 A A 5 . ( 2014· 内江 ) 按如图所示的程序计算 , 若开始输 入的 n 值为 2 , 则最后输出的结果是 ( ) A . 14 B . 16 C . 8 + 5 2 D . 14 + 2 C 二次根式概念与性质 【 例 1 】 ( 1 ) 等式 2 k - 1 k - 3 = 2 k - 1 k - 3 成立 , 则实数 k 的 范围是 ( ) A . k > 3 或 k < 1 2 B . 0 < k < 3 C . k ≥ 1 2 D . k > 3 D (2) 已知 a , b , c 是 △ ABC 的三边长 , 试化简: ( a + b + c ) 2 + ( a - b - c ) 2 + ( b - c - a ) 2 + ( c - a - b ) 2 . 解:原式= |a + b + c| + |a - b - c| + |b - c - a| + |c - a - b| = ( a + b + c ) + ( b + c - a ) + ( c + a - b ) + ( a + b - c ) = 2a + 2b + 2c 【 点评 】 ( 1 ) 对于二次根式 , 它有意义的条件是被 开方 数大于或等于 0 ; ( 2 ) 注意二次根式性质 ( a ) 2 = a ( a ≥ 0 ) , a 2 = | a | 的区别 , 判断出各式的正负性 , 再化简 . 1 . ( 1 )( - 2 ) 2 的平方根是 ; 9 的算术平方根是 __ __ ; __ __ 是- 64 的立方根 . ( 2 ) ( 2014· 达州 ) 二次根式 - 2x + 4 有意义 , 则实数 x 的取 值范围是 ( ) A . x ≥ - 2 B . x >- 2 C . x < 2 D . x ≤ 2 3 -4 D ( 3 ) 如果 ( 2 a - 1 ) 2 = 1 - 2 a , 则 ( ) A . a < 1 2 B . a ≤ 1 2 C . a > 1 2 D . a ≥ 1 2 B 二次根式的运算 【 例 2 】 (1) ( 2014· 济宁 ) 如果 ab > 0 , a + b < 0 , 那么下面 各式: ① a b = a b , ② a b · b a = 1 , ③ ab ÷ a b =- b , 其中正确的是 ( ) A . ①② B . ②③ C . ①③ D . ①②③ B ( 2 ) 计算: 24 - 3 2 + 2 3 - 2 1 6 . ( 3 ) ( 2012· 南通 ) 计算: 48 ÷ 3 - 1 2 × 12 + 24 . 【 点评 】 ( 1 ) 二次根式化简 , 依据 ab = a · b ( a ≥ 0 , b ≥ 0 ) , a b = a b ( a ≥ 0 , b > 0 ) , 前者将被开方数分解 , 后 者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变成一个完全平 方数 , 即可将其移到根号外; ( 2 ) 二次根式加减 , 即化简 之后合并同类二次根式; ( 3 ) 二次根式乘除结果要化为最 简二次根式 . 2 . (1) ( 2012· 安顺 ) 计算 3 27 的结果是 ( ) A . ± 3 3 B . 3 3 C . ± 3 D . 3 (2) ( 2012· 福州 ) 若 20n 是整数 , 则正整数 n 的最小值为 __ __ . (3) ( 2014· 抚州 ) 计算: 27 - 3 = __ __ . 5 D 二次根式混合运算 【 例 3 】 计算: ( 1 )( 3 2 - 1 )( 1 + 3 2 ) - ( 2 2 - 1 ) 2 ; ( 2 )( 10 - 3 ) 2012 · ( 10 + 3 ) 2013 . 【 点评 】   (1) 二次根式混合运算 , 把若干个知识点综合在一起 , 计算时要认真仔细; (2) 可以运用运算律或适当改变运算顺序 , 使运算简便. 3 . ( 1 ) ( 2014· 荆门 ) 计算: 24 × 1 3 - 4 × 1 8 × ( 1 - 2 ) 0 . (2) 已知 10 的整数部分为 a , 小数部分为 b , 求 a 2 - b 2 的值. 二次根式运算中的技巧 【 例 4 】 ( 1 ) 已知 x = 2 - 3 , y = 2 + 3 , 求 x 2 + xy + y 2 的值; ( 2 ) 已知 x + 1 x =- 3 , 求 x - 1 x 的值 . 【 点评 】 ( 1 ) x 2 + xy + y 2 是一个对称式 , 可先求出基本 对称式 x + y = 4 , xy = 1 , 然后将 x 2 + xy + y 2 转化为 ( x + y ) 2 - xy , 整体代入即可; ( 2 ) 注意到 ( x - 1 x ) 2 = ( x + 1 x ) 2 - 4 , 可 得 ( x - 1 x ) 2 = 5 , x - 1 x = ± 5 . 4 . (1) 已知 m = 1 + 2 , n = 1 - 2 , 则代数式 m 2 + n 2 - 3 mn 的 值为 ( ) A . 9 B . ± 3 C . 3 D . 5 (2) ( 2014· 德州 ) 若 y = x - 4 + 4 - x 2 - 2 , 则 (x + y) y = __ __ ; (3) 已知 |6 - 3 m | + ( n - 5) 2 = 3 m - 6 - ( m - 3 ) n 2 , 则 m - n = __ __ . - 2 C 试题 已知 a = 2 - 3 , 求 a 2 - 1 a + 1 - a 2 - 2 a + 1 a - 1 的值 . 错解 解:原式= ( a + 1 )( a - 1 ) ( a + 1 ) - ( a - 1 ) 2 a - 1 = a - 1 - a - 1 a - 1 = a - 2. ∴ 当 a = 2 - 3 时 , 原式= 2 - 3 - 2 =- 3 . 剖析 ( 1 ) 题目中的隐含 条件为 a = 2 - 3 < 1 , 所以 a 2 - 2 a + 1 = ( a - 1 ) 2 = | a - 1| = 1 - a , 而不是 a - 1 ; ( 2 ) 注意挖掘题目中的隐含条件 , 是解决数学问题的关键之 一 , 上题中的隐含条件 a = 2 - 3 < 1 是进行二次根式化简 的依据 , 应注重分析能力的培养 , 提高解题的正确性 . 正解 解: ∵ a = 2 - 3 < 1 , ∴ a - 1 < 0. ∴ a 2 - 2 a + 1 = ( a - 1 ) 2 = | a - 1| = 1 - a . ∴ 原式= ( a + 1 )( a - 1 ) ( a + 1 ) - 1 - a a - 1 = a - 1 + 1 = a . ∴ 当 a = 2 - 3 时 , 原式= 2 - 3 - 1 + 1 = 2 - 3 .
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