2020年新疆生产建设兵团中考数学试卷【含答案及详细解释】

2020年新疆生产建设兵团中考数学试卷【含答案及详细解释】

1 / 13 2020 年新疆生产建设兵团中考数学试卷 一、单项选择题（本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分．请按答题卷中的要求作 答） 1. 下列各数中，是负数的为（ ） A.−1 B.0 C.0.2 D.1 2 2. 如图所示，该几何体的俯视图是( ) A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A.푥2 ⋅ 푥3＝푥6 B.푥6 ÷ 푥3＝푥3 C.푥3 + 푥3＝2푥6 D.(−2푥)3＝−6푥3 4. 实数푎，푏在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A.푎 > 푏 B.|푎| > |푏| C.−푎 < 푏 D.푎 + 푏 > 0 5. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A.푥2 − 푥 + 1 4 = 0 B.푥2 + 2푥 + 4＝0 C.푥2 − 푥 + 2＝0 D.푥2 − 2푥＝0 6. 不等式组{ 2(푥 − 2) ≤ 2 − 푥 푥+2 2 > 푥+3 3 的解集是（ ） A.0 < 푥 ≤ 2 B.0 < 푥 ≤ 6 C.푥 > 0 D.푥 ≤ 2 7. 四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印 有图形的面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中 心对称图形的概率为（ ） A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.3 4 8. 二次函数푦＝푎푥2 + 푏푥 + 푐的图象如图所示，则一次函数푦＝푎푥 + 푏和反比例函数 푦 = 푐 푥 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ 퐴퐵퐶中，∠퐴＝90∘，퐷是퐴퐵的中点，过点퐷作퐵퐶的平行线交퐴퐶于点퐸， 作퐵퐶的垂线交퐵퐶于点퐹，若퐴퐵＝퐶퐸，且△ 퐷퐹퐸的面积为1，则퐵퐶的长为（ ） A.2√5 B.5 C.4√5 D.10 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 10. 如图，若퐴퐵 // 퐶퐷，∠퐴＝110∘，则∠1＝________∘． 2 / 13 11. 分解因式：푎푚2 − 푎푛2＝________． 12. 表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况： 移植的棵数푛 200 500 800 2000 12000 成活的棵数푚 187 446 730 1790 10836 成活的频率푚 푛 0.935 0.892 0.913 0.895 0.903 由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为________．（精确到0.1） 13. 如图，在푥轴，푦轴上分别截取푂퐴，푂퐵，使푂퐴＝푂퐵，再分别以点퐴，퐵为圆心， 以大于1 2 퐴퐵长为半径画弧，两弧交于点푃．若点푃的坐标为(푎,  2푎 − 3)，则푎的值为 ________． 14. 如图，⊙ 푂的半径是2，扇形퐵퐴퐶的圆心角为60∘．若将扇形퐵퐴퐶剪下围成一个圆 锥，则此圆锥的底面圆的半径为________． 15. 如图，在△ 퐴퐵퐶中，∠퐴＝90∘，∠퐵＝60∘，퐴퐵＝2，若퐷是퐵퐶边上的动点，则 2퐴퐷 + 퐷퐶的最小值为________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16. 计算：(−1)2 + | − √2| + (휋 − 3)0 − √4． 17. 先化简，再求值：(푥 − 2)2 − 4푥(푥 − 1) + (2푥 + 1)(2푥 − 1)，其中푥 = −√2． 18. 如图，四边形퐴퐵퐶퐷是平行四边形，퐷퐸 // 퐵퐹，且分别交对角线퐴퐶于点퐸，퐹，连 接퐵퐸，퐷퐹． （1）求证：퐴퐸＝퐶퐹； （2）若퐵퐸＝퐷퐸，求证：四边形퐸퐵퐹퐷为菱形． 3 / 13 19. 为了解某校九年级学生的体质健康状况，随机抽取了该校九年级学生的10%进行 测试，将这些学生的测试成绩(푥)分为四个等级：优秀85 ≤ 푥 ≤ 100；良好75 ≤ 푥 < 85；及格60 ≤ 푥 < 75；不及格0 ≤ 푥 < 60，并绘制成如图两幅统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是________； （2）计算所抽取学生测试成绩的平均分； （3）若不及格学生的人数为2人，请估算出该校九年级学生中优秀等级的人数． 20. 如图，为测量建筑物퐶퐷的高度，在퐴点测得建筑物顶部퐷点的仰角为22∘，再向 建筑物퐶퐷前进30米到达퐵点，测得建筑物顶部퐷点的仰角为58∘（퐴，퐵，퐶三点在一条 直线上），求建筑物퐶퐷的高度．（结果保留整数．参考数据：sin22∘ ≈ 0.37， cos22∘ ≈ 0.93，tan22∘ ≈ 0.40，sin58∘ ≈ 0.85，cos58∘ ≈ 0.53，tan58∘ ≈ 1.60） 4 / 13 21. 某超市销售퐴、퐵两款保温杯，已知퐵款保温杯的销售单价比퐴款保温杯多10元， 用480元购买퐵款保温杯的数量与用360元购买퐴款保温杯的数量相同． （1）퐴、퐵两款保温杯的销售单价各是多少元？ （2）由于需求量大，퐴、퐵两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯 共120个，且퐴款保温杯的数量不少于퐵款保温杯数量的两倍．若퐴款保温杯的销售单 价不变，퐵款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何 进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 22. 如图，在⊙ 푂中，퐴퐵为⊙ 푂的直径，퐶为⊙ 푂上一点，푃是퐵퐶̂ 的中点，过点푃作 퐴퐶的垂线，交퐴퐶的延长线于点퐷． （1）求证：퐷푃是⊙ 푂的切线； （2）若퐴퐶＝5，sin∠퐴푃퐶 = 5 13 ，求퐴푃的长． 5 / 13 23. 如图，在平面直角坐标系中，点푂为坐标原点，抛物线푦＝푎푥2 + 푏푥 + 푐的顶点是 퐴(1,  3)，将푂퐴绕点푂顺时针旋转90∘后得到푂퐵，点퐵恰好在抛物线上，푂퐵与抛物线的 对称轴交于点퐶． （1）求抛物线的解析式； （2）푃是线段퐴퐶上一动点，且不与点퐴，퐶重合，过点푃作平行于푥轴的直线，与△ 푂퐴퐵的边分别交于푀，푁两点，将△ 퐴푀푁以直线푀푁为对称轴翻折，得到△ 퐴′푀푁，设 点푃的纵坐标为푚． ①当△ 퐴′푀푁在△ 푂퐴퐵内部时，求푚的取值范围； ②是否存在点푃，使푆△퐴′푀푁 = 5 6 푆△푂퐴′퐵，若存在，求出满足条件푚的值；若不存在，请 说明理由． 6 / 13 参考答案与试题解析 2020 年新疆生产建设兵团中考数学试卷 一、单项选择题（本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分．请按答题卷中的要求作 答） 1.【答案】 A 【解答】 −1是负数；0既不是正数也不是负数；0.2是正数；1 2 是正数． 2.【答案】 C 【解答】 解：从上面看是四个正方形，符合题意的是퐶. 故选퐶. 3.【答案】 B 【解答】 퐴、푥2 ⋅ 푥3＝푥5，选项错误．不符合题意； 퐵、푥6 ÷ 푥3＝푥3，选项正确，符合题意； 퐶、푥3 + 푥3＝2푥3，选项错误，不符合题意； 퐷、(−2푥)3＝−8푥3，选项错误，不符合题意； 4.【答案】 B 【解答】 퐵、|푎| > |푏|，正确（1）퐶、−푎 > 푏，故此选项错误（2）퐷、푎 + 푏 < 0，故此选项错 误（3）故选：퐵． 5.【答案】 D 【解答】 퐴．此方程判别式△＝(−1)2 − 4 × 1 × 1 4 = 0，方程有两个相等的实数根，不符合题意； 퐵．此方程判别式△＝22 − 4 × 1 × 4＝−12 < 0，方程没有实数根，不符合题意； 퐶．此方程判别式△＝(−1)2 − 4 × 1 × 2＝−7 < 0，方程没有实数根，不符合题意； 퐷．此方程判别式△＝(−2)2 − 4 × 1 × 0＝4 > 0，方程有两个不相等的实数根，符合 题意； 6.【答案】 A 【解答】 { 2(푥 − 2) ≤ 2 − 푥 푥+2 2 > 푥+3 3 ， 解不等式①，得：푥 ≤ 2， 解不等式②，得：푥 > 0， 则不等式组的解集为0 < 푥 ≤ 2， 7.【答案】 C 【解答】 分别用퐴、퐵、퐶、퐷表示正方形、正五边形、正六边形和圆， 画树状图得： ∵ 共有12种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的有6种情况， ∴ 抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率为： 6 12 = 1 2 ． 7 / 13 8.【答案】 D 【解答】 因为二次函数푦＝푎푥2 − 푏푥 + 푐的图象开口向上，得出푎 > 0，与푦轴交点在푦轴的正半 轴，得出푐 > 0，利用对称轴푥 = − 푏 2푎 > 0，得出푏 < 0， 所以一次函数푦＝푎푥 + 푏经过一、三、四象限，反比例函数푦 = 푐 푥 经过一、三象限， 9.【答案】 A 【解答】 过퐴作퐴퐻 ⊥ 퐵퐶于퐻， ∵ 퐷是퐴퐵的中点， ∴ 퐴퐷＝퐵퐷， ∵ 퐷퐸 // 퐵퐶， ∴ 퐴퐸＝퐶퐸， ∴ 퐷퐸 = 1 2 퐵퐶， ∵ 퐷퐹 ⊥ 퐵퐶， ∴ 퐷퐹 // 퐴퐻，퐷퐹 ⊥ 퐷퐸， ∴ 퐵퐹＝퐻퐹， ∴ 퐷퐹 = 1 2 퐴퐻， ∵ △ 퐷퐹퐸的面积为1， ∴ 1 2 퐷퐸 ⋅ 퐷퐹＝1， ∴ 퐷퐸 ⋅ 퐷퐹＝2， ∴ 퐵퐶 ⋅ 퐴퐻＝2퐷퐸 ⋅ 2퐷퐹＝4 × 2＝8， ∴ 퐴퐵 ⋅ 퐴퐶＝8， ∵ 퐴퐵＝퐶퐸， ∴ 퐴퐵＝퐴퐸＝퐶퐸 = 1 2 퐴퐶， ∴ 퐴퐵 ⋅ 2퐴퐵＝8， ∴ 퐴퐵＝2（负值舍去）， ∴ 퐴퐶＝4， ∴ 퐵퐶 = √퐴퐵2 + 퐴퐶2 = 2√5． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 10.【答案】 70 【解答】 ∵ 퐴퐵 // 퐶퐷， ∴ ∠2＝∠퐴＝110∘． 又∵ ∠1 + ∠2＝180∘， ∴ ∠1＝180∘ − ∠2＝180∘ − 110∘＝70∘． 11.【答案】 푎(푚 + 푛)(푚 − 푛) 【解答】 原式＝푎(푚2 − 푛2)＝푎(푚 + 푛)(푚 − 푛)， 12.【答案】 0.9 【解答】 根据表格数据可知： 苹果树苗移植成活的频率近似值为0.9， 所以估计这种苹果树苗移植成活的概率约为0.9． 13.【答案】 3 【解答】 8 / 13 ∵ 푂퐴＝푂퐵，分别以点퐴，퐵为圆心，以大于1 2 퐴퐵长为半径画弧，两弧交于点푃， ∴ 点푃在∠퐵푂퐴的角平分线上， ∴ 点푃到푥轴和푦轴的距离相等， 又∵ 点푃在第一象限，点푃的坐标为(푎,  2푎 − 3)， ∴ 푎＝2푎 − 3， ∴ 푎＝3． 14.【答案】 √3 3 【解答】 连接푂퐴，作푂퐷 ⊥ 퐴퐵于点퐷． 在直角△ 푂퐴퐷中，푂퐴＝2，∠푂퐴퐷 = 1 2 ∠퐵퐴퐶＝30∘， 则퐴퐷＝푂퐴 ⋅ cos30∘ = √3． 则퐴퐵＝2퐴퐷＝2√3， 则扇形的弧长是：60⋅휋×2√3 180 = 2√3 3 휋， 设底面圆的半径是푟，则2휋 × 푟 = 2√3 3 휋， 解得：푟 = √3 3 ． 15.【答案】 6 【解答】 如图所示，作点퐴关于퐵퐶的对称点퐴′，连接퐴퐴′，퐴′퐷，过퐷作퐷퐸 ⊥ 퐴퐶于퐸， ∵ △ 퐴퐵퐶中，∠퐵퐴퐶＝90∘，∠퐵＝60∘，퐴퐵＝2， ∴ 퐵퐻＝1，퐴퐻 = √3，퐴퐴′＝2√3，∠퐶＝30∘， ∴ 푅푡 △ 퐶퐷퐸中，퐷퐸 = 1 2 퐶퐷，即2퐷퐸＝퐶퐷， ∵ 퐴与퐴′关于퐵퐶对称， ∴ 퐴퐷＝퐴′퐷， ∴ 퐴퐷 + 퐷퐸＝퐴′퐷 + 퐷퐸， ∴ 当퐴′，퐷，퐸在同一直线上时，퐴퐷 + 퐷퐸的最小值等于퐴′퐸的长， 此时，푅푡 △ 퐴퐴′퐸中，퐴′퐸＝sin60∘ × 퐴퐴′ = √3 2 × 2√3 = 3， ∴ 퐴퐷 + 퐷퐸的最小值为3， 即2퐴퐷 + 퐶퐷的最小值为6， 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16.【答案】 (−1)2 + | − √2| + (휋 − 3)0 − √4 = 1 + √2 + 1 − 2 = √2． 【解答】 (−1)2 + | − √2| + (휋 − 3)0 − √4 = 1 + √2 + 1 − 2 = √2． 17.【答案】 (푥 − 2)2 − 4푥(푥 − 1) + (2푥 + 1)(2푥 − 1) ＝푥2 − 4푥 + 4 − 4푥2 + 4푥 + 4푥2 − 1 ＝푥2 + 3， 当푥 = −√2时，原式＝(−√2)2 + 3＝5． 【解答】 (푥 − 2)2 − 4푥(푥 − 1) + (2푥 + 1)(2푥 − 1) ＝푥2 − 4푥 + 4 − 4푥2 + 4푥 + 4푥2 − 1 ＝푥2 + 3， 当푥 = −√2时，原式＝(−√2)2 + 3＝5． 18.【答案】 证明：∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是平行四边形， ∴ 퐴퐷＝퐶퐵，퐴퐷 // 퐶퐵， ∴ ∠퐷퐴퐸＝∠퐵퐶퐹， ∵ 퐷퐸 // 퐵퐹， 9 / 13 ∴ ∠퐷퐸퐹＝∠퐵퐹퐸， ∴ ∠퐴퐸퐷＝∠퐶퐹퐵， 在△ 퐴퐷퐸和△ 퐶퐵퐹中， { ∠퐷퐴퐸 = ∠퐵퐶퐹 ∠퐴퐸퐷 = ∠퐶퐹퐵 퐴퐷 = 퐶퐵 ， ∴ △ 퐴퐷퐸 ≅△ 퐶퐵퐹(퐴퐴푆)， ∴ 퐴퐸＝퐶퐹； 证明：由（1）知△ 퐴퐷퐸 ≅△ 퐶퐵퐹， 则퐷퐸＝퐵퐹， 又∵ 퐷퐸 // 퐵퐹， ∴ 四边形퐸퐵퐹퐷是平行四边形， ∵ 퐵퐸＝퐷퐸， ∴ 四边形퐸퐵퐹퐷为菱形． 【解答】 证明：∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是平行四边形， ∴ 퐴퐷＝퐶퐵，퐴퐷 // 퐶퐵， ∴ ∠퐷퐴퐸＝∠퐵퐶퐹， ∵ 퐷퐸 // 퐵퐹， ∴ ∠퐷퐸퐹＝∠퐵퐹퐸， ∴ ∠퐴퐸퐷＝∠퐶퐹퐵， 在△ 퐴퐷퐸和△ 퐶퐵퐹中， { ∠퐷퐴퐸 = ∠퐵퐶퐹 ∠퐴퐸퐷 = ∠퐶퐹퐵 퐴퐷 = 퐶퐵 ， ∴ △ 퐴퐷퐸 ≅△ 퐶퐵퐹(퐴퐴푆)， ∴ 퐴퐸＝퐶퐹； 证明：由（1）知△ 퐴퐷퐸 ≅△ 퐶퐵퐹， 则퐷퐸＝퐵퐹， 又∵ 퐷퐸 // 퐵퐹， ∴ 四边形퐸퐵퐹퐷是平行四边形， ∵ 퐵퐸＝퐷퐸， ∴ 四边形퐸퐵퐹퐷为菱形． 19.【答案】 5% 所抽取学生测试成绩的平均分= 90×50%+78×25%+66×20%+42×5% 1 = 79.8（分）． 由题意总人数＝2 ÷ 5%＝40（人）， 40 × 50%＝20， 答：该校九年级学生中优秀等级的人数约为20人． 【解答】 在抽取的学生中不及格人数所占的百分比＝1 − 20% − 25% − 50%＝5%， 故答案为5%． 所抽取学生测试成绩的平均分= 90×50%+78×25%+66×20%+42×5% 1 = 79.8（分）． 由题意总人数＝2 ÷ 5%＝40（人）， 40 × 50%＝20， 答：该校九年级学生中优秀等级的人数约为20人． 20.【答案】 建筑物퐶퐷的高度为16米 【解答】 在푅푡 △ 퐵퐷퐶中， ∵ tan∠퐷퐵퐶 = 퐶퐷 퐵퐶 ， ∴ 1.60 = 퐶퐷 퐵퐶 ， ∴ 퐵퐶 = 퐶퐷 1.60 ， 10 / 13 在푅푡 △ 퐴퐶퐷中， ∵ tan∠퐷퐴퐶 = 퐶퐷 퐴퐶 ， ∴ 0.40 = 퐶퐷 퐴퐶 ， ∴ 퐴퐶 = 퐶퐷 0.40 ， ∴ 퐴퐵＝퐴퐶 − 퐵퐶 = 퐶퐷 0.40 − 퐶퐷 0.60 = 30， 解得：퐶퐷＝16（米）， 21.【答案】 퐴、퐵两款保温杯的销售单价分别是30元、40元； 当购买퐴款保温杯80个，퐵款保温杯40个时，能使这批保温杯的销售利润最大，最大 利润是1440元 【解答】 设퐴款保温杯的单价是푎元，则퐵款保温杯的单价是(푎 + 10)元， 480 푎+10 = 360 푎 ， 解得，푎＝30， 经检验，푎＝30是原分式方程的解， 则푎 + 10＝40， 答：퐴、퐵两款保温杯的销售单价分别是30元、40元； 设购买퐴款保温杯푥个，则购买퐵款保温杯(120 − 푥)个，利润为푤元， 푤＝(30 − 20)푥 + [40 × (1 − 10%) − 20](120 − 푥)＝−6푥 + 1920， ∵ 퐴款保温杯的数量不少于퐵款保温杯数量的两倍， ∴ 푥 ≥ 2(120 − 푥)， 解得，푥 ≥ 80， ∴ 当푥＝80时，푤取得最大值，此时푤＝1440，120 − 푥＝40， 答：当购买퐴款保温杯80个，퐵款保温杯40个时，能使这批保温杯的销售利润最大， 最大利润是1440元． 22.【答案】 证明：∵ 푃是퐵퐶̂ 的中点， ∴ 푃퐶̂ = 푃퐵̂ ， ∴ ∠푃퐴퐷＝∠푃퐴퐵， ∵ 푂퐴＝푂푃， ∴ ∠퐴푃푂＝∠푃퐴푂， ∴ ∠퐷퐴푃＝∠퐴푃푂， ∴ 퐴퐷 // 푂푃， ∵ 푃퐷 ⊥ 퐴퐷， ∴ 푃퐷 ⊥ 푂푃， ∴ 퐷푃是⊙ 푂的切线； 连接퐵퐶交푂푃于퐸， ∵ 퐴퐵为⊙ 푂的直径， ∴ ∠퐴퐶퐵＝90∘， ∵ 푃是퐵퐶̂ 的中点， ∴ 푂푃 ⊥ 퐵퐶，퐶퐸＝퐵퐸， ∴ 四边形퐶퐷푃퐸是矩形， ∴ 퐶퐷＝푃퐸，푃퐷＝퐶퐸， ∵ ∠퐴푃퐶＝∠퐵， ∴ sin∠퐴푃퐶＝sin∠퐴푃퐶 = 퐴퐶 퐴퐵 = 5 13 ， ∵ 퐴퐶＝5， ∴ 퐴퐵＝13， ∴ 퐵퐶＝12， ∴ 푃퐷＝퐶퐸＝퐵퐸＝6， ∵ 푂퐸 = 1 2 퐴퐶 = 5 2 ，푂푃 = 13 2 ， 11 / 13 ∴ 퐶퐷＝푃퐸 = 13 2 − 5 2 = 4， ∴ 퐴퐷＝9， ∴ 퐴푃 = √퐴퐷2 + 푃퐷2 = √92 + 62 = 3√13． 【解答】 证明：∵ 푃是퐵퐶̂ 的中点， ∴ 푃퐶̂ = 푃퐵̂ ， ∴ ∠푃퐴퐷＝∠푃퐴퐵， ∵ 푂퐴＝푂푃， ∴ ∠퐴푃푂＝∠푃퐴푂， ∴ ∠퐷퐴푃＝∠퐴푃푂， ∴ 퐴퐷 // 푂푃， ∵ 푃퐷 ⊥ 퐴퐷， ∴ 푃퐷 ⊥ 푂푃， ∴ 퐷푃是⊙ 푂的切线； 连接퐵퐶交푂푃于퐸， ∵ 퐴퐵为⊙ 푂的直径， ∴ ∠퐴퐶퐵＝90∘， ∵ 푃是퐵퐶̂ 的中点， ∴ 푂푃 ⊥ 퐵퐶，퐶퐸＝퐵퐸， ∴ 四边形퐶퐷푃퐸是矩形， ∴ 퐶퐷＝푃퐸，푃퐷＝퐶퐸， ∵ ∠퐴푃퐶＝∠퐵， ∴ sin∠퐴푃퐶＝sin∠퐴푃퐶 = 퐴퐶 퐴퐵 = 5 13 ， ∵ 퐴퐶＝5， ∴ 퐴퐵＝13， ∴ 퐵퐶＝12， ∴ 푃퐷＝퐶퐸＝퐵퐸＝6， ∵ 푂퐸 = 1 2 퐴퐶 = 5 2 ，푂푃 = 13 2 ， ∴ 퐶퐷＝푃퐸 = 13 2 − 5 2 = 4， ∴ 퐴퐷＝9， ∴ 퐴푃 = √퐴퐷2 + 푃퐷2 = √92 + 62 = 3√13． 23.【答案】 ∵ 抛物线푦＝푎푥2 + 푏푥 + 푐的顶点是퐴(1,  3)， ∴ 抛物线的解析式为푦＝푎(푥 − 1)2 + 3， ∴ 푂퐴绕点푂顺时针旋转90∘后得到푂퐵， ∴ 퐵(3, −1)， 把퐵(3, −1)代入푦＝푎(푥 − 1)2 + 3可得푎＝−1， ∴ 抛物线的解析式为푦＝−(푥 − 1)2 + 3，即푦＝−푥2 + 2푥 + 2， ①如图1中， 12 / 13 ∵ 퐵(3, −1)， ∴ 直线푂퐵的解析式为푦 = − 1 3 푥， ∵ 퐴(1,  3)， ∴ 퐶(1, − 1 3)， ∵ 푃(1,  푚)，퐴푃＝푃퐴′， ∴ 퐴′(1,  2푚 − 3)， 由题意3 > 2푚 − 3 > − 1 3 ， ∴ 3 > 푚 > 4 3 ． ②∵ 直线푂퐴的解析式为푦＝3푥，直线퐴퐵的解析式为푦＝−2푥 + 5， ∵ 푃(1,  푚)， ∴ 푀(푚 3 ,  푚)，푁(5−푚 2 ,  푚)， ∴ 푀푁 = 5−푚 2 − 푚 3 = 15−5푚 6 ， ∵ 푆△퐴′푀푁 = 5 6 푆△푂퐴′퐵， ∴ 1 2 ⋅ (푚 − 2푚 + 3) ⋅ 15−5푚 6 = 5 6 × 1 2 × |2푚 − 3 + 1 3 | × 3， 整理得푚2 − 6푚 + 9＝|6푚 − 8| 解得푚＝6 + √19（舍弃）或6 − √19， ∴ 满足条件的푚的值为6 − √19． 【解答】 ∵ 抛物线푦＝푎푥2 + 푏푥 + 푐的顶点是퐴(1,  3)， ∴ 抛物线的解析式为푦＝푎(푥 − 1)2 + 3， ∴ 푂퐴绕点푂顺时针旋转90∘后得到푂퐵， ∴ 퐵(3, −1)， 把퐵(3, −1)代入푦＝푎(푥 − 1)2 + 3可得푎＝−1， ∴ 抛物线的解析式为푦＝−(푥 − 1)2 + 3，即푦＝−푥2 + 2푥 + 2， ①如图1中， ∵ 퐵(3, −1)， ∴ 直线푂퐵的解析式为푦 = − 1 3 푥， ∵ 퐴(1,  3)， ∴ 퐶(1, − 1 3)， ∵ 푃(1,  푚)，퐴푃＝푃퐴′， ∴ 퐴′(1,  2푚 − 3)， 由题意3 > 2푚 − 3 > − 1 3 ， ∴ 3 > 푚 > 4 3 ． ②∵ 直线푂퐴的解析式为푦＝3푥，直线퐴퐵的解析式为푦＝−2푥 + 5， ∵ 푃(1,  푚)， ∴ 푀(푚 3 ,  푚)，푁(5−푚 2 ,  푚)， 13 / 13 ∴ 푀푁 = 5−푚 2 − 푚 3 = 15−5푚 6 ， ∵ 푆△퐴′푀푁 = 5 6 푆△푂퐴′퐵， ∴ 1 2 ⋅ (푚 − 2푚 + 3) ⋅ 15−5푚 6 = 5 6 × 1 2 × |2푚 − 3 + 1 3 | × 3， 整理得푚2 − 6푚 + 9＝|6푚 − 8| 解得푚＝6 + √19（舍弃）或6 − √19， ∴ 满足条件的푚的值为6 − √19．