2020年新疆生产建设兵团中考数学试卷【含答案及详细解释】

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2020年新疆生产建设兵团中考数学试卷【含答案及详细解释】

1 / 13 2020 年新疆生产建设兵团中考数学试卷 一、单项选择题(本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.请按答题卷中的要求作 答) 1. 下列各数中,是负数的为( ) A.−1 B.0 C.0.2 D.1 2 2. 如图所示,该几何体的俯视图是( ) A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是( ) A.푥2 ⋅ 푥3=푥6 B.푥6 ÷ 푥3=푥3 C.푥3 + 푥3=2푥6 D.(−2푥)3=−6푥3 4. 实数푎,푏在数轴上的位置如图所示,下列结论中正确的是( ) A.푎 > 푏 B.|푎| > |푏| C.−푎 < 푏 D.푎 + 푏 > 0 5. 下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是( ) A.푥2 − 푥 + 1 4 = 0 B.푥2 + 2푥 + 4=0 C.푥2 − 푥 + 2=0 D.푥2 − 2푥=0 6. 不等式组{ 2(푥 − 2) ≤ 2 − 푥 푥+2 2 > 푥+3 3 的解集是( ) A.0 < 푥 ≤ 2 B.0 < 푥 ≤ 6 C.푥 > 0 D.푥 ≤ 2 7. 四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆,现将印 有图形的面朝下,混合均匀后从中随机抽取两张,则抽到的卡片上印有的图形都是中 心对称图形的概率为( ) A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.3 4 8. 二次函数푦=푎푥2 + 푏푥 + 푐的图象如图所示,则一次函数푦=푎푥 + 푏和反比例函数 푦 = 푐 푥 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) A. B. C. D. 9. 如图,在△ 퐴퐵퐶中,∠퐴=90∘,퐷是퐴퐵的中点,过点퐷作퐵퐶的平行线交퐴퐶于点퐸, 作퐵퐶的垂线交퐵퐶于点퐹,若퐴퐵=퐶퐸,且△ 퐷퐹퐸的面积为1,则퐵퐶的长为( ) A.2√5 B.5 C.4√5 D.10 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 10. 如图,若퐴퐵 // 퐶퐷,∠퐴=110∘,则∠1=________∘. 2 / 13 11. 分解因式:푎푚2 − 푎푛2=________. 12. 表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况: 移植的棵数푛 200 500 800 2000 12000 成活的棵数푚 187 446 730 1790 10836 成活的频率푚 푛 0.935 0.892 0.913 0.895 0.903 由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为________.(精确到0.1) 13. 如图,在푥轴,푦轴上分别截取푂퐴,푂퐵,使푂퐴=푂퐵,再分别以点퐴,퐵为圆心, 以大于1 2 퐴퐵长为半径画弧,两弧交于点푃.若点푃的坐标为(푎,  2푎 − 3),则푎的值为 ________. 14. 如图,⊙ 푂的半径是2,扇形퐵퐴퐶的圆心角为60∘.若将扇形퐵퐴퐶剪下围成一个圆 锥,则此圆锥的底面圆的半径为________. 15. 如图,在△ 퐴퐵퐶中,∠퐴=90∘,∠퐵=60∘,퐴퐵=2,若퐷是퐵퐶边上的动点,则 2퐴퐷 + 퐷퐶的最小值为________. 三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分) 16. 计算:(−1)2 + | − √2| + (휋 − 3)0 − √4. 17. 先化简,再求值:(푥 − 2)2 − 4푥(푥 − 1) + (2푥 + 1)(2푥 − 1),其中푥 = −√2. 18. 如图,四边形퐴퐵퐶퐷是平行四边形,퐷퐸 // 퐵퐹,且分别交对角线퐴퐶于点퐸,퐹,连 接퐵퐸,퐷퐹. (1)求证:퐴퐸=퐶퐹; (2)若퐵퐸=퐷퐸,求证:四边形퐸퐵퐹퐷为菱形. 3 / 13 19. 为了解某校九年级学生的体质健康状况,随机抽取了该校九年级学生的10%进行 测试,将这些学生的测试成绩(푥)分为四个等级:优秀85 ≤ 푥 ≤ 100;良好75 ≤ 푥 < 85;及格60 ≤ 푥 < 75;不及格0 ≤ 푥 < 60,并绘制成如图两幅统计图. 根据以上信息,解答下列问题: (1)在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是________; (2)计算所抽取学生测试成绩的平均分; (3)若不及格学生的人数为2人,请估算出该校九年级学生中优秀等级的人数. 20. 如图,为测量建筑物퐶퐷的高度,在퐴点测得建筑物顶部퐷点的仰角为22∘,再向 建筑物퐶퐷前进30米到达퐵点,测得建筑物顶部퐷点的仰角为58∘(퐴,퐵,퐶三点在一条 直线上),求建筑物퐶퐷的高度.(结果保留整数.参考数据:sin22∘ ≈ 0.37, cos22∘ ≈ 0.93,tan22∘ ≈ 0.40,sin58∘ ≈ 0.85,cos58∘ ≈ 0.53,tan58∘ ≈ 1.60) 4 / 13 21. 某超市销售퐴、퐵两款保温杯,已知퐵款保温杯的销售单价比퐴款保温杯多10元, 用480元购买퐵款保温杯的数量与用360元购买퐴款保温杯的数量相同. (1)퐴、퐵两款保温杯的销售单价各是多少元? (2)由于需求量大,퐴、퐵两款保温杯很快售完,该超市计划再次购进这两款保温杯 共120个,且퐴款保温杯的数量不少于퐵款保温杯数量的两倍.若퐴款保温杯的销售单 价不变,퐵款保温杯的销售单价降低10%,两款保温杯的进价每个均为20元,应如何 进货才能使这批保温杯的销售利润最大,最大利润是多少元? 22. 如图,在⊙ 푂中,퐴퐵为⊙ 푂的直径,퐶为⊙ 푂上一点,푃是퐵퐶̂ 的中点,过点푃作 퐴퐶的垂线,交퐴퐶的延长线于点퐷. (1)求证:퐷푃是⊙ 푂的切线; (2)若퐴퐶=5,sin∠퐴푃퐶 = 5 13 ,求퐴푃的长. 5 / 13 23. 如图,在平面直角坐标系中,点푂为坐标原点,抛物线푦=푎푥2 + 푏푥 + 푐的顶点是 퐴(1,  3),将푂퐴绕点푂顺时针旋转90∘后得到푂퐵,点퐵恰好在抛物线上,푂퐵与抛物线的 对称轴交于点퐶. (1)求抛物线的解析式; (2)푃是线段퐴퐶上一动点,且不与点퐴,퐶重合,过点푃作平行于푥轴的直线,与△ 푂퐴퐵的边分别交于푀,푁两点,将△ 퐴푀푁以直线푀푁为对称轴翻折,得到△ 퐴′푀푁,设 点푃的纵坐标为푚. ①当△ 퐴′푀푁在△ 푂퐴퐵内部时,求푚的取值范围; ②是否存在点푃,使푆△퐴′푀푁 = 5 6 푆△푂퐴′퐵,若存在,求出满足条件푚的值;若不存在,请 说明理由. 6 / 13 参考答案与试题解析 2020 年新疆生产建设兵团中考数学试卷 一、单项选择题(本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.请按答题卷中的要求作 答) 1.【答案】 A 【解答】 −1是负数;0既不是正数也不是负数;0.2是正数;1 2 是正数. 2.【答案】 C 【解答】 解:从上面看是四个正方形,符合题意的是퐶. 故选퐶. 3.【答案】 B 【解答】 퐴、푥2 ⋅ 푥3=푥5,选项错误.不符合题意; 퐵、푥6 ÷ 푥3=푥3,选项正确,符合题意; 퐶、푥3 + 푥3=2푥3,选项错误,不符合题意; 퐷、(−2푥)3=−8푥3,选项错误,不符合题意; 4.【答案】 B 【解答】 퐵、|푎| > |푏|,正确(1)퐶、−푎 > 푏,故此选项错误(2)퐷、푎 + 푏 < 0,故此选项错 误(3)故选:퐵. 5.【答案】 D 【解答】 퐴.此方程判别式△=(−1)2 − 4 × 1 × 1 4 = 0,方程有两个相等的实数根,不符合题意; 퐵.此方程判别式△=22 − 4 × 1 × 4=−12 < 0,方程没有实数根,不符合题意; 퐶.此方程判别式△=(−1)2 − 4 × 1 × 2=−7 < 0,方程没有实数根,不符合题意; 퐷.此方程判别式△=(−2)2 − 4 × 1 × 0=4 > 0,方程有两个不相等的实数根,符合 题意; 6.【答案】 A 【解答】 { 2(푥 − 2) ≤ 2 − 푥 푥+2 2 > 푥+3 3 , 解不等式①,得:푥 ≤ 2, 解不等式②,得:푥 > 0, 则不等式组的解集为0 < 푥 ≤ 2, 7.【答案】 C 【解答】 分别用퐴、퐵、퐶、퐷表示正方形、正五边形、正六边形和圆, 画树状图得: ∵ 共有12种等可能的结果,抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的有6种情况, ∴ 抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率为: 6 12 = 1 2 . 7 / 13 8.【答案】 D 【解答】 因为二次函数푦=푎푥2 − 푏푥 + 푐的图象开口向上,得出푎 > 0,与푦轴交点在푦轴的正半 轴,得出푐 > 0,利用对称轴푥 = − 푏 2푎 > 0,得出푏 < 0, 所以一次函数푦=푎푥 + 푏经过一、三、四象限,反比例函数푦 = 푐 푥 经过一、三象限, 9.【答案】 A 【解答】 过퐴作퐴퐻 ⊥ 퐵퐶于퐻, ∵ 퐷是퐴퐵的中点, ∴ 퐴퐷=퐵퐷, ∵ 퐷퐸 // 퐵퐶, ∴ 퐴퐸=퐶퐸, ∴ 퐷퐸 = 1 2 퐵퐶, ∵ 퐷퐹 ⊥ 퐵퐶, ∴ 퐷퐹 // 퐴퐻,퐷퐹 ⊥ 퐷퐸, ∴ 퐵퐹=퐻퐹, ∴ 퐷퐹 = 1 2 퐴퐻, ∵ △ 퐷퐹퐸的面积为1, ∴ 1 2 퐷퐸 ⋅ 퐷퐹=1, ∴ 퐷퐸 ⋅ 퐷퐹=2, ∴ 퐵퐶 ⋅ 퐴퐻=2퐷퐸 ⋅ 2퐷퐹=4 × 2=8, ∴ 퐴퐵 ⋅ 퐴퐶=8, ∵ 퐴퐵=퐶퐸, ∴ 퐴퐵=퐴퐸=퐶퐸 = 1 2 퐴퐶, ∴ 퐴퐵 ⋅ 2퐴퐵=8, ∴ 퐴퐵=2(负值舍去), ∴ 퐴퐶=4, ∴ 퐵퐶 = √퐴퐵2 + 퐴퐶2 = 2√5. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 10.【答案】 70 【解答】 ∵ 퐴퐵 // 퐶퐷, ∴ ∠2=∠퐴=110∘. 又∵ ∠1 + ∠2=180∘, ∴ ∠1=180∘ − ∠2=180∘ − 110∘=70∘. 11.【答案】 푎(푚 + 푛)(푚 − 푛) 【解答】 原式=푎(푚2 − 푛2)=푎(푚 + 푛)(푚 − 푛), 12.【答案】 0.9 【解答】 根据表格数据可知: 苹果树苗移植成活的频率近似值为0.9, 所以估计这种苹果树苗移植成活的概率约为0.9. 13.【答案】 3 【解答】 8 / 13 ∵ 푂퐴=푂퐵,分别以点퐴,퐵为圆心,以大于1 2 퐴퐵长为半径画弧,两弧交于点푃, ∴ 点푃在∠퐵푂퐴的角平分线上, ∴ 点푃到푥轴和푦轴的距离相等, 又∵ 点푃在第一象限,点푃的坐标为(푎,  2푎 − 3), ∴ 푎=2푎 − 3, ∴ 푎=3. 14.【答案】 √3 3 【解答】 连接푂퐴,作푂퐷 ⊥ 퐴퐵于点퐷. 在直角△ 푂퐴퐷中,푂퐴=2,∠푂퐴퐷 = 1 2 ∠퐵퐴퐶=30∘, 则퐴퐷=푂퐴 ⋅ cos30∘ = √3. 则퐴퐵=2퐴퐷=2√3, 则扇形的弧长是:60⋅휋×2√3 180 = 2√3 3 휋, 设底面圆的半径是푟,则2휋 × 푟 = 2√3 3 휋, 解得:푟 = √3 3 . 15.【答案】 6 【解答】 如图所示,作点퐴关于퐵퐶的对称点퐴′,连接퐴퐴′,퐴′퐷,过퐷作퐷퐸 ⊥ 퐴퐶于퐸, ∵ △ 퐴퐵퐶中,∠퐵퐴퐶=90∘,∠퐵=60∘,퐴퐵=2, ∴ 퐵퐻=1,퐴퐻 = √3,퐴퐴′=2√3,∠퐶=30∘, ∴ 푅푡 △ 퐶퐷퐸中,퐷퐸 = 1 2 퐶퐷,即2퐷퐸=퐶퐷, ∵ 퐴与퐴′关于퐵퐶对称, ∴ 퐴퐷=퐴′퐷, ∴ 퐴퐷 + 퐷퐸=퐴′퐷 + 퐷퐸, ∴ 当퐴′,퐷,퐸在同一直线上时,퐴퐷 + 퐷퐸的最小值等于퐴′퐸的长, 此时,푅푡 △ 퐴퐴′퐸中,퐴′퐸=sin60∘ × 퐴퐴′ = √3 2 × 2√3 = 3, ∴ 퐴퐷 + 퐷퐸的最小值为3, 即2퐴퐷 + 퐶퐷的最小值为6, 三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分) 16.【答案】 (−1)2 + | − √2| + (휋 − 3)0 − √4 = 1 + √2 + 1 − 2 = √2. 【解答】 (−1)2 + | − √2| + (휋 − 3)0 − √4 = 1 + √2 + 1 − 2 = √2. 17.【答案】 (푥 − 2)2 − 4푥(푥 − 1) + (2푥 + 1)(2푥 − 1) =푥2 − 4푥 + 4 − 4푥2 + 4푥 + 4푥2 − 1 =푥2 + 3, 当푥 = −√2时,原式=(−√2)2 + 3=5. 【解答】 (푥 − 2)2 − 4푥(푥 − 1) + (2푥 + 1)(2푥 − 1) =푥2 − 4푥 + 4 − 4푥2 + 4푥 + 4푥2 − 1 =푥2 + 3, 当푥 = −√2时,原式=(−√2)2 + 3=5. 18.【答案】 证明:∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是平行四边形, ∴ 퐴퐷=퐶퐵,퐴퐷 // 퐶퐵, ∴ ∠퐷퐴퐸=∠퐵퐶퐹, ∵ 퐷퐸 // 퐵퐹, 9 / 13 ∴ ∠퐷퐸퐹=∠퐵퐹퐸, ∴ ∠퐴퐸퐷=∠퐶퐹퐵, 在△ 퐴퐷퐸和△ 퐶퐵퐹中, { ∠퐷퐴퐸 = ∠퐵퐶퐹 ∠퐴퐸퐷 = ∠퐶퐹퐵 퐴퐷 = 퐶퐵 , ∴ △ 퐴퐷퐸 ≅△ 퐶퐵퐹(퐴퐴푆), ∴ 퐴퐸=퐶퐹; 证明:由(1)知△ 퐴퐷퐸 ≅△ 퐶퐵퐹, 则퐷퐸=퐵퐹, 又∵ 퐷퐸 // 퐵퐹, ∴ 四边形퐸퐵퐹퐷是平行四边形, ∵ 퐵퐸=퐷퐸, ∴ 四边形퐸퐵퐹퐷为菱形. 【解答】 证明:∵ 四边形퐴퐵퐶퐷是平行四边形, ∴ 퐴퐷=퐶퐵,퐴퐷 // 퐶퐵, ∴ ∠퐷퐴퐸=∠퐵퐶퐹, ∵ 퐷퐸 // 퐵퐹, ∴ ∠퐷퐸퐹=∠퐵퐹퐸, ∴ ∠퐴퐸퐷=∠퐶퐹퐵, 在△ 퐴퐷퐸和△ 퐶퐵퐹中, { ∠퐷퐴퐸 = ∠퐵퐶퐹 ∠퐴퐸퐷 = ∠퐶퐹퐵 퐴퐷 = 퐶퐵 , ∴ △ 퐴퐷퐸 ≅△ 퐶퐵퐹(퐴퐴푆), ∴ 퐴퐸=퐶퐹; 证明:由(1)知△ 퐴퐷퐸 ≅△ 퐶퐵퐹, 则퐷퐸=퐵퐹, 又∵ 퐷퐸 // 퐵퐹, ∴ 四边形퐸퐵퐹퐷是平行四边形, ∵ 퐵퐸=퐷퐸, ∴ 四边形퐸퐵퐹퐷为菱形. 19.【答案】 5% 所抽取学生测试成绩的平均分= 90×50%+78×25%+66×20%+42×5% 1 = 79.8(分). 由题意总人数=2 ÷ 5%=40(人), 40 × 50%=20, 答:该校九年级学生中优秀等级的人数约为20人. 【解答】 在抽取的学生中不及格人数所占的百分比=1 − 20% − 25% − 50%=5%, 故答案为5%. 所抽取学生测试成绩的平均分= 90×50%+78×25%+66×20%+42×5% 1 = 79.8(分). 由题意总人数=2 ÷ 5%=40(人), 40 × 50%=20, 答:该校九年级学生中优秀等级的人数约为20人. 20.【答案】 建筑物퐶퐷的高度为16米 【解答】 在푅푡 △ 퐵퐷퐶中, ∵ tan∠퐷퐵퐶 = 퐶퐷 퐵퐶 , ∴ 1.60 = 퐶퐷 퐵퐶 , ∴ 퐵퐶 = 퐶퐷 1.60 , 10 / 13 在푅푡 △ 퐴퐶퐷中, ∵ tan∠퐷퐴퐶 = 퐶퐷 퐴퐶 , ∴ 0.40 = 퐶퐷 퐴퐶 , ∴ 퐴퐶 = 퐶퐷 0.40 , ∴ 퐴퐵=퐴퐶 − 퐵퐶 = 퐶퐷 0.40 − 퐶퐷 0.60 = 30, 解得:퐶퐷=16(米), 21.【答案】 퐴、퐵两款保温杯的销售单价分别是30元、40元; 当购买퐴款保温杯80个,퐵款保温杯40个时,能使这批保温杯的销售利润最大,最大 利润是1440元 【解答】 设퐴款保温杯的单价是푎元,则퐵款保温杯的单价是(푎 + 10)元, 480 푎+10 = 360 푎 , 解得,푎=30, 经检验,푎=30是原分式方程的解, 则푎 + 10=40, 答:퐴、퐵两款保温杯的销售单价分别是30元、40元; 设购买퐴款保温杯푥个,则购买퐵款保温杯(120 − 푥)个,利润为푤元, 푤=(30 − 20)푥 + [40 × (1 − 10%) − 20](120 − 푥)=−6푥 + 1920, ∵ 퐴款保温杯的数量不少于퐵款保温杯数量的两倍, ∴ 푥 ≥ 2(120 − 푥), 解得,푥 ≥ 80, ∴ 当푥=80时,푤取得最大值,此时푤=1440,120 − 푥=40, 答:当购买퐴款保温杯80个,퐵款保温杯40个时,能使这批保温杯的销售利润最大, 最大利润是1440元. 22.【答案】 证明:∵ 푃是퐵퐶̂ 的中点, ∴ 푃퐶̂ = 푃퐵̂ , ∴ ∠푃퐴퐷=∠푃퐴퐵, ∵ 푂퐴=푂푃, ∴ ∠퐴푃푂=∠푃퐴푂, ∴ ∠퐷퐴푃=∠퐴푃푂, ∴ 퐴퐷 // 푂푃, ∵ 푃퐷 ⊥ 퐴퐷, ∴ 푃퐷 ⊥ 푂푃, ∴ 퐷푃是⊙ 푂的切线; 连接퐵퐶交푂푃于퐸, ∵ 퐴퐵为⊙ 푂的直径, ∴ ∠퐴퐶퐵=90∘, ∵ 푃是퐵퐶̂ 的中点, ∴ 푂푃 ⊥ 퐵퐶,퐶퐸=퐵퐸, ∴ 四边形퐶퐷푃퐸是矩形, ∴ 퐶퐷=푃퐸,푃퐷=퐶퐸, ∵ ∠퐴푃퐶=∠퐵, ∴ sin∠퐴푃퐶=sin∠퐴푃퐶 = 퐴퐶 퐴퐵 = 5 13 , ∵ 퐴퐶=5, ∴ 퐴퐵=13, ∴ 퐵퐶=12, ∴ 푃퐷=퐶퐸=퐵퐸=6, ∵ 푂퐸 = 1 2 퐴퐶 = 5 2 ,푂푃 = 13 2 , 11 / 13 ∴ 퐶퐷=푃퐸 = 13 2 − 5 2 = 4, ∴ 퐴퐷=9, ∴ 퐴푃 = √퐴퐷2 + 푃퐷2 = √92 + 62 = 3√13. 【解答】 证明:∵ 푃是퐵퐶̂ 的中点, ∴ 푃퐶̂ = 푃퐵̂ , ∴ ∠푃퐴퐷=∠푃퐴퐵, ∵ 푂퐴=푂푃, ∴ ∠퐴푃푂=∠푃퐴푂, ∴ ∠퐷퐴푃=∠퐴푃푂, ∴ 퐴퐷 // 푂푃, ∵ 푃퐷 ⊥ 퐴퐷, ∴ 푃퐷 ⊥ 푂푃, ∴ 퐷푃是⊙ 푂的切线; 连接퐵퐶交푂푃于퐸, ∵ 퐴퐵为⊙ 푂的直径, ∴ ∠퐴퐶퐵=90∘, ∵ 푃是퐵퐶̂ 的中点, ∴ 푂푃 ⊥ 퐵퐶,퐶퐸=퐵퐸, ∴ 四边形퐶퐷푃퐸是矩形, ∴ 퐶퐷=푃퐸,푃퐷=퐶퐸, ∵ ∠퐴푃퐶=∠퐵, ∴ sin∠퐴푃퐶=sin∠퐴푃퐶 = 퐴퐶 퐴퐵 = 5 13 , ∵ 퐴퐶=5, ∴ 퐴퐵=13, ∴ 퐵퐶=12, ∴ 푃퐷=퐶퐸=퐵퐸=6, ∵ 푂퐸 = 1 2 퐴퐶 = 5 2 ,푂푃 = 13 2 , ∴ 퐶퐷=푃퐸 = 13 2 − 5 2 = 4, ∴ 퐴퐷=9, ∴ 퐴푃 = √퐴퐷2 + 푃퐷2 = √92 + 62 = 3√13. 23.【答案】 ∵ 抛物线푦=푎푥2 + 푏푥 + 푐的顶点是퐴(1,  3), ∴ 抛物线的解析式为푦=푎(푥 − 1)2 + 3, ∴ 푂퐴绕点푂顺时针旋转90∘后得到푂퐵, ∴ 퐵(3, −1), 把퐵(3, −1)代入푦=푎(푥 − 1)2 + 3可得푎=−1, ∴ 抛物线的解析式为푦=−(푥 − 1)2 + 3,即푦=−푥2 + 2푥 + 2, ①如图1中, 12 / 13 ∵ 퐵(3, −1), ∴ 直线푂퐵的解析式为푦 = − 1 3 푥, ∵ 퐴(1,  3), ∴ 퐶(1, − 1 3), ∵ 푃(1,  푚),퐴푃=푃퐴′, ∴ 퐴′(1,  2푚 − 3), 由题意3 > 2푚 − 3 > − 1 3 , ∴ 3 > 푚 > 4 3 . ②∵ 直线푂퐴的解析式为푦=3푥,直线퐴퐵的解析式为푦=−2푥 + 5, ∵ 푃(1,  푚), ∴ 푀(푚 3 ,  푚),푁(5−푚 2 ,  푚), ∴ 푀푁 = 5−푚 2 − 푚 3 = 15−5푚 6 , ∵ 푆△퐴′푀푁 = 5 6 푆△푂퐴′퐵, ∴ 1 2 ⋅ (푚 − 2푚 + 3) ⋅ 15−5푚 6 = 5 6 × 1 2 × |2푚 − 3 + 1 3 | × 3, 整理得푚2 − 6푚 + 9=|6푚 − 8| 解得푚=6 + √19(舍弃)或6 − √19, ∴ 满足条件的푚的值为6 − √19. 【解答】 ∵ 抛物线푦=푎푥2 + 푏푥 + 푐的顶点是퐴(1,  3), ∴ 抛物线的解析式为푦=푎(푥 − 1)2 + 3, ∴ 푂퐴绕点푂顺时针旋转90∘后得到푂퐵, ∴ 퐵(3, −1), 把퐵(3, −1)代入푦=푎(푥 − 1)2 + 3可得푎=−1, ∴ 抛物线的解析式为푦=−(푥 − 1)2 + 3,即푦=−푥2 + 2푥 + 2, ①如图1中, ∵ 퐵(3, −1), ∴ 直线푂퐵的解析式为푦 = − 1 3 푥, ∵ 퐴(1,  3), ∴ 퐶(1, − 1 3), ∵ 푃(1,  푚),퐴푃=푃퐴′, ∴ 퐴′(1,  2푚 − 3), 由题意3 > 2푚 − 3 > − 1 3 , ∴ 3 > 푚 > 4 3 . ②∵ 直线푂퐴的解析式为푦=3푥,直线퐴퐵的解析式为푦=−2푥 + 5, ∵ 푃(1,  푚), ∴ 푀(푚 3 ,  푚),푁(5−푚 2 ,  푚), 13 / 13 ∴ 푀푁 = 5−푚 2 − 푚 3 = 15−5푚 6 , ∵ 푆△퐴′푀푁 = 5 6 푆△푂퐴′퐵, ∴ 1 2 ⋅ (푚 − 2푚 + 3) ⋅ 15−5푚 6 = 5 6 × 1 2 × |2푚 − 3 + 1 3 | × 3, 整理得푚2 − 6푚 + 9=|6푚 − 8| 解得푚=6 + √19(舍弃)或6 − √19, ∴ 满足条件的푚的值为6 − √19.
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