2020九年级数学上册 第二十四章 圆 小专题14 教材P124复习题T13的变式与应用习题

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2020九年级数学上册 第二十四章 圆 小专题14 教材P124复习题T13的变式与应用习题

小专题14 教材P124复习题T13的变式与应用 ‎【教材母题】 如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D.求证:DE=DB.‎ 证明:连接BE,由点E是△ABC的内心可知∠BAD=∠CAD.‎ ‎∵∠CAD=∠CBD,‎ ‎∴∠BAD=∠CBD.‎ 又∵∠ABE=∠CBE,‎ ‎∴∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠CBD.‎ ‎∴∠BED=∠EBD.‎ ‎∴DE=DB.‎ ‎【问题延伸1】 写出∠BED与∠C的关系:∠BED=90°-∠C.‎ ‎【问题延伸2】 设AD交BC于点F,AD为△ABC外接圆的直径,G为AB上一点,且∠ADG=∠C.若BG=3,AG=5,求DE的长.‎ 10‎ 解:易证AD垂直平分BC,‎ ‎∵∠ADG=∠C=∠ADB,‎ ‎∴DG平分∠ADB.‎ 由(1)知BD=DE,∴DG垂直平分BE.连接GE,∴BG=GE,∠DEG=∠DBG=90°.‎ ‎∵BG=3,AG=5,∴GE=3.∴AE=4.‎ 设BD=DE=x,则x2+82=(x+4)2,解得x=6.‎ ‎∴DE=6.‎ ‎1.(临沂中考)如图,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,∠ABC的平分线交AD于点E.‎ ‎(1)求证:DE=DB;‎ ‎(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC外接圆的半径.‎ 解:(1)解答同教材母题解答.‎ ‎(2)连接DC,∵∠BAC=90°,‎ ‎∴BC是直径.∴∠BDC=90°.‎ ‎∵∠BAD=∠CAD,BD=4,‎ ‎∴BD=CD=4.‎ ‎∴BC==4.‎ ‎∴外接圆的半径为2.‎ ‎2.如图,⊙O为△ABC的外接圆,BC为直径,AD平分∠BAC交⊙O于点D,点M为△‎ 10‎ ABC的内心.‎ ‎(1)求证:BC=DM;‎ ‎(2)若DM=5,AB=8,求OM的长.‎ 解:(1)证明:连接MC,DB,DC.‎ ‎∵点M为△ABC的内心,‎ ‎∴MC平分∠ACB.‎ ‎∴∠ACM=∠BCM.‎ ‎∵BC为直径,‎ ‎∴∠BAC=90°.‎ ‎∵AD平分∠BAC,‎ ‎∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=45°.‎ ‎∴∠DBC=∠BCD=45°.‎ ‎∴△BDC为等腰直角三角形.‎ ‎∴BC=DC.‎ 又∵∠DMC=∠MAC+∠ACM=45°+∠ACM,‎ 而∠DCM=∠BCD+∠BCM=45°+∠BCM,‎ ‎∴∠DMC=∠DCM.‎ ‎∴DC=DM.‎ ‎∴BC=DM.‎ ‎(2)作MF⊥BC于点F,ME⊥AC于点E,MH⊥AB于点H,连接OM.‎ ‎∵DM=5,‎ ‎∴BC=DM=10.‎ 而AB=8,‎ ‎∴AC==6.‎ 设△ABC的内切圆半径为r,‎ ‎∵点M为△ABC的内心,‎ 10‎ ‎∴MH=ME=MF=r.‎ ‎∴四边形AHME为正方形.‎ ‎∴AH=AE=r,则CE=CF=6-r,‎ BH=BF=8-r.‎ 而BF+FC=BC,‎ ‎∴8-r+6-r=10,计算得出r=2.‎ ‎∴MF=2,CF=6-2=4,‎ ‎∵OC=5,‎ ‎∴OF=5-4=1.‎ 在Rt△OMF中,OM==.‎ 小专题15 与圆的切线有关的计算与证明 ‎1.(怀化中考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°.‎ ‎(1)先作∠ACB的平分线交AB边于点P,再以点P为圆心,PA长为半径作⊙P;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)‎ ‎(2)请你判断(1)中BC与⊙P的位置关系,并证明你的结论.‎ 解:(1)如图所示,⊙P为所求的圆.‎ ‎(2)BC与⊙P相切,‎ 理由:过P作PD⊥BC,垂足为D,‎ ‎∵CP为∠ACB的平分线,且PA⊥AC,PD⊥CB,‎ ‎∴PD=PA.‎ ‎∵PA为⊙P的半径,‎ ‎∴BC与⊙P相切.‎ ‎2.(永州中考)如图,已知AB是⊙O的直径,过O点作OP⊥AB,交弦AC于点D,交⊙‎ 10‎ O于点E,且使∠PCA=∠ABC.‎ ‎(1)求证:PC是⊙O的切线;‎ ‎(2)若∠P=60°,PC=2,求PE的长.‎ 解:(1)证明:连接OC,‎ ‎∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∴∠BCO+∠ACO=90°.‎ ‎∵OC=OB,‎ ‎∴∠B=∠BCO.‎ ‎∵∠PCA=∠ABC,‎ ‎∴∠BCO=∠ACP.‎ ‎∴∠ACP+∠OCA=90°.‎ ‎∴∠OCP=90°,即OC⊥PC.‎ ‎∵OC为⊙O的半径,‎ ‎∴PC是⊙O的切线.‎ ‎(2)∵∠P=60°,PC=2,∠PCO=90°,‎ ‎∴OC=2,OP=2PC=4.‎ ‎∴PE=OP-OE=OP-OC=4-2.‎ ‎3.(黄石中考)如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC为⊙O的直径,点E为△ABC的内心,连接AE并延长交⊙O于点D,连接BD并延长至点F,使得BD=DF,连接CF,BE.求证:‎ ‎(1)DB=DE;‎ ‎(2)直线CF为⊙O的切线.‎ 10‎ 证明:(1)∵E为△ABC的内心,‎ ‎∴∠DAC=∠DAB,∠CBE=∠EBA.‎ 又∵∠DBC=∠DAC,∠DBE=∠DBC+∠CBE,∠DEB=∠EAB+∠EBA,‎ ‎∴∠DBE=∠DEB.∴DB=DE.‎ ‎(2)连接OD.‎ ‎∵BD=DF,O是BC的中点,‎ ‎∴OD∥CF.‎ 又∵BC为⊙O的直径,OB=OD,‎ ‎∴∠ODB=∠DBO=∠DAC=45°.‎ ‎∴∠BCF=∠BOD=90°.‎ ‎∴OC⊥CF.‎ 又OC为⊙O的半径,∴直线CF为⊙O的切线.‎ ‎4.(北京中考)如图,AB为⊙O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交于点D,过点D作⊙O的切线,交BA的延长线于点E.‎ ‎(1)求证:AC∥DE;‎ ‎(2)连接CD,若OA=AE=a,写出求四边形ACDE面积的思路.‎ 解:(1)证明:∵ED与⊙O相切于点D,‎ ‎∴OD⊥DE.‎ ‎∵F为弦AC的中点,‎ ‎∴OD⊥AC.∴AC∥DE.‎ ‎(2)①连接AD,易知AD=AO,‎ 10‎ 又∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形,且边长为a.‎ ‎∴可以进一步求出△AOD的面积为a2;‎ ‎②根据点A是EO中点,可知△EOD的面积是△AOD面积的2倍,∴可得△EOD的面积为a2;‎ ‎③等量代换可得四边形ACDE的面积为a2.‎ ‎5.如图所示,MN是⊙O的切线,B为切点,BC是⊙O的弦且∠CBN=45°,过C的直线与⊙O,MN分别交于A,D两点,过C作CE⊥BD于点E.‎ ‎(1)求证:CE是⊙O的切线;‎ ‎(2)若∠D=30°,BD=2+2,求⊙O的半径r.‎ 解:(1)证明:连接OB,OC.‎ ‎∵MN是⊙O的切线,‎ ‎∴OB⊥MN.‎ ‎∵∠CBN=45°,‎ ‎∴∠OBC=45°,∠BCE=45°.‎ ‎∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=45°.‎ ‎∴∠OCE=90°.‎ 又∵点C在⊙O上,‎ ‎∴CE是⊙O的切线.‎ ‎(2)∵OB⊥BE,CE⊥BE,OC⊥CE,‎ ‎∴四边形BOCE是矩形.‎ 又∵OB=OC,∴四边形BOCE是正方形.‎ ‎∴BE=CE=OB=OC=r.‎ 在Rt△CDE中,∵∠D=30°,CE=r,∴DE=r.‎ ‎∵BD=2+2,∴r+r=2+2.解得r=2.‎ 即⊙O的半径为2.‎ 10‎ ‎6.已知直线l与⊙O,AB是⊙O的直径,AD⊥l于点D.‎ ‎(1)如图1,当直线l与⊙O相切于点C时,若∠DAC=30°,求∠BAC的大小;‎ ‎(2)如图2,当直线l与⊙O相交于点E,F时,若∠DAE=18°,求∠BAF的大小.‎ ‎   ‎ 解:(1)连接OC.‎ ‎∵直线l与⊙O相切于点C,‎ ‎∴OC⊥l.‎ 又∵AD⊥l,‎ ‎∴AD∥OC.‎ ‎∴∠ACO=∠DAC=30°.‎ ‎∵OA=OC,‎ ‎∴∠BAC=∠ACO.‎ ‎∴∠BAC=∠DAC=30°.‎ ‎(2)连接BF.‎ ‎∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角,∠DAE=18°,∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°.‎ ‎∵四边形ABFE是圆内接四边形,‎ ‎∴∠AEF+∠B=180°.‎ ‎∴∠B=180°-108°=72°.‎ ‎∵AB是⊙O的直径,∴∠AFB=90°.‎ ‎∴∠BAF=90°-∠B=18°.‎ ‎7.(教材P102习题T12变式)如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD与过C点的切线互相垂直,垂足为D,AD交⊙O于点E,DE=2,CD=4.‎ ‎(1)求证:AC平分∠BAD;‎ ‎(2)求⊙O的半径R;‎ ‎(3)延长AB,DC交于点F,OH⊥AC于点H.若∠F=2∠ABH,则BH的长为2 10‎ ‎(直接写出).‎ 解:(1)证明:连接OC,‎ ‎∵FD切⊙O于点C.‎ ‎∴OC⊥FD.‎ ‎∵AD⊥FD.∴OC∥AD.‎ ‎∴∠ACO=∠DAC.‎ ‎∵OC=OA,‎ ‎∴∠ACO=∠CAO.‎ ‎∴∠DAC=∠CAO,‎ 即AC平分∠DAB.‎ ‎(2)作OG⊥AE于点G,则AG=EG.‎ ‎∴OG=CD=4,OC=DG=R.‎ ‎∴EG=R-2=AG.‎ 在Rt△AGO中,(R-2)2+42=R2,‎ ‎∴R=5.‎ ‎(3)提示:连接BE,∵∠AEB=90°.‎ ‎∴BE∥DF.‎ ‎∴∠F=∠ABE=2∠ABH.‎ ‎∴BH平分∠ABE.‎ 又∵AC平分∠BAD.‎ ‎∴∠AHB=135°.‎ ‎∴△CHB是等腰三角形.‎ ‎∴BC=CH=AH.‎ 设BC=x,AC=2x,‎ 在Rt△ABC中,x2+(2x)2=102,‎ ‎∴x=2,‎ 10‎ ‎∴BH=CH=2.‎ 10‎
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