2020九年级数学下册 第二十七章 相似 专题训练（三）相似三角形的基本模型同步练习

2020九年级数学下册 第二十七章 相似 专题训练（三）相似三角形的基本模型同步练习

专题训练(三)　相似三角形的基本模型 ‎ ►　模型一　“A”字型 ‎(1)如图3－ZT－1①，公共角所对应的边平行，则△ADE∽△ABC；‎ ‎(2)如图3－ZT－1②，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△AED∽△ABC；‎ ‎(3)如图3－ZT－1③，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，两个三角形有一条公共边，则△ACD∽△ABC.(又称母子图)‎ 图3－ZT－1‎ ‎1．如图3－ZT－2所示，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，则AC的长为________．‎ 图3－ZT－2‎ ‎2．如图3－ZT－3所示，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，EF∥BC，EF分别与AB，AC，AD交于点E，F，G.求证：＝.‎ 图3－ZT－3‎ 6‎ ‎3．如图3－ZT－4所示，D，E两点分别在△ABC的边AB，AC上，DE与BC不平行．‎ ‎(1)补充一个条件，使△ADE∽△ACB；‎ ‎(2)在(1)的条件下，求证：△ADE∽△ACB.‎ 图3－ZT－4‎ ‎►　模型二　“X”字型 ‎(1)如图3－ZT－5①，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；‎ ‎(2)如图3－ZT－5②，对顶角的对边不平行，且∠OAB＝∠OCD，则△ABO∽△CDO.‎ 图3－ZT－5‎ ‎4．如图3－ZT－6所示，已知AC和BD相交于点E，CE·AE＝BE·DE.求证：△ABE∽△DCE.‎ 图3－ZT－6‎ ‎5．如图3－ZT－7所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，BE∥CD交CA的延长线于点E.求证：OC2＝OA·OE.‎ 图3－ZT－7‎ 6‎ ‎►　模型三　旋转型 如图3－ZT－8，∠1＝∠2，∠B＝∠D，则△ADE∽△ABC.‎ 图3－ZT－8‎ ‎6．如图3－ZT－9所示，＝＝，点B，D，F，E在同一条直线上，请找出图中的相似三角形，并说明理由．‎ 图3－ZT－9‎ ‎►　模型四　垂直型 ‎(1)如图3－ZT－10，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.(双垂直图)‎ 图3－ZT－10‎ ‎(2)如图3－ZT－11，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，且点A，B，C共线，则有△ABD∽△CEB.(M型，也可归入模型五)‎ ‎　　　‎ 6‎ 图3－ZT－11‎ ‎7．已知：如图3－ZT－12，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，则AB的长为________．‎ 图3－ZT－12‎ ‎►　模型五　一线三等角型 如图3－ZT－13，∠ABC＝∠ACE＝∠CDE，则△ABC∽△CDE，称为“一线三等角型”的相似三角形．‎ 图3－ZT－13‎ ‎8．如图3－ZT－14，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，D是边BC上一动点(不与点B，C重合)，∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E.给出下列结论：①图中有2对相似三角形；②线段CE长的最大值为6.4；③当AD＝DC时，BD的长为.其中正确的结论是(　　)‎ 图3－ZT－14‎ A．①② B．②③‎ C．①③ D．①②③‎ ‎9．如图3－ZT－15所示，△ABC，△DEF均为正三角形，点D，E分别在边AB，BC上，请找出一个与△DBE相似的三角形，并给予证明．‎ 图3－ZT－15‎ 6‎ 详解详析 ‎1．[答案] 2 ‎[解析] 在△ABC和△ACD中，∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴＝，即AC2＝AD·AB＝AD·(AD＋BD)＝2×6＝12，∴AC＝2 .故填2 .‎ ‎2．证明：∵EF∥BC，∴＝，＝，‎ ‎∴＝，即＝.‎ ‎3．解：(1)∵∠A是公共角，且DE与BC不平行，‎ ‎∴当补充条件①∠ADE＝∠C或②∠AED＝∠B或③＝或④AD·AB＝AE·AC时，△ADE∽△ACB.(答案不唯一)‎ ‎(2)证明：①∵∠A是公共角，∠ADE＝∠C，‎ ‎∴△ADE∽△ACB.‎ ‎②∵∠A是公共角，∠AED＝∠B，‎ ‎∴△ADE∽△ACB.‎ ‎③∵∠A是公共角，＝，‎ ‎∴△ADE∽△ACB.‎ ‎④∵AD·AB＝AE·AC，‎ ‎∴＝.‎ 又∵∠A是公共角，∴△ADE∽△ACB.‎ ‎4．证明：∵CE·AE＝BE·DE，∴＝.‎ 又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE.‎ ‎5．证明：∵AD∥BC，∴△COB∽△AOD，‎ ‎∴＝.‎ 又∵BE∥CD，∴△EOB∽△COD，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ 即OC2＝OA·OE.‎ ‎6．解：△ABC∽△ADE，△BAD∽△CAE，△ABF∽△ECF，△AEF∽△BCF.‎ 理由：∵＝＝，‎ ‎∴△ABC∽△ADE，‎ ‎∴∠BAC＝∠DAE，‎ ‎∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，‎ 即∠BAD＝∠CAE.‎ 又∵＝，即＝，‎ ‎∴△BAD∽△CAE，∴∠ABF＝∠FCE.‎ 又∵∠AFB＝∠EFC，∴△ABF∽△ECF.‎ 由△ABC∽△ADE，得∠ACB＝∠AEF.‎ 又∵∠AFE＝∠BFC，∴△AEF∽△BCF.‎ ‎7．[答案] 4‎ ‎[解析] ∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∠ACB＋∠A＝90°.‎ 6‎ ‎∵AC⊥CE，∴∠ACB＋∠ECD＝90°，‎ ‎∴∠A＝∠ECD，‎ ‎∴△ABC∽△CDE，∴＝.‎ 又∵C是线段BD的中点，BD＝4，‎ ‎∴BC＝CD＝2，∴＝，∴AB＝4.‎ ‎8．证明：∵CD⊥AB，E为斜边AC的中点，‎ ‎∴DE＝CE＝AE＝AC，∴∠EDA＝∠A.‎ ‎∵∠EDA＝∠FDB，‎ ‎∴∠A＝∠FDB.‎ ‎∵∠ACB＝∠CDA＝90°，‎ ‎∴∠A＋∠ACD＝∠FCD＋∠ACD＝90°，‎ ‎∴∠A＝∠FCD，∴∠FDB＝∠FCD.‎ 又∵∠F＝∠F，∴△FDB∽△FCD，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴BD·CF＝CD·DF.‎ ‎9．[解析] D　由∠ADE＝∠B＝∠C＝α，得∠BAD＋∠ADB＝180°－α＝∠ADB＋∠CDE，得∠BAD＝∠CDE，于是△ABD∽△DCE，又易证△ADE∽△ACD，故①正确；设BD＝x，由△ABD∽△DCE得＝，∴CE＝＝＝－(x－8)2＋6.4，故CE长的最大值为6.4，②正确；当AD＝DC时，∠DAC＝∠C＝∠B，易证△ABC∽△DAC，得＝，即＝，解得BD＝，③正确．‎ ‎10．解：△ECH，△GFH，△GAD均与△DBE相似．‎ 如选△DBE∽△GAD证明如下：‎ ‎∵△ABC与△DEF均为等边三角形，‎ ‎∴∠A＝∠EDF＝60°.‎ 又∵∠BDG＝∠BDE＋∠EDF，∠BDG＝∠A＋∠AGD，‎ 即∠BDE＋60°＝∠AGD＋60°，‎ ‎∴∠BDE＝∠AGD.‎ 又∵∠B＝∠A＝60°，‎ ‎∴△DBE∽△GAD.‎ 6‎