2018年湖北省黄石市中考数学试卷

2018年湖北省黄石市中考数学试卷

2018 年湖北省黄石市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．（3.00 分）下列各数是无理数的是（ ） A．1 B．﹣0.6 C．﹣6 D．π 2．（3.00 分）太阳半径约 696000 千米，则 696000 千米用科学记数法可表示为 （ ） A．0.696×106 B．6.96×105 C．0.696×107 D．6.96×108 3．（3.00 分）下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．（3.00 分）下列计算中，结果是 a7 的是（ ） A．a3﹣a4 B．a3•a4 C．a3+a4 D．a3÷a4 5．（3.00 分）如图，该几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 6．（3.00 分）如图，将“笑脸”图标向右平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，点 P 的对应点 P'的坐标是（ ） A．（﹣1，6） B．（﹣9，6） C．（﹣1，2） D．（﹣9，2） 7．（3.00 分）如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE、BF 分别是∠BAC、∠ABC 的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ） A．75° B．80° C．85° D．90° 8．（3.00 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 为⊙O 上一点，且∠ABD=30°，BO=4， 则 的长为（ ） A． B． C．2π D． 9．（3.00 分）已知一次函数 y1=x﹣3 和反比例函数 y2= 的图象在平面直角坐标系 中交于 A、B 两点，当 y1＞y2 时，x 的取值范围是（ ） A．x＜﹣1 或 x＞4 B．﹣1＜x＜0 或 x＞4 C．﹣1＜x＜0 或 0＜x＜4 D．x＜﹣1 或 0＜x＜4 10．（3.00 分）如图，在 Rt△PMN 中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形 ABCD 中 AB=2cm，BC=10cm，点 C 和点 M 重合，点 B、C（M）、N 在同一直线上，令 Rt△PMN 不动，矩形 ABCD 沿 MN 所在直线以每秒 1cm 的速度向右移动，至点 C 与点 N 重合为止，设移动 x 秒后，矩形 ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为 y，则 y 与 x 的大致图象是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题给共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．（3.00 分）分解因式：x3y﹣xy3= ． 12．（3.00 分）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CA=8，CB=6，则△ABC 内切圆的周长为 13．（3.00 分）分式方程 =1 的解为 14．（3.00 分）如图，无人机在空中 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 60°、 45°，如果无人机距地面高度 CD 为 米，点 A、D、E 在同一水平直线上，则 A、B 两点间的距离是 米．（结果保留根号） 15．（3.00 分）在一个不透明的布袋中装有标着数字 2，3，4，5 的 4 个小球，这 4 个小球的材质、大小和形状完全相同，现从中随机摸出两个小球，这两个小球 上的数字之积大于 9 的概率为 16．（3.00 分）小光和小王玩“石头、剪子、布”游戏，规定：一局比赛后，胜者 得 3 分，负者得﹣1 分，平局两人都得 0 分，小光和小王都制订了自己的游戏策 略，并且两人都不知道对方的策略． 小光的策略是：石头、剪子、布、石头、剪子、布、…… 小王的策略是：剪子、随机、剪子、随机……（说明：随机指石头、剪子、布中 任意一个） 例如，某次游戏的前 9 局比赛中，两人当时的策略和得分情况如下表 局数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 小光实际策略 石头 剪子 布 石头 剪子 布 石头 剪子 布 小王实际策略 剪子 布 剪子 石头 剪子 剪子 剪子 石头 剪子 小光得分 3 3 ﹣1 0 0 ﹣1 3 ﹣1 ﹣1 小王得分 ﹣1 ﹣1 3 0 0 3 ﹣1 3 3 已知在另一次游戏中，50 局比赛后，小光总得分为﹣6 分，则小王总得分为 分． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程 或验算步骤） 17．（7.00 分）计算：（ ）﹣2+（π2﹣π）0+cos60°+| ﹣2| 18．（7.00 分）先化简，再求值： ．其中 x=sin60°． 19．（7.00 分）解不等式组 ，并求出不等式组的整数解之和． 20．（8.00 分）已知关于 x 的方程 x2﹣2x+m=0 有两个不相等的实数根 x1、x2 （1）求实数 m 的取值范围； （2）若 x1﹣x2=2，求实数 m 的值． 21．（8.00 分）如图，已知 A、B、C、D、E 是⊙O 上五点，⊙O 的直径 BE=2 ， ∠BCD=120°，A 为 的中点，延长 BA 到点 P，使 BA=AP，连接 PE． （1）求线段 BD 的长； （2）求证：直线 PE 是⊙O 的切线． 22．（8.00 分）随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经 成为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分 好友进行调查，把他们 6 月 1 日那天行走的情况分为四个类别：A（0～5000 步） （说明：“0～5000”表示大于等于 0，小于等于 5000，下同），B（5001～10000 步），C（10001～15000 步），D（15000 步以上），统计结果如图所示： 请依据统计结果回答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了 位好友． （2）已知 A 类好友人数是 D 类好友人数的 5 倍． ①请补全条形图； ②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为 度． ③若小陈微信朋友圈共有好友 150 人，请根据调查数据估计大约有多少位好友 6 月 1 日这天行走的步数超过 10000 步？ 23．（8.00 分）某年 5 月，我国南方某省 A、B 两市遭受严重洪涝灾害，1.5 万人 被迫转移，邻近县市 C、D 获知 A、B 两市分别急需救灾物资 200 吨和 300 吨的 消息后，决定调运物资支援灾区．已知 C 市有救灾物资 240 吨，D 市有救灾物资 260 吨，现将这些救灾物资全部调往 A、B 两市．已知从 C 市运往 A、B 两市的费 用分别为每吨 20 元和 25 元，从 D 市运往往 A、B 两市的费用别为每吨 15 元和 30 元，设从 D 市运往 B 市的救灾物资为 x 吨． （1）请填写下表 A（吨） B（吨） 合计（吨） C 240 D x 260 总计（吨） 200 300 500 （2）设 C、D 两市的总运费为 w 元，求 w 与 x 之间的函数关系式，并写出自变 量 x 的取值范围； （3）经过抢修，从 D 市到 B 市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨 减少 m 元（m＞0），其余路线运费不变．若 C、D 两市的总运费的最小值不小于 10320 元，求 m 的取值范围． 24．（9.00 分）在△ABC 中，E、F 分别为线段 AB、AC 上的点（不与 A、B、C 重 合）． （1）如图 1，若 EF∥BC，求证： （2）如图 2，若 EF 不与 BC 平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）如图 3，若 EF 上一点 G 恰为△ABC 的重心， ，求 的值． 25．（10.00 分）已知抛物线 y=a（x﹣1）2 过点（3，1），D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 B、C 均在抛物线上，其中点 B（0， ），且∠BDC=90°，求点 C 的坐 标； （3）如图，直线 y=kx+4﹣k 与抛物线交于 P、Q 两点． ①求证：∠PDQ=90°； ②求△PDQ 面积的最小值． 2018 年湖北省黄石市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．（3.00 分）下列各数是无理数的是（ ） A．1 B．﹣0.6 C．﹣6 D．π 【分析】依据无理数的三种常见类型进行判断即可． 【解答】解：A、1 是整数，为有理数； B、﹣0.6 是有限小数，即分数，属于有理数； C、﹣6 是整数，属于有理数； D、π是无理数； 故选：D． 2．（3.00 分）太阳半径约 696000 千米，则 696000 千米用科学记数法可表示为 （ ） A．0.696×106 B．6.96×105 C．0.696×107 D．6.96×108 【分析】根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示，本 题得以解决． 【解答】解：696000 千米=6.96×105 米， 故选：B． 3．（3.00 分）下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：C． 4．（3.00 分）下列计算中，结果是 a7 的是（ ） A．a3﹣a4 B．a3•a4 C．a3+a4 D．a3÷a4 【分析】根据同底数幂的乘、除法法则、合并同类项法则计算，判断即可． 【解答】解：A、a3 与 a4 不能合并； B、a3•a4=a7， C、a3 与 a4 不能合并； D、a3÷a4= ； 故选：B． 5．（3.00 分）如图，该几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】找到从几何体的上面所看到的图形即可． 【解答】解：从几何体的上面看可得 ， 故选：A． 6．（3.00 分）如图，将“笑脸”图标向右平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，点 P 的对应点 P'的坐标是（ ） A．（﹣1，6） B．（﹣9，6） C．（﹣1，2） D．（﹣9，2） 【分析】根据平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减即 可解决问题； 【解答】解：由题意 P（﹣5，4），向右平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位， 点 P 的对应点 P'的坐标是（﹣1，2）， 故选：C． 7．（3.00 分）如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE、BF 分别是∠BAC、∠ABC 的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ） A．75° B．80° C．85° D．90° 【分析】依据 AD 是 BC 边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠ BAC=50°，AE 平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC 中，∠C=180°﹣∠ ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°． 【解答】解：∵AD 是 BC 边上的高，∠ABC=60°， ∴∠BAD=30°， ∵∠BAC=50°，AE 平分∠BAC， ∴∠BAE=25°， ∴∠DAE=30°﹣25°=5°， ∵△ABC 中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°， ∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°， 故选：A． 8．（3.00 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 为⊙O 上一点，且∠ABD=30°，BO=4， 则 的长为（ ） A． B． C．2π D． 【分析】先计算圆心角为 120°，根据弧长公式= ，可得结果． 【解答】解：连接 OD， ∵∠ABD=30°， ∴∠AOD=2∠ABD=60°， ∴∠BOD=120°， ∴ 的长= = ， 故选：D． 9．（3.00 分）已知一次函数 y1=x﹣3 和反比例函数 y2= 的图象在平面直角坐标系 中交于 A、B 两点，当 y1＞y2 时，x 的取值范围是（ ） A．x＜﹣1 或 x＞4 B．﹣1＜x＜0 或 x＞4 C．﹣1＜x＜0 或 0＜x＜4 D．x＜﹣1 或 0＜x＜4 【分析】先求出两个函数的交点坐标，再根据函数的图象和性质得出即可． 【解答】解：解方程组 得： ， ， 即 A（4，1），B（﹣1，﹣4）， 所以当 y1＞y2 时，x 的取值范围是﹣1＜x＜0 或 x＞4， 故选：B． 10．（3.00 分）如图，在 Rt△PMN 中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形 ABCD 中 AB=2cm，BC=10cm，点 C 和点 M 重合，点 B、C（M）、N 在同一直线上，令 Rt△PMN 不动，矩形 ABCD 沿 MN 所在直线以每秒 1cm 的速度向右移动，至点 C 与点 N 重合为止，设移动 x 秒后，矩形 ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为 y，则 y 与 x 的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【分析】在 Rt△PMN 中解题，要充分运用好垂直关系和 45 度角，因为此题也是 点的移动问题，可知矩形 ABCD 以每秒 1cm 的速度由开始向右移动到停止，和 Rt△PMN 重叠部分的形状可分为下列三种情况，（1）0≤x≤2；（2）2＜x≤4；（3） 4＜x≤6；根据重叠图形确定面积的求法，作出判断即可． 【解答】解：∵∠P=90°，PM=PN， ∴∠PMN=∠PNM=45°， 由题意得：CM=x， 分三种情况： ①当 0≤x≤2 时，如图 1，边 CD 与 PM 交于点 E， ∵∠PMN=45°， ∴△MEC 是等腰直角三角形， 此时矩形 ABCD 与△PMN 重叠部分是△EMC， ∴y=S△EMC= CM•CE= ； 故选项 B 和 D 不正确； ②如图 2，当 D 在边 PN 上时，过 P 作 PF⊥MN 于 F，交 AD 于 G， ∵∠N=45°，CD=2， ∴CN=CD=2， ∴CM=6﹣2=4， 即此时 x=4， 当 2＜x≤4 时，如图 3，矩形 ABCD 与△PMN 重叠部分是四边形 EMCD， 过 E 作 EF⊥MN 于 F， ∴EF=MF=2， ∴ED=CF=x﹣2， ∴y=S 梯形 EMCD= CD•（DE+CM）= =2x﹣2； ③当 4＜x≤6 时，如图 4，矩形 ABCD 与△PMN 重叠部分是五边形 EMCGF，过 E 作 EH⊥MN 于 H， ∴EH=MH=2，DE=CH=x﹣2， ∵MN=6，CM=x， ∴CG=CN=6﹣x， ∴DF=DG=2﹣（6﹣x）=x﹣4， ∴y=S 梯形 EMCD﹣S△FDG= ﹣ = ×2×（x﹣2+x）﹣ =﹣ +10x﹣18， 故选项 A 正确； 故选：A． 二、填空题（本大题给共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．（3.00 分）分解因式：x3y﹣xy3= xy（x+y）（x﹣y） ． 【分析】首先提取公因式 xy，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解． 【解答】解：x3y﹣xy3， =xy（x2﹣y2）， =xy（x+y）（x﹣y）． 12．（3.00 分）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CA=8，CB=6，则△ABC 内切圆的周长为 4π 【分析】先利用勾股定理计算出 AB 的长，再利用直角三角形内切圆的半径的计 算方法求出△ABC 的内切圆的半径，然后利用圆的面积公式求解． 【解答】解：∵∠C=90°，CA=8，CB=6， ∴AB= =10， ∴△ABC 的内切圆的半径= =2， ∴△ABC 内切圆的周长=π•22=4π． 故答案为 4π． 13．（3.00 分）分式方程 =1 的解为 x=0.5 【分析】方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程，然后解方程，再进行检验． 【解答】解：方程两边都乘以 2（x2﹣1）得， 8x+2﹣5x﹣5=2x2﹣2， 解得 x1=1，x2=0.5， 检验：当 x=0.5 时，x﹣1=0.5﹣1=﹣0.5≠0， 当 x=1 时，x﹣1=0， 所以 x=0.5 是方程的解， 故原分式方程的解是 x=0.5． 故答案为：x=0.5 14．（3.00 分）如图，无人机在空中 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 60°、 45°，如果无人机距地面高度 CD 为 米，点 A、D、E 在同一水平直线上，则 A、B 两点间的距离是 100（1+ ） 米．（结果保留根号） 【分析】如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在 Rt△ACD 中利用正切 定 义 可 计 算 出 AD=100 ， 在 Rt △ BCD 中 利 用 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 得 BD=CD=100 ，然后计算 AD+BD 即可． 【解答】解：如图， ∵无人机在空中 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 60°、45°， ∴∠A=60°，∠B=45°， 在 Rt△ACD 中，∵tanA= ， ∴AD= =100， 在 Rt△BCD 中，BD=CD=100 ， ∴AB=AD+BD=100+100 =100（1+ ）． 答：A、B 两点间的距离为 100（1+ ）米． 故答案为 100（1+ ）． 15．（3.00 分）在一个不透明的布袋中装有标着数字 2，3，4，5 的 4 个小球，这 4 个小球的材质、大小和形状完全相同，现从中随机摸出两个小球，这两个小球 上的数字之积大于 9 的概率为 【分析】列表或树状图得出所有等可能的情况数，找出数字之积大于 9 的情况数， 利用概率公式即可得． 【解答】解：根据题意列表得： 2 3 4 5 2 ﹣﹣﹣ （3，2） （4，2） （5，2） 3 （2，3） ﹣﹣﹣ （4，3） （5，3） 4 （2，4） （3，4） ﹣﹣﹣ （5，4） 5 （2，5） （3，5） （4，5） ﹣﹣﹣ 由表可知所有可能结果共有 12 种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的 两个小球上的数字之积大于 9 的有 8 种， 所以两个小球上的数字之积大于 9 的概率为 = ， 故答案为： ． 16．（3.00 分）小光和小王玩“石头、剪子、布”游戏，规定：一局比赛后，胜者 得 3 分，负者得﹣1 分，平局两人都得 0 分，小光和小王都制订了自己的游戏策 略，并且两人都不知道对方的策略． 小光的策略是：石头、剪子、布、石头、剪子、布、…… 小王的策略是：剪子、随机、剪子、随机……（说明：随机指石头、剪子、布中 任意一个） 例如，某次游戏的前 9 局比赛中，两人当时的策略和得分情况如下表 局数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 小光实际策略 石头 剪子 布 石头 剪子 布 石头 剪子 布 小王实际策略 剪子 布 剪子 石头 剪子 剪子 剪子 石头 剪子 小光得分 3 3 ﹣1 0 0 ﹣1 3 ﹣1 ﹣1 小王得分 ﹣1 ﹣1 3 0 0 3 ﹣1 3 3 已知在另一次游戏中，50 局比赛后，小光总得分为﹣6 分，则小王总得分为 90 分． 【分析】观察二人的策略可知：每 6 局一循环，每个循环中第一局小光拿 3 分， 第三局小光拿﹣1 分，第五局小光拿 0 分，进而可得出五十局中可预知的小光胜 9 局、平 8 局、负 8 局，设其它二十五局中，小光胜了 x 局，负了 y 局，则平了 （25﹣x﹣y）局，根据 50 局比赛后小光总得分为﹣6 分，即可得出关于 x、y 的 二元一次方程，由 x、y、（25﹣x﹣y）均非负，可得出 x=0、y=25，再由胜一局 得 3 分、负一局得﹣1 分、平不得分，可求出小王的总得分． 【解答】解：由二人的策略可知：每 6 局一循环，每个循环中第一局小光拿 3 分，第三局小光拿﹣1 分，第五局小光拿 0 分． ∵50÷6=8（组）……2（局）， ∴（3﹣1+0）×8+3=19（分）． 设其它二十五局中，小光胜了 x 局，负了 y 局，则平了（25﹣x﹣y）局， 根据题意得：19+3x﹣y=﹣6， ∴y=3x+25． ∵x、y、（25﹣x﹣y）均非负， ∴x=0，y=25， ∴小王的总得分=（﹣1+3+0）×8﹣1+25×3=90（分）． 故答案为：90． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程 或验算步骤） 17．（7.00 分）计算：（ ）﹣2+（π2﹣π）0+cos60°+| ﹣2| 【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零 指数幂的性质进而化简得出答案． 【解答】解：原式= +1+ +2﹣ = +1+ +2﹣ =4﹣ ． 18．（7.00 分）先化简，再求值： ．其中 x=sin60°． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据三角函数值代 入计算可得． 【解答】解：原式= • = ， 当 x=sin60°= 时， 原式= = ． 19．（7.00 分）解不等式组 ，并求出不等式组的整数解之和． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集， 找出整数解即可． 【解答】解：解不等式 （x+1）≤2，得：x≤3， 解不等式 ≥ ，得：x≥0， 则不等式组的解集为 0≤x≤3， 所以不等式组的整数解之和为 0+1+2+3=6． 20．（8.00 分）已知关于 x 的方程 x2﹣2x+m=0 有两个不相等的实数根 x1、x2 （1）求实数 m 的取值范围； （2）若 x1﹣x2=2，求实数 m 的值． 【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可； （2）根据根与系数的关系得出 x1+x2=2，和已知组成方程组，求出方程组的解， 再根据根与系数的关系求出 m 即可． 【解答】解：（1）由题意得：△=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0， 解得：m＜1， 即实数 m 的取值范围是 m＜1； （2）由根与系数的关系得：x1+x2=2， 即 ， 解得：x1=2，x2=0， 由根与系数的关系得：m=2×0=0． 21．（8.00 分）如图，已知 A、B、C、D、E 是⊙O 上五点，⊙O 的直径 BE=2 ， ∠BCD=120°，A 为 的中点，延长 BA 到点 P，使 BA=AP，连接 PE． （1）求线段 BD 的长； （2）求证：直线 PE 是⊙O 的切线． 【分析】（1）连接 DB，如图，利用圆内接四边形的性质得∠DEB=60°，再根据圆 周角定理得到∠BDE=90°，然后根据含 30 度的直角三角形三边的关系计算 BD 的 长； （2）连接 EA，如图，根据圆周角定理得到∠BAE=90°，而 A 为 的中点，则∠ ABE=45°，再根据等腰三角形的判定方法，利用 BA=AP 得到△BEP 为等腰直角三 角形，所以∠PEB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论． 【解答】（1）解：连接 DB，如图， ∵∠BCD+∠DEB=180°， ∴∠DEB=180°﹣120°=60°， ∵BE 为直径， ∴∠BDE=90°， 在 Rt△BDE 中，DE= BE= ×2 = ， BD= DE= × =3； （2）证明：连接 EA，如图， ∵BE 为直径， ∴∠BAE=90°， ∵A 为 的中点， ∴∠ABE=45°， ∵BA=AP， 而 EA⊥BA， ∴△BEP 为等腰直角三角形， ∴∠PEB=90°， ∴PE⊥BE， ∴直线 PE 是⊙O 的切线． 22．（8.00 分）随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经 成为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分 好友进行调查，把他们 6 月 1 日那天行走的情况分为四个类别：A（0～5000 步） （说明：“0～5000”表示大于等于 0，小于等于 5000，下同），B（5001～10000 步），C（10001～15000 步），D（15000 步以上），统计结果如图所示： 请依据统计结果回答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了 30 位好友． （2）已知 A 类好友人数是 D 类好友人数的 5 倍． ①请补全条形图； ②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为 120 度． ③若小陈微信朋友圈共有好友 150 人，请根据调查数据估计大约有多少位好友 6 月 1 日这天行走的步数超过 10000 步？ 【分析】（1）由 B 类别人数及其所占百分比可得总人数； （2）①设 D 类人数为 a，则 A 类人数为 5a，根据总人数列方程求得 a 的值，从 而补全图形； ②用 360°乘以 A 类别人数所占比例可得； ③总人数乘以样本中 C、D 类别人数和所占比例． 【解答】解：（1）本次调查的好友人数为 6÷20%=30 人， 故答案为：30； （2）①设 D 类人数为 a，则 A 类人数为 5a， 根据题意，得：a+6+12+5a=30， 解得：a=2， 即 A 类人数为 10、D 类人数为 2， 补全图形如下： ②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为 360°× =120°， 故答案为：120； ③估计大约 6 月 1 日这天行走的步数超过 10000 步的好友人数为 150× =70 人． 23．（8.00 分）某年 5 月，我国南方某省 A、B 两市遭受严重洪涝灾害，1.5 万人 被迫转移，邻近县市 C、D 获知 A、B 两市分别急需救灾物资 200 吨和 300 吨的 消息后，决定调运物资支援灾区．已知 C 市有救灾物资 240 吨，D 市有救灾物资 260 吨，现将这些救灾物资全部调往 A、B 两市．已知从 C 市运往 A、B 两市的费 用分别为每吨 20 元和 25 元，从 D 市运往往 A、B 两市的费用别为每吨 15 元和 30 元，设从 D 市运往 B 市的救灾物资为 x 吨． （1）请填写下表 A（吨） B（吨） 合计（吨） C x﹣60 300﹣x 240 D 260﹣x x 260 总计（吨） 200 300 500 （2）设 C、D 两市的总运费为 w 元，求 w 与 x 之间的函数关系式，并写出自变 量 x 的取值范围； （3）经过抢修，从 D 市到 B 市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨 减少 m 元（m＞0），其余路线运费不变．若 C、D 两市的总运费的最小值不小于 10320 元，求 m 的取值范围． 【分析】（1）根据题意可以将表格中的空缺数据补充完整； （2）根据题意可以求得 w 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【解答】解：（1）∵D 市运往 B 市 x 吨， ∴D 市运往 A 市（260﹣x）吨，C 市运往 B 市（300﹣x）吨，C 市运往 A 市 200 ﹣（260﹣x）=（x﹣60）吨， 故答案为：x﹣60、300﹣x、260﹣x； （2）由题意可得， w=20（x﹣60）+25（300﹣x）+15（260﹣x）+30x=10x+10200， ∴w=10x+10200（60≤x≤260）； （3）由题意可得， w=10x+10200﹣mx=（10﹣m）x+10200， 当 0＜m＜10 时， x=60 时，w 取得最小值，此时 w=（10﹣m）×60+10200≥10320， 解得，0＜m≤8， 当 m＞10 时， x=260 时，w 取得最小值，此时，w=（10﹣m）×260+10200≥10320， 解得，m≤ ， ∵ ＜10， ∴m＞10 这种情况不符合题意， 由上可得，m 的取值范围是 0＜m≤8． 24．（9.00 分）在△ABC 中，E、F 分别为线段 AB、AC 上的点（不与 A、B、C 重 合）． （1）如图 1，若 EF∥BC，求证： （2）如图 2，若 EF 不与 BC 平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）如图 3，若 EF 上一点 G 恰为△ABC 的重心， ，求 的值． 【分析】（1）由 EF∥BC 知△AEF∽△ABC，据此得 = ，根据 =（ ）2 即可得证； （2）分别过点 F、C 作 AB 的垂线，垂足分别为 N、H，据此知△AFN∽△ACH， 得 = ，根据 = 即可得证； （3）连接 AG 并延长交 BC 于点 M，连接 BG 并延长交 AC 于点 N，连接 MN，由 重心性质知 S△ABM=S△ACM、 = ，设 =a，利用（2）中结论知 = = 、 = = a ， 从 而 得 = = + a ， 结 合 = = a 可关于 a 的方程，解之求得 a 的值即可得出答案． 【解答】解：（1）∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴ = ， ∴ =（ ）2= • = ； （2）若 EF 不与 BC 平行，（1）中的结论仍然成立， 分别过点 F、C 作 AB 的垂线，垂足分别为 N、H， ∵FN⊥AB、CH⊥AB， ∴FN∥CH， ∴△AFN∽△ACH， ∴ = ， ∴ = = ； （3）连接 AG 并延长交 BC 于点 M，连接 BG 并延长交 AC 于点 N，连接 MN， 则 MN 分别是 BC、AC 的中点， ∴MN∥AB，且 MN= AB， ∴ = = ，且 S△ABM=S△ACM， ∴ = ， 设 =a， 由（2）知： = = × = ， = = a， 则 = = + = + a， 而 = = a， ∴ + a= a， 解得：a= ， ∴ = × = ． 25．（10.00 分）已知抛物线 y=a（x﹣1）2 过点（3，1），D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 B、C 均在抛物线上，其中点 B（0， ），且∠BDC=90°，求点 C 的坐 标； （3）如图，直线 y=kx+4﹣k 与抛物线交于 P、Q 两点． ①求证：∠PDQ=90°； ②求△PDQ 面积的最小值． 【分析】（1）将点（3，1）代入解析式求得 a 的值即可； （2）设点 C 的坐标为（x0，y0），其中 y0= （x0﹣1）2，作 CF⊥x 轴，证△BDO ∽△DCF 得 = ，即 = = 据此求得 x0 的值即可得； （3）①设点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q 为（x2，y2），联立直线和抛物线解析式， 化为关于 x 的方程可得 ，据此知（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，由 PM=y1= （x1﹣1）2、QN=y2= （x2﹣1）2、DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1 知 PM•QN=DM•DN=16，即 = ，从而得△PMD∽△DNQ，据此进一步求解可得； ②过点 D 作 x 轴的垂线交直线 PQ 于点 G，则 DG=4，根据 S△PDQ= DG•MN 列出 关于 k 的等式求解可得． 【解答】解：（1）将点（3，1）代入解析式，得：4a=1， 解得：a= ， 所以抛物线解析式为 y= （x﹣1）2； （2）由（1）知点 D 坐标为（1，0）， 设点 C 的坐标为（x0，y0），（x0＞1、y0＞0）， 则 y0= （x0﹣1）2， 如图 1，过点 C 作 CF⊥x 轴， ∴∠BOD=∠DFC=90°、∠DCF+∠CDF=90°， ∵∠BDC=90°， ∴∠BDO+∠CDF=90°， ∴∠BDO=∠DCF， ∴△BDO∽△DCF， ∴ = ， ∴ = = ， 解得：x0=17，此时 y0=64， ∴点 C 的坐标为（17，64）． （3）①证明：设点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q 为（x2，y2），（其中 x1＜1＜x2， y1＞0，y2＞0）， 由 ，得：x2﹣（4k+2）x+4k﹣15=0， ∴ ， ∴（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16， 如图 2，分别过点 P、Q 作 x 轴的垂线，垂足分别为 M、N， 则 PM=y1= （x1﹣1）2，QN=y2= （x2﹣1）2， DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1， ∴PM•QN=DM•DN=16， ∴ = ， 又∠PMD=∠DNQ=90°， ∴△PMD∽△DNQ， ∴∠MPD=∠NDQ， 而∠MPD+∠MDP=90°， ∴∠MDP+∠NDQ=90°，即∠PDQ=90°； ②过点 D 作 x 轴的垂线交直线 PQ 于点 G，则点 G 的坐标为（1，4）， 所以 DG=4， ∴S△PDQ= DG•MN= ×4×|x1﹣x2|=2 =8 ， ∴当 k=0 时，S△PDQ 取得最小值 16．