2013年中考数学复习专题讲座5：数学思想方法(1)(含详细参考答案)

2013年中考数学复习专题讲座5：数学思想方法(1)(含详细参考答案)

1 2013 年中考数学复习专题讲座五：数学思想方法（一） 一、中考专题诠释 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本 策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学 知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学 知识的发生、发展和应用的过程中。 抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因 此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用 数学思想方法解决问题的意识． 二、解题策略和解法精讲 数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题 中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程 思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这 些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。 三、中考考点精讲 考点一：整体思想 整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出 整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。 整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根 据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 例 1 10．（ 2012•德州）已知 ，则 a+b 等于（ ） A．3 B． C． 2 D．1 考点： 解二元一次方程组。810360 专题： 计算题。 分析： ①+②得出 4a+4b=12，方程的两边都除以 4 即可得出答案． 解答： 解： ， ∵①+②得：4a+4b=12， ∴a+b=3． 故选 A． 点评： 本题考查了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用整体思想求出答 案，题目比较典型，是一道比较好的题目． 运用整体思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形 式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整 体上分析。运用整体思想方法，往往能起到化繁为简，化难为易的效果。 考点二：转化思想 转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是 将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具 体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、 图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。 2 例 2 （2012•内江）已知 A（1，5）， B（3，﹣1）两点，在 x 轴上取一点 M，使 AM﹣BM 取得最大值时，则 M 的坐标为 ． 考点： 一次函数综合题；三角形三边关系；关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标。810360 分析： 作点 B 关于 x 轴的对称点 B′，连接 AB′并延长与 x 轴的交点，即为所求的 M 点．利 用待定系数法求出直线 AB′的解析式，然后求出其与 x 轴交点的坐标，即 M 点的坐标． 解答： 解：如图，作点 B 关于 x 轴的对称点 B′，连接 AB′并延长与 x 轴的交点，即为所 求的 M 点．此时 AM﹣BM=AM﹣B′M=AB′． 不妨在 x 轴上任取一个另一点 M′，连接 M′A、M′B、M′B． 则 M′A﹣M′B=M′A﹣M′B′＜AB′（三角形两边之差小于第三边）． ∴M′A﹣M′B＜AM﹣BM，即此时 AM﹣BM 最大． ∵B′是 B（3，﹣1）关于 x 轴的对称点，∴B′（3，1）． 设直线 AB′解析式为 y=kx+b，把 A（1，5）和 B′（3，1）代入得： ，解得 ， ∴直线 AB′解析式为 y=﹣2x+7． 令 y=0，解得 x= ， ∴M 点坐标为（ ，0）． 故答案为：（ ，0）． 点评： 本题可能感觉无从下手，主要原因是平时习惯了线段之和最小的问题，突然碰到线 段之差最大的问题感觉一筹莫展．其实两类问题本质上是相通的，前者是通过对称转化为“两 点之间线段最短”问题，而后者（本题）是通过对称转化为“三角形两边之差小于第三边”问 题．可见学习知识要活学活用，灵活变通． 考点三：分类讨论思想 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求 解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想， 同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分 类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论 应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏． 例 3 （2012•黔东南州）我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习， 预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天 120 3 元，并且各自推出不同的优惠方案．甲家是 35 人（含 35 人）以内的按标准收费，超过 35 人的，超出部分按九折收费；乙家是 45 人（含 45 人）以内的按标准收费，超过 45 人的， 超出部分按八折收费．如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？ 考点： 一次函数的应用。810360 分析： 当 x≤35 时，选择两个，宾馆是一样的；当 35＜x≤45 时，选择甲宾馆比较便宜， 当 x＞35 时，两个宾馆的收费可以表示成人数 x 的函数，比较两个函数值的大小即可． 解答： 解：设总人数是 x， 当 x≤35 时，选择两个，宾馆是一样的； 当 35＜x≤45 时，选择甲宾馆比较便宜； 当 x＞45 时，甲宾馆的收费是：y 甲=35×120+0.9×120×（x﹣35），即 y 甲=108x+420； y 乙=45×120+0.8×120（x﹣45）=96x+1080， 当 y 甲=y 乙时，108x+420=96x+1080，解得：x=55； 当 y 甲＞y 乙时，即 108x+420＞96x+1080，解得：x＞55； 当 y 甲＜y 乙时，即 108x+420＜96x+1080，解得：x＜55； 总之，当 x≤35 或 x=55 时，选择两个，宾馆是一样的； 当 35＜x＜55 时，选择甲宾馆比较便宜； 当 x＞55 时，选乙宾馆比较便宜． 点评： 此题的关键是用代数式列出在甲、乙两宾馆的费用，用了分类讨论的方法，是解决 此类问题常用的方法． 例 4 （2012•丽水）在△ABC 中，∠ABC=45°，tan∠ACB= ．如图，把△ABC 的一 边 BC 放置在 x 轴上，有 OB=14，OC= ，AC 与 y 轴交于点 E． （1）求 AC 所在直线的函数解析式； （2）过点 O 作 OG⊥AC，垂足为 G，求△OEG 的面积； （3）已知点 F（10，0），在△ABC 的边上取两点 P，Q，是否存在以 O，P，Q 为顶点的三 角形与△OFP 全等，且这两个三角形在 OP 的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的 坐标；若不存在，请说明理由． 考点： 一次函数综合题。810360 分析： （1）根据三角函数求 E 点坐标，运用待定系数法求解； （2）在 Rt△OGE 中，运用三角函数和勾股定理求 EG，OG 的长度，再计算面积； （3）分两种情况讨论求解：①点 Q 在 AC 上；②点 Q 在 AB 上．求直线 OP 与直线 AC 的 交点坐标即可． 4 解答： 解：（1）在 Rt△OCE 中，OE=OCtan∠OCE= = ，∴点 E（0，2 ）． 设直线 AC 的函数解析式为 y=kx+ ，有 ，解得：k= ． ∴直线 AC 的函数解析式为 y= ． （2）在 Rt△OGE 中，tan∠EOG=tan∠OCE= = ， 设 EG=3t，OG=5t，OE= = t，∴ ，得 t=2， 故 EG=6，OG=10， ∴S△OEG= ． （3）存在． ①当点 Q 在 AC 上时，点 Q 即为点 G， 如图 1，作∠FOQ 的角平分线交 CE 于点 P1， 由△OP1F≌△OP1Q，则有 P1F⊥x 轴，由于点 P1 在直线 AC 上，当 x=10 时， y=﹣ = ， ∴点 P1（10， ）． ②当点 Q 在 AB 上时， 如图 2，有 OQ=OF，作∠FOQ 的角平分线交 CE 于点 P2， 过点 Q 作 QH⊥OB 于点 H，设 OH=a， 则 BH=QH=14﹣a， 在 Rt△OQH 中，a2+（14﹣a）2=100， 5 解得：a1=6，a2=8， ∴Q（﹣6，8）或 Q（﹣8，6）． 连接 QF 交 OP2 于点 M． 当 Q（﹣6，8）时，则点 M（2，4）． 当 Q（﹣8，6）时，则点 M（1，3）． 设直线 OP2 的解析式为 y=kx，则 2k=4，k=2． ∴y=2x． 解方程组 ，得 ． ∴P2（ ）； 当 Q（﹣8，6）时，则点 M（1，3）， 同理可求 P2′（ ）， P3（ ）； 如图，有 QP4∥OF，QP4=OF=10，点 P4 在 E 点， 设 P4 的横坐标为 x，则点 Q 的横坐标为 x﹣10， ∵yQ=yP，直线 AB 的函数解析式为 y=x+14， ∴（x﹣10）+14=﹣ x+2 ， 解得：x= ，可得：y= ， ∴点 P4（ ， ）， 当 Q 在 BC 边上时，如图，OQ=OF=10，点 P5 在 E 点， ∴P5（0，2 ）， 综上所述，满足条件的 P 点坐标为（10， ）或（ ）或 （ ）或（ ， ）或（0，2 ）． 点评： 此题考查一次函数的综合应用，运用了分类讨论的数学思想方法，综合性强，难度 大． 四、中考真题演练 6 一、选择题 1．（ 2012•东营）若 3x=4，9y=7，则 3x﹣2y 的值为（ ） A． B． C． ﹣3 D． 考点： 同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方。810360 分析： 由 3x=4，9y=7 与 3x﹣2y=3x÷3 2y=3x÷（32）y，代入即可求得答案． 解答： 解：∵3x=4，9y=7， ∴3x﹣2y=3x÷3 2y=3x÷（32）y=4÷7=4÷7= ． 故选 A． 点评： 此题考查了同底数幂的除法与幂的乘方的应用．此题难度适中，注意将 3x﹣2y 变形 为 3x÷（32）y 是解此题的关键． 2．（ 2012•南京）计算（a2）3÷（a2）2 的结果是（ ） A．a B． a2 C． a3 D．a4 考点： 整式的除法。810360 分析： 根据幂的乘方首先进行化简，再利用同底数幂的除法的运算法则计算后直接选取答 案． 解答： 解：（a2）3÷（a2）2 =a6÷a 4 =a2． 故选：B． 点评： 本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键． 3．（ 2012•南昌）已知（m﹣n）2=8，（ m+n）2=2，则 m2+n2=（ ） A．10 B． 6 C． 5 D．3 考点： 完全平方公式。810360 专题： 计算题。 分析： 根据完全平方公式由（m﹣n）2=8 得到 m2﹣2mn+n2=8①，由（m+n）2=2 得到 m2+2mn+n2=2②，然后①+②得，2m2+2n2=10，变形即可得到 m2+n2 的值． 解答： 解：∵（m﹣n）2=8， ∴m2﹣2mn+n2=8①， ∵（m+n）2=2， ∴m2+2mn+n2=2②， ①+②得，2m2+2n2=10， ∴m2+n2=5． 故选 C． 点评： 本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2． 4．（ 2012•本溪）已知一元二次方程 x2﹣8x+15=0 的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长 和腰长，则△ABC 的周长为（ ） A．13 B． 11 或 13 C． 11 D．12 考点： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质。810360 7 分析： 由一元二次方程 x2﹣8x+15=0 的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长， 利用因式分解法求解即可求得等腰△ABC 的底边长和腰长，然后分别从当底边长和腰长分 别为 3 和 5 时与当底边长和腰长分别为 5 和 3 时去分析，即可求得答案． 解答： 解：∵x2﹣8x+15=0， ∴（x﹣3）（ x﹣5）=0， ∴x﹣3=0 或 x﹣5=0， 即 x1=3，x2=5， ∵一元二次方程 x2﹣8x+15=0 的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长， ∴当底边长和腰长分别为 3 和 5 时，3+3＞5， ∴△ABC 的周长为：3+3+5=11； ∴当底边长和腰长分别为 5 和 3 时，3+5＞5， ∴△ABC 的周长为：3+5+5=13； ∴△ABC 的周长为：11 或 13． 故选 B． 点评： 此题考查了因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关 系．此题难度不大，注意分类讨论思想的应用． 5．（ 2012•莱芜）已知m、n是方程x2+2 x+1=0的两根，则代数式 的值为（ ） A．9 B． ±3 C． 3 D．5 考点： 根与系数的关系；二次根式的化简求值。810360 专题： 整体思想。 分析： 根据一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到 m+n=﹣2 ，mn=1， 再变形 得 ，然后把 m+n=﹣2 ，mn=1 整体代入计算即可． 解答： 解：∵m、n 是方程 x2+2 x+1=0 的两根， ∴m+n=﹣2 ，mn=1， ∴ = = = =3． 故选 C． 点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别 为 x1，x2，则 x1+x2=﹣ ，x1•x2= ．也考查了二次根式的化简求值． 6．（ 2012•广元）如图，点 A 的坐标为（﹣1，0），点 B 在直线 y=x 上运动，当线段 AB 最 短时，点 B 的坐标为（ ） A．（ 0，0） B． 8 C． D． 考点： 一次函数的性质；正数和负数；垂线段最短。810360 专题： 计算题。 分析： 先过点 A 作 AB′⊥OB，垂足为点 B′，由于点 B 在直线 y=x 上运动，所以△AOB′ 是等腰直角三角形，由勾股定理求出 OB′的长即可得出点 B′的坐标． 解答： 解：先过点 A 作 AB′⊥OB，垂足为点 B′，由垂线段最短可知，当 B′与点 B 重合时 AB 最短， ∵点 B 在直线 y=x 上运动， ∴△AOB′是等腰直角三角形， 过 B′作 B′C⊥x 轴，垂足为 C， ∴△B′CO 为等腰直角三角形， ∵点 A 的坐标为（﹣1，0）， ∴OC=CB′= OA= ×1= ， ∴B′坐标为（﹣ ，﹣ ）， 即当线段 AB 最短时，点 B 的坐标为（﹣ ，﹣ ）， 故选 B． 点评： 本题考查了一次函数的性质、垂线段最短和等腰直角三角形的性质，找到表示 B′ 点坐标的等腰直角三角形是解题的关键． 7． （2012•黔西南州）如图，抛物线 y= x2+bx﹣2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 交于 C 点， 且 A（﹣1，0），点 M（m，0）是 x 轴上的一个动点，当 MC+MD 的值最小时，m 的值是 （ ） 9 A． B． C． D． 考点： 轴对称-最短路线问题；二次函数的性质；相似三角形的判定与性质。810360 分析： 首先可求得二次函数的顶点坐标，再求得 C 关于 x 轴的对称点 C′，求得直线 C′D 的解析式，与 x 轴的交点的横坐标即是 m 的值． 解答： 解：∵点 A（﹣1，0）在抛物线 y= x2+bx﹣2 上， ∴ ×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2=0， ∴b=﹣ ， ∴抛物线的解析式为 y= x2﹣ x﹣2， ∴顶点 D 的坐标为（ ，﹣ ）， 作出点 C 关于 x 轴的对称点 C′，则 C′（0，2）， OC′=2 连接 C′D 交 x 轴于点 M， 根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD 的值最小． 设抛物线的对称轴交 x 轴于点 E． ∵ED∥y 轴， ∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM ∴△C′OM∽△DEM． ∴ = ， 即 = ， ∴m= ． 故选 B． 10 点评： 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称性质以及相似三角形的性 质，关键在于求出函数表达式，作出辅助线，找对相似三角形． 8．（ 2012•黄石）如图所示，已知 A（ ，y1）， B（2，y2）为反比例函数 y= 图象上的两点， 动点 P（x，0）在 x 轴正半轴上运动，当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时，点 P 的坐标 是（ ） A．（ ，0） B． （1，0） C． （ ，0） D．（ ，0） 考点： 反比例函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形三边关系。810360 专题： 计算题。 分析： 求出 AB 的坐标，设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，把 A、B 的坐标代入求出直线 AB 的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP 中，|AP﹣BP|＜AB，延长 AB 交 x 轴于 P′，当 P 在 P′点时，PA﹣PB=AB，此时线段 AP 与线段 BP 之差达到最大，求出直线 AB 于 x 轴的交点坐标即可． 解答： 解：∵把 A（ ，y1）， B（2，y2）代入反比例函数 y= 得：y1=2，y2= ， ∴A（ ，2）， B（2， ）， ∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB， ∴延长 AB 交 x 轴于 P′，当 P 在 P′点时，PA﹣PB=AB， 即此时线段 AP 与线段 BP 之差达到最大， 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b， 把 A、B 的坐标代入得： ， 解得：k=﹣1，b= ， 11 ∴直线 AB 的解析式是 y=﹣x+ ， 当 y=0 时，x= ， 即 P（ ，0）， 故选 D． 点评： 本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解 此题的关键是确定 P 点的位置，题目比较好，但有一定的难度． 9．（ 2012•兰州）如图，四边形 ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在 BC、CD 上分 别找一点 M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ） A．130° B． 120° C． 110° D．100° 考点： 轴对称-最短路线问题。810360 分析： 根据要使△AMN 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上， 作出 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出 ∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案． 解答： 解：作 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A′，A″，连接 A′A″，交 BC 于 M，交 CD 于 N， 则 A′A″即为△AMN 的周长最小值．作 DA 延长线 AH， ∵∠DAB=120°， ∴∠HAA′=60°， ∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°， ∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″， 且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°， 故选：B． 12 点评： 此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线 的性质等知识，根据已知得出 M，N 的位置是解题关键． 10．（ 2012•威海）向一个图案如图所示的正六边形靶子上随意抛一枚飞镖，则飞镖插在阴影 区域的概率为（ ） A． B． C． 1﹣ D． 考点： 几何概率；正多边形和圆；扇形面积的计算。810360 分析： 根据已知假设出六边形边长为 1，进而求出正六边形面积和 S 扇形 FAB，S 扇形 BCD，S 扇 形 DEF，再利用三个扇形面积减去正六边形面积等于阴影部分面积，进而得出飞镖插在阴影区 域的概率． 解答： 解：根据图象可以得出，O 为正六边形中心，过点 O 作 OM⊥BC， 设正六边形边长为 1，根据正六边形每个内角为 120°， 则 S 扇形 FAB= = ，故 S 扇形 BCD= = ，S 扇形 DEF= = ， ∵OC=BC=BO=1，OM⊥BC， ∴OM= = ∴S△OBC= ×OM×BC= × ×1= ， ∴S 正六边形面积= ×6= ， ∴S 阴影= ﹣ ， ∴飞镖插在阴影区域的概率为： = ﹣1． 故选：A． 点评： 此题主要考查了概率公式以及正六边形面积求法和扇形面积公式等知识，根据已知 得出三个扇形面积减去正六边形面积等于阴影部分面积是解题关键． 13 11．（ 2012•铁岭）在如图所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域内的概 率为（ ） A． B． C． D． 考点： 几何概率。810360 分析： 先根据矩形的性质求出矩形对角线所分的四个三角形面积相等，再根据旋转的性质 求出阴影区域的面积即可． 解答： 解：根据矩形的性质易证矩形的对角线把矩形分成的四个三角形均为同底等高的三 角形，故其面积相等， 根据旋转的性质易证阴影区域的面积=正方形面积 4 份中的一份， 故针头扎在阴影区域的概率为 ； 故选 A． 点评： 此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 12．（ 2012•连云港）向如图所示的正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外 完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包 1 次击中阴影区域的概率等 于（ ） A． B． C． D． 考点： 几何概率。810360 分析： 求出阴影部分的面积与三角形的面积的比值即可解答． 解答： 解：因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是 = ， 所以扔沙包 1 次击中阴影区域的概率等于 ． 故选 C． 点评： 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影 区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件 （A）发生的概率． 14 二、填空题 13．（ 2012•扬州）已知 2a﹣3b2=5，则 10﹣2a+3b2 的值是 ． 考点： 代数式求值。810360 专题： 计算题。 分析： 先将 10﹣2a+3b2 进行变形，然后将 2a﹣3b2=5 整体代入即可得出答案． 解答： 解：10﹣2a+3b2=10﹣（2a﹣3b2）， 又∵2a﹣3b2=5， ∴10﹣2a+3b2=10﹣（2a﹣3b2）=10﹣5=5． 故答案为：5． 点评： 此题考查了代数式求值的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握整体思想的运 用． 14．（ 2012•黔西南州）已知﹣2xm﹣1y3 和 xnym+n 是同类项，则（n﹣m）2012= ． 考点： 同类项。 专题： 计算题。 分析： 根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程求出 m，n 的 值，再代入代数式计算即可． 解答： 解：∵﹣2xm﹣1y3 和 xnym+n 是同类项， ∴m﹣1=n，3=m+n， 解得 m=2，n=1， 所以（n﹣m）2012=（1﹣2）2012=1． 故答案为：1． 点评： 本题考查了同类项的定义，注意同类项定义中的两个“相同”： （1）所含字母相同； （2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．解题时注意运用二元一次 方程组求字母的值． 15．（ 2012•常州）已知 x=y+4，则代数式 x2﹣2xy+y2﹣25 的值为 ． 考点： 完全平方公式。810360 分析： 根据已知条件“x=y+4”可知“x﹣y=4”；然后将所求的代数式转化为含有 x﹣y 的形 式，将 x﹣y 的值代入求值即可． 解答： 解：∵x=y+4， ∴x﹣y=4， ∴x2﹣2xy+y2﹣25=（x﹣y）2﹣25=16﹣25=﹣9， 故答案是：﹣9． 点评： 本题主要考查完全平方公式，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b） 2=a2±2ab+b2． 15 17．（ 2012•黄冈）已知实数 x 满足 x+ =3，则 x2+ 的值为 ． 考点： 完全平方公式。810360 专题： 计算题。 分析： 将 x+ =3 两边平方，然后移项即可得出答案． 解答： 解：由题意得，x+ =3， 两边平方得：x2+2+ =9， 故 x2+ =7． 故答案为：7． 点评： 此题考查了完全平方公式的知识，掌握完全平方公式的展开式的形式是解答此题的 关键，属于基础题． 18．（ 2012•鄂州）在锐角三角形 ABC 中，BC= ，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，M、N 分别是 BD、BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值是 ． 考点： 轴对称-最短路线问题。810360 专题： 探究型。 分析： 过点 C 作CE⊥AB于点E，交 BD 于点 M′，过点M′作 M′N′⊥BC，则 CE 即为 CM+MN 的最小值，再根据 BC= ，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC 可知△BCE 是等腰直角三角形， 由锐角三角函数的定义即可求出 CE 的长． 解答： 解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，交 BD 于点 M′，过点 M′作 M′N′⊥BC，则 CE 即 为 CM+MN 的最小值， ∵BC= ，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC， ∴△BCE 是等腰直角三角形， ∴CE=BC•cos45°=4 × =4． 故答案为：4． 16 点评： 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角 形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键． 三、解答题 16．（ 2012•丽水）已知 A=2x+y，B=2x﹣y，计算 A2﹣B2． 考点： 完全平方公式。810360 分析： 把 A、B 两式代入，再计算完全平方公式，去括号，合并同类项即可． 解答： 解：A2﹣B2=（2x+y）2﹣（2x﹣y）2 =（4x2+4xy+y2）﹣（4x2﹣4xy+y2） =4x2+4xy+y2﹣4x2+4xy﹣y2 =8xy． 点评： 此题主要考查了完全平方公式，关键是熟练掌握完全平方公式：（a±b） 2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 20．（ 2012•攀枝花）先化简，再求值： ，其中 x 满足方程： x2+x﹣6=0． 考点： 分式的化简求值；一元二次方程的解。810360 专题： 计算题。 分析： 将原式括号中通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子合并后利用平方差公式 分解因式，然后将除式的分子利用完全平方公式分解因式，并利用除以一个数等于乘以这个 数的倒数化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后求出 x 满足方程的解，将满足题意的 x 的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值． 解答： 解：（x+1﹣ ）÷ = ÷ = • = ， ∵x 满足方程 x2+x﹣6=0， ∴（x﹣2）（ x+3）=0， 解得：x1=2，x2=﹣3， 17 当 x=2 时，原式的分母为 0，故舍去； 当 x=﹣3 时，原式= = ． 点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公 分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多 项式时，应先将多项式分解因式后再约分，此外分式的化简求值题，要先将原式化为最简再 代值．本题注意根据分式的分母不为 0，将 x=2 舍去． 23．（ 2012•襄阳）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决 定从 2012 年 5 月 1 日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时） 不超过 150 千瓦时 a 超过 150 千瓦时但不超过 300 千瓦时的部分 b 超过 300 千瓦时的部分 a+0.3 2012 年 5 月份，该市居民甲用电 100 千瓦时，交电费 60 元；居民乙用电 200 千瓦时，交电 费 122.5 元．该市一户居民在 2012 年 5 月以后，某月用电 x 千瓦时，当月交电费 y 元． （1）上表中，a= ；b= ； （2）请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式； （3）试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时时，其当月的平均电价每 千瓦时不超过 0.62 元？ 考点： 一次函数的应用。810360 分析： （1）利用居民甲用电 100 千瓦时，交电费 60 元，可以求出 a 的值，进而利用居民 乙用电 200 千瓦时，交电费 122.5 元，求出 b 的值即可； （2）利用当 x≤150 时，当 150＜x≤300 时，当 x＞300 时分别求出即可； （3）根据当居民月用电量 x≤150 时，0.6x≤0.62x，当居民月用电量 x 满足 150＜x≤300 时， 0.65x﹣75≤0.62x，当居民月用电量 x 满足 x＞300 时，0.9x﹣82.5≤0.62x，分别得出即可． 解答： 解：（1）根据 2012 年 5 月份，该市居民甲用电 100 千瓦时，交电费 60 元； 得出：a=60÷100=0.6， 居民乙用电 200 千瓦时，交电费 122.5 元． 则（122.5﹣0.6×150）÷（200﹣150）=0.65， 故：a=0.6；b=0.65． （2）当 x≤150 时，y=0.6x． 当 150＜x≤300 时，y=0.65（x﹣150）+0.6×150=0.65x﹣7.5， 当 x＞300 时，y=0.9（x﹣300）+0.6×150+0.65×150=0.9x﹣82.5； （3）当居民月用电量 x≤150 时， 0.6x≤0.62x，故 x≥0， 当居民月用电量 x 满足 150＜x≤300 时， 0.65x﹣75≤0.62x， 解得：x≤250， 18 当居民月用电量 x 满足 x＞300 时， 0.9x﹣82.5≤0.62x， 解得：x≤294 ， 综上所述，试行“阶梯电价”后，该市一户居民月用电量不超过 250 千瓦时时，其月平均电价 每千瓦时不超过 0.62 元． 点评： 此题主要考查了一次函数的应用以及分段函数的应用，根据自变量取值范围不同得 出 x 的取值是解题关键． 24．（ 2012•天门）张勤同学的父母在外打工，家中只有年迈多病的奶奶．星期天早上，李老 师从家中出发步行前往张勤家家访．6 分钟后，张勤从家出发骑车到相距 1200 米的药店给 奶奶买药，停留 14 分钟后以相同的速度按原路返回，结果与李老师同时到家．张勤家、李 老师家、药店都在东西方向笔直大路上，且药店在张勤家与李老师家之间．在此过程中设李 老师出发 t（0≤t≤32）分钟后师生二人离张勤家的距离分别为 S1、S2．S 与 t 之间的函数关系 如图所示，请你解答下列问题： （1）李老师步行的速度为 ； （2）求 S2 与 t 之间的函数关系式，并在如图所示的直角坐标系中画出其函数图象； （3）张勤出发多长时间后在途中与李老师相遇？ 考点： 一次函数的应用。810360 分析： （1）根据速度= ，再结合图形，即可求出李老师步行的速度； （2）根据题意分 0≤t≤6，6＜t≤12，12＜t≤26，26＜t≤32 四种情况进行讨论，即可得出 S2 与 t 之间的函数关系式； （3）由 S1=S2 得，200t﹣1200=﹣50t+1600，然后求出 t 的值即可； 解答： 解：（1）李老师步行的速度为 1600÷32=50 米/分； 故答案为：50 米/分． （2）根据题意得： 当 0≤t≤6 时，S2=0， 当 6＜t≤12 时，S2=200t﹣1200， 当 12＜t≤26 时，S2=1200， 当 26＜t≤32 时，S2=﹣200t+6400， 19 （3）S1=﹣50t+1600， 由 S1=S2 得，200t﹣1200=﹣50t+1600， 解得 t=11.2， 可得 t﹣6=11.2﹣6=5.2（分） 则张勤出发 5.2 分钟后在途中与李老师相遇． 点评： 此题考查了一次函数的应用，此类题是近年中考中的热点问题，在此题中作图的关 键是联系实际的变化，确定拐点． 25．（ 2012•绥化）如图，四边形 ABCD 为矩形，C 点在 x 轴上，A 点在 y 轴上，D 点坐标是 （0，0）， B 点坐标是（3，4），矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，点 A 落在 BC 边上的 G 处，E、 F 分别在 AD、AB 上，且 F 点的坐标是（2，4）． （1）求 G 点坐标； （2）求直线 EF 解析式； （3）点 N 在 x 轴上，直线 EF 上是否存在点 M，使以 M、N、F、G 为顶点的四边形是平行 四边形？若存在，请直接写出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点： 一次函数综合题。810360 分析： （1）根据折叠性质可知 FG=AF=2，而 FG=AB﹣AF=1，则在 Rt△BFG 中，利用 勾股定理求出 BG 的长，从而得到 CG 的长，从而得到 G 点坐标； （2）由题意，可知△AEF 为含 30 度角的直角三角形，从而可求出 E 点坐标；又 F 点坐标 已知，所以可利用待定系数法求出直线 EF 的解析式； （3）本问关键是确定平行四边形的位置与形状．因为 M、N 均为动点，只有 FG 已经确定， 所以可从此入手，按照 FG 为一边、FG 为对角线的思路，顺序探究可能的平行四边形的形 20 状．确定平行四边形的位置与形状之后，利用全等三角形求得 M 点的纵坐标，再利用直线 解析式求出 M 点的横坐标，从而求得 M 点的坐标． 解答： 解：（1）由已知得，FG=AF=2，FB=1 ∵四边形 ABCD 为矩形 ∴∠B=90° BG= = = ∴G 点的坐标为（3，4﹣ ）； （2）设直线 EF 的解析式是 y=kx+b 在 Rt△BFG 中，cos∠BFG= = ∴∠BFG=60° ∴∠AFE=∠EFG=60° ∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=2 ∴E 点的坐标为（0，4﹣2 ） 又 F 点的坐标是（2，4） ∴ 解得 k= ，b=4﹣2 ； ∴直线 EF 的解析式为 y= x+4﹣2 ； 注： 求 E 点坐标方法二：过点 E 作 EP⊥BC 于点 P，利用△BFG∽△PGE 得到 OE=4﹣2 ，所 以 E（0，4﹣2 ）； 求 E 点坐标方法三：在 Rt△GEP 中，由勾股定理得 EG2=GP2+EP2，得到 OE=4﹣2 ，所 以 E（0，4﹣2 ）； 求 E 点坐标方法四：连接 AG，证△AEG 是等边三角形，得到 OE=4﹣2 ，所以 E（0，4 ﹣2 ）． （3）若以 M、N、F、G 为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形： ①FG 为平行四边形的一边，且 N 点在 x 轴正半轴上，如图 1 所示． 过 M1 点作 M1H⊥x 轴于点 H，易证△M1HN1≌△GBF， ∴M1H=GB= ，即 yM1= ． 由直线 EF 解析式 y= x+4﹣2 ，求出 xM1=3﹣ ． ∴M1（3﹣ ， ）； ②FG 为平行四边形的一边，且 N 点在 x 轴负半轴上，如图 2 所示． 仿照与①相同的办法，可求得 M2（1﹣ ，﹣ ）； ③FG 为平行四边形的对角线，如图 3 所示． 过 M3 作 FB 延长线的垂线，垂足为 H．易证△M3FH≌△GN3C，则有 M3H=CG=4﹣ ，所 以 M3 的纵坐标为 8﹣ ； 21 代入直线 EF 解析式，得到 M3 的横坐标为 1+ ． ∴M3（1+ ，8﹣ ）． 综上所述，存在点 M，使以 M、N、F、G 为顶点的四边形是平行四边形． 点 M 的坐标为：M1（3﹣ ， ）， M2（1﹣ ，﹣ ）， M3（1+ ，8﹣ ）． 点评： 本题考查了直角坐标系中一次函数与平面图形的性质，涉及到的考点包括待定系数 法求一次函数（直线）解析式、矩形、平行四边形、直角三角形、全等三角形的判定与性质、 勾股定理等，对解题能力要求较高．难点在于第（3）问，这是一个存在性问题，注意平行 四边形有三种可能的情形，需要一一分析并求解，避免遗漏．