2019年湖南省株洲市中考数学试卷含答案

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2019年湖南省株洲市中考数学试卷含答案

‎2019年湖南省株洲市中考数学试卷 一、选择题(每小题有且只有一个正确答案,本题共10小题,每小题3分,共30分)‎ ‎1.(3分)﹣3的倒数是(  )‎ A.‎-‎‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎3‎ C.﹣3 D.3‎ ‎2.(3分)‎2‎‎×‎8‎=‎(  )‎ A.4‎2‎ B.4 C.‎10‎ D.2‎‎2‎ ‎3.(3分)下列各式中,与3x2y3是同类项的是(  )‎ A.2x5 B.3x3y2 C.‎-‎‎1‎‎2‎x2y3 D.‎-‎‎1‎‎3‎y5‎ ‎4.(3分)对于任意的矩形,下列说法一定正确的是(  )‎ A.对角线垂直且相等 ‎ B.四边都互相垂直 ‎ C.四个角都相等 ‎ D.是轴对称图形,但不是中心对称图形 ‎5.(3分)关于x的分式方程‎2‎x‎-‎5‎x-3‎=‎0的解为(  )‎ A.﹣3 B.﹣2 C.2 D.3‎ ‎6.(3分)在平面直角坐标系中,点A(2,﹣3)位于哪个象限?(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎7.(3分)若一组数据x,3,1,6,3的中位数和平均数相等,则x的值为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎8.(3分)下列各选项中因式分解正确的是(  )‎ A.x2﹣1=(x﹣1)2 B.a3﹣2a2+a=a2(a﹣2) ‎ C.﹣2y2+4y=﹣2y(y+2) D.m2n﹣2mn+n=n(m﹣1)2‎ ‎9.(3分)如图所示,在直角平面坐标系Oxy中,点A、B、C为反比例函数y‎=‎kx(k>0)上不同的三点,连接OA、OB、OC,过点A作AD⊥y轴于点D,过点B、C分别作BE,CF垂直x轴于点E、F,OC与BE相交于点M,记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3,则(  )‎ A.S1=S2+S3 B.S2=S3 C.S3>S2>S1 D.S1S2<S32‎ ‎10.(3分)从﹣1,1,2,4四个数中任取两个不同的数(记作ak,bk)构成一个数组MK={ak,bk}(其中k=1,2…S,且将{ak,bk}与{bk,ak}视为同一个数组),若满足:对于任意的Mi={ai,bi}和Mj={ai,bj}(i≠j,1≤i≤S,1≤j≤S)都有ai+bi≠aj+bj,则S的最大值(  )‎ A.10 B.6 C.5 D.4‎ 二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)‎ ‎11.(3分)若二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,则a   0(填“=”或“>”或“<”).‎ ‎12.(3分)若一个盒子中有6个白球,4个黑球,2个红球,且各球的大小与质地都相同,现随机从中摸出一个球,得到白球的概率是   .‎ ‎13.(3分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E、F分别为MB、BC的中点,若EF=1,则AB=   .‎ ‎14.(3分)若a为有理数,且2﹣a的值大于1,则a的取值范围为   .‎ ‎15.(3分)如图所示,过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P,且∠ABP=60°,则∠APB=   度.‎ ‎16.(3分)如图所示,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,且OC⊥AB,过点C的弦CD与线段OB相交于点E,满足∠AEC=65°,连接AD,则∠BAD=   度.‎ ‎17.(3分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步.今不善行者先行一百步,善行者追之,问几何步及之?“其意思为:速度快的人走100步,速度慢的人只走60步,现速度慢的人先走100步,速度快的人去追赶,则速度快的人要走   步才能追到速度慢的人.‎ ‎18.(3分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,在直线x=1处放置反光镜Ⅰ,在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ,缺口为线段AB,其中点A(0,1),点B在点A上方,且AB=1,在直线x=﹣1处放置一个挡板Ⅲ,从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后,通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上,则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为   .‎ 三、解答题(本大题共8小题,共66分)‎ ‎19.(6分)计算:|‎-‎‎3‎|+π0﹣2cos30°.‎ ‎20.(6分)先化简,再求值:a‎2‎‎-a‎(a-1‎‎)‎‎2‎‎-‎a+1‎a,其中a‎=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎21.(8分)小强的爸爸准备驾车外出.启动汽车时,车载报警系统显示正前方有障碍物,此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α,且tanα‎=‎‎1‎‎3‎,若直线AF与地面l1相交于点B,点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米,假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行.‎ ‎(1)求BC的长度;‎ ‎(2)假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置(障碍物的横截面为长方形,且线段MN为此长方形前端的边),MN⊥l1,若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米,通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点(点D为点A的对应点,点F1为点F的对应点),求障碍物的高度.‎ ‎22.(8分)某甜品店计划订购一种鲜奶,根据以往的销售经验,当天的需求量与当天的最高气温T有关,现将去年六月份(按30天计算)的有关情况统计如下:‎ ‎(最高气温与需求量统计表)‎ 最高气温T(单位:℃)‎ 需求量(单位:杯)‎ T<25‎ ‎200‎ ‎25≤T<30‎ ‎250‎ T≥30‎ ‎400‎ ‎(1)求去年六月份最高气温不低于30℃的天数;‎ ‎(2)若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率,求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率;‎ ‎(3)若今年六月份每天的进货量均为350杯,每杯的进价为4元,售价为8元,未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁,假设今年与去年的情况大致一样,若今年六月份某天的最高气温T满足25≤T<30(单位:℃),试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元?‎ ‎23.(8分)如图所示,已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点,连接CE、DG.‎ ‎(1)求证:△DOG≌△COE;‎ ‎(2)若DG⊥BD,正方形ABCD的边长为2,线段AD与线段OG相交于点M,AM‎=‎‎1‎‎2‎,求正方形OEFG的边长.‎ ‎24.(8分)如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,等腰△OAB的边OB与反比例函数y‎=‎mx(m>0)的图象相交于点C,其中OB=AB,点A在x轴的正半轴上,点B的坐标为(2,4),过点C作CH⊥x轴于点H.‎ ‎(1)已知一次函数的图象过点O,B,求该一次函数的表达式;‎ ‎(2)若点P是线段AB上的一点,满足OC‎=‎‎3‎AP,过点P作PQ⊥x轴于点Q,连结OP,记△OPQ的面积为S△OPQ,设AQ=t,T=OH2﹣S△OPQ ‎①用t表示T(不需要写出t的取值范围);‎ ‎②当T取最小值时,求m的值.‎ ‎25.(11分)四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形,线段AB是⊙O的直径,连结AC、BD.点H是线段BD上的一点,连结AH、CH,且∠ACH=∠CBD,AD=CH,BA的延长线与CD的延长线相交与点P.‎ ‎(1)求证:四边形ADCH是平行四边形;‎ ‎(2)若AC=BC,PB‎=‎‎5‎PD,AB+CD=2(‎5‎‎+‎1)‎ ‎①求证:△DHC为等腰直角三角形;‎ ‎②求CH的长度.‎ ‎26.(11分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)‎ ‎(1)若a=1,b=﹣2,c=﹣1‎ ‎①求该二次函数图象的顶点坐标;‎ ‎②定义:对于二次函数y=px2+qx+r(p≠0),满足方程y=x的x的值叫做该二次函数的“不动点”.求证:二次函数y=ax2+bx+c有两个不同的“不动点”.‎ ‎(2)设b‎=‎‎1‎‎2‎c3,如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A(x1,0),B(x2,0),其中x1<0,x2>0,与y轴相交于点C,连结BC,点D在y轴的正半轴上,且OC=OD,又点E的坐标为(1,0),过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F,满足∠AFC=∠ABC.FA的延长线与BC的延长线相交于点P,若PCPA‎=‎‎5‎‎5a‎2‎+1‎,求二次函数的表达式.‎ ‎2019年湖南省株洲市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题有且只有一个正确答案,本题共10小题,每小题3分,共30分)‎ ‎1.(3分)﹣3的倒数是(  )‎ A.‎-‎‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎3‎ C.﹣3 D.3‎ ‎【解答】解:∵﹣3×(‎-‎‎1‎‎3‎)=1,‎ ‎∴﹣3的倒数是‎-‎‎1‎‎3‎.‎ 故选:A.‎ ‎2.(3分)‎2‎‎×‎8‎=‎(  )‎ A.4‎2‎ B.4 C.‎10‎ D.2‎‎2‎ ‎【解答】解:‎2‎‎×‎8‎=‎16‎=‎4.‎ 故选:B.‎ ‎3.(3分)下列各式中,与3x2y3是同类项的是(  )‎ A.2x5 B.3x3y2 C.‎-‎‎1‎‎2‎x2y3 D.‎-‎‎1‎‎3‎y5‎ ‎【解答】解:A、2x5与3x2y3不是同类项,故本选项错误;‎ B、3x3y2与3x2y3不是同类项,故本选项错误;‎ C、‎-‎‎1‎‎2‎x2y3与3x2y3是同类项,故本选项正确;‎ D、‎-‎‎1‎‎3‎y5与3x2y3是同类项,故本选项错误;‎ 故选:C.‎ ‎4.(3分)对于任意的矩形,下列说法一定正确的是(  )‎ A.对角线垂直且相等 ‎ B.四边都互相垂直 ‎ C.四个角都相等 ‎ D.是轴对称图形,但不是中心对称图形 ‎【解答】解:A、矩形的对角线相等,但不垂直,故此选项错误;‎ B、矩形的邻边都互相垂直,对边互相平行,故此选项错误;‎ C、矩形的四个角都相等,正确;‎ D、矩形是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项错误.‎ 故选:C.‎ ‎5.(3分)关于x的分式方程‎2‎x‎-‎5‎x-3‎=‎0的解为(  )‎ A.﹣3 B.﹣2 C.2 D.3‎ ‎【解答】解:去分母得:2x﹣6﹣5x=0,‎ 解得:x=﹣2,‎ 经检验x=﹣2是分式方程的解,‎ 故选:B.‎ ‎6.(3分)在平面直角坐标系中,点A(2,﹣3)位于哪个象限?(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【解答】解:点A坐标为(2,﹣3),则它位于第四象限,‎ 故选:D.‎ ‎7.(3分)若一组数据x,3,1,6,3的中位数和平均数相等,则x的值为(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【解答】解:当x≤1时,中位数与平均数相等,则得到:‎1‎‎5‎(x+3+1+6+3)=3,‎ 解得x=2(舍去);‎ 当1<x<3时,中位数与平均数相等,则得到:‎1‎‎5‎(x+3+1+6+3)=3,‎ 解得x=2;‎ 当3≤x<6时,中位数与平均数相等,则得到:‎1‎‎5‎(x+3+1+6+3)=3,‎ 解得x=2(舍去);‎ 当x≥6时,中位数与平均数相等,则得到:‎1‎‎5‎(x+3+1+6+3)=3,‎ 解得x=2(舍去).‎ 所以x的值为2.‎ 故选:A.‎ ‎8.(3分)下列各选项中因式分解正确的是(  )‎ A.x2﹣1=(x﹣1)2 B.a3﹣2a2+a=a2(a﹣2) ‎ C.﹣2y2+4y=﹣2y(y+2) D.m2n﹣2mn+n=n(m﹣1)2‎ ‎【解答】解:A、x2﹣1=(x+1)(x﹣1),故此选项错误;‎ B、a3﹣2a2+a=a2(a﹣1),故此选项错误;‎ C、﹣2y2+4y=﹣2y(y﹣2),故此选项错误;‎ D、m2n﹣2mn+n=n(m﹣1)2,正确.‎ 故选:D.‎ ‎9.(3分)如图所示,在直角平面坐标系Oxy中,点A、B、C为反比例函数y‎=‎kx(k>0)上不同的三点,连接OA、OB、OC,过点A作AD⊥y轴于点D,过点B、C分别作BE,CF垂直x轴于点E、F,OC与BE相交于点M,记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3,则(  )‎ A.S1=S2+S3 B.S2=S3 C.S3>S2>S1 D.S1S2<S32‎ ‎【解答】解:∵点A、B、C为反比例函数y‎=‎kx(k>0)上不同的三点,AD⊥y轴,BE,CF垂直x轴于点E、F,‎ ‎∴S1‎=‎‎1‎‎2‎k,S△BOE=S△COF‎=‎‎1‎‎2‎k,‎ ‎∵S△BOE﹣SOME=S△CDF﹣S△OME,‎ ‎∴S3=S2,‎ 故选:B.‎ ‎10.(3分)从﹣1,1,2,4四个数中任取两个不同的数(记作ak,bk)构成一个数组MK={ak,bk}(其中k=1,2…S,且将{ak,bk}与{bk,ak}视为同一个数组),若满足:对于任意的Mi={ai,bi}和Mj={ai,bj}(i≠j,1≤i≤S,1≤j≤S)都有ai+bi≠aj+bj,则S的最大值(  )‎ A.10 B.6 C.5 D.4‎ ‎【解答】解:∵﹣1+1=0,﹣1+2=1,﹣1+4=3,1+2=3,1+4=5,2+4=6,‎ ‎∴ai+bi共有5个不同的值.‎ 又∵对于任意的Mi={ai,bi}和Mj={ai,bj}(i≠j,1≤i≤S,1≤j≤S)都有ai+bi≠aj+bj,‎ ‎∴S的最大值为5.‎ 故选:C.‎ 二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)‎ ‎11.(3分)若二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,则a < 0(填“=”或“>”或“<”).‎ ‎【解答】解:∵二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,‎ ‎∴a<0.‎ 故答案是:<.‎ ‎12.(3分)若一个盒子中有6个白球,4个黑球,2个红球,且各球的大小与质地都相同,现随机从中摸出一个球,得到白球的概率是 ‎1‎‎2‎ .‎ ‎【解答】解:∵布袋中有6个白球,4个黑球,2个红球,共有12个球,‎ ‎∴摸到白球的概率是‎6‎‎12‎‎=‎‎1‎‎2‎;‎ 故答案为:‎1‎‎2‎.‎ ‎13.(3分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E、F分别为MB、BC的中点,若EF=1,则AB= 4 .‎ ‎【解答】解:∵E、F分别为MB、BC的中点,‎ ‎∴CM=2EF=2,‎ ‎∵∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,‎ ‎∴AB=2CM=4,‎ 故答案为:4.‎ ‎14.(3分)若a为有理数,且2﹣a的值大于1,则a的取值范围为 a<1且a为有理数 .‎ ‎【解答】解:根据题意知2﹣a>1,‎ 解得a<1,‎ 故答案为:a<1且a为有理数.‎ ‎15.(3分)如图所示,过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P,且∠ABP=60°,则∠APB= 66 度.‎ ‎【解答】解:∵五边形ABCDE为正五边形,‎ ‎∴∠EAB=108度,‎ ‎∵AP是∠EAB的角平分线,‎ ‎∴∠PAB=54度,‎ ‎∵∠ABP=60°,‎ ‎∴∠APB=180°﹣60°﹣54°=66°.‎ 故答案为:66.‎ ‎16.(3分)如图所示,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,且OC⊥AB,过点C的弦CD与线段OB相交于点E,满足∠AEC=65°,连接AD,则∠BAD= 20 度.‎ ‎【解答】解:连接OD,如图:‎ ‎∵OC⊥AB,‎ ‎∴∠COE=90°,‎ ‎∵∠AEC=65°,‎ ‎∴∠OCE=90°﹣65°=25°,‎ ‎∵OC=OD,‎ ‎∴∠ODC=∠OCE=25°,‎ ‎∴∠DOC=180°﹣25°﹣25°=130°,‎ ‎∴∠BOD=∠DOC﹣∠COE=40°,‎ ‎∴∠BAD‎=‎‎1‎‎2‎∠BOD=20°,‎ 故答案为:20.‎ ‎17.(3分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步.今不善行者先行一百步,善行者追之,问几何步及之?“其意思为:速度快的人走100步,速度慢的人只走60步,现速度慢的人先走100步,速度快的人去追赶,则速度快的人要走 250 步才能追到速度慢的人.‎ ‎【解答】解:设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t,‎ 根据题意得:(100﹣60)t=100,‎ 解得:t=2.5,‎ ‎∴100t=100×2.5=250.‎ 答:走路快的人要走250步才能追上走路慢的人.‎ 故答案是:250.‎ ‎18.(3分)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,在直线x=1处放置反光镜Ⅰ,在y轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ,缺口为线段AB,其中点A(0,1),点B在点A上方,且AB=1,在直线x=﹣1处放置一个挡板Ⅲ,从点O发出的光线经反光镜Ⅰ反射后,通过缺口AB照射在挡板Ⅲ上,则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 1.5 .‎ ‎【解答】解:当光线沿O、G、B、C传输时,‎ 过点B作BF⊥GH于点F,过点C作CE⊥GH于点E,‎ 则∠OGH=∠CGE=α,设GH=a,则GF=2﹣a,‎ 则tan∠OGH=tan∠CGE,即:OHGH‎=‎BFGF,‎ 即:‎1‎a‎=‎‎1‎‎2-a,解得:a=1,‎ 则α=45°,‎ ‎∴GE=CE=2,yC=1+2=3,‎ 当光线反射过点A时,‎ 同理可得:yD=1.5,‎ 落在挡板Ⅲ上的光线的长度=CD=3﹣1.5=1.5,‎ 故答案为1.5.‎ 三、解答题(本大题共8小题,共66分)‎ ‎19.(6分)计算:|‎-‎‎3‎|+π0﹣2cos30°.‎ ‎【解答】解:原式‎=‎3‎+‎1﹣2‎‎×‎‎3‎‎2‎ ‎=‎3‎+‎‎1‎-‎‎3‎ ‎ ‎=1.‎ ‎20.(6分)先化简,再求值:a‎2‎‎-a‎(a-1‎‎)‎‎2‎‎-‎a+1‎a,其中a‎=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎【解答】解:‎a‎2‎‎-a‎(a-1‎‎)‎‎2‎‎-‎a+1‎a ‎=a(a-1)‎‎(a-1‎‎)‎‎2‎-‎a+1‎a‎ ‎ ‎=aa-1‎-‎a+1‎a‎ ‎ ‎=‎a‎2‎‎-(a-1)(a+1)‎a(a-1)‎‎ ‎ ‎=‎a‎2‎‎-a‎2‎+1‎a(a-1)‎‎ ‎ ‎=‎‎1‎a(a-1)‎‎,‎ 当a‎=‎‎1‎‎2‎时,原式‎=‎1‎‎1‎‎2‎‎(‎1‎‎2‎-1)‎=-‎4.‎ ‎21.(8分)小强的爸爸准备驾车外出.启动汽车时,车载报警系统显示正前方有障碍物,此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α,且tanα‎=‎‎1‎‎3‎,若直线AF与地面l1相交于点B,点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米,假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行.‎ ‎(1)求BC的长度;‎ ‎(2)假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置(障碍物的横截面为长方形,且线段MN为此长方形前端的边),MN⊥l1,若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米,通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点(点D为点A的对应点,点F1为点F的对应点),求障碍物的高度.‎ ‎【解答】解:(1)由题意得,∠ABC=∠α,‎ 在Rt△ABC中,AC=1.6,tan∠ABC=tanα‎=‎‎1‎‎3‎,‎ ‎∴BC‎=ACtan∠ABC=‎1.6‎‎1‎‎3‎=‎4.8m,‎ 答:BC的长度为4.8m;‎ ‎(2)过D作DH⊥BC于H,‎ 则四边形ADHC是矩形,‎ ‎∴AD=CH=BE=0.6,‎ ‎∵点M是线段BC的中点,‎ ‎∴BM=CM=2.4米,‎ ‎∴EM=BM﹣BE=1.8,‎ ‎∵MN⊥BC,‎ ‎∴MN∥DH,‎ ‎∴△EMN∽△EHD,‎ ‎∴MNDH‎=‎EMEH,‎ ‎∴MN‎1.6‎‎=‎‎1.8‎‎4.8‎,‎ ‎∴MN=0.6,‎ 答:障碍物的高度为0.6米.‎ ‎22.(8分)某甜品店计划订购一种鲜奶,根据以往的销售经验,当天的需求量与当天的最高气温T有关,现将去年六月份(按30天计算)的有关情况统计如下:‎ ‎(最高气温与需求量统计表)‎ 最高气温T(单位:℃)‎ 需求量(单位:杯)‎ T<25‎ ‎200‎ ‎25≤T<30‎ ‎250‎ T≥30‎ ‎400‎ ‎(1)求去年六月份最高气温不低于30℃的天数;‎ ‎(2)若以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率,求去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率;‎ ‎(3)若今年六月份每天的进货量均为350杯,每杯的进价为4元,售价为8元,未售出的这种鲜奶厂家以1元的价格收回销毁,假设今年与去年的情况大致一样,若今年六月份某天的最高气温T满足25≤T<30(单位:℃),试估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为多少元?‎ ‎【解答】解:(1)由条形统计图知,去年六月份最高气温不低于30℃的天数为6+2=8(天);‎ ‎(2)去年六月份这种鲜奶一天的需求量不超过200杯的概率为‎3+9‎‎30‎‎=‎‎2‎‎5‎;‎ ‎(3)250×8﹣350×4+100×1=730(元),‎ 答:估计这一天销售这种鲜奶所获得的利润为730元.‎ ‎23.(8分)如图所示,已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点,连接CE、DG.‎ ‎(1)求证:△DOG≌△COE;‎ ‎(2)若DG⊥BD,正方形ABCD的边长为2,线段AD与线段OG相交于点M,AM‎=‎‎1‎‎2‎,求正方形OEFG的边长.‎ ‎【解答】解:‎ ‎(1)∵正方形ABCD与正方形OEFG,对角线AC、BD ‎∴DO=OC ‎∵DB⊥AC,‎ ‎∴∠DOA=∠DOC=90°‎ ‎∵∠GOE=90°‎ ‎∴∠GOD+∠DOE=∠DOE+∠COE=90°‎ ‎∴∠GOD=∠COE ‎∵GO=OE ‎∴在△DOG和△COE中 DO=OC‎∠GOD=∠COEGD=OE‎ ‎ ‎∴△DOG≌△COE(SAS)‎ ‎(2)如图,过点M作MH⊥DO交DO于点H ‎∵AM‎=‎‎1‎‎2‎,DA=2‎ ‎∴DM‎=‎‎3‎‎2‎ ‎∵∠MDB=45°‎ ‎∴MH=DH=sin45°•DM‎=‎‎3‎‎2‎‎4‎,DO=cos45°•DA‎=‎‎2‎ ‎∴HO=DO﹣DH‎=‎2‎-‎3‎‎2‎‎4‎=‎‎2‎‎4‎ ‎∴在Rt△MHO中,由勾股定理得 MO‎=MH‎2‎+HO‎2‎=‎(‎3‎‎2‎‎4‎‎)‎‎2‎+(‎‎2‎‎4‎‎)‎‎2‎=‎‎5‎‎2‎ ‎∵DG⊥BD,MH⊥DO ‎∴MH∥DG ‎∴易证△OHM∽△ODG ‎∴OHOD‎=MOGO=‎2‎‎4‎‎2‎=‎‎5‎‎2‎GO,得GO=2‎‎5‎ 则正方形OEFG的边长为2‎‎5‎ ‎24.(8分)如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,等腰△OAB的边OB与反比例函数y‎=‎mx(m>0)的图象相交于点C,其中OB=AB,点A在x轴的正半轴上,点B的坐标为(2,4),过点C作CH⊥x轴于点H.‎ ‎(1)已知一次函数的图象过点O,B,求该一次函数的表达式;‎ ‎(2)若点P是线段AB上的一点,满足OC‎=‎‎3‎AP,过点P作PQ⊥x轴于点Q,连结OP,记△OPQ的面积为S△OPQ,设AQ=t,T=OH2﹣S△OPQ ‎①用t表示T(不需要写出t的取值范围);‎ ‎②当T取最小值时,求m的值.‎ ‎【解答】解:(1)将点O、B的坐标代入一次函数表达式:y=kx得:4=2k,‎ 解得:k=2,‎ 故一次函数表达式为:y=2x,‎ ‎(2)①过点B作BM⊥OA,‎ 则∠OCH=∠QPA=∠OAB=∠ABM=α,‎ 则tanα‎=‎‎1‎‎2‎,sinα‎=‎‎1‎‎5‎,‎ ‎∵OB=AB,则OM=AM=2,则点A(4,0),‎ 设:AP=a,则OC‎=‎‎3‎a,‎ 在△APQ中,sin∠APQ‎=QAPA=ta=‎sinα‎=‎‎1‎‎5‎,‎ 同理PQ‎=ttanα=‎2t,‎ 则PA=a‎=‎‎5‎t,OC‎=‎‎15‎t,‎ 则点C(‎3‎t,2‎3‎t),‎ T=OH2﹣S△OPQ=(OC•sinα)2‎-‎1‎‎2‎×‎(4﹣t)×2t=4t2﹣4t,‎ ‎②∵4>0,∴T有最小值,当t‎=‎‎1‎‎2‎时,‎ T取得最小值,‎ 而点C(‎3‎t,2‎3‎t),‎ 故:m‎=‎‎3‎t×2‎3‎t‎=‎‎3‎‎2‎.‎ ‎25.(11分)四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形,线段AB是⊙O的直径,连结AC、BD.点H是线段BD上的一点,连结AH、CH,且∠ACH=∠CBD,AD=CH,BA的延长线与CD的延长线相交与点P.‎ ‎(1)求证:四边形ADCH是平行四边形;‎ ‎(2)若AC=BC,PB‎=‎‎5‎PD,AB+CD=2(‎5‎‎+‎1)‎ ‎①求证:△DHC为等腰直角三角形;‎ ‎②求CH的长度.‎ ‎【解答】证明:(1)∵∠DBC=∠DAC,∠ACH=∠CBD ‎∴∠DAC=∠ACH ‎∴AD∥CH,且AD=CH ‎∴四边形ADCH是平行四边形 ‎(2)①∵AB是直径 ‎∴∠ACB=90°=∠ADB,且AC=BC ‎∴∠CAB=∠ABC=45°,‎ ‎∴∠CDB=∠CAB=45°‎ ‎∵AD∥CH ‎∴∠ADH=∠CHD=90°,且∠CDB=45°‎ ‎∴∠CDB=∠DCH=45°‎ ‎∴CH=DH,且∠CHD=90°‎ ‎∴△DHC为等腰直角三角形;‎ ‎②∵四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形,‎ ‎∴∠ADP=∠PBC,且∠P=∠P ‎∴△ADP∽△CBP ‎∴ADBC‎=‎PDPB,且PB‎=‎‎5‎PD,‎ ‎∴ADBC‎=‎‎1‎‎5‎,AD=CH,‎ ‎∴‎CHBC‎=‎‎1‎‎5‎ ‎∵∠CDB=∠CAB=45°,∠CHD=∠ACB=90°‎ ‎∴△CHD∽△ACB ‎∴‎CDAB‎=CHBC=‎‎1‎‎5‎ ‎∴AB‎=‎‎5‎CD ‎∵AB+CD=2(‎5‎‎+‎1)‎ ‎∴‎5‎CD+CD=2(‎5‎‎+‎1)‎ ‎∴CD=2,且△DHC为等腰直角三角形 ‎∴CH‎=‎‎2‎ ‎26.(11分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)‎ ‎(1)若a=1,b=﹣2,c=﹣1‎ ‎①求该二次函数图象的顶点坐标;‎ ‎②定义:对于二次函数y=px2+qx+r(p≠0),满足方程y=x的x的值叫做该二次函数的“不动点”.求证:二次函数y=ax2+bx+c有两个不同的“不动点”.‎ ‎(2)设b‎=‎‎1‎‎2‎c3,如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A(x1,0),B(x2,0),其中x1<0,x2>0,与y轴相交于点C,连结BC,点D在y轴的正半轴上,且OC=OD,又点E的坐标为(1,0),过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F,满足∠AFC=∠ABC.FA的延长线与BC的延长线相交于点P,若PCPA‎=‎‎5‎‎5a‎2‎+1‎,求二次函数的表达式.‎ ‎【解答】解:(1)①∵a=1,b=﹣2,c=﹣1‎ ‎∴y=x2﹣2x﹣1=(x﹣1)2﹣2‎ ‎∴该二次函数图象的顶点坐标为(1,﹣2)‎ ‎②证明:当y=x时,x2﹣2x﹣1=x 整理得:x2﹣3x﹣1=0‎ ‎∴△=(﹣3)2﹣4×1×(﹣1)=13>0‎ ‎∴方程x2﹣3x﹣1=0有两个不相等的实数根 即二次函数y=x2﹣2x﹣1有两个不同的“不动点”.‎ ‎(2)把b‎=‎‎1‎‎2‎c3代入二次函数得:y=ax2‎+‎‎1‎‎2‎c3x+c ‎∵二次函数与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0)(x1<0,x2>0)‎ 即x1、x2为方程ax2‎+‎‎1‎‎2‎c3x+c=0的两个不相等实数根 ‎∴x1+x2‎=-‎1‎‎2‎c‎3‎a=-‎c‎3‎‎2a,x1x2‎‎=‎ca ‎∵当x=0时,y=ax2‎+‎‎1‎‎2‎c3x+c=c ‎∴C(0,c)‎ ‎∵E(1,0)‎ ‎∴CE‎=‎‎1+‎c‎2‎,AE=1﹣x1,BE=x2﹣1‎ ‎∵DF⊥y轴,OC=OD ‎∴DF∥x轴 ‎∴‎CEEF‎=OCOD=1‎ ‎∴EF=CE‎=‎‎1+‎c‎2‎,CF=2‎‎1+‎c‎2‎ ‎∵∠AFC=∠ABC,∠AEF=∠CEB ‎∴△AEF∽△CEB ‎∴AECE‎=‎EFBE,即AE•BE=CE•EF ‎∴(1﹣x1)(x2﹣1)=1+c2‎ 展开得:1+c2=x2﹣1﹣x1x2+x1‎ ‎1+c2‎=-c‎3‎‎2a-‎1‎‎-‎ca c3+2ac2+2c+4a=0‎ ‎ c2(c+2a)+2(c+2a)=0‎ ‎(c2+2)(c+2a)=0‎ ‎∵c2+2>0‎ ‎∴c+2a=0,即c=﹣2a ‎∴x1+x2‎=-‎-8‎a‎3‎‎2a=‎4a2,x1x2‎=‎-2aa=-‎2,CF=2‎1+‎c‎2‎‎=‎2‎‎1+4‎a‎2‎ ‎∴(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1x2=16a4+8‎ ‎∴AB=x2﹣x1‎‎=‎16a‎4‎+8‎=2‎‎4a‎4‎+2‎ ‎∵∠AFC=∠ABC,∠P=∠P ‎∴△PFC∽△PBA ‎∴‎CFAB‎=PCPA=‎‎5‎‎5a‎2‎+1‎ ‎∴‎‎2‎‎1+4‎a‎2‎‎2‎‎4a‎4‎+2‎‎=‎‎5‎‎5a‎2‎+1‎ 解得:a1=1,a2=﹣1(舍去)‎ ‎∴c=﹣2a=﹣2,b‎=‎‎1‎‎2‎c3=﹣4‎ ‎∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x﹣2‎ 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布 日期:2019/6/30 10:03:29;用户:中考培优辅导;邮箱:p5193@xyh.com;学号:27411521‎
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