2019九年级数学上册 专题突破讲练 解决仰角、俯角问题试题 （新版）青岛版

2019九年级数学上册 专题突破讲练 解决仰角、俯角问题试题 （新版）青岛版

解决仰角、俯角问题 仰角、俯角 ‎1. 铅垂线：重力线方向的直线；‎ ‎2. 水平线：垂直于铅垂线的直线；‎ ‎3. 仰角：视线在水平线上方的角叫做仰角；‎ ‎4. 俯角：视线在水平线下方的角叫做俯角。‎ 方法归纳：‎ ‎（1）仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”；‎ ‎（2）实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形或转化到直角三角形中运用，注意确定水平线。‎ 总结：‎ ‎1. 能够分清仰角和俯角，正确解答与仰角和俯角有关的三角函数问题。‎ ‎2. 在测量物体的高时，要善于将实际问题抽象为数学问题。‎ 例题 我国为了维护对钓鱼岛（点P）的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航。在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛‎20km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC＝‎5000m。轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为30°。试求飞机的飞行距离BD（结果保留根号）。‎ 解析：作AF⊥BD，PG⊥BD，在Rt△ABF和△PDG中分别求出BF、GD的值，由BF＋FG＋DG求BD的长。‎ 答案：作AF⊥BD，PG⊥BD，垂足分别为F、G，由题意得：AF＝PG＝CE＝‎5000m，FG＝AP＝‎20km，在Rt△AFB中，∠B＝45°，则∠BAF＝45°，∴BF＝AF＝5。‎ ‎∵AP∥BD，∴∠D＝∠DPH＝30°，在Rt△PGD中，tan∠D＝，即tan30°＝，‎ ‎∴GD＝5，则BD＝BF＋FG＋DG＝5＋20＋5＝25＋5（km）。‎ 9‎ 答：飞机的飞行距离BD为25＋‎5km。‎ 点拨：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，然后解直角三角形，虽然难度一般，但非常具有代表性。‎ 用三角函数测量建筑物的高度，常见类型如下：‎ ‎（1）＝l，h＝l·tanα；‎ ‎（2）－＝l，h＝l；‎ ‎（3）＋＝l，h＝l。‎ 满分训练 阅读材料：‎ 关于三角函数还有如下的公式：‎ sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ；tan（α±β）＝。‎ 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值。例：tan15°＝tan（45°－30°）＝＝＝＝2－。‎ 根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面的问题：‎ ‎（1）计算：sin15°；‎ ‎（2）乌蒙铁塔是六盘水市的标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离‎7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为‎1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度。（精确到‎0.1米，参考数据：＝1.732，＝1.414）。‎ 9‎ 解析：（1）把15°化为45°－30°以后，再利用公式sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ计算，即可求出sin15°的值；（2）先根据锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据AB＝AE＋BE计算塔高。‎ 答案：（1）sin15°＝sin（45°－30°）＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝×－×＝－＝；‎ ‎（2）在Rt△BDE中，∵∠BED＝90°，∠BDE＝75°，DE＝AC＝‎7米，‎ ‎∴BE＝DE•tan∠BDE＝DE•tan75°。‎ ‎∵tan75°＝tan（45°＋30°）＝＝＝＝2＋，‎ ‎∴BE＝7（2＋）＝14＋7，∴AB＝AE＋BE＝1.62＋14＋7≈27.7（米）。‎ 答：乌蒙铁塔的高度约为‎27.7米。‎ 点拨：本题考查了解直角三角形的应用－仰角、俯角问题，以及特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解。‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为‎210m，这栋高楼BC的高度为（ ）‎ A. ‎70‎m B. ‎210‎m C. ‎280‎m D. ‎160‎m 9‎ ‎**2. 如图，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选M点作为观测点，从M点测量山顶P的仰角（视线在水平线上方，与水平线所夹的角）为30°，在比例尺为1：50000的该地区的等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P的海拔高度为（ ）‎ A. ‎1732米 B. ‎1982米 C. ‎3000米 D. ‎‎3250米 ‎**3. 如图，在两建筑物之间有一旗杆，高‎15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60º，又从A点测得D点的俯角β为30º，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（ ）‎ A. ‎20米 B. ‎10‎米 C. ‎15‎米 D. ‎5‎米 ‎**4. 如图，在一个房间内，有一把梯子MC斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB为（ ）‎ A. 米 B. 米 C. b米 D. a米 二、填空题 ‎5. 九年级三班的小亮同学学习了“测量物体的高度”这节课后，他为了测得如图所放风筝的高度，进行了如下操作：‎ ‎（1）在放风筝的点A处安置测倾器，测得风筝C的仰角∠CBD＝60°；‎ 9‎ ‎（2）根据手中剩余的线的长度求出风筝线BC的长度为‎70米；‎ ‎（3）量出测倾器的高度AB＝‎1.5米。根据测量数据，计算出风筝的高度CE约为__________米。（精确到‎0.1米，≈1.73）‎ ‎6. 如图1所示，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，另一端系一个小重物，制成简单的测角仪，若细线正好和60°重合，则此时的仰角α是__________°，若细线所在位置刻度模糊，请在图2中添加一条直线，就能求出此时的仰角α。‎ ‎*7. 某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为‎3米，则旗杆AB的高度为__________米。‎ ‎**8. 如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以‎30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为__________米。‎ 三、解答题 9‎ ‎9. 国家海洋局将中国钓鱼岛的最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航。如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机的飞行高度为‎2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进‎1200米到达B点后测得F点的俯角为45°，如图2。请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度为多少米。（结果保留整数，参考数值：≈1.732，≈1.414）‎ ‎*10. （舟山中考）某学校的校门是伸缩门（如图1），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米。校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3）。问：校门打开了多少米？（结果精确到‎1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848）。‎ ‎*11. 小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼。为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高‎46米，CD＝‎10米。求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）。‎ ‎*12. 小亮和小红在公园放风筝，不小心让风筝挂在树梢上，风筝固定在A处（如图），为测量此时风筝的高度，他俩按如下步骤操作：‎ 第一步：小亮在测点D处用测角仪测得仰角∠ACE＝β。‎ 第二步：小红量得测点D处到树底部B的水平距离BD＝a。‎ 第三步：量出测角仪的高度CD＝b。‎ 9‎ 之后，他俩又将每个步骤都测量了三次，把三次测得的数据绘制成如下的条形统计图和折线统计图。‎ 请你根据两个统计图提供的信息解答下列问题。‎ ‎（1）把统计图中的相关数据填入相应的表格中：‎ a b β 第一次 第二次 第三次 平均值 ‎（2）根据表中得到的样本平均值计算出风筝的高度AB（参考数据：≈1.732，≈1.414，结果保留3个有效数字）。‎ 9‎ ‎1. C 解析：过A作AD⊥BC，垂足为D。在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝‎210m，∴BD＝AD•tan30°＝210×＝‎70‎m。在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝‎210m，∴CD＝AD•tan60°＝210×＝‎210‎m，∴BC＝BD＋CD＝70＋210＝‎280‎m，故选C。‎ ‎2. B 解析：∵两点的图上距离为6厘米，比例尺为1：50000，∴两点间的实际距离为：6÷＝‎3000米，∵从M点测量山顶P的仰角（视线在水平线上方，与水平线所夹的角）为30°，∴MP＝3000×tan30°＝3000×＝‎1732米，∵点M的海拔为‎250米，∴山顶P的海拔高度为＝1732＋250＝‎1982米。故选B。‎ ‎3. A 解析：根据题意可知：GE∥AB∥CD，BC＝2GC，GE＝‎15米，AB＝2GE＝‎30米。过点D作DF垂直于过A点的水平线于点F，则AF＝BC＝AB÷tan∠ACB＝30÷＝‎10‎米，DF＝AF•tan30º＝10×＝‎10米，CD＝AB－DF＝30－10＝‎20米。‎ ‎4. D 解析：过N点作MA的垂线，垂足为点D，连接NM。∵∠MCN＝180°－∠MCA－∠NCB＝180°－75°－45°＝60°，MC＝NC，∴△MNC是等边三角形，∴MN＝MC，∠MNC＝60°。∠MND＝∠MNC－∠DNC，而∠DNC＝∠NCB＝45°，∴∠MND＝60°－45°＝15°。在Rt△MND中，DN＝MNcos∠MND＝MNcos15°。在Rt△MCA中，∵∠MCA＝75°，∴∠AMC＝15°，∴AM＝MCcos15°。∴AB＝DN＝AM＝a（米）。本题也可证明△MND≌△CMA。‎ ‎5. 62.1 解析：在Rt△CBD中，DC＝BC•sin60°＝70×≈60.55。∵AB＝1.5，∴CE＝60.55＋1.5≈62.1（米）。‎ ‎6. 30°，如图所示：作线段BA关于BC的对称线段，对称线段所在的直线即是需要添加的直线，读出∠ABF的度数，α＝90°－∠ABF。（也可过点B作AC的平行线）‎ 9‎ ‎7. 9 解析：过B作BE⊥CD于点E，设旗杆AB的高度为x，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，所以AC＝＝＝＝x，在Rt△BDE中，BE＝AC＝x，∠BDE＝60°，tan∠BDE＝，所以DE＝＝x，因为CE＝AB＝x，所以DC＝CE－DE＝x－x＝6，所以x＝9，故旗杆的高度为‎9米。‎ ‎8. 750 解析：如图（略），过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°－30°＝45°，AC＝30×25＝750（米），∴AD＝AC•sin45°＝375（米）。在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝750（米）。‎ ‎9. 解：设CF＝x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，∵∠BAF＝30°，∠CBF＝45°，∴BC＝CF＝x，＝tan30°，即AC＝x，∵AC－BC＝1200，∴x－x＝1200，解得：x＝600（＋1），则DF＝h－x＝2001－600（＋1）≈362（米）。答：钓鱼岛的最高海拔高度约‎362米。‎ ‎10. 解：如题图，校门关闭时，取其中一个菱形ABCD。根据题意，得∠BAD＝60°，AB＝‎0.3米。∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∴△BAD是等边三角形，∴BD＝AB＝‎0.3米，∴大门的宽是0.3×20≈6（米）；校门打开时，取其中一个菱形A1B‎1C1D1。根据题意，得∠B‎1A1D1＝10°，A1B1＝‎0.3米。∵在菱形A1B‎1C1D1中，A‎1C1⊥B1D1，设A‎1C1与B1D1相交于点O1，则∠B‎1A1O1＝5°，∴在Rt△A1B1O1中，B1O1＝sin∠B‎1A1O1•A1B1＝sin5°×0.3＝0.02616（米），∴B1D1＝2B1O1＝‎0.05232米，∴伸缩门的宽是：0.05232×20＝‎1.0464米。∴校门打开的宽度为：6－1.0464＝4.9536≈5（米）。故校门打开了‎5米。‎ ‎11. 解：延长BC交PM于点E，在Rt△BEP中，∠BPE＝60°∴BE＝PE·tan60°＝PE。在Rt△AMP中，∠APM＝45°，∴AM＝PM＝PE＋EM＝PE＋CD＝PE＋10。又楼高＝AM＋BE，∴PE＋10＋PE＝46，∴PE＝18（－1），∴PM＝PE＋EM＝18（－1）＋10＝18－8，即点P到AD的距离为（18－8）米。‎ ‎12. 解：（1）填写表格如图：‎ a b β 第一次 ‎15.71‎ ‎1.31‎ ‎29.5°‎ 第二次 ‎15.83‎ ‎1.33‎ ‎30.8°‎ 第三次 ‎15.89‎ ‎1.32‎ ‎29.7°‎ 平均值 ‎15.81‎ ‎1.32‎ ‎30°‎ ‎（2）过C作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，∴CE＝BD＝a，BE＝CD＝b，在Rt△AEC中，∵β＝30°，a＝15.81，∴AE＝BEtan30°＝15.81×≈9.128（米），则AB＝AE＋EB＝9.128＋1.32＝10.448≈10.4（米）。答：风筝的高度AB为‎10.4米。‎ 9‎