2020年湖南省株洲市中考数学试卷【含答案；word版本试题；可编辑】

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‎2020年湖南省株洲市中考数学试卷 一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1. a的相反数为‎-3‎，则a等于（ ）‎ A.‎-3‎ B.‎3‎ C.‎±3‎ D.‎‎1‎‎3‎ ‎2. 下列运算正确的是（ ）‎ A.a⋅‎a‎3‎＝a‎4‎ B.‎2a-a＝‎2‎ C.‎(‎a‎2‎‎)‎‎5‎＝a‎7‎ D.‎(-3b‎)‎‎2‎＝‎‎6‎b‎2‎ ‎3. 一个不透明的盒子中装有‎4‎个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字‎-1‎、‎0‎、‎2‎和‎3‎．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（ ）‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎3‎‎4‎ ‎4. 一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 数据‎12‎、‎15‎、‎18‎、‎17‎、‎10‎、‎19‎的中位数为（ ）‎ A.‎14‎ B.‎15‎ C.‎16‎ D.‎‎17‎ ‎6. 下列哪个数是不等式‎2(x-1)+3<0‎的一个解？（ ）‎ A.‎-3‎ B.‎-‎‎1‎‎2‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎2‎ ‎7. 在平面直角坐标系中，点A(a, 2)‎在第二象限内，则a的取值可以是（ ）‎ A.‎1‎ B.‎-‎‎3‎‎2‎ C.‎4‎‎3‎ D.‎4‎或‎-4‎ ‎8. 下列不等式错误的是（ ）‎ A.‎-2<-1‎ B.π<‎‎17‎ C.‎5‎‎2‎‎>‎‎10‎ D.‎‎1‎‎3‎‎>0.3‎ ‎9. 如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为‎0‎、‎2‎、‎4‎、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A‎1‎，则此时线段CA扫过的图形的面积为（ ）‎ A.‎4π B.‎6‎ C.‎4‎‎3‎ D.‎‎8‎‎3‎π ‎10. 二次函数y＝ax‎2‎+bx+c，若ab<0‎，a-b‎2‎>0‎，点A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)‎在该二次函数的图象上，其中x‎1‎‎<‎x‎2‎，x‎1‎‎+‎x‎2‎＝‎0‎，则（ ）‎ A.y‎1‎＝‎-‎y‎2‎ B.‎y‎1‎‎>‎y‎2‎ C.y‎1‎‎<‎y‎2‎ D.y‎1‎、y‎2‎的大小无法确定 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）‎ ‎11. 关于x的方程‎3x-8‎＝x的解为x＝________．‎ ‎12. 因式分解：‎2a‎2‎-12a＝________．‎ ‎13. 计算‎2‎‎3‎‎×(‎8‎+‎2‎)‎的结果是________．‎ ‎14. 王老师对本班‎40‎个学生所穿校服尺码的数据统计如下：‎ 尺码 S M L XL XXL XXL 频率 ‎0.05‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.325‎ ‎0.3‎ ‎0.025‎ 则该班学生所穿校服尺码为“L”的人数有________个．‎ ‎15. 一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则‎∠MON＝________度．‎ ‎ 10 / 10‎ ‎16. 如图所示，点D、E分别是‎△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF // BE，交DE的延长线于点F，若EF＝‎3‎，则DE的长为________．‎ ‎17. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数y‎1‎‎=kx(x>0‎，k为常数且k>2)‎的图象上，边AB与函数y‎2‎‎=‎2‎x(x>0)‎的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为________．（结果用含k的式子表示）‎ ‎18. 据《汉书律历志》记载：“量者，龠‎(yuè‎)‎、合、升、斗、斛‎(hú‎)‎也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜‎(huán)‎其外，旁有庣‎(tiāo)‎焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．‎ 问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即‎2.5‎尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为‎0.25‎尺），则此斛底面的正方形的周长为________尺．（结果用最简根式表示）‎ 三、解答题（本大题共8小题，共78分）‎ ‎19. 计算：‎(‎1‎‎4‎‎)‎‎-1‎+|-1|-‎3‎tan‎60‎‎∘‎．‎ ‎20. 先化简，再求值：‎(xy-yx)⋅yx+y-1‎，其中x=‎‎2‎，y＝‎2‎．‎ ‎ 10 / 10‎ ‎21. 某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l‎1‎‎ // ‎l‎2‎，点A、B分别在l‎1‎、l‎2‎上，斜坡AB的长为‎18‎米，过点B作BC⊥‎l‎1‎于点C，且线段AC的长为‎2‎‎6‎米．‎ ‎（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）‎ ‎（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角α为‎60‎‎∘‎，过点M作MN⊥‎l‎1‎于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？‎ ‎22. 近几年，国内快递业务快速发展，由于其便捷、高效，人们越来越多地通过快递公司代办点来代寄包裹．某快递公司某地区一代办点对‎60‎天中每天代寄的包裹数与天数的数据（每天代寄包裹数、天数均为整数）统计如下：‎ ‎（1）求该数据中每天代寄包裹数在‎50.5∼200.5‎范围内的天数；‎ ‎（2）若该代办点对顾客代寄包裹的收费标准为：重量小于或等于‎1‎千克的包裹收费‎8‎元；重量超‎1‎千克的包裹，在收费‎8‎元的基础上，每超过‎1‎千克（不足‎1‎千克的按‎1‎千克计算）需再收取‎2‎元．‎ ‎①某顾客到该代办点寄重量为‎1.6‎千克的包裹，求该顾客应付多少元费用？‎ ‎②这‎60‎天中，该代办点为顾客代寄的包表中有一部分重量超过‎2‎千克，且不超过‎5‎千克．现从中随机抽取‎40‎件包裹的重量数据作为样本，统计如下：‎ ‎ 10 / 10‎ 重量G（单位：千克）‎ ‎20)‎的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为‎5‎，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝‎1‎．‎ ‎（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；‎ ‎（2）若‎△OAB为等腰直角三角形，‎∠AOB＝‎90‎‎∘‎，其面积小于‎3‎．‎ ‎①求证：‎△OAE≅△BOF；‎ ‎②把‎|x‎1‎-x‎2‎|+|y‎1‎-y‎2‎|‎称为M(x‎1‎, y‎1‎)‎，N(x‎2‎, y‎2‎)‎两点间的“ZJ距离”，记为d(M, N)‎，求d(A, C)+d(A, B)‎的值．‎ ‎ 10 / 10‎ ‎26. 如图所示，二次函数y＝ax‎2‎+bx+c(a>0)‎的图象（记为抛物线Γ）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为x‎1‎，x‎2‎，且‎01‎，故重量超过了‎1kg，‎ 除了付基础费用‎8‎元，还需要付超过‎1k部分‎0.6kg的费用‎2‎元，‎ 则该顾客应付费用为‎8+2‎＝‎10‎元；‎ ‎②‎(12×15+14×10+15×16)÷40‎＝‎14‎元．‎ 所以这‎40‎件包裹收取费用的平均数为‎14‎元．‎ ‎23.证明：∵ ‎△ABF≅△CBE，‎ ‎∴ ‎∠ABF＝‎∠CBE，‎ ‎∵ ‎∠ABF+∠CBF＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠CBF+∠CBE＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠EBF＝‎90‎‎∘‎；‎ ‎∵ ‎△ABF≅△CBE，‎ ‎∴ ‎∠AFB＝‎∠CEB，‎ ‎∵ ‎∠FGA＝‎∠EGB，‎ ‎∴ ‎∠FAC＝‎∠EBF＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∵ 正方形边长为‎1‎，CE＝‎2‎．‎ ‎∴ AC=‎‎2‎，AF＝CE＝‎2‎．‎ ‎∴ tan∠AFC=ACAF=‎‎2‎‎2‎．‎ ‎24.证明：连接OC，如图①，‎ ‎∵ AB是‎⊙O的直径，‎ ‎∴ ‎∠ACB＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠A+∠B＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∵ OC＝OB，‎ ‎∴ ‎∠B＝‎∠OCB，‎ ‎∵ ‎∠BCM＝‎∠A，‎ ‎∴ ‎∠OCB+∠BCM＝‎90‎‎∘‎，即OC⊥MN，‎ ‎∴ MN是‎⊙O的切线；‎ 如图②，∵ AB是‎⊙O的直径，‎⊙O的半径为‎1‎，‎ ‎∴ AB＝‎2‎，‎ ‎∵ cos∠BAC=cosα=ACAB=‎‎3‎‎4‎，即AC‎2‎‎=‎‎3‎‎4‎，‎ ‎∴ AC=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∵ ‎∠AFE＝‎∠ACE，‎∠GFH＝‎∠AFE，‎ ‎∴ ‎∠GFH＝‎∠ACE，‎ ‎∵ DH⊥MN，‎ ‎∴ ‎∠GFH+∠AGC＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∵ ‎∠ACE+∠ECD＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠ECD＝‎∠AGC，‎ 又∵ ‎∠DEC＝‎∠CAG，‎ ‎∴ ‎△EDC∽△ACG，‎ ‎∴ EDAC‎=‎ECAG，‎ ‎∴ AG⋅DE=AC⋅CE=‎3‎‎2‎×‎5‎‎3‎=‎‎5‎‎2‎．‎ ‎ 10 / 10‎ ‎25.∵ 点E为线段OC的中点，OC＝‎5‎，‎ ‎∴ OE=‎1‎‎2‎OC=‎‎5‎‎2‎，即：E点坐标为‎(0,‎5‎‎2‎)‎，‎ 又∵ AE⊥y轴，AE＝‎1‎，‎ ‎∴ A(1,‎5‎‎2‎)‎，‎ ‎∴ k=1×‎5‎‎2‎=‎‎5‎‎2‎．‎ ‎①在‎△OAB为等腰直角三角形中，AO＝OB，‎∠AOB＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠AOE+∠FOB＝‎90‎‎∘‎，‎ 又∵ BF⊥y轴，‎ ‎∴ ‎∠FBO+∠FOB＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠AOE＝‎∠FBO，‎ 在‎△OAE和‎△BOF中，‎ ‎∠AEO=∠OFB=90‎‎∠AOE=∠FBOAO=BO‎ ‎‎，‎ ‎∴ ‎△OAE≅△BOF(AAS)‎，‎ ‎②设点A坐标为‎(1, m)‎，‎ ‎∵ ‎△OAE≅△BOF，‎ ‎∴ BF＝OE＝m，OF＝AE＝‎1‎，‎ ‎∴ B(m, -1)‎，‎ 设直线AB解析式为：lAB‎:y＝kx+5‎，将AB两点代入得：‎ 则k+5=mkm+5=-1‎‎ ‎．‎ 解得k‎1‎‎=-3‎m‎1‎‎=2‎‎ ‎，k‎2‎‎=-2‎m‎2‎‎=3‎‎ ‎．‎ 当m＝‎2‎时，OE＝‎2‎，OA=‎‎5‎，S‎△AOB‎=‎5‎‎2‎<3‎，符合；‎ ‎∴ d(A, C)+d(A, B)‎＝AE+CE+(BF-AE)+(OE+OF)‎＝‎1+CE+OE-1+OE+1‎＝‎1+CE+2OE＝‎1+CO+OE＝‎1+5+2‎＝‎8‎，‎ 当m＝‎3‎时，OE＝‎3‎，OA=‎‎10‎，S‎△AOB＝‎5>3‎，不符，舍去；‎ 综上所述：d(A, C)+d(A, B)‎＝‎8‎．‎ ‎26.由题意得：y＝ax‎2‎-3x+a，‎ ‎∵ 函数过点‎(1, -1)‎，‎ ‎∴ a-3+a＝‎-1‎，‎ ‎∴ a＝c＝‎1‎，‎ ‎∴ y＝x‎2‎‎-3x+1‎；‎ 由题意，一元二次方程ax‎2‎+bx+c＝‎0‎的判别式‎△‎＝‎4‎．‎ ‎∴ ‎△‎＝b‎2‎‎-4ac＝‎4‎，‎ ‎∴ ‎4ac＝b‎2‎‎-4‎，‎ 在函数y‎1‎‎=ax‎2‎+(b+1)x+c中，‎△‎‎1‎‎=(b+1‎)‎‎2‎-4ac=(b+1‎)‎‎2‎-(b‎2‎-4)=2b+5‎，‎ ‎∵ b<-‎‎5‎‎2‎，‎ ‎∴ ‎2b+5<0‎，‎ 即函数图象与x轴没有交点；‎ 因为函数顶点在直线l上，则有‎4ac-‎b‎2‎‎4a‎=-1‎，‎ 即b‎2‎‎-4ac＝‎4a①，‎ ‎∵ AB‎2‎=‎c‎2‎‎-2c+6‎c，‎ ‎∴ ‎(x‎2‎-x‎1‎‎)‎‎2‎=‎c‎2‎‎-2c+6‎c，‎ ‎ 10 / 10‎ 即‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4x‎1‎x‎2‎=‎c‎2‎‎-2c+6‎c，‎ ‎∴ b‎2‎‎-4aca‎2‎‎=‎c‎2‎‎-2c+6‎c，‎ 由①得：‎4‎a‎=‎c‎2‎‎-2c+6‎c②，‎ ‎∵ ‎∠OAP＝‎∠DAB，‎ ‎∴ ‎∠OAP＝‎∠OPB，‎ ‎∵ ‎∠OAP＝‎∠OBP+∠APB，‎∠OPB＝‎∠OPA+∠APB，‎ ‎∴ ‎∠OBP＝‎∠OPA，‎ 则‎△OAP∽△OPB．‎ ‎∴ OAOP‎=‎OPOB，‎ ‎∴ OA⋅OB＝OP‎2‎，‎ ‎∴ x‎1‎x‎2‎‎=(-x‎0‎‎)‎‎2‎+(-1‎‎)‎‎2‎．‎ ‎∴ ca‎=x‎0‎+1‎，‎ ‎∴ x‎0‎‎=ca-1‎．‎ 由②得：x‎0‎‎=c‎2‎‎-2c+6‎‎4‎-1‎，‎ ‎∴ x‎0‎‎=‎1‎‎4‎(c-1‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎4‎，‎ ‎∴ 当c＝‎1‎时，‎(x‎0‎‎)‎min=‎‎1‎‎4‎．‎ ‎ 10 / 10‎