人教版中考数学二轮复习专题练习上函数中的面积问题

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人教版中考数学二轮复习专题练习上函数中的面积问题

函数中的面积问题 ‎1.如图,在直角梯形中,,,‎ ‎,,.动点都从点出发,点沿方向做匀速运动,点沿方向做匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.‎ ‎(1)求的长;‎ ‎(2)若点以速度运动,点以的速度运动,连接,设面积为,点运动的时间为,求与的函数关系式,并写出的取值范围;‎ ‎(3)若点的速度仍是,点的速度为,要使在运动过程中出现,请你直接写出的取值范围.‎ 解析:(1)过点作,垂足为点,‎ 则有,‎ ‎∴‎ 在中,.‎ ‎(2)当点运动的时间为,则.‎ ‎①当在上时,过点作,垂足为点,‎ 则由点的速度为,得.‎ 又∵,,‎ ‎∴.‎ ‎∴在中,.‎ 又∵,‎ ‎∴‎ 当运动到点时所需要的时间 ‎∴.‎ ‎②当在上时,过点作,垂足为点,‎ 则,.‎ ‎∴‎ 当运动到点时所需要的时间 ‎∴‎ 综合上述,所求的函数关系式是:.‎ ‎(3)要使运动过程中出现,的取值范围是.‎ ‎2.如图,,点在的两边上,,,连接.点从点出发,以每秒个单位长度的速度沿方向运动,到点停止.当点与两点不重合时,作交于,作于.为射线上一点,且.设点的运动时间为(秒).‎ ‎(1)用含有的代数式表示的长.‎ ‎(2)求点与点重合时的值.‎ ‎(3)当点在线段上时,设四边形与四边形重叠部分图形的面积为(平方单位).求与之间的函数关系式.‎ ‎(4)当为某个值时,沿将以为顶点的四边形剪开,得到两个图形,用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形.请直接写出所有符合上述条件的值.‎ 解析:(1)由题意知,,四边形为矩形.‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎(2)由题意知,,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 当点与点重合时,,.解得.‎ ‎(3)当点与点重合时,,,得.‎ 当时,如图①,.‎ 当时,如图②,‎ ‎∴与之间的函数关系式为 ‎(4)‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由,即可得出比例式从而得出表示的长.‎ ‎(2)根据当点与点重合时,,即可得出答案.‎ ‎(3)分和列出与之间的函数关系式.‎ ‎(4)根据三角形边长相等得出答案:′‎ 如图③,当时,.解得.为拼成的三角形;‎ 如图④,当点与点重合时,.解得.为拼成的三角形;‎ 如图⑤,当时,.解得.为拼成的三角形.‎ ‎3.如图,梯形中,,,于点,,,.从初始时刻开始,动点分别从点同时出发,运动速度均为,动点沿的方向运动,到点停止;动点沿的方向运动,到点停止,设运动时间为,的面积为,(这里规定:线段是面积为的三角形)‎ 解答下列问题:‎ ‎(1)当时,_____;当时,_______ (2)当时,求与之间的函数关系式.‎ ‎(3)当动点在线段上运动时,求出时的值.‎ ‎(4)直接写出在整个运动过程中,使与四边形的对角线平行的所有的值.‎ 解析:(1);(2)分三种情况:‎ ‎①当时(如图),‎ ‎②当时(如图),‎ ‎③当时(如图),‎ ‎(3)当动点在线段上运动时, ‎ ‎∵,‎ ‎∴,即,解得.‎ ‎∴当时,‎ ‎(4)‎ ‎4.如图,矩形中,,点是的中点,点在的延长线上,且.一动点从点出发,以每秒个单位长度的速度沿匀速运动,到达点后,立即以原速度沿返回;另一动点从点发发,以每秒个单位长度的速度沿射线匀速运动,点同时出发,当两点相遇时停止运动,在点的运动过程中,以为边作等边,使和矩形在射线的同侧.设运动的时间为秒().‎ ‎(1)当等边的边恰好经过点时,求运动时间的值;‎ ‎(2)在整个运动过程中,设等边和矩形重叠部分的面积为,请直接写出与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围;‎ ‎(3)设与矩形的对角线的交点为,是否存在这样的,使是等腰三角形?若存大,求出对应的的值;若不存在,请说明理由.‎ 解析:(1)当边恰好经过点时,,,‎ 在中,,,即 解得,即 ‎∴当边恰好经过点时,‎ ‎(2)当时,;‎ 当时,;‎ 当时,;‎ 当时,‎ ‎(3)存在;理由如下:‎ 在中,,∴.‎ 又∵,∴.‎ ‎∴或.‎ ‎1)当时,(如图②),‎ 过点作于,则,‎ 在中,,即,∴,即或 ‎∴或 ‎2)当时,(如图③)‎ 则,又∵,‎ ‎∴,.‎ 又∵,∴,.‎ 即或.‎ ‎∴或.‎ ‎3)当时,(如图④),‎ 则,‎ ‎∴,∴点和点重合.‎ ‎∴,即或,‎ ‎∴(舍去)或.‎ 综上所述,存在个这样的值,使是等腰三角形,即,,,,‎ ‎5.如图,在平行四边形中,,,,一动点从出发以每秒的速度沿的路线匀速运动,过点作直线,使于点,‎ ‎(1)当点运动时,设直线与相交于点,求的面积.‎ ‎(2)当点运动时,另一动点也从出发沿的路线运动,在上以每秒的速度匀速运动,过作直线,使,设点运动的时间为秒(),直线与截平行四边形所得图形的面积为,求关于的函数关系式.‎ 解析:(1)当点运动时,,由 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎(2)∵点速度为,点在上的速度为 又,‎ ‎∴‎ ‎∴点在上运动秒钟,而点晚秒钟开始运动 ‎∴点在上运动秒钟 ‎①当时,点与点都在上运动,设与交于点,与交于点,如图②‎ 则 ‎,‎ ‎∴此时两平行线截平行四边形的面积为:‎ ‎②当时,点在运动,点仍在上运动,如图③‎ 设与交于点,与交于点,‎ 则 而 ‎∴‎ ‎③当,点和点都在上运动,如图④‎ 则 ‎∴‎ ‎∴此时两平行线截平行四边形的面积为:‎ ‎∴代入化简得:‎ ‎6.菱形的对角线相交于点,,,动点在线段上从点向点运动,于点,四边形关于对称,四边形与四边形关于对称.设菱形被这两个四边形盖住部分的面积为,未被盖住部分的面积为,.‎ ‎(1)用含的代数式分别表示;‎ ‎(2)若,求的值.‎ 解析:(1)①当点在上时,如图1所示.‎ ‎∵四边形是菱形,,,‎ ‎∴,,,‎ 且.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 在中,‎ ‎∵,,,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵四边形关于对称,四边形与四边形关于对称,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎②当点在上时,如图2所示.‎ ‎∵,,‎ ‎∴.‎ 在中,‎ ‎∵,,.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∵四边形关于对称,四边形与四边形关于对称,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 综上所述:‎ 当点在上时,,;‎ 当点在上时,,.‎ ‎(2)①当点在上时,.‎ ‎∵,,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 解得:,.‎ ‎∵,,‎ ‎∴当点在上时,的情况不存在.‎ ‎②当点在上时,.‎ ‎∵,,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 解得:,.‎ ‎∵,,‎ ‎∴.‎ 综上所述:若,则的值为 ‎7.如图,已知矩形的边长,,点是边上的一动点(异于),是边上的任意一点.连、,过作交AQ于,作交于.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)设的长为,试求的面积关于的函数关系式,并求当在何处时,取得最大值?最大值为多少?‎ ‎(3)当在何处时,的周长最小?(须给出确定在何处的过程或方法,不必给出证明)‎ 解析:(1)证明:∵,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎(2)作中边点的高 ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴,即 ‎∴‎ ‎∵,,‎ ‎∴,即 又∵,,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又∵,‎ ‎∴,‎ 即.‎ 又∵,,‎ ‎∴四边形是平行四边形 ‎∴.‎ ‎∴‎ 又∵,‎ ‎∴当,即是的中点时,取得最大值.‎ ‎(3)作关于直线的对称点,连交于,则这个点就是使周长最小的点,此时是的中点.‎ ‎8.已知:,都是等边三角形,是与的中点,连接.‎ ‎(1)如图1,当与在同一条直线上时,直接写出与的数量关系和位置关系;‎ ‎(2)固定不动,将图1中的绕点顺时针旋转()角,如图2所示,判断(1)中的结论是否仍然成立,若成立,请加以证明;若不成立,说明理由;‎ ‎(3)固定不动,将图1中的绕点旋转()角,作于点.设,线段,,,所围成的图形面积为.当时,求关于的函数关系式,并写出相应的的取值范围.‎ 解析:(1),.‎ ‎(2)证明:连接.‎ 在等边三角形中,为的中点,‎ ‎∴,,.‎ ‎∴.‎ 同理,,.‎ ‎∴,.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 延长交于点,交于点.‎ ‎∴,.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎(3)解:(ⅰ)当绕点顺时针旋转()角时,‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴().‎ ‎(ⅱ)当绕点逆时针旋转()角时,可证,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴().‎ 综上,().‎ ‎9.如图,在中,,,点在射线上,交射线于点,点在的延长线上,且,以为邻边作,连接.‎ ‎(1)当时,求的面积;‎ ‎(2)设,与重叠部分的面积为,求与的函数关系式;‎ ‎(3)当点在线段上时,若是等腰三角形,求的长.‎ 解析:(1)作于 在中,,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵,,‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎(2)设交于点 ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∵‎ ‎①当点在线段上时 ‎∴‎ ‎②当点在延长线上时,则 ‎∴‎ 综合得:‎ ‎(3)∵,‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 作于,于 在中,‎ ‎,,‎ ‎∴,,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 在中,,‎ ‎①若,则,解得 ‎②若,则 解得(舍去),‎ 综上所述,若是等腰三角形,的长为或 ‎10.已知:如图①,在平行四边形中,,.以为斜边在平行四边形的内部作,,.‎ ‎(1)求的周长;‎ ‎(2)若以每秒个单位长度的速度沿向右平行移动,得到,当与重合时停止移动.设移动时间为秒,与重叠部分的面积为,请直接写出与之间的函数关系式,并写出的取值范围;‎ ‎(3)如图②,在(2)中,当停止移动后得到,将饶点按顺时针方向旋转,在旋转过程中,的对应点为,的对应点为,设直线与直线交于点、与直线交于点.是否存在这样的,使为等腰三角形?若存在,求出的度数;若不存在,请说明理由.‎ 解析:(1)在中,‎ ‎∴,‎ ‎∴的周长为 ‎(2)‎ ‎(3)存在,使为等腰三角形 理由如下:经探究,得 故当为等腰三角形时,也为等腰三角形 ‎①当时(如答图①)‎ 则,∴‎ 即,∴‎ ‎②当时,则 若点在线段的延长线上时(如答图②)‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ 即 若点在线段的延长线上时(如答图③)‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎③当时(如答图④),‎ 则 ‎∵,∴‎ 又∵点在直线上,‎ ‎∴点与点重合 此时三点不能构成三角形 综上所述,的度数为或或时,为等腰三角形 ‎11.如图1,在梯形中,,,,,‎ ‎,边长为的正方形的边在直线上,且与重合,并沿直线以每秒个单位长度的速度向右运动,当与重合时停止运动,设运动时间为秒.‎ ‎(1)当正方形的顶点分别落在线段和上时,求运动时间和的值;‎ ‎(2)在整个运动过程中,设正方形与重合部分的面积为,直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围;‎ ‎(3)如图2,将沿翻折,得到,取的中点,连接、、,是否存在某一时刻,使是直角三角形,若存在,求出相应的值;若不存在,请说明理由.‎ 解析:(1)当点落在线段上时,设交于,‎ 则 ‎∴,即 ‎∴‎ 当点落在线段上时过作于,‎ 则 ‎∵,∴‎ ‎∴‎ ‎∴,即 ‎∴‎ ‎(2)‎ ‎(3)连接,过作于 由面积法可得 易证,得,‎ ‎①若 过作的平行线,作于,于 易证,∴‎ ‎∴,解得 ‎②若 作于,于 易证,∴‎ ‎∴,解得 ‎③若 过作的平行线,作于,于 易证,∴‎ ‎,解得 综上所述,存在时刻,使是直角三角形 或或或 ‎12.已知,在矩形中,为边上一点,,,,为线段上一点,,连接.如图①,现有一张硬质纸片,,,,斜边与边在同一直线上,点与点重合,点在线段上.如图②,从图①的位置出发,以每秒个单位的速度沿向点匀速移动,同时,点从点出发,以每秒个单位的速度沿向点匀速移动,点为直线与线段的交点,连接.当点到达终点时,和点同时停止运动.设运动时间为秒,解答下列问题:‎ ‎(1)在整个运动过程中,当点在线段上时,求的值.‎ ‎(2)在整个运动过程中,是否存在点,使是等腰三角形.若存在,求出的值;若不存在,说明理由.‎ ‎(3)在整个运动过程中,设与重叠部分的面积为,请直接写出与之间的函数关系式以及自变量的取值范围.‎ 解析:(1)在中,,‎ 由勾股定理,得.‎ ‎∵,,‎ ‎∴,‎ ‎∴当点运动到上时,点与点重合,运动路程为,‎ 又∵运动速度为每秒一个单位长度,‎ ‎∴.‎ ‎(2)存在满足条件的.理由如下:‎ 在中,,‎ 由勾股定理,得:.‎ 由(1)可知,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 又∵,‎ ‎∴‎ ‎∴,即,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎①当时,如图①,过点作于点,得.‎ 由,得,即,解得.‎ ‎②当时,如图②,由,解得.‎ ‎③当时,如图③,过点作于,可得.‎ 由,得,即,解得.‎ 综上所述,当或或时,△APQ是等腰三角形.‎ ‎(3)‎ 当时,重合部分是一个直角三角形,其斜边长为,两直角边分别长为和,;‎ 当时,重合部分是一个四边形,如图①所示,设与交于点,则是一个等腰三角形,底边,作于点,则,由,可得高,‎ ‎∴的面积为.‎ ‎∴;‎ 当时,重合部分是一个四边形,此时点在内部,如图②所示,;‎ 当时,重合部分是一个三角形,此时点在内部,‎ ‎,,‎ 此时,而的面积为,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎
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