2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：垂径定理的运用（三）

2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：垂径定理的运用（三）

2021 年九年级数学中考复习专题之圆的考察： 垂径定理的运用（三） 一．选择题 1．如图，在平台上用直径为 100mm 的两根圆钢棒嵌在大型工件的两侧，测量大的圆形工件的直径 D， 测得两根圆钢棒与地的两个接触点之间的距离为 400mm，则工件直径 D（mm）用科学记数法可表示 为（ ）mm． A．4×104 B．0.4×105 C．20000 D．4×102 2．（古题今解）“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深﹣寸，锯道长一尺，问径几何”．这 是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于点 E， CE＝1 寸，AB＝10 寸，则直径 CD 的长为（ ） A．12.5 寸 B．13 寸 C．25 寸 D．26 寸 3．如图，用一块直径为 a 的圆桌布平铺在对角线长为 a 的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等， 则桌布下垂的最大长度 x 为（ ） A． a B． a C．（ ﹣1）a D．（2﹣ ）a 4．如图，底面半径为 5cm 的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为 8cm，则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为（ ） A．2cm B．3cm C．2cm 或 3cm D．2cm 或 8cm 5．每位同学都能感受到日出时美丽的景色．如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与 海平线交于 A、B 两点，他测得“图上”圆的半径为 5 厘米，AB＝8 厘米，若从目前太阳所处位置到太 阳完全跳出海面的时间为 16 分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ） A．0.4 厘米/分 B．0.5 厘米/分 C．0.6 厘米/分 D．0.7 厘米/分 6．如图是一个小孩荡秋千的示意图，秋千链子 OB 的长度为 2 米，当秋千向两边摆动时，摆角∠BOD 恰好为 60°，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差 AC 是 （ ） A．（2﹣ ）米 B． 米 C．（2﹣ ）米 D． 米 7．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大 小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于 E，CE＝1 寸，AB＝10 寸，则直径 CD 的长为（ ） A．12.5 寸 B．13 寸 C．25 寸 D．26 寸 8．圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，AB＝8m，∠CAD＝30°，则大棚高度 CD 约为（ ） A．2.0m B．2.3m C．4.6m D．6.9m 9．如图所示，一种花边是由如图弧 ACB 组成的，弧 ACB 所在圆的半径为 5，弦 AB＝8，则弧形的高 CD 为（ ） A．2 B． C．3 D． 10．小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为 1）的一块碎片到玻璃店， 配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ） A．2 B． C．2 D．3 二．填空题 11．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知 大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不 知其大小．用锯去锯这木材，锯口深 ED＝1 寸，锯道长 AB＝1 尺（1 尺＝10 寸）．问这根圆形木材 的直径是 寸． 12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是： 弧田面积＝ （弦×矢+矢 2）．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦” 指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径 OC⊥弦 AB 时， OC 平分 AB）可以求解．现已知弦 AB＝8 米，半径等于 5 米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面 积为 平方米． 13．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称 现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之， 深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口 深为 1 寸，锯道 AB＝1 尺（1 尺＝10 寸），则该圆材的直径为 寸． 14．如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦 AB 与内圆相切于点 C，量得 AB＝8cm、点 C 与 的 中点 D 的距离 CD＝2cm．则此圆环形玉片的外圆半径为 cm． 15．如图，公园内有一个半径为 20 米的圆形草坪，A，B 是圆上的点，O 为圆心，∠AOB＝120°，从 A 到 B 只有路 ，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路 AB．通过计算可知，这些 市民其实仅仅少走了 步（假设 1 步为 0.5 米，结果保留整数）．（参考数据： ≈1.732，π 取 3.142） 16．如图，一块破残的轮片上，点 O 是这块轮片的圆心，AB＝120mm，C 是 上的一点，OC⊥AB， 垂足为 D，CD＝20mm，则原轮片的半径是 mm． 三．解答题 17．如图所示，该小组发现 8 米高旗杆 DE 的影子 EF 落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们 开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高 1.6 米，测得其影长为 2.4 米，同时测得 EG 的长为 3 米，HF 的长为 1 米，测得拱高（弧 GH 的中点到弦 GH 的距离，即 MN 的长）为 2 米，求小桥所 在圆的半径． 18．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为 O，直径 AB 是河底线，弦 CD 是水位线，CD∥AB， 且 CD＝24 m，OE⊥CD 于点 E．已测得 sin∠DOE＝ ． （1）求半径 OD； （2）根据需要，水面要以每小时 0.5m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？ 19．“五一”节，小雯和同学一起到游乐场玩大型摩天轮，摩天轮的半径为 20m，匀速转动一周需要 12min， 小雯所坐最底部的车厢（离地面 0.5m）． （1）经过 2min 后小雯到达点 Q，如图所示，此时他离地面的高度是多少？ （2）在摩天轮滚动的过程中，小雯将有多长时间连续保持在离地面不低于 30.5m 的空中？ 20．高致病性禽流感是比 SARS 病毒传染速度更快的传染病． （1）某养殖场有 8 万只鸡，假设有 1 只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第 2 天 将新增病鸡 10 只，到第 3 天又将新增病鸡 100 只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问：到第 4 天， 共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？ （2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点 3 千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点 3 至 5 千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封 闭管理．现有一条毕直的公路 AB 通过禽流感病区，如图，O 为疫点，在扑杀区内的公路 CD 长为 4 千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？ 参考答案 一．选择题 1．解：根据图形可知，两圆相切， 过点 O 作 OP 垂直 O1O2 于 P，则：PO1＝PO2＝200 PO＝R﹣50 根据勾股定理可得：2002+（R﹣50）2＝（R+50）2 解得：R＝200 ∴D＝2R＝400＝4×102． 故选：D． 2．解：∵弦 AB⊥CD 于点 E，CE＝1，AB＝10，∴AE＝5，OE＝OA﹣1 在 Rt△OAE 中，OA2＝AE2+OE2，即：OA2＝（OA﹣1）2+52，解得：OA＝13 ∴直径 CD＝2OA＝26 寸 故选：D． 3．解：如图，正方形 ABCD 是圆内接正方形，BD＝a， 点 O 是圆心，也是正方形的对角线的交点，则 OB＝ ， △BOC 是等腰直角三角形， 作 OF⊥BC，垂足为 F，由垂径定理知，点 F 是 BC 的中点， ∴OF＝OBsin45°＝ ， ∴x＝EF＝OE﹣OF＝ a． 故选：B． 4．解：如图，已知 OA＝5cm，AB＝8cm，OC⊥AB 于 D，求 CD 的长， 理由如下：当油面位于 AB 的位置时 ∵OC⊥AB 根据垂径定理可得，∴AD＝4cm， 在直角三角形 OAD 中， 根据勾股定理可得 OD＝3cm， 所以 CD＝5﹣3＝2cm； 当油面位于 A'B'的位置时，CD′＝5+3＝8cm． 故选：D． 5．解：作垂直 AB 的直径交圆为 C，D 交 AB 于 E，利用相交弦定理，得 AE•BE＝CE•（10﹣CE），解 得 CE＝2 或 8， 从图中可知这里选答案为 8， 从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为 16 分钟，则“图上”太阳升起的速度为 8÷16＝0.5 （分钟）． 故选：B． 6．解：∵点 A 为弧 BD 的中点，O 为圆心 由垂径定理知：BD⊥OA，BC＝DC，弧 AB＝弧 AD ∵∠BOD＝60° ∴∠BOA＝30° ∵OB＝OA＝OD＝2 ∴CB＝1 在 Rt△OBC 中，根据勾股定理，知 OC＝ ∴AC＝OA﹣OC＝2﹣ 故选：A． 7．解：设直径 CD 的长为 2x，则半径 OC＝x， ∵CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于 E，AB＝10 寸， ∴AE＝BE＝ AB＝ ×10＝5 寸， 连接 OA，则 OA＝x 寸，根据勾股定理得 x2＝52+（x﹣1）2， 解得 x＝13， CD＝2x＝2×13＝26（寸）． 故选：D． 8．解：根据 OC⊥AB，则 AD＝ AB＝4m． 在直角△ACD 中，∠CAD＝30°，则 CD＝AD•tan30°＝ ≈2.3m． 则大棚高度 CD 约为 2.3m． 故选：B． 9．解：如图所示，AB⊥CD，根据垂径定理，BD＝ AB＝ ×8＝4． 由于圆的半径为 5，根据勾股定理，OD＝ ＝ ＝3，CD＝5﹣3＝2． 故选：A． 10．解：如图所示，作 AB，BD 的中垂线，交点 O 就是圆心． 连接 OA、OB， ∵OC⊥AB，OA＝OB ∴O 即为此圆形镜子的圆心， ∵AC＝1，OC＝2， ∴OA＝ ＝ ＝ ． 故选：B． 二．填空题（共 6 小题） 11．解：由题意可知 OE⊥AB， ∵OE 为⊙O 半径， ∴ 尺＝5 寸， 设半径 OA＝OE＝r 寸， ∵ED＝1， ∴OD＝r﹣1， 则 Rt△OAD 中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2， 解得：r＝13， ∴木材直径为 26 寸； 故答案为：26． 12．解：∵弦 AB＝8 米，半径 OC⊥弦 AB， ∴AD＝4， ∴OD＝ ＝3， ∴OA﹣OD＝2， ∴弧田面积＝ （弦×矢+矢 2）＝ ×（8×2+22）＝10， 故答案为：10． 13．解：设⊙O 的半径为 r． 在 Rt△ADO 中，AD＝5 寸，OD＝r﹣1，OA＝r， 则有 r2＝52+（r﹣1）2， 解得 r＝13 寸， ∴⊙O 的直径为 26 寸， 故答案为：26． 14．解：如图，连接 OA， ∵CD＝2cm，AB＝8cm， ∵CD⊥AB， ∴OD⊥AB， ∴AC＝ AB＝4cm， ∴设半径为 r，则 OD＝r﹣2， 根据题意得：r2＝（r﹣2）2+42， 解得：r＝5． ∴这个玉片的外圆半径长为 5cm． 故答案为：5． 15．解：作 OC⊥AB 于 C，如图， 则 AC＝BC， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B＝ （180°﹣∠AOB）＝ （180°﹣120°）＝30°， 在 Rt△AOC 中，OC＝ OA＝10，AC＝ OC＝10 ， ∴AB＝2AC＝20 ≈69（步）； 而 的长＝ ≈84（步）， 的长与 AB 的长多 15 步． 所以这些市民其实仅仅少走了 15 步． 故答案为 15． 16．解：在直角△OAD 中，设半径是 x，则 OA＝x，OD＝x﹣20，AD＝ AB＝60mm． 根据勾股定理定理得到： x2＝（x﹣20）2+602， 解得 x＝100mm． 所以原轮片的半径是 100mm． 三．解答题（共 4 小题） 17．解：∵小刚身高 1.6 米，测得其影长为 2.4 米， ∴8 米高旗杆 DE 的影子为：12m， ∵测得 EG 的长为 3 米，HF 的长为 1 米， ∴GH＝12﹣3﹣1＝8（m）， ∴GM＝MH＝4m． 如图，设小桥的圆心为 O，连接 OM、OG． 设小桥所在圆的半径为 r， ∵MN＝2m， ∴OM＝（r﹣2）m． 在 Rt△OGM 中，由勾股定理得： ∴OG2＝OM2+42， ∴r2＝（r﹣2）2+16， 解得：r＝5， 答：小桥所在圆的半径为 5m． 18．解：（1）∵OE⊥CD 于点 E，CD＝24， ∴ED＝ CD＝12， 在 Rt△DOE 中， ∵sin∠DOE＝ ＝ ， ∴OD＝13（m）； （2）OE＝ ＝ ＝5， ∴将水排干需：5÷0.5＝10（小时）． 19．解：（1）过点 Q 作 QB⊥OA，垂足为 B，交圆于点 C， 由题意知，匀速转动一周需要 12min，经过 2min 后转 周， ∴∠AOQ＝ ×360°＝60°， ∴OB＝OQcos60°＝ OQ＝ ×20＝10，BT＝OT﹣OB＝10，AB＝BT+AT＝10.5， 此时他离地的高度为 10.5m； （2）作 GD⊥AO，交 AO 的延长线于点 M，由题意知 AM＝30.5，OM＝10， ∴∠GOD＝2∠DOM＝120°， 此时他离地的高度为 10.5+20＝30.5m， 所以他有 12÷3＝4 分时间在离地面不低于 30.5m 的空中． 20．解：（1）由题意可知，到第 4 天得禽流感病鸡数为 1+10+100+1000＝1111， 到第 5 天得禽流感病鸡数为 10000+1111＝11111 到第 6 天得禽流感病鸡数为 100000+11111＝111111＞80000 所以，到第 6 天所有鸡都会被感染； （2）过点 O 作 OE⊥CD 交 CD 于 E，连接 OC、OA． ∵OE⊥CD， ∴CE＝ CD＝2 在 Rt△OCE 中，OE2＝32﹣22＝5（2 分） 在 Rt△OAE 中， ， ∴AC＝AE﹣CE＝ ∵AC＝BD ∴AC+BD＝ ． 答：这条公路在该免疫区内有（ ）千米．