2020九年级数学上册第1章一元二次方程

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2020九年级数学上册第1章一元二次方程

第1章 一元二次方程 ‎1.4 第3课时 动态几何问题 知识点 1 三角形中的动点问题 ‎1.教材“问题‎6”‎变式如图1-4-7,在△ABC中,AC=‎50 m,BC=‎40 m,∠C=90°,点P从点A开始沿AC边向点C以‎2 m/s的速度匀速移动,同时,另一点Q由点C开始以‎3 m/s的速度沿着射线CB匀速移动,当△PCQ的面积等于‎300 m2‎时,运动时间为(  )‎ A.5秒 B.20秒 ‎ C.5秒或20秒 D.不确定 图1-4-7‎ ‎   ‎ 图1-4-8‎ ‎2.如图1-4- 8,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=‎16 cm,AD为BC边上的高,动点P从点A出发,沿A→D的方向以 cm/s的速度向点D运动,四边形PDFE为矩形,其中点E在AC上,点F在BC上.设△ABP的面积为S1,矩形PDFE的面积为S2,运动的时间为t s,则t=________时,S1=2S2.‎ ‎3.如图1-4-9,在△ABC中,∠C=90°,AC=‎8 cm,AB=‎10 cm,点P,Q同时由A,C两点出发,分别沿AC,CB方向向点C,B移动,它们的速度都是‎1 cm/s,经过几秒,P,Q两点相距‎2 cm?并求此时△PCQ的面积.‎ 图1-4-9‎ 知识点 2 矩形中的动点问题 ‎4.如图1-4-10,在矩形ABCD中,AB=‎16 cm,AD=‎6 cm,‎ 7‎ 图1-4-10‎ 动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以‎2 cm/s的速度向点B移动,到达点B后停止运动,点Q以‎1 cm/s的速度向点D移动,到达点D后停止运动,P,Q两点出发后,经过________s,线段PQ的长是‎10 cm.‎ ‎5.如图1-4-11,在矩形ABCD中,AB=‎6 cm,BC=‎8 cm,点E从点A出发,沿AB方向以‎1 cm/s的速度向点B移动,同时,点F从点B出发,沿BC方向以‎2 cm/s的速度向点C移动,当点F到达点C时,两点同时停止运动.经过几秒后△EBF的面积为‎5 cm2?‎ 图1-4-11‎ ‎6. [2016·兴化校级期末] 如图1-4-12,在矩形ABCD中,AB=‎6 cm,BC=‎12 cm,点P从点A出发沿AB边以‎1 cm/s的速度向点B移动;同时,点Q从点B出发沿BC边以‎2 cm/s的速度向点C移动,几秒钟后△DPQ的面积等于‎28 cm2?‎ 图1-4-12‎ ‎ ‎ ‎7.如图1-4-13,甲、乙两物体分别从正方形广场ABCD的顶点B,C同时出发,甲由点C向点D运动,乙由点B向点C运动,图中点F,E分别对应甲、乙某时刻的位置,甲的速度为‎1 km/min,乙的速度为‎2 km/min,当乙到达点C时,甲随之停止运动.若正方形广场的周长为‎40 km.‎ ‎(1)几分钟后两物体相距‎2 km?‎ ‎(2)△CEF的面积能否等于‎7 km2?请说明理由.‎ 7‎ 图1-4-13‎ ‎8.如图1-4-14所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A,B沿顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动,甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l=t2+t(t≥0),乙以‎4 cm/s的速度匀速运动,半圆的长度为‎21 cm.‎ ‎(1)甲运动4 s后的路程是________ cm;‎ ‎(2)求甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多长时间.‎ 图1-4-14‎ ‎9.如图1-4-15所示,在平面直角坐标系中,四边形OACB为矩形,OA=‎3 cm,点C的坐标为(3,6),点P,Q分别从点O,A同时出发,若点P从点O沿OA向点A以‎1 cm/s的速度运动,点Q从点A沿AC以‎2 cm/s的速度运动,当点P运动到点A时停止运动,点Q也随之停止运动.‎ ‎(1)经过多长时间,△PAQ的面积为‎2 cm2?‎ ‎(2)△PAQ的面积能否达到‎3 cm2?‎ ‎(3)经过多长时间,P,Q两点之间的距离为 cm?‎ 图1-4-15‎ 7‎ ‎10.如图1-4-16,在边长为‎12 cm的等边三角形ABC中,点P从点A开始沿AB边向点B以每秒‎1 cm的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒‎2 cm的速度移动.若点P,Q分别从点A,B同时出发,其中任意一点到达目的地后,两点同时停止运动.‎ ‎(1)经过6秒后,BP=________ cm,BQ=________ cm;‎ ‎(2)经过几秒后,△BPQ是直角三角形?‎ ‎(3)经过几秒后,△BPQ的面积为‎10 cm2?‎ 图1-4-16‎ 7‎ 详解详析 ‎1.C [解析] 设运动时间为t s.由题意知AP=2t,CQ=3t,∴PC=50-2t.∵PC·CQ=300,∴(50-2t)·3t=300,解得t=20或5,∴当运动时间为20 s或5 s时,△PCQ的面积为‎300 m2‎.故选C.‎ ‎2.6 [解析] ∵Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=‎16 cm,AD为BC边上的高,∴AD=BD=CD=‎8 cm.又∵AP=t cm,∴S1=AP·BD=×t×8 =8t(cm2),PD=(8 -t )cm.易知∠PAE=∠PEA=45°,∴PE=AP=t cm,∴S2=PD·PE=[(8 -t)·t]cm2.∵S1=2S2,∴8t=2(8 -t)·t,解得t=6或0(舍去).故答案是6.‎ ‎3.解:设经过x s,P,Q两点相距‎2 cm.‎ 由题意,得(8-x)2+x2=(2)2,‎ 解得x1=2,x2=6.‎ 当x=2时,S△PCQ=×(8-2)×2=6(cm2);‎ 当x=6时,S△PCQ=×(8-6)×6=6(cm2).‎ 答:经过2 s或4 s,P,Q两点相距‎2 cm,此时△PCQ的面积为‎6 cm2.‎ ‎4.8或 [解析] 连接PQ,过点Q作QM⊥AB于点M,设经过x s,线段PQ的长是‎10 cm.‎ ‎∵点P以‎2 cm/s的速度向点B移动,点Q以‎1 cm/s的速度向点D移动,‎ ‎∴PM=|16-3x|cm,QM=‎6 cm.‎ 根据勾股定理,得|16-3x|2+62=102,‎ 解得x1=8,x2=.‎ ‎5.解:设经过t s后△EBF的面积为‎5 cm2,‎ 则×2t×(6-t)=5,‎ 整理,得t2-6t+5=0,解得t1=1,t2=5.‎ ‎∵0<t≤4,∴t=5舍去.‎ 答:经过1 s后△EBF的面积为‎5 cm2.‎ ‎6.解:设x s后△DPQ的面积等于 ‎28 cm2,则△DAP,△PBQ,△QCD的面积分别为×12x,×2x(6-x),×6×(12-2x).‎ 根据题意,得6×12-×12x-×2x(6-x)-×6×(12-2x)=28,‎ 即x2-6x+8=0,‎ 解得x1=2,x2=4.‎ 答:2 s或4 s后△DPQ的面积等于‎28 cm2.‎ ‎7.解:(1)设x min后两车相距‎2 km.‎ 7‎ ‎∵正方形广场的周长为‎40 km,‎ ‎∴正方形广场的边长为‎10 km.‎ 由甲运动到点F,乙运动到点E,可知FC=x,EC=10-2x,‎ 在Rt△ECF中,x2+(10-2x)2=(2)2,‎ 解得x1=2,x2=6.‎ 当x=2时,FC=2,EC=10-4=6<10,符合题意;‎ 当x=6时,FC=6,EC=10-12=-2<0,不符合题意,舍去.‎ 答:2 min后,两物体相距‎2 km.‎ ‎(2)△CEF的面积不能等于‎7 km2.理由如下:‎ 设t min后△CEF的面积等于‎7 km2.‎ ‎∵甲的速度为‎1 km/min,乙的速度为‎2 km/min,‎ ‎∴CF=t,CE=10-2t,∴·t·(10-2t)=7,‎ 整理,得t2-5t+7=0.‎ ‎∵(-5)2-4×7<0,∴此方程无实数根,‎ ‎∴△CEF的面积不能等于‎7 km2.‎ ‎8.解:(1)当t=4时,‎ l=t2+t=8+6=14.‎ 故答案为14.‎ ‎(2)由图可知,甲、乙第一次相遇时走过的路程和为一个半圆的长度,‎ 故t2+t+4t=21,‎ 解得t=3或t=-14(不符合题意,舍去).‎ 答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了3 s.‎ ‎9 解:(1)设经过x s,△PAQ的面积为‎2 cm2.‎ 由题意,得(3-x)·2x=2,‎ 解得x1=1,x2=2.‎ 所以经过1 s或2 s,△PAQ的面积为‎2 cm2.‎ ‎(2)设经过y s,△PAQ的面积为‎3 cm2.‎ 由题意,得(3-y)·2y=3,‎ 即y2-3y+3=0,‎ 在此方程中b2-‎4ac=-3<0,‎ 所以此方程没有实数根,‎ 所以△PAQ的面积不能达到‎3 cm2.‎ ‎(3)设经过t s,P,Q两点之间的距离为 cm,‎ 则AP=(3-t)cm,AQ=2t cm.‎ 由勾股定理,得(3-t)2+(2t)2=()2,‎ 解得t1=2,t2=-(不符合题意,舍去).‎ 所以经过2 s,P,Q两点之间的距离为 cm.‎ 7‎ ‎10. (1)6 12‎ ‎(2)设经过x秒后,△BPQ是直角三角形.‎ ‎∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴AB=BC=‎12 cm,∠A=∠B=∠C=60°.‎ 由题意,知BP=(12-x)cm,BQ=2x cm.‎ ‎①当∠PQB=90°时,∠BPQ=30°,‎ ‎∴BP=2BQ,即12-x=2×2x,‎ ‎∴x=.‎ ‎②当∠QPB=90°时,∠PQB=30°,‎ ‎∴BQ=2BP,∴2x=2(12-x),∴x=6.‎ 即经过6秒或秒后,△BPQ是直角三角形.‎ ‎(3)设经过y秒后,△BPQ的面积为‎10 cm2.如图,过点Q作QD⊥AB于点D,∴∠QDB=90°,∴∠DQB=30°,∴DB=BQ=y cm.‎ 在Rt△DBQ中,由勾股定理,得DQ=y cm,‎ ‎∴=10 ,解得y1=10,y2=2.‎ ‎∵当y=10时,2y>12,故舍去,∴y=2.‎ 答:经过2秒后,△BPQ的面积为‎10 cm2.‎ 7‎
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