- 2021-11-11 发布 |
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文档介绍
初中数学中考复习课件章节考点专题突破:第三章 函数与图象 聚焦中考第三章12讲反比例函数及其图象
人教 数 学 第三章 函数及其图象 第 12 讲 反比例函数及其图象 要点梳理 1 . 概念: 函数 叫做反比例函数. 2 . 图象: 反比例函数的图象是双曲线 , 不与两坐标轴相交的两条双曲线. 要点梳理 3 . 性质 (1) 当 k > 0 时 , 其图象位于 , 在每个象限内 , y 随 x 的增大而 ; (2) 当 k < 0 时 , 其图象位于 , 在每个象限内 , y 随 x 的增大而 ; (3) 其图象是关于原点对称的中心对称图形 , 又是轴对称图形. 第一、三象限 减小 第二、四象限 增大 要点梳理 4 . 应用: 如图 , 点 A 和点 C 是反比例函数 y = k x ( k ≠ 0 ) 的图 象上任意两点 , 画 AB ⊥ x 轴于点 B , CD ⊥ y 轴于点 D , 则有 S △ AOB = S △ COD = | k | 2 ;注意根据图象所在象限来确 定 k 的符号 . 一个模型 反比例函数关系在生产、生活、科技等方面广泛应用 , 解决这类问题的关键是将实际问题数学化 , 建立反比例函数的模型 , 然后利用反比例函数的性质、图象解决问题.注意:反比例函数的图象反映的变化规律明显 , 常利用它的图象找出解决问题的方案. 一个思想 数形结合思想就是把图形与数量关系巧妙、和谐地结合起来 , 使数学问题更直观、更容易解决.这一思想在这一讲中应用非常广泛.例如借助函数的图象比较大小等. 两个防范 (1) 反比例函数中 , y 随 x 的大小而变化的情况 , 应分 x > 0 与 x < 0 两种情况讨论 , 而不能笼统地说成 “ k < 0 时 , y 随 x 的增大而增大 ” .双曲线上的点在每个象限内 , y 随 x 的变化是一致的 , 但在不同象限内的两个点比较函数值的大小时 , 当 k > 0 时 , 第一象限内的点的纵坐标都为正 , 而第三象限内的点的纵坐标值都为负;当 k < 0 时,第二象限内的点的纵坐标值都为正,而第四象限内的点的纵坐标值都为负. (2) 在比较大小时 , 不可以忽略了反比例函数的图象是由两条分支组成的 ( 分别在不同的两个象限 ) , 在不同的象限是不能用它的性质来判断的 , 而是要分别讨论.运用反比例函数的性质时 , 要注意在每一个象限内的要求. 1 . ( 2014· 株洲 ) 已知反比例函数 y = k x 的图象经过点 ( 2 , 3 ) , 那么下列四个点中 , 也在这个函数图象上的是 ( ) A . ( - 6 , 1 ) B . ( 1 , 6 ) C . ( 2 , - 3 ) D . ( 3 , - 2 ) B 2 . ( 2014· 宁夏 ) 已知两点 P 1 (x 1 , y 1 ) , P 2 (x 2 , y 2 ) 在函数 y = 5 x 的图象上 , 当 x 1 > x 2 > 0 时 , 下列结论正确的是 ( ) A . 0 < y 1 < y 2 B . 0 < y 2 < y 1 C . y 1 < y 2 < 0 D . y 2 < y 1 < 0 A 3 . ( 2014· 随州 ) 关于反比例函数 y = 2 x 的图象 , 下列说法正 确 的是 ( ) A . 图象经过点 ( 1 , 1 ) B . 两个分支分布在第二、四象限 C . 两个分支关于 x 轴成轴对称 D . 当 x < 0 时 , y 随 x 的增大而减小 D 4 . ( 2014· 怀化 ) 已知一次函数 y = kx + b 的图象如图 , 那 么正比例函数 y = kx 和反比例函数 y = b x 在同一坐标系中 的图象大致是 ( ) C 5 . ( 2014· 聊城 ) 如图 , 一次函数 y 1 = k 1 x + b 的图象和反比 例函数 y 2 = k 2 x 的图象交于 A ( 1 , 2 ) , B ( - 2 , - 1 ) 两点 , 若 y 1 < y 2 , 则 x 的取值范围是 ( ) A . x < 1 B . x <- 2 C . - 2 < x < 0 或 x > 1 D . x <- 2 或 0 < x < 1 D 反比例函数图象的确定 【 例 1 】 已知图中的曲线是反比例函数 y = m - 5 x ( m 为常 数 ) 图象的一支 . ( 1 ) 这个反比例函数图象的另一支在第几象限?常数 m 的 取值范围是什么 ? 解:这个反比例函数图象的另一支在第三象限 , ∵ m - 5 > 0 , ∴ m > 5 (2) 若该函数的图象与正比例函数 y = 2 x 的图象在第一象限内的交点为 A , 过 A 点作 x 轴的垂线 , 垂足为点 B , 当 △ OAB 的面积为 4 时 , 求点 A 的坐标及反比例函数的解析式. 【 点评 】 一次函数与反比例函数的图象的性质取决于系数的值 , 反过来由图象的性质 , 也可以确定系数的符号.要熟记函数的性质并灵活应用这些性质. 1 . ( 1 ) ( 2013· 荆门 ) 若反比例函数 y = k x 的图象过点 ( - 2 , 1 ) , 则一次函数 y = kx - k 的图象过 ( ) A . 第一、二、四象限 B . 第一、三、四象限 C . 第二、三、四象限 D . 第一、二、三象限 A ( 2 ) ( 2013· 毕节 ) 一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ) 与反比例函数 y = k x ( k ≠ 0 ) 的图象在同一直角坐标系下的大致图象如 图所示 , 则 k , b 的取值范围是 ( ) A . k > 0 , b > 0 B . k < 0 , b > 0 C . k < 0 , b < 0 D . k > 0 , b < 0 C 待定系数法确定反比例函数解析式 【 例 2 】 ( 2014· 广安 ) 如图 , 反比例函数 y = k x ( k 为常数 , 且 k ≠ 0 ) 经过点 A ( 1 , 3 ) . ( 1 ) 求反比例函数的解析式; ( 2 ) 在 x 轴正半轴上有一点 B , 若 △ AOB 的面积为 6 , 求直 线 AB 的解析式 . 解: ( 1 ) ∵ 反比例函数 y = k x ( k 为常数 , 且 k ≠ 0 ) 经过点 A ( 1 , 3 ) , ∴ 3 = k 1 , 解得 k = 3 , ∴ 反比例函数的解析式为 y = 3 x ( 2 ) 设 B ( a , 0 ) , 则 BO = a , ∵△ AOB 的面积为 6 , ∴ 1 2 · a · 3 = 6 , 解得 a = 4 , ∴ B ( 4 , 0 ) , 设直线 AB 的解析式为 y = kx + b , ∵ 经过 A ( 1 , 3 ) 、 B ( 4 , 0 ) , ∴ î ï í ï ì 3 = k + b , 0 = 4k + b , 解得 î ï í ï ì k =- 1 , b = 4 , ∴ 直线 AB 的解析式为 y =- x + 4 【 点评 】 反比例函数表达式中只有一个待定系数 , 由一对已知对应值即可确定函数解析式 , 而一次函数中有两个待定系数 , 要求出其系数 , 需要已知两对对应值. 2 . ( 2014· 襄阳 ) 如图 , 一次函数 y 1 =- x + 2 的图象与反比例函数 y 2 = k x 的图象相交于 A , B 两点 , 与 x 轴相交于点 C. 已知 tan ∠ BOC = 1 2 , 点 B 的坐标为 (m , n ) . (1) 求反比例函数的解析式; (2) 请直接写出当 x < m 时 , y 2 的取值范围. 解: ( 1 ) 作 BD ⊥ x 轴于点 D , 如图 , 在 R t △ OBD 中 , tan ∠ BOC = BD OD = 1 2 , ∴ - n m = 1 2 , 即 m =- 2n , 把点 B ( m , n ) 代入 y 1 =- x + 2 得 n =- m + 2 , ∴ n = 2n + 2 , 解得 n =- 2 , ∴ m = 4 , ∴ B 点坐标为 ( 4 , - 2 ) , 把 B ( 4 , - 2 ) 代入 y 2 = k x 得 k = 4 × ( - 2 ) =- 8 , ∴ 反比例函数 解析式为 y 2 =- 8 x ( 2 ) 当 x < 4 , y 2 的取值范围为 y 2 > 0 或 y 2 <- 2 实际背景下的反比例函数的图象 【 例 3 】 ( 2013· 益阳 ) 我市某蔬菜生产基地在气温较低时 , 用装有 恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为 18 ℃ 的条件下生长 最快的新品种 . 如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后 , 大棚 内温度 y ( ℃ ) 随时间 x ( 小时 ) 变化的函数图象 , 其中 BC 段是双曲线 y = k x 的一部分 . 请根据图中信息解答下列问题: (1) 恒温系统在这天保持大棚内温度 18 ℃ 的时间有多少小时? (2) 求 k 的值; (3) 当 x = 16 时 , 大棚内的温度约为多少度? 【 点评 】 现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量 , 解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系 , 然后利用待定系数法求出它们的关系 式.若问题中两个变量不是单一的一次函数或反比例函数关系 , 而是二者的复合 , 则应分段讨论 , 并注意在实际问题中提炼出函数模型 , 往往要加自变量的取值范围. 3 . ( 2013 · 玉林 ) 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序 , 即需要将材料烧到 800 ℃ , 然后停止煅烧进行锻造操作 , 在 8 min 时 , 材料温度降为 600 ℃ . 煅烧时温度 y( ℃ ) 与时间 x( min ) 成一次函数关系;锻造时 , 温度 y( ℃ ) 与时间 x( min ) 成反比例函数关系 ( 如图 ) .已知该材料初始温度是 32 ℃ . (1) 分别求出材料煅烧和锻造时 y 与 x 的函数解析式 , 并且写出自变量 x 的取值范围; (2) 根据工艺要求 , 当材料温度低于 480 ℃ 时 , 须停止操作 , 那么锻造的操作时间有多长? 反比例函数与几何图形的结合 【 例 4 】 ( 2014· 德州 ) 如图 , 双曲线 y = k x ( x > 0 ) 经过 △ OAB 的顶点 A 和 OB 的中点 C , AB ∥ x 轴 , 点 A 的坐 标为 ( 2 , 3 ) . (1) 确定 k 的值; (2) 若点 D(3 , m) 在双曲线上 , 求直线 AD 的解析式; (3) 计算 △ OAB 的面积. 【 点评 】 本题主要考查反比例函数知识的综合运用 , 关键是利用待定系数法 , 数形结合的思想来解决此类题目 , 当然要熟练掌握反比例函数的性质及图象特征. 4 . ( 1 ) ( 2014· 深圳 ) 如图 , 双曲线 y = k x 经过 Rt △ BOC 斜边 上的点 A , 且满足 AO AB = 2 3 , 与 BC 交于点 D , S △ BOD = 21 , 求 k = __ __ . 8 (2) ( 2014· 玉林 ) 如图 , OABC 是平行四边形 , 对角线 OB 在 y 轴正半 轴上 , 位于第一象限的点 A 和第二象限的点 C 分别在双曲线 y = k 1 x 和 y = k 2 x 的一支上 , 分别过点 A , C 作 x 轴的垂线 , 垂足分别为点 M 和 N , 则有以下的结论: ① AM CN = |k 1 | |k 2 | ; ② 阴影部分面积是 1 2 (k 1 + k 2 ) ; ③ 当 ∠ AOC = 90 ° 时 , |k 1 | = |k 2 | ; ④ 若 OABC 是菱形 , 则两双曲线既关于 x 轴对称 , 也关于 y 轴对称. 其中正确的是 . ( 把所有正确的结论的序号都填上 ) ①④ 试题 已知 y = y 1 + y 2 , y 1 与 x 2 成正比例 , y 2 与 x 成反比例 , 且 x = 1 时 , y = 3 ; x =- 1 时 , y = 1. 求 x =- 1 2 时 , y 的值. 错解 解:设 y 1 = kx 2 , y 2 = k x . ∵ y = y 1 + y 2 , ∴ y = kx 2 + k x . ∴ 把 x = 1 , y = 3 代入上式 , 得 3 = k + k , ∴ k = 3 2 . ∴ y = 3 2 x 2 + 3 2 x . 当 x =- 1 2 时 , y = 3 2 × ( - 1 2 ) 2 + 3 2 × (- 1 2 ) = 3 8 - 3 =- 21 8 . 答:当 x =- 1 2 时 , y 的值是- 21 8 . 剖析 ( 1 ) 错解错在设 y 1 = kx , y 2 = k x 时取了相同的比例系数 k , 由于这是两种不同的比 例 , 其比例系数未必相 同 , 应分 别设 y 1 = k 1 x , y 2 = k 2 x , 用两个不同字母 k 1 , k 2 来表示两个 不同的比例系数 . ( 2 ) 在同一问题中 , 相同的字母只能表示同一个未知量 . 两 个或多个不同的未知量需要用两个或多个不同的字母来 表示 , 以免混淆 , 从而导致错误 . 正解 解:设 y 1 = k 1 x 2 , y 2 = k 2 x , ∵ y = y 1 + y 2 , ∴ y = k 1 x 2 + k 2 x . 把 x = 1 , y = 3 ; x =- 1 , y = 1 分别代入上 式 , 得 î í ì 3 = k 1 + k 2 , 1 = k 1 - k 2 , 解得 î í ì k 1 = 2 , k 2 = 1 , ∴ y = 2 x 2 + 1 x . 当 x =- 1 2 时 , y = 2 × ( - 1 2 ) 2 + 1 - 1 2 = 1 2 - 2 =- 3 2 . 答:当 x =- 1 2 时 , y 的值是- 3 2 .查看更多