呼和浩特专版2020中考数学复习方案第六单元圆课时训练28与圆有关的计算试题

呼和浩特专版2020中考数学复习方案第六单元圆课时训练28与圆有关的计算试题

课时训练(二十八)　与圆有关的计算 ‎(限时:30分钟)‎ ‎|夯实基础|‎ ‎1.[2019·长沙] 一个扇形的半径为6,圆心角为120°,则该扇形的面积是 (　　)‎ A.2π B.4π C.12π D.24π ‎2.[2019·绍兴] 如图K28-1,△ABC内接于圆O,∠B=65°,∠C=70°,若BC=2‎2‎,则弧BC的长为 (　　)‎ 图K28-1‎ A.π B.‎2‎π C.2π D.2‎2‎π ‎3.[2019·巴中] 如图K28-2,圆锥的底面半径r=6,高h=8,则圆锥的侧面积是 (　　)‎ 图K28-2‎ A.15π B.30π C.45π D.60π ‎4.[2019·湖州] 如图K28-3,已知正五边形ABCDE内接于☉O,连接BD,则∠ABD的度数是(　　)‎ 图K28-3‎ A.60° B.70° C.72° D.144°‎ ‎5.[2019·山西] 如图K28-4,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2‎3‎,BC=2,以AB的中点O为圆心,OA的长为半径作半圆交AC于点D,则图中阴影部分的面积为 (　　)‎ 图K28-4‎ A.‎5‎‎3‎‎4‎‎-‎π‎2‎ B.‎5‎‎3‎‎4‎‎+‎π‎2‎ C.2‎3‎-π D.4‎‎3‎‎-‎π‎2‎ ‎6.[2019·泰安] 如图K28-5,将☉O沿弦AB折叠,AB恰好经过圆心O,若☉O的半径为3,则AB的长为 (　　)‎ 10‎ 图K28-5‎ A.‎1‎‎2‎π B.π C.2π D.3π ‎7.[2019·凉山州] 如图K28-6,在△AOC中,OA=3 cm,OC=1 cm,将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD,则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为 (　　) ‎ 图K28-6‎ A.π‎2‎ cm2 B.2π cm2 C.‎17π‎8‎ cm2 D.‎19π‎8‎ cm2‎ ‎8.[2019·广安] 如图K28-7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D,则图中阴影部分的面积为 (　　)‎ 图K28-7‎ A.‎4‎‎3‎π-‎3‎ B.‎2‎‎3‎π-‎3‎‎2‎ C.‎1‎‎3‎π-‎3‎‎2‎ D.‎1‎‎3‎π-‎‎3‎ ‎9.[2017·达州] 以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是 (　　)‎ A.‎2‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.‎2‎ D.‎‎3‎ ‎10.[2019·黄冈] 用一个圆心角为120°,半径为6的扇形作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的面积为　　　　. ‎ ‎11.[2018·呼和浩特] 同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为　　　　. ‎ ‎12.[2019·泰州] 如图K28-8,分别以正三角形的3个顶点为圆心,边长为半径画弧,三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6 cm,则该莱洛三角形的周长为　　　　 cm. ‎ 图K28-8‎ 10‎ ‎13.[2019·扬州] 如图K28-9,AC是☉O的内接正六边形的一边,点B在AC上,且BC是☉O的内接正十边形的一边,若AB是☉O的内接正n边形的一边,则n=　　　　. ‎ 图K28-9‎ ‎14.[2019·泰安] 如图K28-10,∠AOB=90°,∠B=30°,以点O为圆心,OA为半径作弧交AB于点C,交OB于点D,若OA=3,则阴影部分的面积为　　　　. ‎ 图K28-10‎ ‎15.[2019·黄石] 如图K28-11,Rt△ABC中,∠A=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,O是BC上一点,经过C,D两点的☉O分别交AC,BC于点E,F,AD=‎3‎,∠ADC=60°,则劣弧CD的长为　　　　. ‎ 图K28-11‎ ‎16.[2019·陇南] 如图K28-12①,把半径为1的圆分割成四段相等的弧,再将这四段弧依次相连拼成如图②所示的恒星图形,那么这个恒星图形的面积等于　　　　. ‎ 图K28-12‎ ‎17.[2019·衢州] 如图K28-13,在等腰三角形ABC中,AB=AC.以AC为直径作☉O交BC于点D,过点D作DE⊥AB,垂足为E.‎ ‎(1)求证:DE是☉O的切线.‎ ‎(2)若DE=‎3‎,∠C=30°,求AD的长.‎ 图K28-13‎ 10‎ ‎18.[2019·滨州] 如图K28-14,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.‎ ‎(1)求证:直线DF是☉O的切线;‎ ‎(2)求证:BC2=4CF·AC;‎ ‎(3)若☉O的半径为4,∠CDF=15°,求阴影部分的面积.‎ 图K28-14‎ ‎|拓展提升|‎ ‎19.[2019·荆州] 如图K28-15,点C为扇形OAB的半径OB上一点,将△OAC沿AC折叠,点O恰好落在AB上的点D处,且BDl‎∶‎ADl=1∶3(BDl表示BD的长),若将此扇形OAB围成一个圆锥,则圆锥的底面半径与母线长的比为 (　　)‎ 图K28-15‎ A.1∶3 　 B.1∶π 　 C.1∶4 　 D.2∶9‎ ‎20.[2019·河南] 如图K28-16,在扇形AOB中,∠AOB=120°,半径OC交弦AB于点D,且OC⊥OA,OA=2‎3‎,则阴影部分的面积为　　　　. ‎ 10‎ 图K28-16‎ 10‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.C ‎2.A　[解析]在△ABC中,∠A=180°-∠B-∠C=45°,连接OB,OC,则∠BOC=2∠A=90°,‎ 设圆的半径为r,由勾股定理,得r2+r2=(2‎2‎)2,解得r=2,∴弧BC的长为‎90π×2‎‎180‎=π.‎ ‎3.D ‎4.C　[解析]∵正五边形ABCDE内接于☉O,‎ ‎∴∠ABC=∠C=‎(5-2)×180°‎‎5‎=108°,CB=CD.‎ ‎∴∠CBD=∠CDB=‎180°-108°‎‎2‎=36°.∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=108°-36°=72°.故选C.‎ ‎5.A　[解析] 连接OD,在Rt△ABC中,‎ ‎∵∠ABC=90°,AB=2‎3‎,BC=2,‎ ‎∴tanA=BCAB=‎2‎‎2‎‎3‎=‎3‎‎3‎,‎ ‎∴∠A=30°,∠DOB=60°.‎ 过点D作DE⊥AB于点E,‎ ‎∵AB=2‎3‎,‎ ‎∴AO=OD=‎3‎,‎ ‎∴DE=‎3‎‎2‎,‎ ‎∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=2‎3‎‎-‎3‎‎3‎‎4‎-‎π‎2‎=‎5‎‎3‎‎4‎‎-‎π‎2‎.‎ 故选A.‎ ‎6.C　[解析]连接OA,OB,过点O作OD⊥AB于D,交AB于点E,由题可知OD=DE=‎1‎‎2‎OE=‎1‎‎2‎OA,‎ 在Rt△AOD中,sinA=ODOA=‎1‎‎2‎,∴∠A=30°,∴∠AOD=60°,∠AOB=120°,∴AB的长=‎120×π×3‎‎180‎=2π,故选C.‎ ‎7.B　[解析]AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积=S△OCA+S扇形OAB-S扇形OCD-S△ODB①,由旋转知:△OCA≌△ODB,∴S△OCA=S△ODB,∴①式=S扇形OAB-S扇形OCD=‎90π×‎‎3‎‎2‎‎360‎‎-‎‎90π×‎‎1‎‎2‎‎360‎=2π(cm2),故选B.‎ 10‎ ‎8.A　[解析]在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,‎ ‎∴∠ABC=60°,∴∠COD=120°,‎ ‎∵BC=4,BC为半圆O的直径,‎ ‎∴∠CDB=90°,OC=OD=2,‎ ‎∴CD=‎3‎‎2‎BC=2‎3‎,‎ 图中阴影部分的面积=S扇形COD-S△COD=‎120×π×‎‎2‎‎2‎‎360‎‎-‎‎1‎‎2‎×2‎3‎×1=‎4π‎3‎‎-‎‎3‎,故选A.‎ ‎9.A　[解析] 如图①,∵OC=2,∴OD=2×sin30°=1;‎ 如图②,∵OB=2,∴OE=2×sin45°=‎2‎;‎ 如图③,∵OA=2,∴OD=2×cos30°=‎3‎,‎ 则该三角形的三边分别为1,‎2‎,‎3‎.‎ ‎∵12+(‎2‎)2=(‎3‎)2,∴该三角形是直角三角形,‎ ‎∴该三角形的面积是‎1‎‎2‎×1×‎2‎=‎2‎‎2‎,故选A.‎ ‎10.4π ‎11.‎2‎∶1‎ ‎12.6π　[解析]三段弧的半径为正三角形的边长6 cm,圆心角为正三角形的内角度数60°,∴每段弧长为‎60·π·6‎‎180‎=2π(cm),∴周长为2π×3=6π(cm).‎ ‎13.15　[解析]连接BO.∵AC是☉O的内接正六边形的一边,∴∠AOC=360°÷6=60°.‎ ‎∵BC是☉O的内接正十边形的一边,‎ ‎∴∠BOC=360°÷10=36°,∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=60°-36°=24°,∴n=360°÷24°=15.故答案为15.‎ ‎14.‎3‎‎4‎π　[解析]连接OC,过点C作CN⊥AO于点N,CM⊥OB于点M,‎ ‎∵∠AOB=90°,∠B=30°,‎ ‎∴∠A=60°,‎ 10‎ ‎∵OA=OC,∴△AOC为等边三角形,∵OA=3,∴CN=‎3‎‎2‎‎3‎,CM=ON=‎3‎‎2‎,∴S扇形AOC=‎3‎‎2‎π,S△AOC=‎9‎‎4‎‎3‎.‎ 在Rt△AOB中,OB=‎3‎OA=3‎3‎,S△OCB=‎9‎‎4‎‎3‎,∠COD=30°,S扇形COD=‎3‎‎4‎π,∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC+S△OCB-S扇形COD=‎3‎‎4‎π.‎ ‎15.‎4‎‎3‎π　[解析]连接DF,OD,∵CF是☉O的直径,∴∠CDF=90°,∵∠ADC=60°,∠A=90°,∴∠ACD=30°.∵CD平分∠ACB交AB于点D,∴∠DCF=30°.‎ ‎∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC=30°,∴∠COD=120°.在Rt△CAD中,CD=2AD=2‎3‎,在Rt△FCD中,CF=CDcos30°‎=‎2‎‎3‎‎3‎‎2‎=4,∴☉O的半径为2,∴劣弧CD的长=‎120π×2‎‎180‎=‎4‎‎3‎π.‎ ‎16.4-π　[解析]如图,∵新的正方形的边长为1+1=2,∴恒星的面积=2×2-π×12=4-π,故答案为4-π.‎ ‎17.解:(1)证明:如图,连接OD,‎ ‎∵OC=OD,AB=AC,‎ ‎∴∠1=∠C,∠C=∠B.‎ ‎∴∠1=∠B.‎ ‎∵DE⊥AB,∴∠2+∠B=90°.‎ ‎∴∠2+∠1=90°,‎ ‎∴∠ODE=90°,‎ ‎∴DE为☉O的切线.‎ ‎(2)连接AD,‎ ‎∵AC为☉O的直径,∴∠ADC=90°.‎ ‎∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,BD=CD.‎ ‎∴∠AOD=60°.‎ ‎∵DE=‎3‎,‎ ‎∴BD=CD=2‎3‎,∴OC=2,‎ ‎∴AD的长=‎60‎‎180‎π×2=‎2‎‎3‎π.‎ ‎18.解:(1)证明:如图所示,连接OD,‎ 10‎ ‎∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,‎ ‎∵OB=OD,∴∠ODB=∠ABC=∠C,‎ ‎∵DF⊥AC,∴∠CDF+∠C=90°,‎ ‎∴∠CDF+∠ODB=90°,∴∠ODF=90°,‎ ‎∴直线DF是☉O的切线.‎ ‎(2)证明:连接AD,则AD⊥BC,‎ ‎∵AB=AC,∴DB=DC=‎1‎‎2‎BC.‎ ‎∵∠CDF+∠C=90°,∠C+∠DAC=90°,‎ ‎∴∠CDF=∠DAC,‎ 又∠DFC=∠ADC=90°,∴△CFD∽△CDA,‎ ‎∴CDAC=CFCD,∴CD2=AC·CF,∴BC2=4CF·AC.‎ ‎(3)连接OE,作OG⊥AE于G.‎ ‎∵∠CDF=15°,∴∠C=75°,∠OAE=30°=∠OEA,‎ ‎∴∠AOE=120°,‎ ‎∴AE=2EG=2OE·cos30°=2×4×‎3‎‎2‎=4‎3‎.‎ ‎∴S△OAE=‎1‎‎2‎AE·OE·sin∠OEA=‎1‎‎2‎×4‎3‎×4×‎1‎‎2‎=4‎3‎,∴S阴影部分=S扇形OAE-S△OAE=‎120‎‎360‎×π×42-4‎3‎=‎16π‎3‎-4‎3‎.‎ ‎19.D　[解析]连接OD交AC于M.‎ 由折叠可得:OM=‎1‎‎2‎OD=‎1‎‎2‎OA,∠OMA=90°,‎ ‎∴∠OAM=30°,∴∠AOM=60°,‎ ‎∵BDl‎∶‎ADl=1∶3,∴∠BOD=‎1‎‎3‎∠AOM,‎ ‎∴∠AOB=80°.设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则‎80πl‎180‎=2πr,‎ ‎∴r∶l=2∶9.故选D.‎ ‎20.‎3‎+π　[解析] ∵在扇形AOB中,‎ ‎∠AOB=120°,∴OA=OB,‎ ‎∴∠BAO=∠ABO=‎1‎‎2‎(180°-120°)÷2=30°,‎ ‎∵OC⊥OA,‎ ‎∴在Rt△AOD中,AO=2‎3‎,∠BAO=30°,‎ ‎∴OD=AO·tan∠BAO=2‎3‎‎×‎‎3‎‎3‎=2.‎ 过点B作BE⊥OC于点E,‎ 10‎ ‎∵∠BOC=∠AOB-∠AOD=120°-90°=30°,‎ ‎∴BE=OBsin30°=2‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎=‎3‎,‎ ‎∴S阴影部分=S△AOD+S扇形BCO-S△ODB ‎=‎OD·AO‎2‎‎+nπAO‎2‎‎360‎-‎OD·BE‎2‎ ‎=‎‎2×2‎‎3‎‎2‎‎+‎30π(2‎‎3‎‎)‎‎2‎‎360‎-‎‎2×‎‎3‎‎2‎ ‎=2‎3‎+π-‎‎3‎ ‎=‎3‎+π.‎ 10‎