2017年湖南省株洲市中考数学试卷

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文档介绍

2017年湖南省株洲市中考数学试卷

‎2017年湖南省株洲市中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(每小题3分,满分30分)‎ ‎1.(3分)计算a2•a4的结果为(  )‎ A.a2 B.a4 C.a6 D.a8‎ ‎2.(3分)如图示,数轴上点A所表示的数的绝对值为(  )‎ A.2 B.﹣2 C.±2 D.以上均不对 ‎3.(3分)如图示直线l1,l2△ABC被直线l3所截,且l1∥l2,则α=(  )‎ A.41° B.49° C.51° D.59°‎ ‎4.(3分)已知实数a,b满足a+1>b+1,则下列选项错误的为(  )‎ A.a>b B.a+2>b+2 C.﹣a<﹣b D.2a>3b ‎5.(3分)如图,在△ABC中,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,则∠BAD=(  )‎ A.145° B.150° C.155° D.160°‎ ‎6.(3分)下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是(  )‎ A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 ‎7.(3分)株洲市展览馆某天四个时间段进出馆人数统计如下,则馆内人数变化最大时间段为(  )‎ ‎9:00﹣10:00‎ ‎10:00﹣11:00‎ ‎14:00﹣15:00‎ ‎15:00﹣16:00‎ 进馆人数 ‎50‎ ‎24‎ ‎55‎ ‎32‎ 出馆人数 ‎30‎ ‎65‎ ‎28‎ ‎45‎ A.9:00﹣10:00 B.10:00﹣11:00 C.14:00﹣15:00 D.15:00﹣16:00‎ ‎8.(3分)三名初三学生坐在仅有的三个座位上,起身后重新就坐,恰好有两名同学没有坐回原座位的概率为(  )‎ A.) B.) C.) D.)‎ ‎9.(3分)如图,点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点,则关于四边形EFGH,下列说法正确的为(  )‎ A.一定不是平行四边形 B.一定不是中心对称图形 C.可能是轴对称图形 D.当AC=BD时它是矩形 ‎10.(3分)如图示,若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB,则点P为△ABC的布洛卡点.三角形的布洛卡点(Brocard point)是法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle 1780﹣1855)于1816年首次发现,但他的发现并未被当时的人们所注意,1875年,布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard 1845﹣1922)重新发现,并用他的名字命名.问题:已知在等腰直角三角形DEF中,∠EDF=90°,若点Q为△DEF的布洛卡点,DQ=1,则EQ+FQ=(  )‎ A.5 B.4 C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每小题3分,满分24分)‎ ‎11.(3分)如图示在△ABC中∠B=   .‎ ‎12.(3分)分解因式:m3﹣mn2=   .‎ ‎13.(3分)分式方程﹣=0的解为   .‎ ‎14.(3分)已知“x的3倍大于5,且x的一半与1的差不大于2”,则x的取值范围是   .‎ ‎15.(3分)如图,已知AM为⊙O的直径,直线BC经过点M,且AB=AC,∠BAM=∠CAM,线段AB和AC分别交⊙O于点D、E,∠BMD=40°,则∠EOM=   .‎ ‎16.(3分)如图示直线y=x+与x轴、y轴分别交于点A、B,当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时,点B运动的路径的长度为   .‎ ‎17.(3分)如图所示是一块含30°,60°,90°的直角三角板,直角顶点O位于坐标原点,斜边AB垂直于x轴,顶点A在函数y1=(x>0)的图象上,顶点B在函数y2=(x>0)的图象上,∠ABO=30°,则=   .‎ ‎18.(3分)如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧,其图象与x轴交于点A(﹣1,0)与点C(x2,0),且与y轴交于点B(0,﹣2),小强得到以下结论:①0<a<2;②﹣1<b<0;③c=﹣1;④当|a|=|b|时x2>﹣1;以上结论中正确结论的序号为   .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共有8个小题,满分66分)‎ ‎19.(6分)计算:+20170×(﹣1)﹣4sin45°.‎ ‎20.(6分)化简求值:(x﹣)•﹣y,其中x=2,y=.‎ ‎21.(8分)某次世界魔方大赛吸引世界各地共600名魔方爱好者参加,本次大赛首轮进行3×3阶魔方赛,组委会随机将爱好者平均分到20个区域,每个区域30名同时进行比赛,完成时间小于8秒的爱好者进入下一轮角逐;如图是3×3阶魔方赛A区域30名爱好者完成时间统计图,求:‎ ‎①A区域3×3阶魔方爱好者进入下一轮角逐的人数的比例(结果用最简分数表示).‎ ‎②若3×3阶魔方赛各个区域的情况大体一致,则根据A区域的统计结果估计在3×3阶魔方赛后进入下一轮角逐的人数.‎ ‎③若3×3阶魔方赛A区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒,求该项目赛该区域完成时间为8秒的爱好者的概率(结果用最简分数表示).‎ ‎22.(8分)如图示,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上,EF与BC相交于点G,连接CF.‎ ‎①求证:△DAE≌△DCF; ‎ ‎②求证:△ABG∽△CFG.‎ ‎23.(8分)如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的 俯角为α其中tanα=2,无人机的飞行高度AH为500米,桥的长度为1255米.‎ ‎①求点H到桥左端点P的距离; ‎ ‎②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°,求这架无人机的长度AB.‎ ‎24.(8分)如图所示,Rt△PAB的直角顶点P(3,4)在函数y=(x>0)的图象上,顶点A、B在函数y=(x>0,0<t<k)的图象上,PA∥y轴,连接OP,OA,记△OPA的面积为S△OPA,△PAB的面积为S△PAB,设w=S△OPA﹣S△PAB.‎ ‎①求k的值以及w关于t的表达式; ‎ ‎②若用wmax和wmin分别表示函数w的最大值和最小值,令T=wmax+a2﹣a,其中a为实数,求Tmin.‎ ‎25.(10分)如图示AB为⊙O的一条弦,点C为劣弧AB的中点,E为优弧AB上一点,点F在AE的延长线上,且BE=EF,线段CE交弦AB于点D.‎ ‎①求证:CE∥BF; ‎ ‎②若BD=2,且EA:EB:EC=3:1:,求△BCD的面积(注:根据圆的对称性可知OC⊥AB).‎ ‎26.(12分)已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1,‎ ‎①当b=1时,求这个二次函数的对称轴的方程; ‎ ‎②若c=﹣b2﹣2b,问:b为何值时,二次函数的图象与x轴相切?‎ ‎③若二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2,与y轴的正半轴交于点M,以AB为直径的半圆恰好过点M,二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F,且满足=,求二次函数的表达式.‎ ‎ ‎ ‎2017年湖南省株洲市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(每小题3分,满分30分)‎ ‎1.(3分)(2017•株洲)计算a2•a4的结果为(  )‎ A.a2 B.a4 C.a6 D.a8‎ ‎【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案.‎ ‎【解答】解:原式=a2+4=a6.‎ 故选C.‎ ‎【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算,正确掌握运算法则是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2017•株洲)如图示,数轴上点A所表示的数的绝对值为(  )‎ A.2 B.﹣2 C.±2 D.以上均不对 ‎【分析】根据数轴可以得到点A表示的数,从而可以求出这个数的绝对值,本题得以解决.‎ ‎【解答】解:由数轴可得,‎ 点A表示的数是﹣2,‎ ‎∵|﹣2|=2,‎ ‎∴数轴上点A所表示的数的绝对值为2,‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查数轴、绝对值,解答本题的关键是明确数轴的特点,会求一个数的绝对值.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2017•株洲)如图示直线l1,l2△ABC被直线l3所截,且l1∥l2,则α=(  )‎ A.41° B.49° C.51° D.59°‎ ‎【分析】根据平行线的性质即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵l1∥l2,‎ ‎∴α=49°,‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质,是基础题,熟记性质是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2017•株洲)已知实数a,b满足a+1>b+1,则下列选项错误的为(  )‎ A.a>b B.a+2>b+2 C.﹣a<﹣b D.2a>3b ‎【分析】根据不等式的性质即可得到a>b,a+2>b+2,﹣a<﹣b.‎ ‎【解答】解:由不等式的性质得a>b,a+2>b+2,﹣a<﹣b.‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查了不等式的性质,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2017•株洲)如图,在△ABC中,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,则∠BAD=(  )‎ A.145° B.150° C.155° D.160°‎ ‎【分析】根据三角形内角和定理求出x,再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和,即可解决问题.‎ ‎【解答】解:在△ABC中,∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,‎ ‎∴6x=180°,‎ ‎∴x=30°,‎ ‎∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°,‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识,学会构建方程解决问题,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2017•株洲)下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是(  )‎ A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 ‎【分析】根据正多边形的中心角的度数即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°,‎ 正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°,‎ 正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°,‎ 正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°,‎ ‎∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形,‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查了正多边形与圆,熟练掌握正多边形的中心角的定义是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2017•株洲)株洲市展览馆某天四个时间段进出馆人数统计如下,则馆内人数变化最大时间段为(  )‎ ‎9:00﹣10:00‎ ‎10:00﹣11:00‎ ‎14:00﹣15:00‎ ‎15:00﹣16:00‎ 进馆人数 ‎50‎ ‎24‎ ‎55‎ ‎32[来源:Zxxk.Com]‎ ‎30‎ ‎65‎ ‎28‎ ‎45‎ 出馆人数 A.9:00﹣10:00 B.10:00﹣11:00 C.14:00﹣15:00 D.15:00﹣16:00‎ ‎【分析】直接利用统计表中人数的变化范围得出馆内人数变化最大时间段.‎ ‎【解答】解:由统计表可得:10:00﹣11:00,进馆24人,出馆65人,差之最大,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】此题主要考查了统计表,正确利用表格获取正确信息是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2017•株洲)三名初三学生坐在仅有的三个座位上,起身后重新就坐,恰好有两名同学没有坐回原座位的概率为(  )‎ A.) B.) C.) D.)‎ ‎【分析】画树状图为(用A、B、C表示三位同学,用a、b、c表示他们原来的座位)展示所有6种等可能的结果数,再找出恰好有两名同学没有坐回原座位的结果数,然后根据概率公式求解.‎ ‎【解答】解:画树状图为:(用A、B、C表示三位同学,用a、b、c表示他们原来的座位)‎ 共有6种等可能的结果数,其中恰好有两名同学没有坐回原座位的结果数为3,‎ 所以恰好有两名同学没有坐回原座位的概率==.‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2017•株洲)如图,点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点,则关于四边形EFGH,下列说法正确的为(  )‎ A.一定不是平行四边形 B.一定不是中心对称图形 C.可能是轴对称图形 D.当AC=BD时它是矩形 ‎【分析】先连接AC,BD,根据EF=HG=AC,EH=FG=BD,可得四边形EFGH是平行四边形,当AC⊥BD时,∠EFG=90°,此时四边形EFGH是矩形;当AC=BD时,EF=FG=GH=HE,此时四边形EFGH是菱形,据此进行判断即可.‎ ‎【解答】解:连接AC,BD,‎ ‎∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点,‎ ‎∴EF=HG=AC,EH=FG=BD,‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形,‎ ‎∴四边形EFGH一定是中心对称图形,‎ 当AC⊥BD时,∠EFG=90°,此时四边形EFGH是矩形,‎ 当AC=BD时,EF=FG=GH=HE,此时四边形EFGH是菱形,‎ ‎∴四边形EFGH可能是轴对称图形,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查了中点四边形的运用,解题时注意:平行四边形是中心对称图形.解决问题的关键是掌握三角形中位线定理.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2017•株洲)如图示,若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB,则点P为△ABC的布洛卡点.三角形的布洛卡点(Brocard point)是法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle ‎ ‎ 1780﹣1855)于1816年首次发现,但他的发现并未被当时的人们所注意,1875年,布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard 1845﹣1922)重新发现,并用他的名字命名.问题:已知在等腰直角三角形DEF中,∠EDF=90°,若点Q为△DEF的布洛卡点,DQ=1,则EQ+FQ=(  )‎ A.5 B.4 C. D.‎ ‎【分析】由△DQF∽△FQE,推出===,由此求出EQ、FQ即可解决问题.‎ ‎【解答】解:如图,在等腰直角三角形△DEF中,∠EDF=90°,DE=DF,∠1=∠2=∠3,‎ ‎∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°,‎ ‎∴∠QEF=∠DFQ,∵∠2=∠3,‎ ‎∴△DQF∽△FQE,‎ ‎∴===,‎ ‎∵DQ=1,‎ ‎∴FQ=,EQ=2,‎ ‎∴EQ+FQ=2+,‎ 故选D ‎【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每小题3分,满分24分)‎ ‎11.(3分)(2017•株洲)如图示在△ABC中∠B= 25° .‎ ‎【分析】由直角三角形的两个锐角互余即可得出答案.‎ ‎【解答】解:∵∠C=90°,‎ ‎∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣65°=25°;‎ 故答案为:25°.‎ ‎【点评】本题考查了直角三角形的两个锐角互余的性质;熟记直角三角形的性质是解决问题的关键.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)(2017•株洲)分解因式:m3﹣mn2= m(m+n)(m﹣n) .‎ ‎【分析】先提取公因式m,再运用平方差公式分解.‎ ‎【解答】解:m3﹣mn2,[来源:学|科|网]‎ ‎=m(m2﹣n2),‎ ‎=m(m+n)(m﹣n).‎ ‎【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式,本题要进行二次分解因式,分解因式要彻底.‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)(2017•株洲)分式方程﹣=0的解为 x=﹣ .‎ ‎【分析】根据解方式方程的步骤一步步求解,即可得出x的值,将其代入原方程验证后即可得出结论.‎ ‎【解答】解:去分母,得4x+8﹣x=0,‎ 移项、合并同类项,得3x=﹣8,‎ 方程两边同时除以3,得x=﹣.‎ 经检验,x=﹣是原方程的解.‎ 故答案为:x=﹣.‎ ‎【点评】本题考查了解分式方程,熟练掌握分式方程的解法及步骤是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2017•株洲)已知“x的3倍大于5,且x的一半与1的差不大于2”,则x的取值范围是 <x≤6 .‎ ‎【分析】根据题意列出不等式组,再求解集即可得到x的取值范围.‎ ‎【解答】解:依题意有,‎ 解得<x≤6.‎ 故x的取值范围是<x≤6.‎ 故答案为:<x≤6.‎ ‎【点评】主要考查了一元一次不等式解集的求法,其简便求法就是用口诀求解.求不等式组解集的口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到(无解).‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)(2017•株洲)如图,已知AM为⊙O的直径,直线BC经过点M,且AB=AC,∠BAM=∠CAM,线段AB和AC分别交⊙O于点D、E,∠BMD=40°,则∠EOM= 80° .‎ ‎【分析】连接EM,根据等腰三角形的性质得到AM⊥BC,进而求出∠AMD=70°,于是得到结论.‎ ‎【解答】解:连接EM,‎ ‎∵AB=AC,∠BAM=∠CAM,‎ ‎∴AM⊥BC,‎ ‎∵AM为⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADM=∠AEM=90°,‎ ‎∴∠AME=∠AMD=90°﹣∠BMD=50°‎ ‎∴∠EAM=40°,‎ ‎∴∠EOM=2∠EAM=80°,‎ 故答案为:80°.‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质,圆周角定理,熟练掌握圆周角定理是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)(2017•株洲)如图示直线y=x+与x轴、y轴分别交于点A、B,当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时,点B运动的路径的长度为 π .‎ ‎【分析】先利用一次函数的解析式可确定A(﹣1,0),B(0,),再利用正切的定义求出∠BAO=60°,利用勾股定理计算出AB=2,然后根据弧长公式计算.‎ ‎【解答】解:当y=0时,x+=0,解得x=﹣1,则A(﹣1,0),‎ 当x=0时,y=x+=,则B(0,),‎ 在Rt△OAB中,∵tan∠BAO==,‎ ‎∴∠BAO=60°,‎ ‎∴AB==2,‎ ‎∴当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时,点B运动的路径的长度==π.‎ 故答案为π.‎ ‎【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换:熟练掌握旋转的性质,会计算一次函数与坐标轴的交点坐标.‎ ‎ ‎ ‎17.(3分)(2017•株洲)如图所示是一块含30°,60°,90°的直角三角板,直角顶点O位于坐标原点,斜边AB垂直于x轴,顶点A在函数y1=(x>0)的图象上,顶点B在函数y2=(x>0)的图象上,∠ABO=30°,则= ﹣ .‎ ‎【分析】设AC=a,则OA=2a,OC=a,根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分别计算点A和B的坐标,写出A和B两点的坐标,代入解析式求出k1和k2的值,相比即可.‎ ‎【解答】解:如图,Rt△AOB中,∠B=30°,∠AOB=90°,‎ ‎∴∠OAC=60°,‎ ‎∵AB⊥OC,‎ ‎∴∠ACO=90°,‎ ‎∴∠AOC=30°,‎ 设AC=a,则OA=2a,OC=a,‎ ‎∴A(a,a),‎ ‎∵A在函数y1=(x>0)的图象上,‎ ‎∴k1=a•a=,‎ Rt△BOC中,OB=2OC=2a,‎ ‎∴BC==3a,‎ ‎∴B(a,﹣3a),‎ ‎∵B在函数y2=(x>0)的图象上,‎ ‎∴k2=﹣3aa=﹣3,‎ ‎∴=﹣;‎ 故答案为:﹣.‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的特征、直角三角形30°的性质,熟练掌握直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半,正确写出A、B两点的坐标是关键.‎ ‎ ‎ ‎18.(3分)(2017•株洲)如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧,其图象与x轴交于点A(﹣1,0)与点C(x2,0),且与y轴交于点B(0,﹣2),小强得到以下结论:①0<a<2;②﹣1<b<0;③c=﹣1;④当|a|=|b|时x2>﹣1;以上结论中正确结论的序号为 ①④ .‎ ‎【分析】根据抛物线与y轴交于点B(0,﹣2),可得c=﹣2,依此判断③;由抛物线图象与x轴交于点A(﹣1,0),可得a﹣b﹣2=0,依此判断①②;由|a|=|b|可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=,可得x2=2,比较大小即可判断④;从而求解.‎ ‎【解答】解:由A(﹣1,0),B(0,﹣2),得b=a﹣2,‎ ‎∵开口向上,‎ ‎∴a>0;‎ ‎∵对称轴在y轴右侧,‎ ‎∴﹣>0,‎ ‎∴﹣>0,‎ ‎∴a﹣2<0,‎ ‎∴a<2;‎ ‎∴0<a<2;‎ ‎∴①正确;‎ ‎∵抛物线与y轴交于点B(0,﹣2),‎ ‎∴c=﹣2,故③错误;‎ ‎∵抛物线图象与x轴交于点A(﹣1,0),‎ ‎∴a﹣b﹣2=0,‎ ‎∵0<a<2,‎ ‎∴0<b+2<2,‎ ‎﹣2<b<0,故②错误;‎ ‎∵|a|=|b|,二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧,‎ ‎∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=,‎ ‎∴x2=2>﹣1,故④正确.‎ 故答案为:①④.‎ ‎【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定,△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共有8个小题,满分66分)‎ ‎19.(6分)(2017•株洲)计算:+20170×(﹣1)﹣4sin45°.‎ ‎【分析】根据立方根的定义、零指数幂及特殊角的三角函数值求得各项的值,再计算即可.‎ ‎【解答】解:‎ ‎+20170×(﹣1)﹣4sin45°‎ ‎=2+1×(﹣1)﹣4×‎ ‎=2﹣1﹣2‎ ‎=﹣1.‎ ‎【点评】本题主要考查实数的计算及零指数幂和特殊角的三角函数值,掌握立方根的计算、零指数幂的运算法则、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.‎ ‎ [来源:学科网]‎ ‎20.(6分)(2017•株洲)化简求值:(x﹣)•﹣y,其中x=2,y=.‎ ‎【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,约分后计算得到最简结果,把x与y的值代入计算即可求出值.‎ ‎【解答】解:原式=•﹣y=﹣=﹣,‎ 当x=2,y=时,原式=﹣.‎ ‎【点评】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎21.(8分)(2017•株洲)某次世界魔方大赛吸引世界各地共600名魔方爱好者参加,本次大赛首轮进行3×3阶魔方赛,组委会随机将爱好者平均分到20个区域,每个区域30名同时进行比赛,完成时间小于8秒的爱好者进入下一轮角逐;如图是3×3阶魔方赛A区域30名爱好者完成时间统计图,求:‎ ‎①A区域3×3阶魔方爱好者进入下一轮角逐的人数的比例(结果用最简分数表示).‎ ‎②若3×3阶魔方赛各个区域的情况大体一致,则根据A区域的统计结果估计在3×3阶魔方赛后进入下一轮角逐的人数.‎ ‎③若3×3阶魔方赛A区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒,求该项目赛该区域完成时间为8秒的爱好者的概率(结果用最简分数表示).‎ ‎【分析】①由图知1人6秒,3人7秒,小于8秒的爱好者共有4人,进入下一轮角逐的人数比例为4:30;‎ ‎②因为其他赛区情况大致一致,所以进入下一轮的人数为:600×‎ A区进入下一轮角逐的人数比例;‎ ‎③由完成时间的平均值和A区30人,得到关于a、b的二元一次方程组,求出a、b,得到完成时间8秒的爱好者的概率.‎ ‎【解答】解:①A区小于8秒的共有3+1=4(人)‎ 所以A区进入下一轮角逐的人数比例为:=;‎ ‎②估计进入下一轮角逐的人数为600×=80(人);‎ ‎③因为A区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒,‎ 所以(1×6+3×7+a×8+b×9+10×10)÷30=8.8‎ 化简,得8a+9b=137‎ 又∵1+3+a+b+10=30,即a+b=16‎ 所以 解得a=7,b=9‎ 所以该区完成时间为8秒的爱好者的概率为.‎ ‎【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.解决本题的关键是根据平均数和各个时间段的人数确定完成时间为8秒的人数.概率=所求情况数与总情况数之比.‎ ‎ ‎ ‎22.(8分)(2017•株洲)如图示,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上,EF与BC相交于点G,连接CF.‎ ‎①求证:△DAE≌△DCF; ‎ ‎②求证:△ABG∽△CFG.[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ ‎【分析】①由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF,得到两对边相等,一对直角相等,利用SAS即可得证;‎ ‎②由第一问的全等三角形的对应角相等,根据等量代换得到∠BAG=∠BCF,再由对顶角相等,利用两对角相等的三角形相似即可得证.‎ ‎【解答】证明:①∵正方形ABCD,等腰直角三角形EDF,‎ ‎∴∠ADC=∠EDF=90°,AD=CD,DE=DF,‎ ‎∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF,‎ ‎∴∠ADE=∠CDF,‎ 在△ADE和△CDF中,‎ ‎,‎ ‎∴△ADE≌△CDF;‎ ‎②延长BA到M,交ED于点M,‎ ‎∵△ADE≌△CDF,‎ ‎∴∠EAD=∠FCD,即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF,‎ ‎∵∠MAD=∠BCD=90°,‎ ‎∴∠EAM=∠BCF,‎ ‎∵∠EAM=∠BAG,‎ ‎∴∠BAG=∠BCF,‎ ‎∵∠AGB=∠CGF,‎ ‎∴△ABG∽△CFG.‎ ‎【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质,以及相似三角形的判定与性质,熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎23.(8分)(2017•株洲)如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的 俯角为α其中tanα=2,无人机的飞行高度AH为500米,桥的长度为1255米.‎ ‎①求点H到桥左端点P的距离; ‎ ‎②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°,求这架无人机的长度AB.‎ ‎【分析】①在Rt△AHP中,由tan∠APH=tanα=,即可解决问题;‎ ‎②设BC⊥HQ于C.在Rt△BCQ中,求出CQ==1500米,由PQ=1255米,可得CP=245米,再根据AB=HC=PH﹣PC计算即可;‎ ‎【解答】解:①在Rt△AHP中,∵AH=500,‎ 由tan∠APH=tanα===2,可得PH=250米.‎ ‎∴点H到桥左端点P的距离为250米.‎ ‎②设BC⊥HQ于C.‎ 在Rt△BCQ中,∵BC=AH=500,∠BQC=30°,‎ ‎∴CQ==1500米,‎ ‎∵PQ=1255米,‎ ‎∴CP=245米,‎ ‎∵HP=250米,[来源:学.科.网]‎ ‎∴AB=HC=250﹣245=5米.‎ 答:这架无人机的长度AB为5米.‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题,锐角三角函数,矩形判定和性质等知识,解题的关键是灵活应用所学知识解决问题,属于中考常考题型.‎ ‎ ‎ ‎24.(8分)(2017•株洲)如图所示,Rt△PAB的直角顶点P(3,4)在函数y=(x>0)的图象上,顶点A、B在函数y=(x>0,0<t<k)的图象上,PA∥y轴,连接OP,OA,记△OPA的面积为S△OPA,△PAB的面积为S△PAB,设w=S△OPA﹣S△PAB.‎ ‎①求k的值以及w关于t的表达式; ‎ ‎②若用wmax和wmin分别表示函数w的最大值和最小值,令T=wmax+a2﹣a,其中a为实数,求Tmin.‎ ‎【分析】(1)由点P的坐标表示出点A、点B的坐标,从而得S△PAB=•PA•PB=(4﹣)(3﹣),再根据反比例系数k的几何意义知S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=6﹣t,由w=S△OPA﹣S△PAB可得答案;‎ ‎(2)将(1)中所得解析式配方求得wmax=,代入T=wmax+a2﹣a配方即可得出答案.‎ ‎【解答】解:(1)∵点P(3,4),‎ ‎∴在y=中,当x=3时,y=,即点A(3,),‎ 当y=4时,x=,即点B(,4),‎ 则S△PAB=•PA•PB=(4﹣)(3﹣),‎ 如图,延长PA交x轴于点C,‎ 则PC⊥x轴,‎ 又S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=×3×4﹣t=6﹣t,‎ ‎∴w=6﹣t﹣(4﹣)(3﹣)=﹣t2+t;‎ ‎(2)∵w=﹣t2+t=﹣(t﹣6)2+,‎ ‎∴wmax=,‎ 则T=wmax+a2﹣a=a2﹣a+=(a﹣)2+,‎ ‎∴当a=时,Tmin=.‎ ‎【点评】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义及二次函数的性质,熟练掌握反比例系数k的几何意义及配方法求二次函数的最值是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎25.(10分)(2017•株洲)如图示AB为⊙O的一条弦,点C为劣弧AB的中点,E为优弧AB上一点,点F在AE的延长线上,且BE=EF,线段CE交弦AB于点D.‎ ‎①求证:CE∥BF; ‎ ‎②若BD=2,且EA:EB:EC=3:1:,求△‎ BCD的面积(注:根据圆的对称性可知OC⊥AB).‎ ‎【分析】①连接AC,BE,由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠F=∠AEB,由圆周角定理得出∠AEC=∠BEC,证出∠AEC=∠F,即可得出结论;‎ ‎②证明△ADE∽△CBE,得出,证明△CBE∽△CDB,得出,求出CB=2,得出AD=6,AB=8,由垂径定理得出OC⊥AB,AG=BG=AB=4,由勾股定理求出CG==2,即可得出△BCD的面积.‎ ‎【解答】①证明:连接AC,BE,作直线OC,如图所示:‎ ‎∵BE=EF,‎ ‎∴∠F=∠EBF;‎ ‎∵∠AEB=∠EBF+∠F,‎ ‎∴∠F=∠AEB,‎ ‎∵C是的中点,∴,‎ ‎∴∠AEC=∠BEC,‎ ‎∵∠AEB=∠AEC+∠BEC,‎ ‎∴∠AEC=∠AEB,‎ ‎∴∠AEC=∠F,‎ ‎∴CE∥BF;‎ ‎②解:∵∠DAE=∠DCB,∠AED=∠CEB,‎ ‎∴△ADE∽△CBE,‎ ‎∴,即,‎ ‎∵∠CBD=∠CEB,∠BCD=∠ECB,‎ ‎∴△CBE∽△CDB,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴CB=2,‎ ‎∴AD=6,‎ ‎∴AB=8,‎ ‎∵点C为劣弧AB的中点,‎ ‎∴OC⊥AB,AG=BG=AB=4,‎ ‎∴CG==2,‎ ‎∴△BCD的面积=BD•CG=×2×2=2.‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识;熟练掌握圆周角定理和垂径定理,证明三角形相似是解决问题的关键.‎ ‎ ‎ ‎26.(12分)(2017•株洲)已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1,‎ ‎①当b=1时,求这个二次函数的对称轴的方程; ‎ ‎②若c=﹣b2﹣2b,问:b为何值时,二次函数的图象与x轴相切?‎ ‎③若二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2,与y轴的正半轴交于点M,以AB为直径的半圆恰好过点M,二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F,且满足=,求二次函数的表达式.‎ ‎【分析】①二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x=,即可得出答案;‎ ‎②二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为(,),y由二次函数的图象与x轴相切且c=b2﹣2b,得出方程组,求出b即可;‎ ‎③由圆周角定理得出∠AMB=90°,证出∠OMA=∠OBM,得出△OAM∽△OMB,得出OM2=OA•OB,由二次函数的图象与x轴的交点和根与系数关系得出OA=﹣x1,OB=x2,x1+x2,=b,x1•x2=﹣(c+1),得出方程(c+1)2=c+1,得出c=0,OM=1,证明△BDE∽△BOM,△AOM∽△ADF,得出,,得出OB=4OA,即x2=﹣4x1,由x1•x2=﹣(c+1)=﹣1,得出方程组,解方程组求出b的值即可.‎ ‎【解答】解:①二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x=,‎ 当b=1时,=,‎ ‎∴当b=1时,求这个二次函数的对称轴的方程为x=.‎ ‎②二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为(,),‎ ‎∵二次函数的图象与x轴相切且c=﹣b2﹣2b,‎ ‎∴,解得:b=,‎ ‎∴b为,二次函数的图象与x轴相切.‎ ‎③∵AB是半圆的直径,‎ ‎∴∠AMB=90°,‎ ‎∴∠OAM+∠OBM=90°,‎ ‎∵∠AOM=∠MOB=90°,‎ ‎∴∠OAM+∠OMA=90°,‎ ‎∴∠OMA=∠OBM,‎ ‎∴△OAM∽△OMB,‎ ‎∴,‎ ‎∴OM2=OA•OB,‎ ‎∵二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),‎ ‎∴OA=﹣x1,OB=x2,x1+x2,=b,x1•x2=﹣(c+1),‎ ‎∵OM=c+1,‎ ‎∴(c+1)2=c+1,‎ 解得:c=0或c=﹣1(舍去),‎ ‎∴c=0,OM=1,‎ ‎∵二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F,且满足=,‎ ‎∴AD=BD,DF=4DE,‎ DF∥OM,‎ ‎∴△BDE∽△BOM,△AOM∽△ADF,‎ ‎∴,,‎ ‎∴DE=,DF=,‎ ‎∴×4,‎ ‎∴OB=4OA,即x2=﹣4x1,‎ ‎∵x1•x2=﹣(c+1)=﹣1,‎ ‎∴,解得:,‎ ‎∴b=﹣+2=,‎ ‎∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+1.‎ ‎【点评】本题是二次函数综合题目,考查了二次函数的性质、二次函数的图象与x轴的交点、顶点坐标、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、根与系数是关系等知识;本题综合性强,有一定难度.‎ ‎ ‎
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