2020年贵州省黔东南州中考数学试卷

2020年贵州省黔东南州中考数学试卷

2020 年贵州省黔东南州中考数学试卷 一、选择题（每小题 4 分，10 个小题，共 40 分） 1．（4 分） 2020 的倒数是 ( ) A． 2020 B． 1 2020  C．2020 D． 1 2020 2．（4 分）下列运算正确的是 ( ) A． 2 2 2( )x y x y   B． 3 4 7x x x  C． 3 2 6x x x D． 2 2( 3 ) 9x x  3．（4 分）实数 2 10 介于 ( ) A．4 和 5 之间 B．5 和 6 之间 C．6 和 7 之间 D．7 和 8 之间 4．（4 分）已知关于 x 的一元二次方程 2 5 0x x m   的一个根是 2，则另一个根是 ( ) A． 7 B．7 C．3 D． 3 5．（4 分）如图，将矩形 ABCD 沿 AC 折叠，使点 B 落在点 B 处， B C 交 AD 于点 E ，若 25l  ，则 2 等于 ( ) A． 25 B．30 C．50 D． 60 6．（4 分）桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所 示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有 ( ) A．12 个 B．8 个 C．14 个 D．13 个 7．（4 分）如图， O 的直径 20CD  ，AB 是 O 的弦，AB CD ，垂足为 M ， : 3:5OM OC  ， 则 AB 的长为 ( ) A．8 B．12 C．16 D． 2 91 8．（4 分）若菱形 ABCD 的一条对角线长为 8，边 CD 的长是方程 2 10 24 0x x   的一个根， 则该菱形 ABCD 的周长为 ( ) A．16 B．24 C．16 或 24 D．48 9．（4 分）如图，点 A 是反比例函数 6 ( 0)y xx   上的一点，过点 A 作 AC y 轴，垂足为点 C ，AC 交反比例函数 2y x  的图象于点 B ，点 P 是 x 轴上的动点，则 PAB 的面积为 ( ) A．2 B．4 C．6 D．8 10．（4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，O 为对角线的交点，点 E 、F 分别为 BC 、AD 的中点．以 C 为圆心，2 为半径作圆弧 BD ，再分别以 E 、F 为圆心，1 为半径作圆弧 BO 、 OD ，则图中阴影部分的面积为 ( ) A． 1  B． 2  C． 3  D． 4  二．填空题：（每小题 3 分，10 个小题，共 30 分） 11．（3 分） cos60  ． 12．（3 分）2020 年以来，新冠肺炎橫行，全球经济遭受巨大损失，人民生命安全受到巨大 威胁．截止 6 月份，全球确诊人数约 3200000 人，其中 3200000 用科学记数法表示为 ． 13．（3 分）在实数范围内分解因式： 2 4xy x  ． 14．（3 分）不等式组 5 1 3( 1) 1 11 42 3 x x x x      „ 的解集为 ． 15．（3 分）把直线 2 1y x  向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，则平移后 所得直线的解析式为 ． 16．（3 分）抛物线 2 ( 0)y ax bx c a    的部分图象如图所示，其与 x 轴的一个交点坐标为 ( 3,0) ，对称轴为 1x   ，则当 0y  时， x 的取值范围是 ． 17．（3 分）以 ABCD 对角线的交点 O 为原点，平行于 BC 边的直线为 x 轴，建立如图所示 的平面直角坐标系．若 A 点坐标为 ( 2,1) ，则 C 点坐标为 ． 18．（3 分）某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场 顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是 ． 19．（3 分）如图， AB 是半圆 O 的直径， AC AD ， 2OC  ， 30CAB   ，则点 O 到 CD 的距离 OE 为 ． 20．（3 分）如图，矩形 ABCD 中， 2AB  ， 2BC  ， E 为 CD 的中点，连接 AE 、 BD 交 于点 P ，过点 P 作 PQ BC 于点 Q ，则 PQ  ． 三、解答题：（6 个小题，共 80 分） 21．（14 分）（1）计算： 2 01( ) | 2 3| 2tan 45 (2020 )2        ； （2）先化简，再求值： 2 2 3 4( 1)1 2 1 aaa a a      ，其中 a 从 1 ，2，3 中取一个你认为合 适的数代入求值． 22．（12 分）某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩 x 分 (x 为整数）评定 为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用 A 、B 、C 、D 表示），A 等级：90 100x„ „ ，B 等级：80 90x „ ，C 等级：60 80x „ ，D 等级：0 60x „ ．该 校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表． 等级 频数（人数） 频率 A a 20% B 16 40% C b m D 4 10% 请你根据统计图表提供的信息解答下列问题： （1）上表中的 a ， b  ， m  ． （2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图． （3）若从 D 等级的 4 名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求 抽取的两名学生恰好是一男一女的概率． 23．（12 分）如图，AB 是 O 的直径，点 C 是 O 上一点（与点 A ，B 不重合），过点 C 作 直线 PQ ，使得 ACQ ABC   ． （1）求证：直线 PQ 是 O 的切线． （2）过点 A 作 AD PQ 于点 D ，交 O 于点 E ，若 O 的半径为 2， 1sin 2DAC  ，求 图中阴影部分的面积． 24．（14 分）黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进 3 件甲商品和 2 件乙商品，需 60 元；购进 2 件甲商品和 3 件乙商品，需 65 元． （1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设甲商品的销售单价为 x （单位：元 / 件），在销售过程中发现：当11 19x„ „ 时，甲商 品的日销售量 y （单位：件）与销售单价 x 之间存在一次函数关系， x 、 y 之间的部分数值 对应关系如表： 销售单价 x （元 / 件） 11 19 日销售量 y （件 ) 18 2 请写出当11 19x„ „ 时， y 与 x 之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为 w 元，当甲商品的销售单价 x （元 / 件） 定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 25．（14 分）如图 1， ABC 和 DCE 都是等边三角形． 探究发现 （1） BCD 与 ACE 是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 拓展运用 （2）若 B 、 C 、 E 三点不在一条直线上， 30ADC   ， 3AD  ， 2CD  ，求 BD 的长． （3）若 B 、 C 、 E 三点在一条直线上（如图 2) ，且 ABC 和 DCE 的边长分别为 1 和 2， 求 ACD 的面积及 AD 的长． 26．（14 分）已知抛物线 2 ( 0)y ax bx c a    与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左边）， 与 y 轴交于点 (0, 3)C  ，顶点 D 的坐标为 (1, 4) ． （1）求抛物线的解析式． （2）在 y 轴上找一点 E ，使得 EAC 为等腰三角形，请直接写出点 E 的坐标． （3）点 P 是 x 轴上的动点，点 Q 是抛物线上的动点，是否存在点 P 、Q ，使得以点 P 、Q 、 B 、 D 为顶点， BD 为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 、 Q 坐标；若不 存在，请说明理由． 2020 年贵州省黔东南州中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 4 分，10 个小题，共 40 分） 1．（4 分） 2020 的倒数是 ( ) A． 2020 B． 1 2020  C．2020 D． 1 2020 【分析】根据倒数的概念解答． 【解答】解： 2020 的倒数是 1 2020  ， 故选： B ． 【点评】本题考查的是求一个数的倒数，掌握求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 是解题的关键． 2．（4 分）下列运算正确的是 ( ) A． 2 2 2( )x y x y   B． 3 4 7x x x  C． 3 2 6x x x D． 2 2( 3 ) 9x x  【分析】直接利用完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的乘法运算和积的乘方运算法则 分别计算得出答案． 【解答】解： A 、 2 2 2( ) 2x y x xy y    ，故此选项错误； B 、 3 4x x ，不是同类项，无法合并，故此选项错误； C 、 3 2 5x x x ，故此选项错误； D 、 2 2( 3 ) 9x x  ，正确． 故选： D ． 【点评】此题主要考查了完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的乘法运算和积的乘方运 算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．（4 分）实数 2 10 介于 ( ) A．4 和 5 之间 B．5 和 6 之间 C．6 和 7 之间 D．7 和 8 之间 【分析】首先化简 2 10 40 ，再估算 40 ，由此即可判定选项． 【解答】解： 2 10 40 ，且 6 40 7  ， 6 2 10 7   ． 故选： C ． 【点评】此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数 学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 4．（4 分）已知关于 x 的一元二次方程 2 5 0x x m   的一个根是 2，则另一个根是 ( ) A． 7 B．7 C．3 D． 3 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：设另一个根为 x ，则 2 5x    ， 解得 7x   ． 故选： A ． 【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础 题型． 5．（4 分）如图，将矩形 ABCD 沿 AC 折叠，使点 B 落在点 B 处， B C 交 AD 于点 E ，若 25l  ，则 2 等于 ( ) A． 25 B．30 C．50 D． 60 【分析】由折叠的性质可得出 ACB  的度数，由矩形的性质可得出 / /AD BC ，再利用“两 直线平行，内错角相等”可求出 2 的度数． 【解答】解：由折叠的性质可知： 1 25ACB      ． 四边形 ABCD 为矩形， / /AD BC ， 2 1 25 25 50ACB           ． 故选： C ． 【点评】本题考查了平行线的性质以及矩形的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解 题的关键． 6．（4 分）桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所 示，则组成这个几何体的小正方体的个数最多有 ( ) A．12 个 B．8 个 C．14 个 D．13 个 【分析】易得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最多有几个正方体组成即可． 【解答】解：底层正方体最多有 9 个正方体，第二层最多有 4 个正方体，所以组成这个几何 体的小正方体的个数最多有 13 个． 故选： D ． 【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解决本题的关键是利用“主视图疯狂盖， 左视图拆违章”找到所需最多正方体的个数． 7．（4 分）如图， O 的直径 20CD  ，AB 是 O 的弦，AB CD ，垂足为 M ， : 3:5OM OC  ， 则 AB 的长为 ( ) A．8 B．12 C．16 D． 2 91 【分析】连接 OA ，先根据 O 的直径 20CD  ， : 3:5OM OD  求出 OD 及 OM 的长，再 根据勾股定理可求出 AM 的长，进而得出结论． 【解答】解：连接 OA ， O 的直径 20CD  ， : 3:5OM OD  ， 10OD  ， 6OM  ， AB CD ， 2 2 2 210 6 8AM OA OM      ， 2 16AB AM   ． 故选： C ． 【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关 键． 8．（4 分）若菱形 ABCD 的一条对角线长为 8，边 CD 的长是方程 2 10 24 0x x   的一个根， 则该菱形 ABCD 的周长为 ( ) A．16 B．24 C．16 或 24 D．48 【分析】解方程得出 4x  ，或 6x  ，分两种情况：①当 4AB AD  时， 4 4 8  ，不能 构成三角形；②当 6AB AD  时， 6 6 8  ，即可得出菱形 ABCD 的周长． 【解答】解：如图所示： 四边形 ABCD 是菱形， AB BC CD AD    ， 2 10 24 0x x   ， 因式分解得： ( 4)( 6) 0x x   ， 解得： 4x  或 6x  ， 分两种情况： ①当 4AB AD  时， 4 4 8  ，不能构成三角形； ②当 6AB AD  时， 6 6 8  ， 菱形 ABCD 的周长 4 24AB  ． 故选： B ． 【点评】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形 的性质，由三角形的三边关系得出 AB 是解决问题的关键． 9．（4 分）如图，点 A 是反比例函数 6 ( 0)y xx   上的一点，过点 A 作 AC y 轴，垂足为点 C ，AC 交反比例函数 2y x  的图象于点 B ，点 P 是 x 轴上的动点，则 PAB 的面积为 ( ) A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】连接 OA 、OB 、 PC ．由于 AC y 轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比 例系数 k 的几何意义得到 3APC AOCS S   ， 1BPC BOCS S   ，然后利用 PAB APC APBS S S    进行计算． 【解答】解：如图，连接 OA 、 OB 、 PC ． AC y 轴， 1 | 6| 32APC AOCS S      ， 1 | 2 | 12BPC BOCS S     ， 2PAB APC BPCS S S      ． 故选： A ． 【点评】本题考查了反比例函数 ( 0)ky kx   系数 k 的几何意义：即图象上的点与原点所连 的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系即 1 | |2S k ．也考查 了三角形的面积． 10．（4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，O 为对角线的交点，点 E 、F 分别为 BC 、AD 的中点．以 C 为圆心，2 为半径作圆弧 BD ，再分别以 E 、F 为圆心，1 为半径作圆弧 BO 、 OD ，则图中阴影部分的面积为 ( ) A． 1  B． 2  C． 3  D． 4  【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以 2 为半径的四分之一个圆的面积减去以 1 为半径的半圆的面积再减去 2 个以边长为 1 的正方形的面积减去以 1 半径的四分之一个圆 的面积，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， 阴影部分的面积是： 2 2 21 1 12 1 2(1 1 1 ) 24 2 4               ， 故选： B ． 【点评】本题考查扇形的面积的计算，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条 件，利用数形结合的思想解答． 二．填空题：（每小题 3 分，10 个小题，共 30 分） 11．（3 分） cos60  1 2 ． 【分析】根据记忆的内容， 1cos60 2   即可得出答案． 【解答】解： 1cos60 2   ． 故答案为： 1 2 ． 【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，注意掌握特殊角的三角函数值，这 是需要我们熟练记忆的内容． 12．（3 分）2020 年以来，新冠肺炎橫行，全球经济遭受巨大损失，人民生命安全受到巨大 威胁．截止 6 月份，全球确诊人数约 3200000 人，其中 3200000 用科学记数法表示为 63.2 10 ． 【分析】科学记数法的表示形式为 10na  的形式，其中1 | | 10a „ ， n 为整数．确定 n 的值 时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值 10… 时， n是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数． 【解答】解： 63200000 3.2 10  ． 故答案为： 63.2 10 ． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 10na  的形式，其中 1 | | 10a „ ， n为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的值． 13．（3 分）在实数范围内分解因式： 2 4xy x  ( 2)( 2)x y y  ． 【分析】本题可先提公因式 x ，再运用平方差公式分解因式即可求解． 【解答】解： 2 4xy x 2( 4)x y  ( 2)( 2)x y y   ． 故答案为： ( 2)( 2)x y y  ． 【点评】本题考查了提公因式法，平方差公式分解因式的方法，正解运用公式法分解因式是 关键 14．（3 分）不等式组 5 1 3( 1) 1 11 42 3 x x x x      „ 的解集为 2 6x „ ． 【分析】先根据解不等式的基本步骤求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可 确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式 5 1 3( 1)x x   ，得： 2x  ， 解不等式 1 11 42 3x x „ ，得： 6x„ ， 则不等式组的解集为 2 6x „ ， 故答案为： 2 6x „ ． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同 大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 15．（3 分）把直线 2 1y x  向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，则平移后 所得直线的解析式为 2 3y x  ． 【分析】直接利用一次函数的平移规律进而得出答案． 【解答】解：把直线 2 1y x  向左平移 1 个单位长度，得到 2( 1) 1 2 1y x x     ， 再向上平移 2 个单位长度，得到 2 3y x  ． 故答案为： 2 3y x  ． 【点评】此题主要考查了一次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键． 16．（3 分）抛物线 2 ( 0)y ax bx c a    的部分图象如图所示，其与 x 轴的一个交点坐标为 ( 3,0) ，对称轴为 1x   ，则当 0y  时， x 的取值范围是 3 1x   ． 【分析】根据物线与 x 轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与 x 轴的 另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当 0y  时， x 的取值范围． 【解答】解：物线 2 ( 0)y ax bx c a    与 x 轴的一个交点坐标为 ( 3,0) ，对称轴为 1x   ， 抛物线与 x 轴的另一个交点为 (1,0) ， 由图象可知，当 0y  时， x 的取值范围是 3 1x   ． 故答案为： 3 1x   ． 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与 x 轴的另 一个交点． 17．（3 分）以 ABCD 对角线的交点 O 为原点，平行于 BC 边的直线为 x 轴，建立如图所示 的平面直角坐标系．若 A 点坐标为 ( 2,1) ，则 C 点坐标为 (2, 1) ． 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据 ABCD 对角线的交点 O 为原点和点 A 的 坐标，即可得到点 C 的坐标． 【解答】解： ABCD 对角线的交点 O 为原点， A 点坐标为 ( 2,1) ， 点 C 的坐标为 (2, 1) ， 故答案为： (2, 1) ． 【点评】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形性质，解答本题的关键是明确题意，利用 平行四边形的性质解答． 18．（3 分）某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场 顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是 1 6 ． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与出场顺序恰好是 甲、乙、丙的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：画出树状图得： 共有 6 种等可能的结果，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的只有 1 种结果， 出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为 1 6 ， 故答案为： 1 6 ． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗 漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完 成的事件．注意概率  所求情况数与总情况数之比． 19．（3 分）如图， AB 是半圆 O 的直径， AC AD ， 2OC  ， 30CAB   ，则点 O 到 CD 的距离 OE 为 2 ． 【分析】在等腰 ACD 中，顶角 30A   ，易求得 75ACD   ；根据等边对等角，可得： 30OCA A    ，由此可得， 45OCD  ；即 COE 是等腰直角三角形，则 2OE  ． 【解答】解： AC AD ， 30A   ， 75ACD ADC     ， AO OC ， 30OCA A    ， 45OCD   ，即 OCE 是等腰直角三角形， 在等腰 Rt OCE 中， 2OC  ； 因此 2OE  ． 故答案为： 2 ． 【点评】本题综合考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、解直角三角形等知识的 应用． 20．（3 分）如图，矩形 ABCD 中， 2AB  ， 2BC  ， E 为 CD 的中点，连接 AE 、 BD 交 于点 P ，过点 P 作 PQ BC 于点 Q ，则 PQ  4 3 ． 【分析】根据矩形的性质得到 / /AB CD ， AB CD ， AD BC ， 90BAD   ，根据线段 中点的定义得到 1 1 2 2DE CD AB  ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， / /AB CD ， AB CD ， AD BC ， 90BAD  ， E 为 CD的中点， 1 1 2 2DE CD AB   ， ABP EDP ∽ ，  AB PB DE PD  ，  2 1 PB PD  ，  2 3 PB BD  ， PQ BC ， / /PQ CD ， BPQ DBC ∽ ，  2 3 PQ BP CD BD   ， 2CD  ， 4 3PQ  ， 故答案为： 4 3 ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 三、解答题：（6 个小题，共 80 分） 21．（14 分）（1）计算： 2 01( ) | 2 3| 2tan 45 (2020 )2        ； （2）先化简，再求值： 2 2 3 4( 1)1 2 1 aaa a a      ，其中 a 从 1 ，2，3 中取一个你认为合 适的数代入求值． 【分析】（1）先算负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，再算加减法即 可求解； （2）先通分，把除法转化成乘法，再把分式的分子与分母因式分解，然后约分，最后代入 一个合适的数即可． 【解答】解：（1） 2 01( ) | 2 3| 2tan 45 (2020 )2        4 2 3 2 1 1      4 2 3 2 1     2 2  ； （2） 2 2 3 4( 1)1 2 1 aaa a a      23 ( 1)( 1) ( 1) 1 ( 2)( 2) a a a a a a        ( 2)( 2) 1 a a a     1a   ， 要使原式有意义，只能 3a  ， 则当 3a  时，原式 3 1 4     ． 【点评】此题考查了分式的化简求值，用到的知识点是分式的减法、除法，关键是利用分式 的有关运算法则对要求的式子进行化简．同时考查了负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角 函数值，零指数幂的计算． 22．（12 分）某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩 x 分 (x 为整数）评定 为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用 A 、B 、C 、D 表示），A 等级：90 100x„ „ ，B 等级：80 90x „ ，C 等级：60 80x „ ，D 等级：0 60x „ ．该 校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表． 等级 频数（人数） 频率 A a 20% B 16 40% C b m D 4 10% 请你根据统计图表提供的信息解答下列问题： （1）上表中的 a 8 ， b  ， m  ． （2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图． （3）若从 D 等级的 4 名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求 抽取的两名学生恰好是一男一女的概率． 【分析】（1）根据题意列式计算即可得到结论； （2）用 D 等级人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数； （3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可． 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 16 40% 20% 8a     ， 16 40% (1 20% 40% 10%) 12b        ， 1 20% 40% 10% 30%m      ； 故答案为：8，12， 30% ； （2）本次调查共抽取了 4 10% 40  名学生； 补全条形图如图所示； （3）将男生分别标记为 A ， B ，女生标记为 a ， b ， A B a b A ( , )A B ( , )A a ( , )A b B ( , )B A ( , )B a ( , )B b a ( , )a A ( , )a B ( , )a b b ( , )b A ( , )b B ( , )b a 共有 12 种等可能的结果，恰为一男一女的有 8 种， 抽得恰好为“一男一女”的概率为 8 2 12 3  ． 【点评】本题考查了列表与树状图的知识，解题的关键是能够正确的列表，用到的知识点为： 概率  所求情况数与总情况数之比． 23．（12 分）如图，AB 是 O 的直径，点 C 是 O 上一点（与点 A ，B 不重合），过点 C 作 直线 PQ ，使得 ACQ ABC   ． （1）求证：直线 PQ 是 O 的切线． （2）过点 A 作 AD PQ 于点 D ，交 O 于点 E ，若 O 的半径为 2， 1sin 2DAC  ，求 图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接 OC ，由直径所对的圆周角为直角，可得 90ACB   ；利用等腰三角形 的性质及已知条件 ACQ ABC   ，可求得 90OCQ   ，按照切线的判定定理可得结论． （2）由 1sin 2DAC  ，可得 30DAC  ，从而可得 ACD 的 度数，进而判定 AEO 为等 边三角形，则 AOE 的度数可得；利用 AEOS S S 阴影 扇形 ，可求得答案． 【解答】解：（1）证明：如图，连接 OC ， AB 是 O 的直径， 90ACB   ， OA OC ， CAB ACO   ． ACQ ABC   ， 90CAB ABC ACO ACQ OCQ           ，即 OC PQ ， 直线 PQ 是 O 的切线． （2）连接 OE ， 1sin 2DAC  ， AD PQ ， 30DAC   ， 60ACD   ． 又 OA OE ， AEO 为等边三角形， 60AOE   ． AEOS S S  阴影 扇形 1 602S OA OE sin    扇形 260 1 32 2 2360 2 2       2 33   ． 图中阴影部分的面积为 2 33   ． 【点评】本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形及扇形和 三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 24．（14 分）黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进 3 件甲商品和 2 件乙商品，需 60 元；购进 2 件甲商品和 3 件乙商品，需 65 元． （1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设甲商品的销售单价为 x （单位：元 / 件），在销售过程中发现：当11 19x„ „ 时，甲商 品的日销售量 y （单位：件）与销售单价 x 之间存在一次函数关系， x 、 y 之间的部分数值 对应关系如表： 销售单价 x （元 / 件） 11 19 日销售量 y （件 ) 18 2 请写出当11 19x„ „ 时， y 与 x 之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为 w 元，当甲商品的销售单价 x （元 / 件） 定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是 a 、 b 元 / 件，由题意得关于 a 、 b 的二 元一次方程组，求解即可． （2）设 y 与 x 之间的函数关系式为 1 1y k x b  ，用待定系数法求解即可． （3）根据利润等于每件的利润乘以销售量列出函数关系式，然后写成顶点式，按照二次函 数的性质可得答案． 【解答】解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是 a 、 b 元 / 件，由题意得： 3 2 60 2 3 65 a b a b      ， 解得： 10 15 a b    ． 甲、乙两种商品的进货单价分别是 10、15 元 / 件． （2）设 y 与 x 之间的函数关系式为 1 1y k x b  ，将 (11,18) ， (19,2) 代入得： 1 1 1 1 11 18 19 2 k b k b      ，解得： 1 1 2 40 k b     ． y 与 x 之间的函数关系式为 2 40(11 19)y x x   „ „ ． （3）由题意得： ( 2 40)( 10)w x x    22 60 400x x    22( 15) 50(11 19)x x    „ „ ． 当 15x  时， w 取得最大值 50． 当甲商品的销售单价定为 15 元 / 件时，日销售利润最大，最大利润是 50 元． 【点评】本题考查了二元一次方程组和二次函数在实际问题中的应用及待定系数法求一次函 数的解析式等知识点，理清题中的数量关系并明确相关函数的性质是解题的关键． 25．（14 分）如图 1， ABC 和 DCE 都是等边三角形． 探究发现 （1） BCD 与 ACE 是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 拓展运用 （2）若 B 、 C 、 E 三点不在一条直线上， 30ADC   ， 3AD  ， 2CD  ，求 BD 的长． （3）若 B 、 C 、 E 三点在一条直线上（如图 2) ，且 ABC 和 DCE 的边长分别为 1 和 2， 求 ACD 的面积及 AD 的长． 【分析】（1）依据等式的性质可证明 BCD ACE   ，然后依据 SAS 可证明 ACE BCD   ； （2）由（1）知： BD AE ，利用勾股定理计算 AE 的长，可得 BD 的长； （3）如图 2，过 A 作 AF CD 于 F ，先根据平角的定义得 60ACD   ，利用特殊角的三 角函数可得 AF 的长，由三角形面积公式可得 ACD 的面积，最后根据勾股定理可得 AD 的 长． 【解答】解：（1）全等，理由是： ABC 和 DCE 都是等边三角形， AC BC  ， DC EC ， 60ACB DCE     ， ACB ACD DCE ACD       ， 即 BCD ACE   ， 在 BCD 和 ACE 中， CD CE BCD ACE BC AC       ， (ACE BCD   )SAS ； （2）如图 3，由（1）得： BCD ACE   ， BD AE  ， DCE 都是等边三角形， 60CDE   ， 2CD DE  ， 30ADC   ， 30 60 90ADE ADC CDE           ， 在 Rt ADE 中， 3AD  ， 2DE  ， 2 2 9 4 13AE AD DE      ， 13BD  ； （3）如图 2，过 A 作 AF CD 于 F ， B 、 C 、 E 三点在一条直线上， 180BCA ACD DCE       ， ABC 和 DCE 都是等边三角形， 60BCA DCE     ， 60ACD  ， 在 Rt ACF 中， sin AFACF AC   ， 3 3sin 1 2 2AF AC ACF       ， 1 1 3 322 2 2 2ACDS CD AF        ， 1 1cos 1 2 2CF AC ACF       ， 1 32 2 2FD CD CF     ， 在 Rt AFD 中， 2 2 2 2 23 3( ) ( ) 32 2AD AF FD     ， 3AD  ． 【点评】本题是三角形的综合题，主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的性质，熟 练掌握相关性质是解题的关键． 26．（14 分）已知抛物线 2 ( 0)y ax bx c a    与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左边）， 与 y 轴交于点 (0, 3)C  ，顶点 D 的坐标为 (1, 4) ． （1）求抛物线的解析式． （2）在 y 轴上找一点 E ，使得 EAC 为等腰三角形，请直接写出点 E 的坐标． （3）点 P 是 x 轴上的动点，点 Q 是抛物线上的动点，是否存在点 P 、Q ，使得以点 P 、Q 、 B 、 D 为顶点， BD 为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 、 Q 坐标；若不 存在，请说明理由． 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点 C 坐标代入求解，即可 得出结论； （2）先求出点 A ， C 坐标，设出点 E 坐标，表示出 AE ， CE ， AC ，再分三种情况建立 方程求解即可； （3）利用平移先确定出点 Q 的纵坐标，代入抛物线解析式求出点 Q 的横坐标，即可得出结 论． 【解答】解：（1）抛物线的顶点为 (1, 4) ， 设抛物线的解析式为 2( 1) 4y a x   ， 将点 (0, 3)C  代入抛物线 2( 1) 4y a x   中，得 4 3a    ， 1a  ， 抛物线的解析式为 2 2( 1) 4 2 3y a x x x      ； （2）由（1）知，抛物线的解析式为 2 2 3y x x   ， 令 0y  ，则 2 2 3 0x x   ， 1x   或 3x  ， (3,0)B ， ( 1,0)A  ， 令 0x  ，则 3y   ， (0, 3)C  ， 10AC  ， 设点 (0, )E m ，则 2 1AE m  ， | 3|CE m  ， ACE 是等腰三角形， ①当 AC AE 时， 210 1m  ， 3m  或 3m   （点 C 的纵坐标，舍去）， (3,0)E ， ②当 AC CE 时， 10 | 3|m  ， 3 10m    ， (0, 3 10)E   或 (0, 3 10)  ， ③当 AE CE 时， 2 1 | 3|m m   ， 4 3m   ， 4(0, )3E  ， 即满足条件的点 E 的坐标为 (0,3) 、 (0, 3 10)  、 (0, 3 10)  、 4(0, )3  ； （3）如图，存在， (1, 4)D  ， 将线段 BD 向上平移 4 个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点 B 的对应点落在 抛物线上，这样便存在点 Q ，此时点 D 的对应点就是点 P ， 点 Q 的纵坐标为 4， 设 ( ,4)Q t ， 将点 Q 的坐标代入抛物线 2 2 3y x x   中得， 2 2 3 4t t   ， 1 2 2t   或 1 2 2t   ， (1 2 2Q  ， 4) 或 (1 2 2 ， 4) ， 分别过点 D ， Q 作 x 轴的垂线，垂足分别为 F ， G ， 抛物线 2 2 3y x x   与 x 轴的右边的交点 B 的坐标为 (3,0) ，且 (1, 4)D  ， 3 1 2FB PG     ， 点 P 的横坐标为 (1 2 2) 2 1 2 2     或 (1 2 2) 2 1 2 2     ， 即 ( 1 2 2P   ， 0) 、 (1 2 2Q  ， 4) 或 ( 1 2 2P   ， 0) 、 (1 2 2Q  ， 4) ． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，平移的性质， 用方程的思想解决问题是解本题的关键．