中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义08 整式的乘除与因式分解（教师版）

中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义08 整式的乘除与因式分解（教师版）

专题 08 整式的乘除和因式分解 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 整式乘法 幂的运算性质（基础）：  a m ·a n ＝a m＋n （m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【同底数幂相乘注意事项】 1）底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。 2）不能疏忽指数为 1 的情况。 3）乘数 a可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。 4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。 1．（2018·河北中考真题）若 2n+2n+2n+2n=2，则 n=（ ） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D． 1 4 【答案】A 【详解】∵2n+2n+2n+2n=2， ∴4×2n=2， ∴2×2n=1， ∴21+n=1， ∴1+n=0， ∴n=﹣1， 故选 A． 2．（2012·江苏中考真题）若 39m27m= ，则 的值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】 ∵39m27m=332m33m=31+2m+3m ∴1+2m+3m=21 ∴m=4 故选 B 3．（2019·山东中考模拟）化简(﹣a2)•a5所得的结果是( ) A．a7 B．﹣a7 C．a10 D．﹣a10 【答案】B 【详解】 (-a2)·a5=-a7. 故选 B.  (am)n＝amn （m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【同底数幂相乘注意事项】负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。 1．（2019·浙江省温岭市第四中学中考模拟）下列计算正确的是（ ） A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．a6﹣a2＝a4 D．a5+a5＝a10 【答案】B 【详解】 A、a2•a3=a5，错误； B、（a2）3=a6，正确； C、不是同类项，不能合并，错误； D、a5+a5=2a5，错误； 故选 B． 2．（2019·辽宁中考模拟）下列运算正确的是（ ） A．a2•a2=2a2 B．a2+a2=a4 C．（a3）2=a6 D．a8÷a2=a4 【答案】C 【详解】A、a2•a2=a4，错误； B、a2+a2=2a2，错误； C、（a3）2=a6，正确； D、a8÷a2=a6，错误， 故选 C． 3．（2018·浙江中考模拟）计算（﹣a3）2的结果是（ ） A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6 【答案】C 根据幂的乘方和积的乘方的运算法则可得：（﹣a3）2=a6．故选 C．  (ab) n ＝a n b n （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积． 1．（2018·湖南中考真题）下列运算正确的是（ ） A． 3 3 9·x x x B． 8 4 2x x x  C．  23 6ab ab D．  3 32 8x x 【答案】D 【详解】 A、错误．应该是 x3•x3=x6； B、错误．应该是 x8÷x4=x4； C、错误．（ab3）2=a2b6． D、正确． 故选 D． 2．（2018·贵州中考真题）下列运算正确的是（ ） A．（﹣a2）3=﹣a5 B．a3•a5=a15 C．（﹣a2b3）2=a4b6 D．3a2﹣2a2=1 【答案】C 【详解】 解：A. （﹣a2）3=﹣a6，故此选项错误； B. a3•a5=a8 ，故此选项错误； C.（﹣a2b3）2=a4b6 ，正确； D. 3a2﹣2a2=a2，故此选项错误； 故选：C．  a m ÷a n ＝a m－n （a≠0，m、n都是正整数，且 m＞n） 同底数幂相除，底数不变，指数减． 【同底数幂相除注意事项】 1.因为 0 不能做除数，所以底数 a≠0. 2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。 3.注意指数为 1 的情况，如 x8÷x= x7 ，计算时候容易遗漏或将 x的指数当做 0. 4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。  a0＝1 （a≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于 l． 1．（2016·江苏中考真题）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 A选项：、不是同类项，不能合并，故是错误的； B选项： ，故是错误的； C选项： ，故是正确的； D选项： ，故是错误的； 故选 C. 2.．（2018·丹东市第十八中学中考模拟）下列计算正确的是( ). A． 2 2 4x x x+ = B． 8 2 4x x x  C． 2 3 6x x x  D． 2 2( ) 0x x   【答案】D 【详解】 A选项中，因为 2 2 22x x x  ，所以 A中计算错误； B选项中，因为 8 2 6x x x  ，所以 B中计算错误； C选项中，因为 2 3 5x x x× = ，所以 C中计算错误； D选项中，因为 2 2 2 2( ) 0x x x x     ，所以 D中计算正确. 故选 D. 3．（2016·福建中考模拟）下列运算正确的是( ) A．2a2+a=3a3 B．(m2)3=m5 C．(x+y)2=x2+y2 D．a6÷a3=a3 【答案】D 【详解】 A、2a2与 a不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、（m2）3=m2×3=m6，故本选项错误； C、（x+y）2=x2+2xy+y2，故本选项错误； D、a6÷a3=a6-3=a3，故本选项正确． 故选 D． 考查题型一 幂的运算法则的应用 1．（2019·浙江杭州外国语学校中考模拟）若 2m＝5，4n＝3，则 43n﹣m的值是( ) A． 9 10 B． 27 25 C．2 D．4 【答案】B 【详解】 ∵2m＝5，4n＝3， ∴43n﹣m= 34 4 n m = 3 2 (4 ) (2 ) n m = 3 2 3 5 = 27 25 故选 B. 2．（2019·海口市长流中学中考模拟）已知 x+y﹣4=0，则 2y•2x的值是( ) A．16 B．﹣16 C． 1 8 D．8 【答案】A 【详解】 ∵x+y－4=0，∴x+y=4，∴2y·2x=2x+y=24=16. 故选 A. 3．（2012·山东中考真题）若, 97，则 y的值为（ ） A． 7 B．7 C． D． 7 【答案】A 【详解】 ∵, 97， ∴ y y 9 7 ; 故选 A。 4．（2018·江苏中考模拟）若 3 9 15( )m na b a b ，则 ,m n的值分别为( ) A．9，5 B．3，5 C．5，3 D．6，12 【答案】B ∵（ambn）3=a9b15， ∴a3mb3n=a9b15， ∴3m=9，3n=15， ∴m=3，n=5， 故选 B． 5．（2018·湖南中考模拟）已知 am=2，an=3，则 a3m+2n的值是（ ） A．24 B．36 C．72 D．6 【答案】C 【详解】 ∵am=2，an=3， ∴a3m+2n =a3m•a2n =（am）3•（an）2 =23×32 =8×9 =72． 故选 C. 考查题型二 运用幂的原酸法则比较大小 1．（2019·杭州市余杭区乾元中学中考模拟）若 9 99 99 9 a  ， 9 90 11 9 b  ，则下列结论正确是（ ） A．a＜b B． a b C．a＞b D． 1ab  【答案】B 【详解】  99 9 9 9 99 90 9 9 90 90 9 1199 9 11 11= = = 9 9 9 9 9 a b      ， 故选 B. 2．（2017·湖北中考模拟）已知 31 41 6181 27 9a b c  ， ， ，则a b c、 、 的大小关系是（ ） A．a b c＞ ＞ B． a c b＞ ＞ C． a b c＜ ＜ D．b c a＞ ＞ 【答案】A 【详解】 解： 31 124 123 61 122a 81 3 b 3 c 9 3 a b c.      ， ， ， 故选 A. 知识点二 整式乘除  单项式×单项式 单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含 有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 单项式乘法易错点： 【注意】 1. 单项式乘以单项式的结果仍是单项式。 2. 运算顺序：先算乘方，再算乘法。 1．（2017·安徽中考模拟） 2( ) ( )m m ma a 不等于（ ） A． 2( )m ma  B． 2( )m ma a C． 2 2m ma  D． 3 1( ) ( )m m ma a  【答案】C 【详解】    2mm ma a = 2ma · 2ma = 2 2m ma  . A中，  2 mma  = 2 2m ma  ，故 A正确； B中，  2 mma a =（ 2ma  ）m= 2 2m ma  , 故 B正确； C中， 2 2m ma  = 22ma ，故 C错误； D中，    3 1 mm ma a  = 23m m ma a  = 2 2m ma  , 故 D正确. 故选 C. 2．（2018·山东中考模拟）计算：（−x）3·2x的结果是 A．−2x4 B．−2x3 C．2x4 D．2x3 【答案】A 【详解】 （﹣x）3•2x=﹣x3•2x =﹣2x4． 故选：A． 3．（2018·湖南中考模拟）如果单项式－3x4a－by2与 x3ya＋b的和是单项式，那么这两个单项式的积是（ ） A．3x6y4 B．－3x3y2 C．－3x3y2 D．－3x6y4 【答案】D 【详解】 由同类项的定义，得 4 3 2 a b a b    ＝ ＝ ， 解得 1 1 a b ＝ ＝    ． 所以原单项式为：-3x3y2和 x3y2，其积是-3x6y4． 故选：D．  单项式×多项式 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 【单项式乘以多项式注意事项】 1.单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。 2.单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负） 3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。 1.（2018·湖北中考真题）计算（a﹣2）（a+3）的结果是（ ） A．a2﹣6 B．a2+a﹣6 C．a2+6 D．a2﹣a+6 【答案】B 【详解】 （a﹣2）（a+3）=a2+3a-2a-6=a2+a﹣6， 故选 B． 2．（2019·山东中考真题）计算 2 2 3( 2 ) ( 3 )m m m m     的结果是（ ） A．8m5 B．-8m5 C．8m6 D．-4m4+12m5 【答案】A 【详解】 原式=4m2•2m3 =8m5， 故选 A． 3．（2019·广西中考真题）计算： 2( 1)x x  （ ） A． 3 1x  B． 3x x C． 3x x D． 2x x 【答案】B 【详解】 解： 2 3( 1)x x x x   ； 故选：B．  多项式×多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 【多项式乘以多项式注意事项】 多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包 括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。 1．（2018·内蒙古中考模拟）计算 ( 1)( 2)x x  的结果为( ) A． 2 2x  B． 2 3 2x x  C． 2 3 3x x  D． 2 2 2x x  【答案】B 【详解】 解：原式 2 22 2 3 2.x x x x x       故选 B. 2．（2018·湖北中考模拟）计算（x－2）（x+5）的结果是 A．x2+3x+7 B．x2+3x+10 C．x2+3x－10 D．x2－3x－10 【答案】C 【详解】 ʹ ʹ 故选：C. 3．（2015·广东中考真题）若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则 m+n=（ ） A．1 B．-2 C．-1 D．2 【答案】C 【详解】 依据多项式乘以多项式的法则，进行计算（x+2）（x-1）= 2x +x﹣2 = 2x +mx+n，然后对照各项的系数即可 求出 m=1，n=﹣2，所以 m+n=1﹣2=﹣1． 故选：C  乘法公式 1 完全平方公式：（a＋b） 2 ＝a 2 ＋2ab＋b 2 （a－b）2＝a2－2ab＋b2 【扩展】 扩展一(公式变化)： + -2ab + +2ab 扩展二： + = 2(+ ) - = 4ab 扩展三： + + = -2ab-2ac-2bc ② 平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a 2 －b 2 【运用平方差公式注意事项】 1.对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公 式． 2.公式中的字母 a、b 可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、 多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误． 1．（2018·河北中考真题）将 9.52变形正确的是（ ） A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5） C．9.52=102﹣2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52 【答案】C 【详解】 9.52=（10﹣0.5）2=102﹣2×10×0.5+0.52， 或 9.52=（9+0.5）2=92+2×9×0.5+0.52， 观察可知只有 C选项符合， 故选 C． 2．（2018·四川中考模拟）已知 x2+mx+25是完全平方式，则 m的值为（ ） A．10 B．±10 C．20 D．±20 【答案】B 【详解】 ∵x2+mx+25是完全平方式， ∴m=±10， 故选：B． 3．（2018·甘肃中考模拟）已知一个圆的半径为 Rcm，若这个圆的半径增加 2cm，则它的面积增加（ ） A．4πcm2 B．（2πR+4π）cm2 C．（4πR+4π）cm2 D．以上都不对 【答案】C 【详解】 半径为 Rcm的圆的面积是 S1=πR2，若这个圆的半径增加 2cm，则其面积是 S2=π（R+2）2，用增加后的圆的 面积减去增加前圆的面积，利用平方差公式计算即可． 详解：∵S2﹣S1=π（R+2）2﹣πR2=π（R+2﹣R）（R+2+R）=4πR+4π， ∴它的面积增加 4πR+4πcm2． 故选 C． 4．（2019·上海中考模拟）下列各式的变形中，正确的是( ) A．(－x－y)(－x＋y)＝x2－y2 B．ʹ －x＝ʹ C．x2－4x＋3＝(x－2)2＋1 D．x÷(x2＋x)＝ʹ ＋1 【答案】A 【详解】 根据平方差公式可得 A正确；根据分式的减法法则可得：B=ʹ ；根据完全平方公式可得：C= －1； 根据单项式除以多项式的法则可得：D= ʹ ʹ ．  单项式÷单项式 一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它 的指数作为商的一个因式. 【同底数幂相除注意事项】 1.因为 0 不能做除数，所以底数 a≠0. 2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。 3.注意指数为 1 的情况，计算时候容易遗漏或将 x 的指数当做 0. 4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。 1．（2018·陕西中考模拟）下列各式中，计算正确的是（ ） A．2x+3y=5xy B．x6÷x2=x3 C．（﹣2x3y）3=﹣8x9y3 D．x2y•x3y=x5y 【答案】C 【详解】 2x+3y= 2x+3y≠5xy，故 A错误. x6÷x2=x4，故 B错误，x2y•x3y=x5y2，故 D错误.选 C. 2．（2018·湖南中考真题）下列运算正确的是( ) A．2 3 5a b ab  B． 2 2( )ab a b  C． 2 4 8a a a  D． 6 3 3 2 2a a a  【答案】D 【详解】 A、2a与 3b不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、原式=a2b2，故本选项错误； C、原式=a6，故本选项错误； D、原式=2a3，故本选项正确． 故选：D． 3.（2019·江苏中考真题）如图，数轴上有O、 A、B三点，O为O原点，OA、OB分别表示仙女座星系、 M87黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点 B表示的数最为接近的是（ ） A． 65 10 B． 710 C． 75 10 D． 810 【答案】D 【详解】 A. （ 65 10 ）÷（ 62.5 10 ）=2，观察数轴，可知 A选项不符合题意； B. 710 ÷（ 62.5 10 ）=4，观察数轴，可知 B选项不符合题意； C. 75 10 ÷（ 62.5 10 ）=20，观察数轴，可知 C选项不符合题意； D. 810 ÷（ 62.5 10 ）=40，从数轴看比较接近，可知 D选项符合题意， 故选 D．  多项式÷单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 【解题思路】 多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。 1．（2019·河南中考模拟）下列运算结果正确的是（ ） A．（x3﹣x2+x）÷x=x2﹣x B．（﹣a2）•a3=a6 C．（﹣2x2）3=﹣8x6 D．4a2﹣（2a）2=2a2 【答案】C 【详解】 A、（x3-x2+x）÷x=x2-x+1，此选项计算错误； B、（-a2）•a3=-a5，此选项计算错误； C、（-2x2）3=-8x6，此选项计算正确； D、4a2-（2a）2=4a2-4a2=0，此选项计算错误. 故选：C． 2．（2017·海南中考模拟）已知长方形的面积为 18x3y4＋9xy2－27x2y2，长为 9xy，则宽为( ) A．2x2y3＋y＋3xy B．2x2y2－2y＋3xy C．2x2y3＋2y－3xy D．2x2y3＋y－3xy 【答案】D 由题意得： 长方形的宽    3 4 2 2 2 2 3 2 318 9 27 9 9 2 3 9 2 3x y xy x y xy xy x y y xy xy x y y xy           ． 故选 D． 3．（2015·福建中考真题） 下列运算正确的是（ ） A． B． C． ʹ D． 【答案】C 【详解】 A． ，故错误； B．与布什同类项，不能进行合并； C． ʹ，正确； D． ʹ，故错误， 故选 C．  整式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。 1．（2017·安徽中考模拟）设 M=(x﹣3)(x﹣7)，N=(x﹣2)(x﹣8)，则M与 N的关系为( ) A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不能确定 【答案】B 【详解】 解：∵M=（x-3）（x-7）=x2-10x+21， N=（x-2）（x-8）=x2-10x+16， M-N=（x2-10x+21）-（x2-10x+16）=5， ∴M>N． 故选 B． 2．（2018·广西中考模拟）点 A（a，3）与点 B（4，b）关于 y轴对称，则（a+b）2017的值为（ ） A．0 B．﹣1 C．1 D．72017 【答案】B 【详解】 解：由题意，得 a=-4，b=3． （a+b）2017=（-1）2017=-1， 故选：B． 3．（2018·江苏中考真题）计算：（1）（﹣2）2×|﹣3|﹣（ 6 ）0；（2）（x+1）2﹣（x2﹣x） 【答案】（1）11；（2）3x+1． 【详解】 （1）（-2）2×|-3|-（ 6 ）0 =4×3-1 =12-1 =11； （2）（x+1）2-（x2-x） =x2+2x+1-x2+x =3x+1． 考查题型三 利用多项式与多项式乘积中项的特征求待定字母的值的方法 1．（2018·山东中考模拟）若（x﹣2）（x2+ax+b）的积中不含 x的二次项和一次项，求（2a+b+1）（2a﹣b﹣1） ﹣（a+2b）（﹣2b+a）+2b的值． 【答案】59. 【详解】 解：（x﹣2）（x2+ax+b）=x3+ax2+bx﹣2x2﹣2ax﹣2b=x3+（a﹣2）x2+（b﹣2a）x﹣2b， ∵（x﹣2）（x2+ax+b）的积中不含 x的二次项和一次项， ∴a﹣2=0且 b﹣2a=0， 解得：a=2，b=4， (2a+b+1)(2a﹣b﹣1)﹣(a+2b)(﹣2b+a)+2b =(2a)2﹣(b+1)2﹣（a2﹣4b2）+2b =4a2﹣b2﹣2b﹣1﹣a2+4b2+2b =3a2+3b2﹣1， 当 a=2，b=4时， 原式=3×22+3×42﹣1=12+48﹣1=59． 考查题型四 乘法公式的合理运用 1．（2019·乌鲁木齐市第七十七中学中考模拟）计算： （1）（a+2b﹣c）（a﹣2b+c） （2）已知 6x﹣5y＝10，求[（﹣2x+y）（﹣2x﹣y）﹣（2x﹣3y）2]÷4y的值． 【答案】（1）a2﹣4b2+4bc﹣c2；（2）5. 【详解】解： （1）原式=[a+（2b﹣c）][a﹣（2b﹣c）] =a2﹣（2b﹣c）2 =a2﹣（4b2﹣4bc+c2） =a2﹣4b2+4bc﹣c2 （2）当 6x﹣5y=10时， ∴3x﹣2.5y=5 原式=[4x2﹣y2﹣（4x2﹣12xy+9y2）]÷4y =（12xy﹣10y2）÷4y =3x﹣2.5y =5 考查题型五 乘法公式在解决数的计算问题中的巧妙应用 1．（2018·浙江中考模拟）计算：（﹣2018）2+2017×（﹣2019）． 【答案】1. 【详解】 （﹣2018）2+2017×（﹣2019） =20182﹣（2018﹣1）×（2018+1） =20182﹣20182+1 =1． 考查题型六 乘法公式的变形在解题中的应用 1．（2019·甘肃中考模拟）已知 x+ 1 x =6，则 x2+ 2 1 x =（ ） A．38 B．36 C．34 D．32 【答案】C 【详解】把 x+ 1 x =6两边平方得：（x+ 1 x ）2=x2+ 2 1 x +2=36， 则 x2+ 2 1 x =34， 故选：C． 2．（2018·四川中考真题）已知实数 a、b满足 a+b=2，ab= 3 4 ，则 a﹣b=（ ） A．1 B．﹣ 5 2 C．±1 D．± 5 2 【答案】C 【详解】 ∵a+b=2，ab= 3 4 ， ∴（a+b）2=4=a2+2ab+b2， ∴a2+b2= 5 2 ， ∴（a-b）2=a2-2ab+b2=1， ∴a-b=±1， 故选：C． 3．（2017·江苏中考模拟）若(x+y)2=9，(x-y)2=5，则 xy的值为（ ） A．-1 B．1 C．-4 D．4 【答案】B 【详解】 根据完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的 2倍，分别化简可知（x+y） 2=x2+2xy+y2=9①，（x﹣y）2= x2-2xy+y2=5②，①-②可得 4xy=4，解得 xy=1. 故选：B 4．（2019·浙江中考模拟）已知（m-n）2=8，（m+n）2=2，则 m2+n2=（ ） A．10 B．6 C．5 D．3 【答案】C 【详解】 由题意得 ， 把两式相加可得 ，则 故选 C. 5．（2015·湖南中考真题）已知 a+b=3，ab=2，则 a2+b2的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】 根据完全平方公式得出 a2+b2=（a+b）2﹣2ab，代入求出即可．∵a+b=3，ab=2， ∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2×2=5． 考查题型七 整式的化简求值 1．（2019·辽宁中考模拟）先化简，再求值：（x﹣2y）2+（x+y）（x﹣4y），其中 x＝5，y＝ 1 5 ． 【答案】2x2﹣7xy，43 【详解】 原式＝x2﹣4xy+4y2+x2﹣4xy+xy﹣4y2＝2x2﹣7xy， 当 x＝5，y＝ 1 5 时，原式＝50﹣7＝43． 2．（2017·江苏中考模拟）先化简，再求值：2 2b ＋(a＋b )( a－2b )－( a－ 2)b ，其中a＝－3， b＝ 1 2 . 【答案】ab-b2 ； 7 4  ； 【详解】 原式=2b2+a2-2ab+ab-2b2-(a2-2ab+b2) =ab-b2 ； 当 a=-3，b= 1 2 时， 原式= 2ab b 7 4   考查题型八 乘法公式和几何图形相结合的应用方法 1．（2019·浙江中考模拟）如图，将边长为 m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边 长为 n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形． （1）用含 m或 n的代数式表示拼成矩形的周长； （2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积． 【答案】（1）矩形的周长为 4m；（2）矩形的面积为 33． 【详解】 （1）矩形的长为：m﹣n， 矩形的宽为：m+n， 矩形的周长为：2[(m-n)+(m+n)]=4m； （2）矩形的面积为 S=（m+n）（m﹣n）=m2-n2， 当 m=7，n=4时，S=72-42=33． 2．（2018·浙江中考真题）有一张边长为 a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 b厘米， 木工师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的： a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2 请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程． 方案二： 方案三： 【答案】见解析. 【详解】 详解：由题意可得： 方案二：a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2， 方案三：a2+ [ ( )] 2 a a b b  + [ ( )] 2 a a b b  = 2 2 21 1 2 2 a ab b ab b    =a2+2ab+b2=（a+b）2． 知识点四 因式分解（难点） 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 【因式分解的定义注意事项】 1.分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； 2.因式分解必须是恒等变形； 3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 因式分解的常用方法： 提公因式法 【提公因式法的注意事项】 1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。 4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。 公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； ①平方差公式： a 2 －b 2 ＝（a＋b）（a－b） 2 完全平方公式：a 2 ＋2ab＋b 2 ＝（a＋b） 2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 1．（2019·安徽中考模拟）下列分解因式正确的是（ ） A． 2 4 ( 4)x x x x     B． 2 ( )x xy x x x y    C． 2( ) ( ) ( )x x y y y x x y     D． 2 4 4 ( 2)( 2)x x x x     【答案】C 【详解】A.  2 4 4x x x x     ，故 A选项错误； B.  2 1x xy x x x y     ，故 B选项错误； C.      2x x y y y x x y     ，故 C选项正确； D. 2 4 4x x  =（x-2）2，故 D选项错误， 故选 C. 2．（2018·江苏中考模拟）把多项式 x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则 a、b的值分别是（ ） A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3 C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3 【答案】B 【详解】 （x+1）（x-3） =x2-3x+x-3 =x2-2x-3 所以 a=2，b=-3， 故选 B． 3．（2018·广西中考真题）下列各式分解因式正确的是（ ） A．x2+6xy+9y2=（x+3y）2 B．2x2﹣4xy+9y2=（2x﹣3y）2 C．2x2﹣8y2=2（x+4y）（x﹣4y） D．x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）（x+y） 【答案】A 【详解】A、x2+6xy+9y2=（x+3y）2，正确； B、2x2﹣4xy+9y2无法分解因式，故此选项错误； C、2x2﹣8y2=2（x+2y）（x﹣2y），故此选项错误； D、x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2，故此选项错误， 故选 A． 4．（2019·山东中考模拟）多项式 4a﹣a3分解因式的结果是（ ） A．a（4﹣a2） B．a（2﹣a）（2+a） C．a（a﹣2）（a+2） D．a（2﹣a）2 【答案】B 【详解】 4a﹣a3=a（4﹣a2）=a（2﹣a）（2+a）． 故选：B． 5．（2018·安徽中考模拟）将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( ) A．a2-1 B．a2+a C．a2+a-2 D．(a+2)2-2(a+2)+1 【答案】C 【详解】 先把四个选项中的各个多项式分解因式，即 a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1）， （a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式 a+1的是选项 C；故 答案选 C． 考查题型九 利用公式法解决代数式求值问题的方法 1．（2018·河南中考模拟）已知 a﹣b=1，则 a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】C 【详解】 a3﹣a2b+b2﹣2ab=a2（a﹣b）+b2﹣2ab=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=1． 故选 C． 2．（2017·陕西中考模拟）已知实数 x满足 2 2 1 1 0x x x x     ，那么 1x x  的值是（ ） A．1或﹣2 B．﹣1或 2 C．1 D．﹣2 【答案】D 【详解】 ∵x2+ 2 1 1x x x   =0 ∴（x+ 1 x ）2-2+x+ 1 x =0， ∴[（x+ 1 x ）+2][（x+ 1 x ）﹣1]=0， ∴x+ 1 x =1或﹣2． ∵x+ 1 x =1无解， ∴x+ 1 x =﹣2． 故选：D． 3．（2019·江苏中考模拟）若 x2+mx-15=(x+3)(x+n)，则 m的值为( ) A．-5 B．5 C．-2 D．2 【答案】C 【详解】 ∵x2+mx-15=（x+3）（x+n），∴x2+mx-15=x2+nx+3x+3n， ∴3n=-15，m=n+3，解得 n=-5，m=-5+3=-2．