（浙教版）九年级数学下册 同步备课系列专题2

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2.3 三角形的内切圆 浙教版九年级下册 如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下 一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽 可能大呢？ A B C A B C 三角形的外接圆在实际中很有用，但还有用它不能解决 的问题.如 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内 切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三 角形叫做圆的外切三角形. 1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；性质： C B A D F E O r 2.三角形的内心在三角形的角平分线上； 思考下列问题： 1．如图，若⊙O与∠ABC 的两边相切，那么圆心O的 位置有什么特点？ 圆心O在∠ABC的平分线上  2．如图2，如果⊙O与 △ABC的内角∠ABC的两边 相切，且与内角∠ACB的两 边也相切，那么此⊙O的圆 心在什么位置？ 圆心O在∠BAC，∠ABC与∠ACB的三个 角的角平分线的交点上 O M A B CN O 图2 A B C 探 究 ： 三 角 形 内 切 圆 的 作 法 作法： A B C 1、作∠B、∠C的平分线 BM和CN，交点为I I 2．过点I作ID⊥BC，垂足为D 3．以I为圆心，ID为 半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆 MN D 试一试: 你能画出一个三角形的内切圆吗? 1.如图1，△ABC是⊙ O的 三角形 ⊙ O是△ABC的 圆， 点O叫△ABC的 ， 它是三角形 的交点 外接 内接 外心 三边中垂线 2.如图2，△DEF是⊙ I的 三 角形， ⊙ I是△DEF的 圆， 点I是 △DEF的 心， 它是三角形 的交 点 A B C O． 图1 I D E F ． 图2 外切 内切 内 三条角平分线 3. 三角形的内切圆能作____个，圆的外切三角形有 _____ 个，三角形的内心在三角形的_______. 1 无数 内部 例1 如图2-18，等边三角形ABC的边长为3cm，求 △ABC的内切圆⊙ O的半径． 解 如图2-18，设⊙ O切AB于点D，连结OA，OB，OD. ∵⊙ O是△ABC的内切圆， ∴AO，BO是∠BAC，∠ABC的角平分线． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠OAB=∠OBA=30°. ∵OD⊥AB，AB=3cm， ∴AD=BD= AB=1.5(cm)， ∴OD=AD×tan30°= 答：△ABC的内切圆的半径为 cm. 1 2 3 31 5 (cm). 3 2 .   3 2 例2 已知：如图2-19，⊙ O 是△ABC的内切圆， 切点分别点D、E、F，设△ABC周长为L. 求证：AE＋BC=　L. 1 2 证明 ∵⊙ O是△ABC的内切圆，E， F为切点， ∴AE=AF（根据什么？）. 同理，BD=BF，CD=CE. ∴AE+BC=AE+BD+CD 1 1( ) 2 2 AE AF BD BF CD CE l .       如图，在△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是 △ABC的内心，求∠BIC的度数． 1 21 2 解 连接IB，IC. 因为点I是△ABC的内心，所以IB，IC分别是∠B、 ∠C的平分线 在△IBC中，有 ∠BIC=180°- （∠IBC+∠ICB） =180°- （∠B+∠C） =180°-（43°+61°） =128° （A）1∶ ∶ （B）1∶2∶ （C）1∶ ∶2 （D）1∶2∶3 2 3 3 3 1、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为 （ ）D （A）梯形 （B）菱形 （C）矩形 （D）平行四边形 2、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（ ）B 已知：在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内 切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、 BD和CE的长. A B C F D E x x 13-x 13-x 9-x 9-x ∴(13-x)+(9-x)=14 解得x=4 ∴AF=4，BD=9，CE=5 名称 确定方法 图形 性质 外心：三 角形外接 圆的圆心 内心：三 角形内切 圆的圆心 三角形 三边中 垂线的 交点 1.OA=OB=OC 2.外心不一定在 三角形的内部． 三角形 三条角 平分线 的交点 1.到三边的距离 相等； 2.OA、OB、OC 分别平分∠BAC、 ∠ABC、∠ACB 3.内心在三角形 内部． O A B C O A B C A C B 古 镇 区镇 商 业 区 镇工业区 . E D F 如图，朱家镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建 造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象.已知雕 塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等， AC⊥BC，BC=30米，AC=40米.请你帮助计算一下， 镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？ M 李师傅在一家玻璃厂上班，工作之余想 对厂里的三角形废料（如图）进行加工，裁 下一块半径尽可能大的圆形用料做圆桌的桌 面.你能帮他画出裁剪图吗？ 画画想想 1.任意画一个⊙ O，过⊙ O外一点P画⊙ O的切线，有几 条？标上切点字母. 2.与切线有关的辅助线是什么？ 3.点O与∠APB有何特殊的位置关系？ 4.PA与PB的大小关系如何？ 5.在线段PA的延长线上取一点Q，过点Q画⊙ O的切线与 PB交于点M，切点为C. 6.点O与∠PQM和∠PMQ有何特殊的位置关系？ 7.QA和QC，MB和MC的大小关系如何？ 8. ⊙ O与△PQM的三边的位置关系如何？ 1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角 形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形. 想一想： 你会画三角形的内切圆吗？ 老师提示： 看看你刚刚画的图，相信你会有 办法的. 2、内心性质: 1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角 形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形. 内心到三角形三边的距离相等； 内心与顶点连线平分内角. 画三角形的内切圆: 画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论 想想，找找 如图，⊙ O 是△ABC的内切圆， 切点分别点D、E、F. 1.不添线，图中有哪些等量？ A B CO D E F 想想，找找 如图，⊙ O 是△ABC的内切圆， 切点分别点D、E、F. 1.不添线，图中有哪些等量？ A B CO D E F 2.连结OA、OB、OC，你又有 何发现？ 想想，找找 如图，⊙ O 是△ABC的内切圆， 切点分别点D、E、F. 1.不添线，图中有哪些等量？ A B C D E F O 2.连结OA、OB、OC，你又有 何发现？ 3.连结OD、OE、OF，你还有新发现吗？ 例1 如图2-18，等边三角形ABC的边长为3cm，求 △ABC的内切圆⊙ O的半径． 解 如图2-18，设⊙ O切AB于点D，连结OA，OB，OD. ∵⊙ O是△ABC的内切圆， ∴AO，BO是∠BAC，∠ABC的角平分线． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠OAB=∠OBA=30°. ∵OD⊥AB，AB=3cm， ∴AD=BD= AB=1.5(cm)， ∴OD=AD×tan30°= 答：△ABC的内切圆的半径为 cm. 1 2 3 31 5 (cm). 3 2 .   3 2 例2 已知：如图2-19，⊙ O 是△ABC的内切圆， 切点分别点D、E、F，设△ABC周长为L. 求证：AE＋BC=　L. 1 2 证明 ∵⊙ O是△ABC的内切圆，E， F为切点， ∴AE=AF（根据什么？）. 同理，BD=BF，CD=CE. ∴AE+BC=AE+BD+CD 1 1( ) 2 2 AE AF BD BF CD CE l .       设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆 的半径为r，你能 得到S＝　　Lr吗？ 1 2 A B CO D E F 想想： 我们学过哪些求三角形面积的公式？ 想想，做做 A BC O a b c D E r 如：直角三角形的两 直角边分别是5cm， 12cm 则其内切圆的 半径为______. 如图，直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边 为c 则其内切圆的半径r为: 2cm r = a+b-c 2 想想，做做 名称 确定方法 图形 性质 外心： 三角形 外接圆 的圆心 内心： 三角形 内切圆 的圆心 A B C O A B C O 三角形三边 中垂线的交 点 1.OA=OB=OC 2.外心不一定 在三角形的内 部． 三角形三条 角平分线的 交点 1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别 平分∠BAC、∠ABC、 ∠ACB 3.内心在三角形内部．