2020年浙江省丽水市中考数学试卷

2020年浙江省丽水市中考数学试卷

2020 年浙江省丽水市中考数学试卷 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）实数 3 的相反数是 ( ) A． 3 B．3 C． 1 3  D． 1 3 2．（3 分）分式 5 2 x x   的值是零，则 x 的值为 ( ) A．2 B．5 C． 2 D． 5 3．（3 分）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是 ( ) A． 2 2a b B． 22a b C． 2 2a b D． 2 2a b  4．（3 分）下列四个图形中，是中心对称图形的是 ( ) A． B． C． D． 5．（3 分）如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任 意摸出一张，摸到 1 号卡片的概率是 ( ) A． 1 2 B． 1 3 C． 2 3 D． 1 6 6．（3 分）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘 AB 的垂线 a和 b ，得到 / /a b ．理由是 ( ) A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 7．（3 分）已知点 ( 2 ， )(2a ， )(3b ， )c 在函数 ( 0)ky kx   的图象上，则下列判断正确的 是 ( ) A． a b c  B．b a c  C． a c b  D． c b a  8．（3 分）如图， O 是等边 ABC 的内切圆，分别切 AB ，BC ， AC 于点 E ，F ，D ，P 是 DF 上一点，则 EPF 的度数是 ( ) A． 65 B． 60 C．58 D．50 9．（3 分）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为 x ．则 列出方程正确的是 ( ) A．3 2 5 2x x   B．3 20 5 10 2x x    C． 3 20 5 20x x    D． 3 (20 ) 5 10 2x x     10．（3 分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形 ABCD 与正方形 EFGH ．连结 EG ，BD 相交于点 O 、BD 与 HC 相交于点 P ．若 GO GP ，则 ABCD EFGH S S 正方形 正方形 的 值是 ( ) A．1 2 B． 2 2 C． 5 2 D．15 4 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（4 分）点 ( ,2)P m 在第二象限内，则 m 的值可以是（写出一个即可） ． 12．（4 分）数据 1，2，4，5，3 的中位数是 ． 13．（4 分）如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为 2cm ． 14．（4 分）如图，平移图形 M ，与图形 N 可以拼成一个平行四边形，则图中 的度数是  ． 15．（4 分）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边 重合，点 A ， B ， C 均为正六边形的顶点， AB 与地面 BC 所成的锐角为  ．则 tan  的值 是 ． 16．（4 分）图 1 是一个闭合时的夹子，图 2 是该夹子的主视示意图，夹子两边为 AC ， BD （点 A 与点 B 重合），点 O 是夹子转轴位置， OE AC 于点 E ， OF BD 于点 F ， 1OE OF cm  ， 6AC BD cm  ，CE DF ， : 2:3CE AE  ．按图示方式用手指按夹子， 夹子两边绕点 O 转动． （1）当 E ，F 两点的距离最大时，以点 A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的周长是 cm ． （2）当夹子的开口最大（即点 C 与点 D 重合）时， A ， B 两点的距离为 cm ． 三、解答题（本题有 8 小题，共 66 分，各小题都必须写出解答过程） 17．（6 分）计算： 0( 2020) 4 tan 45 | 3|     ． 18．（6 分）解不等式： 5 5 2(2 )x x   ． 19．（6 分）某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽 取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一 项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题： 抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表 类别 项目 人数（人 ) A 跳绳 59 B 健身操 ▲ C 俯卧撑 31 D 开合跳 ▲ E 其它 22 （1）求参与问卷调查的学生总人数． （2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？ （3）该市共有初中学生约 8000 人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数． 20．（8 分）如图， AB 的半径 2OA  ， OC AB 于点 C ， 60AOC  ． （1）求弦 AB 的长． （2）求 AB 的长． 21．（8 分）某地区山峰的高度每增加 1 百米，气温大约降低 0.6 C ，气温 ( C)T  和高度 h（百 米）的函数关系如图所示． 请根据图象解决下列问题： （1）求高度为 5 百米时的气温； （2）求T 关于 h 的函数表达式； （3）测得山顶的气温为 6 C ，求该山峰的高度． 22．（10 分）如图，在 ABC 中， 4 2AB  ， 45B   ， 60C  ． （1）求 BC 边上的高线长． （2）点 E 为线段 AB 的中点，点 F 在边 AC 上，连结 EF ，沿 EF 将 AEF 折叠得到 PEF ． ①如图 2，当点 P 落在 BC 上时，求 AEP 的度数． ②如图 3，连结 AP ，当 PF AC 时，求 AP 的长． 23．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 21 ( ) 42y x m    图象的顶点为 A ， 与 y 轴交于点 B ，异于顶点 A 的点 (1, )C n 在该函数图象上． （1）当 5m  时，求 n 的值． （2）当 2n  时，若点 A 在第一象限内，结合图象，求当 2y… 时，自变量 x 的取值范围． （3）作直线 AC 与 y 轴相交于点 D ．当点 B 在 x 轴上方，且在线段 OD 上时，求 m 的取值 范围． 24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴 上，分别过 OB ， OC 的中点 D ， E 作 AE ， AD 的平行线，相交于点 F ，已知 8OB  ． （1）求证：四边形 AEFD 为菱形． （2）求四边形 AEFD 的面积． （3）若点 P 在 x 轴正半轴上（异于点 )D ，点 Q 在 y 轴上，平面内是否存在点 G ，使得以 点 A ， P ，Q ，G 为顶点的四边形与四边形 AEFD 相似？若存在，求点 P 的坐标；若不存 在，试说明理由． 2020 年浙江省丽水市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）实数 3 的相反数是 ( ) A． 3 B．3 C． 1 3  D． 1 3 【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案． 【解答】解：实数 3 的相反数是： 3 ． 故选： A ． 【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的定义是解题关键． 2．（3 分）分式 5 2 x x   的值是零，则 x 的值为 ( ) A．2 B．5 C． 2 D． 5 【分析】利用分式值为零的条件可得 5 0x   ，且 2 0x   ，再解即可． 【解答】解：由题意得： 5 0x   ，且 2 0x   ， 解得： 5x   ， 故选： D ． 【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且 分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 3．（3 分）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是 ( ) A． 2 2a b B． 22a b C． 2 2a b D． 2 2a b  【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形 式，且符号相反进行分析即可． 【解答】解： A 、 2 2a b 不能运用平方差公式分解，故此选项错误； B 、 22a b 不能运用平方差公式分解，故此选项错误； C 、 2 2a b 能运用平方差公式分解，故此选项正确； D 、 2 2a b  不能运用平方差公式分解，故此选项错误； 故选： C ． 【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 4．（3 分）下列四个图形中，是中心对称图形的是 ( ) A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解． 【解答】解： A 、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意； B 、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意； C 、该图形是中心对称图形，故本选项符合题意； D 、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选： C ． 【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后 两部分重合． 5．（3 分）如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任 意摸出一张，摸到 1 号卡片的概率是 ( ) A． 1 2 B． 1 3 C． 2 3 D． 1 6 【分析】根据概率公式直接求解即可． 【解答】解：共有 6 张卡片，其中写有 1 号的有 3 张， 从中任意摸出一张，摸到 1 号卡片的概率是 3 1 6 2  ； 故选： A ． 【点评】此题考查了概率的求法，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 6．（3 分）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘 AB 的垂线 a和 b ，得到 / /a b ．理由是 ( ) A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可． 【解答】解：由题意 a AB ， b AB ， / /a b （垂直于同一条直线的两条直线平行）， 故选： B ． 【点评】本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学 知识解决问题． 7．（3 分）已知点 ( 2 ， )(2a ， )(3b ， )c 在函数 ( 0)ky kx   的图象上，则下列判断正确的 是 ( ) A． a b c  B．b a c  C． a c b  D． c b a  【分析】根据反比例函数的性质得到函数 ( 0)ky kx   的图象分布在第一、三象限，在每一 象限， y 随 x 的增大而减小，则 0b c  ， 0a  ． 【解答】解： 0k  ， 函数 ( 0)ky kx   的图象分布在第一、三象限，在每一象限， y 随 x 的增大而减小， 2 0 2 3    ， 0b c   ， 0a  ， a c b   ． 故选： C ． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的 关键． 8．（3 分）如图， O 是等边 ABC 的内切圆，分别切 AB ，BC ， AC 于点 E ，F ，D ，P 是 DF 上一点，则 EPF 的度数是 ( ) A． 65 B． 60 C．58 D．50 【分析】如图，连接 OE ， OF ．求出 EOF 的度数即可解决问题． 【解答】解：如图，连接 OE ， OF ． O 是 ABC 的内切圆， E ， F 是切点， OE AB  ， OF BC ， 90OEB OFB     ， ABC 是等边三角形， 60B   ， 120EOF   ， 1 602EPF EOF    ， 故选： B ． 【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是 熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9．（3 分）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为 x ．则 列出方程正确的是 ( ) A．3 2 5 2x x   B．3 20 5 10 2x x    C． 3 20 5 20x x    D． 3 (20 ) 5 10 2x x     【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可． 【解答】解：设“□”内数字为 x ，根据题意可得： 3 (20 ) 5 10 2x x     ． 故选： D ． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示十位数是解题关键． 10．（3 分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形 ABCD 与正方形 EFGH ．连结 EG ，BD 相交于点 O 、BD 与 HC 相交于点 P ．若 GO GP ，则 ABCD EFGH S S 正方形 正方形 的 值是 ( ) A．1 2 B． 2 2 C． 5 2 D．15 4 【分析】证明 ( )BPG BCG ASA   ，得出 PG CG ．设 OG PG CG x   ，则 2EG x ， 2FG x ，由勾股定理得出 2 2(4 2 2)BC x  ，则可得出答案． 【解答】解：四边形 EFGH 为正方形， 45EGH  ， 90FGH   ， OG GP ， 67.5GOP OPG    ， 22.5PBG   ， 又 45DBC   ， 22.5GBC   ， PBG GBC   ， 90BGP BG     ， BG BG ， ( )BPG BCG ASA   ， PG CG  ． 设 OG PG CG x   ， O 为 EG ， BD 的交点， 2EG x  ， 2FG x ， 四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， BF CG x   ， 2BG x x   ， 2 2 2 2 2 2 2( 2 1) (4 2 2)BC BG CG x x x        ，    2 2 4 2 2 2 22 ABCD EFGH xS S x    正方形 正方形 ． 故选： B ． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性 质等知识，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（4 分）点 ( ,2)P m 在第二象限内，则 m 的值可以是（写出一个即可） 1 （答案不唯 一）． ． 【分析】直接利用第二象限内点的坐标特点得出 m 的取值范围，进而得出答案． 【解答】解：点 ( ,2)P m 在第二象限内， 0m  ， 则 m 的值可以是 1 （答案不唯一）． 故答案为： 1 （答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出 m 的取值范围是解题关键． 12．（4 分）数据 1，2，4，5，3 的中位数是 3 ． 【分析】先将题目中的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数． 【解答】解：数据 1，2，4，5，3 按照从小到大排列是 1，2，3，4，5， 则这组数据的中位数是 3， 故答案为：3． 【点评】本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义，会求一组数据的中位数． 13．（4 分）如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为 20 2cm ． 【分析】根据从正面看所得到的图形，即可得出这个几何体的主视图的面积． 【解答】解：该几何体的主视图是一个长为 5，宽为 4 的矩形，所以该几何体主视图的面积 为 220cm ． 故答案为：20． 【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 14．（4 分）如图，平移图形 M ，与图形 N 可以拼成一个平行四边形，则图中 的度数是 30  ． 【分析】根据平行四边形的性质解答即可． 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， 180 60D C       ， 180 (540 70 140 180 ) 30             ， 故答案为：30． 【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的邻角互补解答． 15．（4 分）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边 重合，点 A ， B ， C 均为正六边形的顶点， AB 与地面 BC 所成的锐角为  ．则 tan  的值 是 19 3 15 ． 【分析】如图，作 / /AT BC ，过点 B 作 BH AT 于 H ，设正六边形的边长为 a ，则正六边 形的半径为 a，边心距 3 2 a ．求出 BH ， AH 即可解决问题． 【解答】解：如图，作 / /AT BC ，过点 B 作 BH AT 于 H ，设正六边形的边长为 a ，则正 六边形的半径为，边心距 3 2 a ． 观察图象可知： 19 2BH a ， 5 3 2AH a ， / /AT BC ， BAH   ， 19 19 32tan 155 3 2 aBH AH a     ． 故答案为 19 3 15 ． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构 造直角三角形解决问题． 16．（4 分）图 1 是一个闭合时的夹子，图 2 是该夹子的主视示意图，夹子两边为 AC ， BD （点 A 与点 B 重合），点 O 是夹子转轴位置， OE AC 于点 E ， OF BD 于点 F ， 1OE OF cm  ， 6AC BD cm  ，CE DF ， : 2:3CE AE  ．按图示方式用手指按夹子， 夹子两边绕点 O 转动． （1）当 E ，F 两点的距离最大时，以点 A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的周长是 16 cm ． （2）当夹子的开口最大（即点 C 与点 D 重合）时， A ， B 两点的距离为 cm ． 【分析】（1）当 E ， F 两点的距离最大时， E ， O ， F 共线，此时四边形 ABCD 是矩形， 求出矩形的长和宽即可解决问题． （2）如图 3 中，连接 EF 交 OC 于 H ．想办法求出 EF ，利用平行线分线段成比例定理即 可解决问题． 【解答】解：（1）当 E ， F 两点的距离最大时， E ，O ， F 共线，此时四边形 ABCD 是矩 形， 1OE OF cm  ， 2EF cm  ， 2AB CD cm   ， 此时四边形 ABCD 的周长为 2 2 6 6 16( )cm    ， 故答案为 16． （2）如图 3 中，连接 EF 交 OC 于 H ． 由题意 2 126 ( )5 5CE CF cm    ， 1OE OF cm  ， CO 垂直平分线段 EF ， 2 2 2 212 13( ) 1 ( )5 5OC CE OE cm     ，  1 1 2 2OE EC CO EH    ， 121 125 ( )13 13 5 EH cm     ， 242 ( )13EF EH cm   / /EF AB ，  2 5 EF CE AB CB   ， 5 24 60 ( )2 13 13AB cm    ． 故答案为 60 13 ． 【点评】本题考查旋转的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题 的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题（本题有 8 小题，共 66 分，各小题都必须写出解答过程） 17．（6 分）计算： 0( 2020) 4 tan 45 | 3|     ． 【分析】利用零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计 算，再算加减即可． 【解答】解：原式 1 2 1 3 5     ． 【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握零次幂、二次根式的性质、特殊角的三角函 数值、绝对值的性质． 18．（6 分）解不等式： 5 5 2(2 )x x   ． 【分析】去括号，移项、合并同类项，系数化为 1 求得即可． 【解答】解： 5 5 2(2 )x x   ， 5 5 4 2x x   5 2 4 5x x   ， 3 9x  ， 3x  ． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键． 19．（6 分）某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽 取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一 项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题： 抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表 类别 项目 人数（人 ) A 跳绳 59 B 健身操 ▲ C 俯卧撑 31 D 开合跳 ▲ E 其它 22 （1）求参与问卷调查的学生总人数． （2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？ （3）该市共有初中学生约 8000 人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数． 【分析】（1）从统计图表中可得，“ E 组 其它”的频数为 22，所占的百分比为11% ，可求 出调查学生总数； （2）“开合跳”的人数占调查人数的 24% ，即可求出最喜爱“开合跳”的人数； （3）求出“健身操”所占的百分比，用样本估计总体，即可求出 8000 人中喜爱“健身操” 的人数． 【解答】解：（1） 22 11% 200  （人 ) ， 答：参与调查的学生总数为 200 人； （2） 200 24% 48  （人 ) ， 答：最喜爱“开合跳”的学生有 48 人； （3）最喜爱“健身操”的学生数为 200 59 31 48 22 40     （人 ) ， 408000 1600200   （人 ) ， 答：最喜爱“健身操”的学生数大约为 1600 人． 【点评】考查统计表、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中的数量之间的关是解 决问题的关键． 20．（8 分）如图， AB 的半径 2OA  ， OC AB 于点 C ， 60AOC  ． （1）求弦 AB 的长． （2）求 AB 的长． 【分析】（1）根据题意和垂径定理，可以求得 AC 的长，然后即可得到 AB 的长； （2）根据 60AOC  ，可以得到 AOB 的度数，然后根据弧长公式计算即可． 【解答】解：（1） AB 的半径 2OA  ， OC AB 于点 C ， 60AOC  ， 3sin60 2 32AC OA      ， 2 2 3AB AC   ； （2） OC AB ， 60AOC  ， 120AOB   ， 2OA  ，  AB 的长是： 120 2 4 180 3    ． 【点评】本题考查弧长的计算、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思 想解答． 21．（8 分）某地区山峰的高度每增加 1 百米，气温大约降低 0.6 C ，气温 ( C)T  和高度 h（百 米）的函数关系如图所示． 请根据图象解决下列问题： （1）求高度为 5 百米时的气温； （2）求T 关于 h 的函数表达式； （3）测得山顶的气温为 6 C ，求该山峰的高度． 【分析】（1）根据高度每增加 1 百米，气温大约降低 0.6 C ，由 3 百米时温度为13.2 C ，即 可得出高度为 5 百米时的气温； （2）应用待定系数法解答即可； （3）根据（2）的结论解答即可． 【解答】解：（1）由题意得，高度增加 2 百米，则气温降低 2 0.6 1.2( )C   ， 13.2 1.2 12   ， 高度为 5 百米时的气温大约是12 C ； （2）设T 关于 h 的函数表达式为T kh b  ， 则： 3 13.2 5 12 k b k b      ， 解得 0.6 15 k b     ， T 关于 h 的函数表达式为 0.6 15T h   ； （3）当 6T  时， 6 0.6 15h   ， 解得 15h  ． 该山峰的高度大约为 15 百米． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利 用数形结合的思想解答问题． 22．（10 分）如图，在 ABC 中， 4 2AB  ， 45B   ， 60C  ． （1）求 BC 边上的高线长． （2）点 E 为线段 AB 的中点，点 F 在边 AC 上，连结 EF ，沿 EF 将 AEF 折叠得到 PEF ． ①如图 2，当点 P 落在 BC 上时，求 AEP 的度数． ②如图 3，连结 AP ，当 PF AC 时，求 AP 的长． 【分析】（1）如图 1 中，过点 A 作 AD BC 于 D ．解直角三角形求出 AD 即可． （2）①证明 BE EP ，可得 45EPB B     解决问题． ②如图 3 中，由（1）可知： 8 3 sin 60 3 ADAC   ，证明 AEF ACB ∽ ，推出 AF AE AB AC  ， 由此求出 AF 即可解决问题． 【解答】解：（1）如图 1 中，过点 A 作 AD BC 于 D ． 在 Rt ABD 中， 2sin 45 4 2 42AD AB     ． （2）①如图 2 中， AEF PEF   ， AE EP  ， AE EB ， BE EP  ， 45EPB B     ， 90PEB  ， 180 90 90AEP       ． ②如图 3 中，由（1）可知： 8 3 sin 60 3 ADAC   ， PF AC ， 90PFA   ， AEF PEF   ， 45AFE PFE    ， AFE B   ， EAF CAB   ， AEF ACB ∽ ，  AF AE AB AC  ，即 2 2 4 2 8 3 3 AF  ， 2 3AF  ， 在 Rt AFP ， AF FP ， 2 2 6AP AF   ． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性 质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中 考常考题型． 23．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 21 ( ) 42y x m    图象的顶点为 A ， 与 y 轴交于点 B ，异于顶点 A 的点 (1, )C n 在该函数图象上． （1）当 5m  时，求 n 的值． （2）当 2n  时，若点 A 在第一象限内，结合图象，求当 2y… 时，自变量 x 的取值范围． （3）作直线 AC 与 y 轴相交于点 D ．当点 B 在 x 轴上方，且在线段 OD 上时，求 m 的取值 范围． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）求出 2y  时， x 的值即可判断． （3）由题意点 B 的坐标为 21(0, 4)2 m  ，求出几个特殊位置 m 的值即可判断． 【解答】解：（1）当 5m  时， 21 ( 5) 42y x    ， 当 1x  时， 21 4 4 42n       ． （2）当 2n  时，将 (1,2)C 代入函数表达式 21 ( ) 42y x m    ，得 212 (1 ) 42 m    ， 解得 3m  或 1 （舍弃）， 此时抛物线的对称轴 3x  ， 根据抛物线的对称性可知，当 2y  时， 1x  或 5， x 的取值范围为1 5x„ „ ． （3）点 A 与点 C 不重合， 1m  ， 抛物线的顶点 A 的坐标是 ( ,4)m ， 抛物线的顶点在直线 4y  上， 当 0x  时， 21 42y m   ， 点 B 的坐标为 21(0, 4)2 m  ， 抛物线从图 1 的位置向左平移到图 2 的位置， m 逐渐减小，点 B 沿 y 轴向上移动， 当点 B 与 O 重合时， 21 4 02 m   ， 解得 2 2m  或 2 2 ， 当点 B 与点 D 重合时，如图 2，顶点 A 也与 B ， D 重合，点 B 到达最高点， 点 (0,4)B ， 21 4 42 m   ，解得 0m  ， 当抛物线从图 2 的位置继续向左平移时，如图 3 点 B 不在线段 OD 上， B 点在线段 OD 上时， m 的取值范围是： 0 1m „ 或1 2 2m  ． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质 等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考常压轴题． 24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴 上，分别过 OB ， OC 的中点 D ， E 作 AE ， AD 的平行线，相交于点 F ，已知 8OB  ． （1）求证：四边形 AEFD 为菱形． （2）求四边形 AEFD 的面积． （3）若点 P 在 x 轴正半轴上（异于点 )D ，点 Q 在 y 轴上，平面内是否存在点 G ，使得以 点 A ， P ，Q ，G 为顶点的四边形与四边形 AEFD 相似？若存在，求点 P 的坐标；若不存 在，试说明理由． 【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可． （2）连接 DE ，求出 ADE 的面积即可解决问题． （3）首先证明 3AK DK ，①当 AP 为菱形的一边，点 Q 在 x 轴的上方，有图 2，图 3 两种 情形．②当 AP 为菱形的边，点 Q 在 x 轴的下方时，有图 4，图 5 两种情形．③如图 6 中， 当 AP 为菱形的对角线时，有图 6 一种情形．分别利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】（1）证明：如图 1 中， / /AE DF ， / /AD EF ， 四边形 AEFD 是平行四边形， 四边形 ABCD 是正方形， AC AB OC OB    ， 90ACE ABD    ， E ， D 分别是 OC ， OB 的中点， CE BD  ， ( )CAE ABD SAS   ， AE AD  ， 四边形 AEFD 是菱形． （2）解：如图 1 中，连接 DE ． 1 8 4 162ADB ACES S      ， 1 4 4 82EODS     ， 2 64 2 16 8 24AED ABD EODABOCS S S S          正方形 ， 2 48AEDAEFDS S  菱形 ． （3）解：如图 1 中，连接 AF ，设 AF 交 DE 于 K ， 4OE OD  ， OK DE ， KE KD  ， 2 2OK KE KD    ， 8 2AO  ， 6 2AK  ， 3AK DK  ， ①当 AP 为菱形的一边，点 Q 在 x 轴的上方，有图 2，图 3 两种情形： 如图 2 中，设 AG 交 PQ 于 H ，过点 H 作 HN x 轴于 N ，交 AC 于 M ，设 AM t ． 菱形 PAQG∽菱形 ADFE ， 3PH AH  ， / /HN OQ ， QH HP ， ON NP  ， HN 是 PQO 的中位线， 8ON PN t    ， 90MAH PHN AHM       ， 90PNH AMH     ， HMA PNH ∽ ，  1 3 AM MH AH NH PN PH    ， 3 3HN AM t   ， 8 3MH MN NH t     ， 3PN MH ， 8 3(8 3 )t t    ， 2t  ， 2 2(8 ) 12OP ON t     ， (12,0)P ． 如图 3 中，过点 H 作 HI y 轴于 I ，过点 P 作 PN x 轴交 IH 于 N ，延长 BA 交 IN 于 M ． 同法可证： AMH HNP ∽ ，  1 3 AM MH AH HN PN HP    ，设 MH t ， 3 3PN MH t   ， 3 8AM BM AB t     ， HI 是 OPQ 的中位线， 2OP IH  ， HIHN ， 8 9 24t t    ， 4t  ， 2 2(8 ) 24OP HI t     ， (24,0)P ． ②当 AP 为菱形的边，点 Q 在 x 轴的下方时，有图 4，图 5 两种情形： 如图 4 中， 3QH PH ，过点 H 作 HM OC 于 M ，过 D 点 P 作 PN MH 于 N ． MH 是 QAC 的中位线， 1 42MH AC   ， 同法可得： HPN QHM ∽ ，  1 3 NP HN PH HM MQ QH    ， 1 4 3 3PN HM   ， 4 3OM PN   ，设 HN t ，则 3MQ t ， MQ MC ， 43 8 3t   ， 20 9t  ， 564 9OP MN t     ， 点 P 的坐标为 56( 9 ， 0) ． 如图 5 中， 3QH PH ，过点 H 作 HM x 轴于 M 交 AC 于 I ，过点 Q 作 QN HM 于 N ． IH 是 ACQ 的中位线， 2CQ HI  ， 4NQ CI  ， 同法可得： PMH HNQ ∽ ，  1 3 MH PM PH NQ HN HQ    ，则 1 4 3 3MH NQ  ， 设 PM t ，则 3HN t ， HN HI ， 43 8 3t   ， 28 9t  ， 84 9OP OM PM QN PM t        ， 8(9P ， 0) ． ③如图 6 中，当 AP 为菱形的对角线时，有图 6 一种情形： 过点 H 作 HM y 轴于于点 M ，交 AB 于 I ，过点 P 作 PN HM 于 N ． / /HI x 轴， AH HP ， 4AI IB   ， 4PN IB   ， 同法可得： PNH HMQ ∽ ，  1 3 PN HN PH HM MQ HQ    ， 3 12MH PN   ， 4HI MH MI   ， HI 是 ABP 的中位线， 2 8BP IH   ， 16OP OB BP    ， (16,0)P ， 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为 (12,0) 或 (24,0) 或 56( 9 ， 0) 或 8(9 ， 0) 或 (16,0) ． 【点评】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形， 相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找 相似三角形，利用相似三角形的性质构建方程解决问题，属于中考压轴题．