中考数学专题复习——分类讨论问题

中考数学专题复习——分类讨论问题

- 1 - 中考数学专题复习——分类讨论问题 一、教学目标 使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方 法。形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。 二、教学重点 对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。 三、教学难点 对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。 四、板书设计 1：分式方程无解的分类讨论问题； 2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题； 3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题； 4：分类问题在动点问题中的应用； 4.1 常见平面问题中动点问题的分类讨论； 4.2 组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分 类。 五、教学用具 打印互动背景资料、三角板、多媒体。 六、作业布置 附后 1：分式方程无解的分类讨论问题 - 2 - 例题 1：（2011 武汉）    a3 4 93 3 2 无解，求 xx ax x 解：去分母，得： 1.6,8 01a31-a 21-31-a 21- 211-a )3(4)3(3     aaa x xaxx 或者 或或由已知 ）（ 猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 68  aa 或 例题 2：（2011 郴州）  a211 2 无解，求 x a x 2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题 例题 3：（2010 上海）已知方程 01)12(22  xmxm 有实数根，求 m 的取 值范围。 （1） 当 02 m 时，即 m=0 时，方程为一元一次方程 x+1=0，有实数根 x= 1 （2） 当 02 m 时 ， 方 程 为 一 元 二 次 方 程 ， 根 据 有 实 数 根 的 条 件 得 ： 4 1-m,0144)12( 22  即mmm ，且 02 m 综（1）（2）得， 4 1m 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略 02 m 的条件） 总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两 种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程， 不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行 讨论的。 例题 4：（2011 益阳）当 m 是什么整数时，关于 x 的一元二次方程 0442  xmx 与 05444 22  mmmxx 的根都是整数。 - 3 - A BC 解 ： 因 为 是 一 元 二 次 方 程 ， 所 以 二 次 项 系 数 不 为 0 ， 即 02 m ， 0m ， 1.m,01  解得 同理， .4 5m,02  解得 1m4 5  且 0m ，又因为 m 为整数 .11或取  m （1）当 m=—1 时，第一个方程的根为 222 x 不是整数，所以 m=—1 舍去。 （2）当 m=1 时，方程 1、2 的根均为整数，所以 m=1. 练习：已知关于ｘ的一元二次方程 01)1( 2  xxm 有实数根，则ｍ的取值范围是： 1m4 5 0 01       且mm 3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题 例题:5：（2011 青海）方程 01892  xx 的两个根是等腰三角形的底和腰， 则这个三角形的周长为（ ） Ａ 12 Ｂ 12 或 15 Ｃ 15 Ｄ 不能确定 例题 6：（2011 武汉）三角形一边长 AB 为 13cm，另一边 AC 为 15cm，BC 上的高为 12cm,求此三角形的面积。（54 或 84） 例题 7：（2011 湘西）若两圆相切，圆心距是 7，其中一圆的半径为 4，则另 一圆的半径为：3 或 11. 例题 8：（2011 四校联考）一条绳子对折后成右图 A、B, A.B 上一点 C，且有 BC=2AC,将其从 C 点剪断，得到的线段中最长的一段为 40cm,请问这条绳子的长 度为：60cm 或 120cm 4：动点问题的分类分类讨论问题 4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论； - 4 - A B1p CD 2p 4p 3p 例题 9：（2011 永州）正方形 ABCD 的边长为 10cm，一动点 P 从点 A 出发， 以 2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到 A 点停止，求点 P 运动 t 秒时， P，D 两点间的距离。 解：点 P 从 A 点出发，分别走到 B，C，D，A 所 用时间是 秒， 秒， 秒， 秒，即 5 秒， 10 秒，15 秒，20 秒。 ∴（1）当 0≤t<5 时，点 P 在线段 AB 上，|PD|=|P1D|= (cm) （2）当 5≤t<10 时，点 P 在线段 BC 上，|PD|=|P2D|= （3）当 10≤t<15 时，点 P 在线段 CD 上，|PD|=|P3D|=30-2t （4）当 15≤t≤20 时，点 P 在线段 DA 上，|PD|=|P4D|=2t-30 综上得：|PD|= 总结：本题从运动的观点，考查了动点 P 与定点 D 之间的距离，应根据 P 点 的不同位置构造出不同的几何图形，将线段 PD 放在直角三角形中求解或直接观 察图形求解。 4.2：组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。 例题 10：（2010 福建）已知一次函数 333 3  xy 与 x 轴、y 轴的交点分 别为 A、B，试在 x 轴上找一点 P，使△PAB 为等腰三角形。 分析：本题中△PAB 由于 P 点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪 两条是腰也没有确定。△PAB 是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情 况加以分类：（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB。先可以求出 B 点坐标 - 5 - A B C O Q M E A B C D N ( )0 3 3， ，A 点坐标（9，0）。设 P 点坐标为 )0( ，x ，利用两点间距离公式可对 三 种 分 类 情 况 分 别 列 出 方 程 ， 求 出 P 点 坐 标 有 四 解 ， 分 别 为 )0369()0369()03()09( ，、，、，、，  。（不适合条件的解已舍去） 总结：解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种 可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也 会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置 分别求其结果，否则漏解。 例 11：(2010 湖北)如图，正方形 ABCD 的边长是 2，BE=CE，MN=1，线段 MN 的两端在 CD、AD 上滑动．当 DM= 时，△ABE 与以 D、 M、N 为项点的三角形相似。 分析与解答 勾股定理可得 AE= 5 ．当△ABE 与 以 D、M、N 为项点的三角形相似时，DM 可以与 BE 是 对应边，也可以与 AB 是对应边，所以本题分两种情况： （1） 当 DM 与 BE 是对应边时， DM MN AB AE  ， 即 1 5,1 55 DM DM  ．（2）当 DM 与 AB 是对应边时， DM MN AB AE  ，即 1 2 5,2 55 DM DM  故 DM 的长是 5 2 5 5 5 或 ． 例题 12：（2011 湘潭）如图，直线 y=3x+3 交 x 轴于 A 点，交 y 轴于 B 点， 过 A,B 两点的抛物线交 x 轴于另一点 C（3,0）. (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使三角形 ABQ 是等腰三角形？若存 在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由。 - 6 - 说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛．这类试题的解题思 路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需 要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确 全面求解的根本保证． 解析：（1）抛物线解析式的求法：1，三点式；2，顶点式（h,k）；3，交点式。 易得： 32)3,0()3)(1( 2  xxyBxxay 在抛物线上再结合点 （2） 依题意得 10AB ，抛物线的对称轴为 x=1,设 Q(1，y) 1) 以 AQ 为底，则有 AB=QB,及 22 )3(110  y 解得，y=0 或 y=6,又 因为点（1,6）在直线 AB 上(舍去)，所以此时存在一点 Q(1,0) 2) 以 BQ 为底，同理则有 AB=AQ,解的 Q(1, 6 ) Q(1, 6 ) 3) 以 AB 为底，同理则有 QA=QB,存在点 Q(1,1). 综上，共存在四个点分别为：(1,0)、(1,1)、(1, 6 ) 、(1, 6 ) - 7 - 【作业训练】 1．已知等腰△ABC 的周长为 18 ㎝，BC=8 ㎝．若△ABC≌△A´B´C´，则△A´B ´C´中一定有一定有条边等于（ ） A．7 ㎝ B．2 ㎝或 7 ㎝ C．5 ㎝ D．2 ㎝或 7 ㎝ 2.（2010 衡阳）若等腰三角形的两个角度的比是 1:2，则这个三角形的顶角 为（ ）度。 Ａ 30 Ｂ 60 Ｃ 30 或 90 Ｄ 60 3．A、B 两地相距 450 千米，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向 而行．已知甲车速度为 120 千米/时，乙车速度为 80 千米/时，以过 t 小时两车相 距 50 千米，则 t 的值是（ ） A．2 或 2．5 B．2 或 10 C．10 或 12．5 D．2 或 12．5 4．已知⊙O 的半径为 2，点 P 是⊙O 外一点，OP 的长为 3，那么以 P 这圆心， 且与⊙O 相切的圆的半径一定是（ ） A．1 或 5 B．1 C．5 D．不能确定 5.（2011 株洲市）两圆的圆心距 d=5,他们的半径分别是一元二次方程 0452  xx 的两根，判断这两圆的位置关系： . 6．已知点Ｐ是半径为 2 的⊙Ｏ外一点，PA 是⊙O 的切线，切点为 A，且 PA=2， 在⊙O 内作了长为 2 2 的弦 AB，连续 PB，则 PB 的长为 7.（2010 四校联考）在等腰三角形 ABC 中，AB=AC,一边上的中线 BD 将这 个三角形的周长分为 15 和 12 两部分，则这个三角形的底边长为：. 8:变换例题 12，请问是否在 x 轴，y 轴上存在点 P,使得 P,B,C 三点组成的图 形为等腰三角形，请说明理由。 【参考答案】 - 8 - 1．D 2 .C 3. A 4．A 5．外切 6. 2或2 5 7. 7 或 11