2021年中考数学专题复习 专题24 矩形(学生版)

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2021年中考数学专题复习 专题24 矩形(学生版)

专题 24 矩形问题 1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.矩形的性质 (1)矩形的四个角都是直角; (2)矩形的对角线平分且相等。 3.矩形判定定理 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形; (2)对角线相等的平行四边形是矩形; (3)有三个角是直角的四边形是矩形。 4.矩形的面积:S=ab(a、b 分别表示矩形的长、宽) 【例题 1】(2020•湘西州)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,矩形 ABCD 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上,矩形的 另一个顶点 D 在 y 轴的正半轴上,矩形的边 AB=a,BC=b,∠DAO=x,则点 C 到 x 轴的距离等于( ) A.acosx+bsinx B.acosx+bcosx C.asinx+bcosx D.asinx+bsinx 【对点练习】(2019•贵州省铜仁市)如图为矩形 ABCD,一条直线将该矩形分割成两个多边形,若这两个多边 形的内角和分别为 a 和 b,则 a+b 不可能是( ) A.360° B.540° C.630° D.720° 【例题 2】(2020•菏泽)如图,矩形 ABCD 中,AB=5,AD=12,点 P 在对角线 BD 上,且 BP=BA,连接 AP 并 延长,交 DC 的延长线于点 Q,连接 BQ,则 BQ 的长为 . 【对点练习】(2019 内蒙古通辽)如图,在矩形 ABCD 中,AD=8,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AE⊥BD,垂 足为点 E,且 AE 平分∠BAC,则 AB 的长为 . 【例题 3】(2020•聊城)如图,在▱ ABCD 中,E 为 BC 的中点,连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F,连接 BF, AC,若 AD=AF,求证:四边形 ABFC 是矩形. 【对点练习】(2019•湖北省鄂州市)如图,矩形 ABCD 中,AB=8,AD=6,点 O 是对角线 BD 的中点,过点 O 的直线分别交 AB、CD 边于点 E、F. (1)求证:四边形 DEBF 是平行四边形; (2)当 DE=DF 时,求 EF 的长. 一、选择题 1.(2020•怀化)在矩形 ABCD 中,AC、BD 相交于点 O,若△AOB 的面积为 2,则矩形 ABCD 的面积为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 2.(2020•达州)如图,∠BOD=45°,BO=DO,点 A 在 OB 上,四边形 ABCD 是矩形,连接 AC、BD 交于点 E, 连接 OE 交 AD 于点 F.下列 4 个判断:①OE 平分∠BOD;②OF=BD;③DF AF;④若点 G 是线段 OF 的中 点,则△AEG 为等腰直角三角形.正确判断的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 3.(2019•广东广州)如图,矩形 ABCD 中,对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 BC,AD 于点 E,F,若 BE=3,AF=5,则 AC 的长为( ) A.4 B.4 C.10 D.8 4.(2019•山东泰安)如图,矩形 ABCD 中,AB=4,AD=2,E 为 AB 的中点,F 为 EC 上一动点,P 为 DF 中点, 连接 PB,则 PB 的最小值是( ) A.2 B.4 C. D. 5.(2019 湖北荆州)如图,矩形 ABCD 的顶点 A,B,C 分别落在∠MON 的边 OM,ON 上,若 OA=OC,要求只用 无刻度的直尺作∠MON 的平分线.小明的作法如下:连接 AC,BD 交于点 E,作射线 OE,则射线 OE 平分∠MON.有 以下几条几何性质:①矩形的四个角都是直角,②矩形的对角线互相平分,③等腰三角形的“三线合一”.小 明的作法依据是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 二、填空题 6.(2020•绍兴)将两条邻边长分别为 ,1 的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无余纸片),各种剪法剪 出的等腰三角形中,其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的 (填序号). ① , ②1, ③ 1, ④ , ⑤ . 7.(2020•泸州)如图,在矩形 ABCD 中,E,F 分别为边 AB,AD 的中点,BF 与 EC、ED 分别交于点 M,N.已 知 AB=4,BC=6,则 MN 的长为 . 8.(2020•黔东南州)如图,矩形 ABCD 中,AB=2,BC ,E 为 CD 的中点,连接 AE、BD 交于点 P,过点 P 作 PQ⊥BC 于点 Q,则 PQ= . 9.(2019湖南娄底)如图,要使平行四边形 ABCD 是矩形,则应添加的条件是 (添加一个条 件即可). 10.(2019 黑龙江省龙东地区)如图,矩形 ABCD 中,AB=4,BC=6,点 P 是矩形 ABCD 内一动点,且 S△PAB= 1 2 S△PCD,则 PC+PD 的最小值是________. 11.(2019 贵州省安顺市) 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点 D 为斜边 BC 上的一个动 点,过 D 分别作 DM⊥AB 于点 M,作 DN⊥AC 于点 N,连接 MN,则线段 MN 的最小值为 . B D M N C A 12.(2019•湖北省咸宁市)如图,先有一张矩形纸片 ABCD,AB=4,BC=8,点 M,N 分别在矩形的边 AD,BC 上,将矩形纸片沿直线 MN 折叠,使点 C 落在矩形的边 AD 上,记为点 P,点 D 落在 G 处,连接 PC,交 MN 于 点 Q,连接 CM.下列结论: ①CQ=CD; ②四边形 CMPN 是菱形; ③P,A 重合时,MN=2 ; ④△PQM 的面积 S 的取值范围是 3≤S≤5. 其中正确的是 (把正确结论的序号都填上). 13.(2019·贵州贵阳)如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,∠DCA=30°,点 F 是对角线 AC 上的一个动点,连接 DF,以 DF 为斜边作∠DFE=30°的直角三角形 DEF,使点 E 和点 A 位于 DF 两侧,点 F 从点 A 到点 C 的运动 过程中,点 E 的运动路径长是 . 14.(2019•山东潍坊)如图,在矩形 ABCD 中,AD=2.将∠A 向内翻折,点 A 落在 BC 上,记为 A′,折痕为 DE.若将∠B 沿 EA′向内翻折,点 B 恰好落在 DE 上,记为 B′,则 AB= . 15.(2019 北京市)在矩形 ABCD 中,M,N,P,Q 分别为边 AB,BC,CD,DA 上的点(不与端点重合).对于任 意矩形 ABCD,下面四个结论中, ①存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形; ②存在无数个四边形 MNPQ 是矩形; ③存在无数个四边形 MNPQ 是菱形; ④至少存在一个四边形 MNPQ 是正方形. 所有正确结论的序号是_______. 三、解答题 16.(2020•苏州)如图,在矩形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,DF⊥AE,垂足为 F. (1)求证:△ABE∽△DFA; (2)若 AB=6,BC=4,求 DF 的长. 17.(2020•贵阳)如图,四边形 ABCD 是矩形,E 是 BC 边上一点,点 F 在 BC 的延长线上,且 CF=BE. (1)求证:四边形 AEFD 是平行四边形; (2)连接 ED,若∠AED=90°,AB=4,BE=2,求四边形 AEFD 的面积. 18.(2020•遂宁)如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D、E 分别是线段 BC、AD 的中点,过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F,连接 CF. (1)求证:△BDE≌△FAE; (2)求证:四边形 ADCF 为矩形. 19.(2019 湖南怀化)已知:如图,在▱ ABCD 中,AE⊥BC,CF⊥AD,E,F 分别为垂足. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)求证:四边形 AECF 是矩形.
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