2020年中考数学一轮复习基础点专题04实数含解析

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2020年中考数学一轮复习基础点专题04实数含解析

专题04 实数 考点总结 ‎【思维导图】‎ ‎【知识要点】‎ 知识点一 平方根 算术平方根概念:一般的如果一个正数x的平方等于a,即x‎2‎‎= a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。‎ 算术平方根的表示方法:非负数a的算术平方根记作a‎,读作根号a,其中a是被开方数。‎ 平方根概念:如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根或二次方根,即如果x‎2‎=a,那么x叫做a的平方根。‎ 平方根的性质与表示:‎ 表示:正数a的平方根用‎±‎a表示, a叫做正平方根,也称为算术平方根, ‎-‎a叫做a的负平方根。‎ 性质:一个正数有两个平方根:‎±‎a (根指数2省略)且他们互为相反数。‎ ‎0有一个平方根,为0,记作‎0‎‎=0‎ 负数没有平方根 17‎ 平方根与算术平方根的区别与联系:‎ ‎1.(2017·甘肃中考模拟)正数9的平方根是( )‎ A.3 B.±3 C. D.‎ ‎【答案】B ‎【详解】因为 3的平方都等于9,所以答案为B ‎2.(2016·山东中考模拟)81的算术平方根是( )‎ A.9 B.±9 C.3 D.±3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题解析:∵92=81,‎ ‎∴81的算术平方根是9.‎ 故选A.‎ ‎3.(2018·江苏中考模拟)9的算术平方根是( )‎ A.﹣3 B.±3 C.3 D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:9的算术平方根是3.故选C.‎ ‎4.(2019·宁波市慈湖中学中考模拟)的平方根是(  )‎ A.﹣4 B.±2 C.±4 D.4‎ ‎【答案】B 17‎ ‎【详解】∵42=16,‎ ‎∴=4,‎ ‎∴的平方根是±2, ‎ 故选B.‎ ‎5.(2018·河南中考模拟)的算术平方根为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵=2,‎ 而2的算术平方根是,‎ ‎∴的算术平方根是,‎ 故选B.‎ ‎6.(2019·浙江中考模拟)的算术平方根是(  )‎ A.4 B.±4 C.2 D.±2‎ ‎【答案】C ‎【详解】=4,‎ ‎4的算术平方根是2,‎ 所以的算术平方根是2,‎ 故选C.‎ ‎7.(2019·四川中考模拟)的算术平方根是( )‎ A.9 B.±9 C.±3 D.3‎ ‎【答案】D ‎【详解】∵=9, 又∵(±3)2=9, ∴9的平方根是±3, ∴9的算术平方根是3. ‎ 17‎ 即的算术平方根是3. 故选:D.‎ ‎8.(2019·黑龙江中考模拟)的值等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 详解:=,‎ 故选:A.‎ ‎9.(2017·江苏中考真题)若方程的两根为和,且,则下列结论中正确的是 ( )‎ A.是19的算术平方根 B.是19的平方根 ‎ C.是19的算术平方根 D.是19的平方根 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:根据平方根的意义,可知x-5是19的一个平方根,由a>b,可知a-5是19的算术平方根,b-5是其负的平方根.‎ 故选:C 考查题型一 利用算术平方根的非负性解题 ‎1.(2015·内蒙古中考真题)若则的值是( )‎ A.2 B 、1 C、0 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:由题意得,3﹣a=0,2+b=0,解得,a=3,b=﹣2,a+b=1,故选B.‎ ‎2.(2016·山西中考模拟)若(m-1)2+=0,则m+n的值是( )‎ A.-1 B.0 C.1 D.2‎ ‎【答案】A 17‎ ‎【详解】∵(m-1)2+=0,‎ ‎∴m−1=0,n+2=0;‎ ‎∴m=1,n=−2,‎ ‎∴m+n=1+(−2)=−1‎ 故选:A.‎ ‎3.(2018·山东中考模拟)已知,,且,则的值为( )‎ A.2或12 B.2或 C.或12 D.或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据=5,=7,得,因为,则,则=5+7=12或-5+7=2.‎ 故选A.‎ 考查题型二 利用平方根的性质解题 ‎1.(2019·南票区九龙街道初级中学中考模拟)若a2=4,b2=9,且ab<0,则a﹣b的值为(  )‎ A.﹣2 B.±5 C.5 D.﹣5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵a2=4,b2=9,‎ ‎∴a=±2,b=±3,‎ ‎∵ab<0,‎ ‎∴a=2时,b=−3,a−b=2−(−3)=2+3=5,‎ a=−2时,b=3,a−b=−2−3=−5,‎ 所以,a−b的值为5或−5.‎ 故选:B.‎ ‎2.(2019·黑龙江中考模拟)对于实数a,b下列判断正确的是( )‎ A.若,则 B.若,则 ‎ C.若,则 D.若,则 17‎ ‎【答案】D ‎【详解】解:A也可能是a=-b,故A错误;B,只能说明|a|>b,故B错误;‎ C,a,b也可能互为相反数;D,都表示算术平方根,故D正确;‎ ‎3.(2018·江苏中考模拟)如果a,b分别是2016的两个平方根,那么a+b﹣ab=___.‎ ‎【答案】2016‎ ‎【详解】∵a,b分别是2016的两个平方根,‎ ‎∴‎ ‎∵a,b分别是2016的两个平方根,‎ ‎∴a+b=0,‎ ‎∴ab=a×(﹣a)=﹣a2=﹣2016,‎ ‎∴a+b﹣ab=0﹣(﹣2016)=2016,‎ 故答案为:2016.‎ 知识点二 立方根和开立方 立方根概念:如果一个数的立方等于a,即x‎3‎‎=a,‎那么x叫做a的立方根或三次方根,‎ 表示方法:数a的立方根记作‎3‎a,读作三次根号a 立方根的性质:任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。0的立方根是0.‎ 开立方概念:求一个数的立方根的运算。‎ 开平方的表示:‎3‎a‎3‎‎=a‎3‎a‎3‎=a‎3‎‎-a=-‎‎3‎a (a取任何数) ‎ 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。‎ 注意:0的平方根和立方根都是0本身。‎ n次方根(扩展)‎ 概念:如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a,这个数就叫做a的n次方根。‎ 当n为奇数时,这个数叫做a的奇次方根。‎ 当n为偶数时,这个数叫做a的偶次方根。‎ 性质: 正数的偶次方根有两个:‎±‎na;0的偶次方根为0:n‎0‎‎=0‎;负数没有偶次方根。‎ 正数的奇次方根为正。0的奇次方根为0。负数的奇次方根为负。‎ ‎1.(2019·江苏中考模拟)﹣8的立方根是( )‎ A.±2 B.2 C.﹣2 D.24‎ 17‎ ‎【答案】C ‎【详解】∵23=8, ∴8的立方根是2, 故选B.‎ ‎2.(2018·湖南中考真题)下列各式中正确的是  ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【详解】A.原式=3,不符合题意;‎ B.原式=|-3|=3,不符合题意;‎ C.原式不能化简,不符合题意;‎ D.原式=2-=,符合题意,‎ 故选D.‎ ‎3.(2011·山东中考模拟) 的相反数是(  )‎ A.﹣2 B.2 C.﹣4 D.4‎ ‎【答案】B ‎【详解】的相反数是-=2‎ 故选B.‎ ‎4.(2019·山东中考真题)下列计算正确的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【详解】解:A.,故此选项错误;‎ B.,故此选项错误;‎ C.,故此选项错误;‎ D.,正确.‎ 故选:D.‎ 17‎ ‎5.(2019·湖南中考模拟)下列说法正确的是( )‎ A.一个有理数的平方根有两个,它们互为相反数 B.负数没有立方根 C.无理数都是开不尽的方根数 D.无理数都是无限小数 ‎【答案】D ‎【详解】(1)由平方根的性质可以得知,负有理数没有平方根,0的平方根是0,∴A错误. (2)∵任何实数都有立方根,∴B答案错误. (3)∵无理数的定义是无限不循环小数叫做无理数,∴C答案错误. ∴D答案正确. 故选D.‎ ‎6.(2019·浙江中考模拟)下列计算正确的是( )‎ A.=﹣4 B.=±4 C.=﹣4 D.=﹣4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据二次根式的意义,可知被开方数为非负数,因此A不正确;根据算术平方根是平方根中带正号的,故B不正确;根据二次根式的性质 可知=4,故C不正确;根据立方根的意义可知=-4,故D正确.‎ 故选D ‎7.(2013·广东中考模拟)一个立方体的体积为64,则这个立方体的棱长的算术平方根为( )‎ A.±4 B.4 C.±2 D.2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵立方体的体积为64,‎ ‎∴它的棱长=,‎ ‎∴它的棱长的平方根为:.‎ 故选D.‎ ‎8.(2019·来宾市第四中学中考模拟)下列说法①﹣5的绝对值是5;②﹣1的相反数是1;③0的倒数是0;④64的立方根是±4,⑤是无理数,⑥4的算术平方根是2,其中正确的个数为(  )‎ 17‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【答案】B ‎【详解】①﹣5的绝对值是5,正确;②﹣1的相反数是1,正确;③0没有倒数,错误;④64的立方根是4,错误,⑤不是无理数,是有理数,错误,⑥4的算术平方根是2,正确,‎ 故选B.‎ 考查提醒三 利用立方根的性质解题 ‎1.下列各组数中互为相反数的是( )‎ A.-2与 B.-2与 C.2与(-)2 D.|-|与 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 选项A. -2与 =2,‎ ‎ 选项B. -2与 =-2,‎ ‎ 选项 C. 2与(-)2=2,‎ ‎ 选项D. |-|=与,‎ 故选A.‎ ‎2.(2018·福建中考模拟)若实数满足,则的立方根为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【详解】由题意得:2x-3=0,9+4y=0,‎ 解得:x=,y=,‎ ‎∴xy=,‎ ‎∴xy的立方根是,‎ 故答案为:.‎ 考查题型四 立方根、算术平方根、平方根的综合 ‎1.(2018·合肥市第四十五中学初一期中)已知a+3和2a﹣15是某正数的两个平方根,b的立方根是﹣2,c算术平方根是其本身,求2a+b﹣3c的值.‎ 17‎ ‎【答案】当a=4,b=﹣8,c=0,2a+b﹣3c=0;当a=4,b=﹣8,c=1,2a+b﹣3c=﹣3.‎ ‎【详解】∵某正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15,b的立方根是﹣2.c算术平方根是其本身 ‎∴a+3+2a﹣15=0,b=﹣8,c=0或1,‎ 解得a=4.‎ 当a=4,b=﹣8,c=0,2a+b﹣3c=8﹣8﹣0=0;‎ 当a=4,b=﹣8,c=1,2a+b﹣3c=8﹣8﹣3=﹣3.‎ ‎2.已知‎3x+1‎的算术平方根是4,x+y-17‎的立方根是‎-2‎,求x+y的平方根.‎ ‎【答案】‎‎±3‎ ‎【详解】根据题意得:‎3x+1=16‎,x+y-17=-8‎,‎ 解得:x=5‎,y=4‎,‎ 则x+y=4+5=9‎,9的平方根为‎±3‎.‎ 所以x+y的平方根为‎±3‎.‎ ‎3.已知的算术平方根足,的立方根是,求的平方根.‎ ‎【答案】±‎ ‎【详解】解:由题意得:2a-1=9,3a+b-1=8,‎ 解得:a=5,b=-6,‎ 则a-2b=5-2×(-6)=17,17的平方根是±‎ ‎4.已知a+1的算术平方根是1,﹣27的立方根是b﹣12,c﹣3的平方根是±2,求a+b+c的平方根.‎ ‎【答案】±4.‎ ‎【详解】解:∵a+1的算术平方根是1,‎ ‎∴a+1=1,即a=0;‎ ‎∵﹣27的立方根是b﹣12,‎ ‎∴b﹣12=﹣3,即b=9;‎ ‎∵c﹣3的平方根是±2,‎ ‎∴c﹣3=4,即c=7;‎ ‎∴a+b+c=0+9+7=16,‎ 则a+b+c的平方根是±4.‎ ‎5.(2019·贵州省毕节梁才学校初二期中)已知是49的算术平方根,的立方根是2,求 17‎ 的平方根.‎ ‎【答案】±13.‎ ‎【详解】解:∵x+2是49的算术平方根, ∴x+2=7, 解得x=5, ∵的立方根是2, ∴=8, 解得y=12, ∴==169, ∵(±13)2=169, ∴的平方根是±13.‎ 知识点三 实数 无理数的概念:无限不循环小数叫做无理数。‎ 实数概念:有理数和无理数统称为实数 实数的分类:‎ ‎1.按属性分类:2.按符号分类 实数和数轴上的点的对应关系(重点):‎ 实数和数轴上的点一一对应,即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示.数轴上的每一个点都可以表示一个实数.‎ ‎2‎的画法:画边长为1的正方形的对角线 在数轴上表示无理数通常有两种情况:‎ 17‎ ‎1.尺规可作的无理数,如 ‎2.尺规不可作的无理数 ,只能近似地表示,如π,1.010010001……‎ 实数大小比较的方法(常用):1)平方法2)根号法3)求差法 实数的三个非负性及性质: ‎ ‎1.在实数范围内,正数和零统称为非负数。‎ ‎2.非负数有三种形式 ‎ ‎①任何一个实数a的绝对值是非负数,即|a|≥0; ‎ ‎②任何一个实数a的平方是非负数,即a‎2‎≥0;‎ ‎③任何非负数的算术平方根是非负数,即a≥0‎ ‎3.非负数具有以下性质 ‎①非负数有最小值零;‎ ‎②非负数之和仍是非负数;‎ ‎③几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0‎ ‎1.(2019·四川中考模拟)下列实数0,,,π,其中,无理数共有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【答案】B ‎【详解】解:无理数有:,.‎ 故选B.‎ ‎2.(2013·贵州中考真题)下列各数中,‎3.14159,-‎3‎‎8‎,0.131131113⋅⋅⋅,-π,‎25‎,-‎‎1‎‎7‎,无理数的个数有( )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:无限不循环小数为无理数,由此可得出无理数的个数,因此,由定义可知无理数有:0.131131113…,﹣π,共两个。故选B。‎ ‎3.(2018·山东中考真题)下列各数:-2,0,,0.020020002…,,,其中无理数的个数是( )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎【答案】C 17‎ ‎【解析】‎ 是有理数,0是有理数,是有理数,0.020020002…是无理数,是无理数,是有理数,所以无理数有2个,故选C.‎ ‎4.(2019·山东中考模拟)在实数,,π﹣2,,0.121 221 222 1…(两个”1”之间依次多一个“2”)中,有理数有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【答案】B ‎【详解】,=-3是有理数;‎ ‎,π﹣2,0.121 221 222 1…(两个”1”之间依次多一个“2”)是无理数.‎ 故选B.‎ ‎5.(2018·贵州中考模拟)下列说法: ‎ ‎①;‎ ‎②数轴上的点与实数成一一对应关系;‎ ‎③﹣2是的平方根;‎ ‎④任何实数不是有理数就是无理数;‎ ‎⑤两个无理数的和还是无理数;‎ ‎⑥无理数都是无限小数,‎ 其中正确的个数有(  )‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎【答案】C ‎【详解】①∵,∴是错误的;‎ ‎②数轴上的点与实数成一一对应关系,故说法正确;‎ ‎③∵=4,故-2是 的平方根,故说法正确;‎ ‎④任何实数不是有理数就是无理数,故说法正确;‎ ‎⑤两个无理数的和还是无理数,如 和 是错误的;‎ ‎⑥无理数都是无限小数,故说法正确;‎ 17‎ 故正确的是②③④⑥共4个;‎ 故选C.‎ ‎6.(2018·四川中考模拟)的相反数是(  )‎ A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 的相反数是,即2.‎ 故选A.‎ ‎7.(2018·山东中考模拟)1﹣的相反数是(  )‎ A.1﹣ B.﹣1 C. D.﹣1‎ ‎【答案】B ‎【详解】根据a的相反数为-a即可得,1﹣的相反数是﹣1.‎ 故选B.‎ ‎8.(2018·黑龙江中考模拟)实数的绝对值是  ‎ A.3 B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【详解】解:=‎ 故选B.‎ ‎9.(2018·四川中考模拟)的绝对值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵,‎ ‎∴ .‎ 17‎ 故选C.‎ 考查题型五 实数与数轴上的点的对应关系的应用方法 ‎1.(2013·湖北中考模拟)实数a、b在数轴上的位置如图所示,且|a|>|b|,则化简的结果为( )‎ A.2a+b B.-2a+b C.b D.2a-b ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵由数轴可知,b>0>a,且 |a|>|b|,‎ ‎∴.‎ 故选C.‎ ‎2.(2013·广西中考模拟)如图,数轴上点P表示的数可能是(  ).‎ A.‎10‎ B.‎5‎ C.‎3‎ D.‎‎2‎ ‎【答案】B ‎【详解】由图象可知,2<p<3.‎ ‎∵‎5‎‎≈‎2.236,∴数轴上点P表示的数可能是‎5‎.‎ 故选B.‎ ‎3.(2018·天津中考模拟)在如图所示的数轴上,点B与点C关于点A对称,A、B两点对应的实数分别是和﹣1,则点C所对应的实数是( )‎ A.1+ B.2+ C.2﹣1 D.2+1‎ ‎【答案】D ‎【详解】设点C所对应的实数是x.根据中心对称的性质,对称点到对称中心的距离相等,则有 ‎,解得.‎ 17‎ 故选D.‎ 考查题型六 实数大小比较 ‎1.(2018·湖南中考模拟)、、5三个数的大小关系是(   )‎ A.         B.C.                 D.‎ ‎【答案】A ‎【详解】这一组数据可化为、、.‎ ‎∵27>25>24,∴>>,即2<5<.‎ 故选A.‎ ‎2.(2018·天津中考模拟)比较的大小,正确的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【详解】∵2,∴2;‎ ‎∵,∴,∴.‎ 故选A.‎ ‎3.(2019·天津中考模拟)若,,则下列关系正确的为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【详解】∵25<30<36,‎ ‎∴5<<6,即5a>c,‎ 故选C.‎ 考查题型七 无理数估算方法 ‎1.(2019·辽宁中考模拟)估计5﹣的值应在(  )‎ A.5和6之间 B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间 ‎【答案】C ‎【详解】5﹣=,‎ ‎∵49<54<64,‎ ‎∴7<<8, ‎ ‎∴5﹣的值应在7和8之间,‎ 故选C.‎ ‎2.(2019·天津中考模拟)3+ 的结果在下列哪两个整数之间(  )‎ A.6和7 B.5和6 C.4和5 D.3和4‎ ‎【答案】A ‎【详解】解:∵3<<4,‎ ‎∴6<3+ <7,‎ 故选:A.‎ ‎3.(2018·海南中考模拟)若,则估计m的值所在范围是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【详解】因为,,‎ 所以,,‎ 即 故选C 17‎
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