2020年中考数学一轮复习基础点专题04实数含解析

2020年中考数学一轮复习基础点专题04实数含解析

专题04 实数 考点总结 ‎【思维导图】‎ ‎【知识要点】‎ 知识点一 平方根 算术平方根概念：一般的如果一个正数x的平方等于a，即x‎2‎‎= a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。‎ 算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作a‎，读作根号a，其中a是被开方数。‎ 平方根概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x‎2‎=a，那么x叫做a的平方根。‎ 平方根的性质与表示：‎ 表示：正数a的平方根用‎±‎a表示， a叫做正平方根，也称为算术平方根， ‎-‎a叫做a的负平方根。‎ 性质：一个正数有两个平方根：‎±‎a （根指数2省略）且他们互为相反数。‎ ‎0有一个平方根，为0，记作‎0‎‎=0‎ 负数没有平方根 17‎ 平方根与算术平方根的区别与联系：‎ ‎1．（2017·甘肃中考模拟）正数9的平方根是( )‎ A．3 B．±3 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【详解】因为 3的平方都等于9，所以答案为B ‎2．（2016·山东中考模拟）81的算术平方根是（ ）‎ A．9 B．±9 C．3 D．±3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题解析：∵92=81，‎ ‎∴81的算术平方根是9．‎ 故选A．‎ ‎3．（2018·江苏中考模拟）9的算术平方根是（ ）‎ A．﹣3 B．±3 C．3 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：9的算术平方根是3．故选C．‎ ‎4．（2019·宁波市慈湖中学中考模拟）的平方根是(　　)‎ A．﹣4 B．±2 C．±4 D．4‎ ‎【答案】B 17‎ ‎【详解】∵42＝16，‎ ‎∴＝4，‎ ‎∴的平方根是±2, ‎ 故选B．‎ ‎5．（2018·河南中考模拟）的算术平方根为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵=2，‎ 而2的算术平方根是，‎ ‎∴的算术平方根是，‎ 故选B．‎ ‎6．（2019·浙江中考模拟）的算术平方根是（　　）‎ A．4 B．±4 C．2 D．±2‎ ‎【答案】C ‎【详解】＝4，‎ ‎4的算术平方根是2，‎ 所以的算术平方根是2，‎ 故选C．‎ ‎7．（2019·四川中考模拟）的算术平方根是（ ）‎ A．9 B．±9 C．±3 D．3‎ ‎【答案】D ‎【详解】∵=9， 又∵（±3）2=9， ∴9的平方根是±3， ∴9的算术平方根是3． ‎ 17‎ 即的算术平方根是3． 故选:D．‎ ‎8．（2019·黑龙江中考模拟）的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 详解：＝，‎ 故选：A.‎ ‎9．（2017·江苏中考真题）若方程的两根为和，且，则下列结论中正确的是 （ ）‎ A．是19的算术平方根 B．是19的平方根 ‎ C．是19的算术平方根 D．是19的平方根 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据平方根的意义，可知x-5是19的一个平方根，由a＞b，可知a-5是19的算术平方根，b-5是其负的平方根.‎ 故选：C 考查题型一 利用算术平方根的非负性解题 ‎1．（2015·内蒙古中考真题）若则的值是（ ）‎ A．2 B 、1 C、0 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B．‎ ‎2．（2016·山西中考模拟）若(m-1)2+＝0，则m＋n的值是（ ）‎ A．－1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】A 17‎ ‎【详解】∵(m-1)2+＝0，‎ ‎∴m−1=0，n+2=0；‎ ‎∴m=1，n=−2，‎ ‎∴m+n=1+(−2)=−1‎ 故选：A.‎ ‎3．（2018·山东中考模拟）已知，，且，则的值为（ ）‎ A．2或12 B．2或 C．或12 D．或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据=5，=7，得，因为，则，则=5+7=12或-5+7=2.‎ 故选A.‎ 考查题型二 利用平方根的性质解题 ‎1．（2019·南票区九龙街道初级中学中考模拟）若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（　　）‎ A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵a2=4,b2=9，‎ ‎∴a=±2，b=±3，‎ ‎∵ab<0，‎ ‎∴a=2时,b=−3,a−b=2−(−3)=2+3=5，‎ a=−2时，b=3，a−b=−2−3=−5，‎ 所以，a−b的值为5或−5.‎ 故选：B.‎ ‎2．（2019·黑龙江中考模拟）对于实数a，b下列判断正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 ‎ C．若，则 D．若，则 17‎ ‎【答案】D ‎【详解】解：A也可能是a=-b，故A错误；B，只能说明|a|＞b，故B错误；‎ C，a，b也可能互为相反数；D，都表示算术平方根，故D正确；‎ ‎3．（2018·江苏中考模拟）如果a，b分别是2016的两个平方根，那么a+b﹣ab=___．‎ ‎【答案】2016‎ ‎【详解】∵a，b分别是2016的两个平方根，‎ ‎∴‎ ‎∵a，b分别是2016的两个平方根，‎ ‎∴a+b=0，‎ ‎∴ab=a×（﹣a）=﹣a2=﹣2016，‎ ‎∴a+b﹣ab=0﹣（﹣2016）=2016，‎ 故答案为：2016．‎ 知识点二 立方根和开立方 立方根概念：如果一个数的立方等于a，即x‎3‎‎=a，‎那么x叫做a的立方根或三次方根，‎ 表示方法：数a的立方根记作‎3‎a，读作三次根号a 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０.‎ 开立方概念：求一个数的立方根的运算。‎ 开平方的表示：‎3‎a‎3‎‎=a‎3‎a‎3‎=a‎3‎‎-a=-‎‎3‎a （a取任何数） ‎ 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。‎ 注意:０的平方根和立方根都是０本身。‎ n次方根(扩展)‎ 概念：如果一个数的n次方（n是大于１的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。‎ 当n为奇数时，这个数叫做a的奇次方根。‎ 当n为偶数时，这个数叫做a的偶次方根。‎ 性质： 正数的偶次方根有两个：‎±‎na；０的偶次方根为０：n‎0‎‎=0‎；负数没有偶次方根。‎ 正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。‎ ‎1．（2019·江苏中考模拟）﹣8的立方根是( )‎ A．±2 B．2 C．﹣2 D．24‎ 17‎ ‎【答案】C ‎【详解】∵23=8， ∴8的立方根是2， 故选B．‎ ‎2．（2018·湖南中考真题）下列各式中正确的是　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【详解】A.原式=3，不符合题意；‎ B.原式=|-3|=3，不符合题意；‎ C.原式不能化简，不符合题意；‎ D.原式=2-=，符合题意，‎ 故选D．‎ ‎3．（2011·山东中考模拟） 的相反数是（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4‎ ‎【答案】B ‎【详解】的相反数是-=2‎ 故选B.‎ ‎4．（2019·山东中考真题）下列计算正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【详解】解：A.，故此选项错误；‎ B.，故此选项错误；‎ C.，故此选项错误；‎ D.，正确．‎ 故选：D．‎ 17‎ ‎5．（2019·湖南中考模拟）下列说法正确的是（ ）‎ A．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根 C．无理数都是开不尽的方根数 D．无理数都是无限小数 ‎【答案】D ‎【详解】（1）由平方根的性质可以得知，负有理数没有平方根，0的平方根是0，∴A错误． （2）∵任何实数都有立方根，∴B答案错误． （3）∵无理数的定义是无限不循环小数叫做无理数，∴C答案错误． ∴D答案正确． 故选D．‎ ‎6．（2019·浙江中考模拟）下列计算正确的是（ ）‎ A．=﹣4 B．=±4 C．=﹣4 D．=﹣4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据二次根式的意义，可知被开方数为非负数，因此A不正确；根据算术平方根是平方根中带正号的，故B不正确；根据二次根式的性质 可知=4，故C不正确；根据立方根的意义可知=-4，故D正确.‎ 故选D ‎7．（2013·广东中考模拟）一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（ ）‎ A．±4 B．4 C．±2 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵立方体的体积为64，‎ ‎∴它的棱长=，‎ ‎∴它的棱长的平方根为：.‎ 故选D.‎ ‎8．（2019·来宾市第四中学中考模拟）下列说法①﹣5的绝对值是5；②﹣1的相反数是1；③0的倒数是0；④64的立方根是±4，⑤是无理数，⑥4的算术平方根是2，其中正确的个数为（　　）‎ 17‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【详解】①﹣5的绝对值是5，正确；②﹣1的相反数是1，正确；③0没有倒数，错误；④64的立方根是4，错误，⑤不是无理数，是有理数，错误，⑥4的算术平方根是2，正确，‎ 故选B．‎ 考查提醒三 利用立方根的性质解题 ‎1．下列各组数中互为相反数的是（ ）‎ A．－2与 B．－2与 C．2与（-）2 D．|-|与 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 选项A. －2与 =2，‎ ‎ 选项B. －2与 =-2，‎ ‎ 选项 C. 2与（-）2=2,‎ ‎ 选项D. |-|=与,‎ 故选A.‎ ‎2.（2018·福建中考模拟）若实数满足，则的立方根为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【详解】由题意得：2x-3=0，9+4y=0，‎ 解得：x=，y=，‎ ‎∴xy=，‎ ‎∴xy的立方根是，‎ 故答案为：.‎ 考查题型四 立方根、算术平方根、平方根的综合 ‎1．（2018·合肥市第四十五中学初一期中）已知a+3和2a﹣15是某正数的两个平方根，b的立方根是﹣2，c算术平方根是其本身，求2a+b﹣3c的值．‎ 17‎ ‎【答案】当a＝4，b＝﹣8，c＝0，2a+b﹣3c＝0；当a＝4，b＝﹣8，c＝1，2a+b﹣3c＝﹣3．‎ ‎【详解】∵某正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2．c算术平方根是其本身 ‎∴a+3+2a﹣15＝0，b＝﹣8，c＝0或1，‎ 解得a＝4．‎ 当a＝4，b＝﹣8，c＝0，2a+b﹣3c＝8﹣8﹣0＝0；‎ 当a＝4，b＝﹣8，c＝1，2a+b﹣3c＝8﹣8﹣3＝﹣3．‎ ‎2．已知‎3x+1‎的算术平方根是4，x+y-17‎的立方根是‎-2‎，求x+y的平方根．‎ ‎【答案】‎‎±3‎ ‎【详解】根据题意得：‎3x+1=16‎，x+y-17=-8‎，‎ 解得：x=5‎，y=4‎，‎ 则x+y=4+5=9‎，9的平方根为‎±3‎．‎ 所以x+y的平方根为‎±3‎．‎ ‎3.已知的算术平方根足，的立方根是，求的平方根．‎ ‎【答案】±‎ ‎【详解】解：由题意得：2a-1=9，3a+b-1=8，‎ 解得：a=5，b=-6，‎ 则a-2b=5-2×(-6)=17，17的平方根是±‎ ‎4.已知a+1的算术平方根是1，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2，求a+b+c的平方根．‎ ‎【答案】±4．‎ ‎【详解】解：∵a+1的算术平方根是1，‎ ‎∴a+1=1，即a=0；‎ ‎∵﹣27的立方根是b﹣12，‎ ‎∴b﹣12=﹣3，即b=9；‎ ‎∵c﹣3的平方根是±2，‎ ‎∴c﹣3=4，即c=7；‎ ‎∴a+b+c=0+9+7=16，‎ 则a+b+c的平方根是±4．‎ ‎5．（2019·贵州省毕节梁才学校初二期中）已知是49的算术平方根，的立方根是2，求 17‎ 的平方根．‎ ‎【答案】±13．‎ ‎【详解】解：∵x+2是49的算术平方根， ∴x+2=7， 解得x=5， ∵的立方根是2， ∴=8， 解得y=12， ∴==169， ∵（±13）2=169， ∴的平方根是±13．‎ 知识点三 实数 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。‎ 实数概念：有理数和无理数统称为实数 实数的分类：‎ ‎1.按属性分类：2.按符号分类 实数和数轴上的点的对应关系（重点）：‎ 实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．‎ ‎2‎的画法：画边长为1的正方形的对角线 在数轴上表示无理数通常有两种情况：‎ 17‎ ‎1.尺规可作的无理数，如 ‎2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……‎ 实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法 实数的三个非负性及性质： ‎ ‎1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。‎ ‎2.非负数有三种形式 ‎ ‎①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ‎ ‎②任何一个实数a的平方是非负数，即a‎2‎≥0；‎ ‎③任何非负数的算术平方根是非负数，即a≥0‎ ‎3.非负数具有以下性质 ‎①非负数有最小值零；‎ ‎②非负数之和仍是非负数；‎ ‎③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0‎ ‎1．（2019·四川中考模拟）下列实数0，，，π，其中，无理数共有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎【详解】解：无理数有：，.‎ 故选B.‎ ‎2．（2013·贵州中考真题）下列各数中，‎3.14159，-‎3‎‎8‎，0.131131113⋅⋅⋅，-π，‎25‎，-‎‎1‎‎7‎，无理数的个数有（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数，因此，由定义可知无理数有：0.131131113…，﹣π，共两个。故选B。‎ ‎3．（2018·山东中考真题）下列各数：-2，0，，0.020020002…，，，其中无理数的个数是（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】C 17‎ ‎【解析】‎ 是有理数，0是有理数，是有理数，0.020020002…是无理数，是无理数，是有理数，所以无理数有2个，故选C.‎ ‎4．（2019·山东中考模拟）在实数，，π﹣2，，0.121 221 222 1…（两个”1”之间依次多一个“2”）中，有理数有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎【详解】，=-3是有理数；‎ ‎，π﹣2，0.121 221 222 1…（两个”1”之间依次多一个“2”）是无理数.‎ 故选B.‎ ‎5．（2018·贵州中考模拟）下列说法： ‎ ‎①；‎ ‎②数轴上的点与实数成一一对应关系；‎ ‎③﹣2是的平方根；‎ ‎④任何实数不是有理数就是无理数；‎ ‎⑤两个无理数的和还是无理数；‎ ‎⑥无理数都是无限小数，‎ 其中正确的个数有( 　)‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【答案】C ‎【详解】①∵，∴是错误的；‎ ‎②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；‎ ‎③∵＝4，故-2是 的平方根，故说法正确；‎ ‎④任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确；‎ ‎⑤两个无理数的和还是无理数，如 和 是错误的；‎ ‎⑥无理数都是无限小数，故说法正确；‎ 17‎ 故正确的是②③④⑥共4个；‎ 故选C.‎ ‎6．（2018·四川中考模拟）的相反数是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 的相反数是，即2.‎ 故选A.‎ ‎7．（2018·山东中考模拟）1﹣的相反数是（　　）‎ A．1﹣ B．﹣1 C． D．﹣1‎ ‎【答案】B ‎【详解】根据a的相反数为-a即可得，1﹣的相反数是﹣1.‎ 故选B.‎ ‎8．（2018·黑龙江中考模拟）实数的绝对值是　　‎ A．3 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【详解】解：=‎ 故选B.‎ ‎9．（2018·四川中考模拟）的绝对值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵，‎ ‎∴ .‎ 17‎ 故选C.‎ 考查题型五 实数与数轴上的点的对应关系的应用方法 ‎1．（2013·湖北中考模拟）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）‎ A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，‎ ‎∴.‎ 故选C．‎ ‎2．（2013·广西中考模拟）如图，数轴上点P表示的数可能是（　　）.‎ A．‎10‎ B．‎5‎ C．‎3‎ D．‎‎2‎ ‎【答案】B ‎【详解】由图象可知，2＜p＜3．‎ ‎∵‎5‎‎≈‎2.236，∴数轴上点P表示的数可能是‎5‎．‎ 故选B．‎ ‎3．（2018·天津中考模拟）在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是( )‎ A．1+ B．2+ C．2﹣1 D．2+1‎ ‎【答案】D ‎【详解】设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有 ‎，解得.‎ 17‎ 故选D.‎ 考查题型六 实数大小比较 ‎1．（2018·湖南中考模拟）、、5三个数的大小关系是（   ）‎ A．         B．C．                 D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】这一组数据可化为、、．‎ ‎∵27＞25＞24，∴＞＞，即2＜5＜．‎ 故选A．‎ ‎2.（2018·天津中考模拟）比较的大小，正确的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】∵2，∴2；‎ ‎∵，∴，∴．‎ 故选A．‎ ‎3．（2019·天津中考模拟）若，，则下列关系正确的为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【详解】∵25<30<36，‎ ‎∴5<<6，即5a>c，‎ 故选C.‎ 考查题型七 无理数估算方法 ‎1.（2019·辽宁中考模拟）估计5﹣的值应在（　　）‎ A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 ‎【答案】C ‎【详解】5﹣=，‎ ‎∵49<54<64，‎ ‎∴7<<8， ‎ ‎∴5﹣的值应在7和8之间，‎ 故选C．‎ ‎2.（2019·天津中考模拟）3+ 的结果在下列哪两个整数之间（　　）‎ A．6和7 B．5和6 C．4和5 D．3和4‎ ‎【答案】A ‎【详解】解：∵3＜＜4，‎ ‎∴6＜3+ ＜7，‎ 故选：A．‎ ‎3．（2018·海南中考模拟）若，则估计m的值所在范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【详解】因为，,‎ 所以，,‎ 即 故选C 17‎